下载东方财富炒股软件:用真开放激活学生的真思考——“圆锥体积计算”教学历程

 起源：“为什么倒3次就满了？”
　　马上又要上“圆锥的体积计算”这一课了，我的神经不觉一下子又紧张了起来。因为，尘封的记忆中有一丝“痛楚”还没有抹去……
　　师：同学们，下面我们就来做个实验，请大家观察。（我拿起准备好的圆柱杯及与其等底等高的圆锥杯）看，老师手中的圆柱和圆锥有什么关系？（我将圆柱、圆锥底面重叠，又平放在桌面上，示意高一样。）
　　生：好像底面一样大，也一样高。
　　师：对，这个圆柱与圆锥是等底等高的。
　　师：请看仔细，老师倒了几次水？
　　（我开始细心地做演示实验，将圆锥满杯水倒入圆柱杯中，倒完第三次后，水柱稳稳地停在圆柱杯杯口。我内心一阵激动。）
　　师：同学们，看到了吗？老师倒了几次？
　　生：3次。
　　师：对，倒了3次，这说明圆柱体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍。
　　（就这样，引出V＝1/3Sh。让学生齐读后，我随口问了一句。）
　　师：同学们明白了吗？
　　生：老师，我有点不明白。为什么刚才倒3次就刚好满了？
　　师：是因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3……
　　（话还没说完，我就意识到自己犯了“循环论证”的错误。课勉强结束了，后续作业学生也会做了。但“为什么要倒3次”却犹如一根刺扎在我的心头。）

剖析：教材为什么要这样安排
　　“哪里跌倒就从哪里爬起来”，我想要拔掉这根“痛刺”，还是应该直面这个内容。教材为什么要这样安排？带着这个问题，我认真地揣摩起北师大版《数学》六年级下册第11页的内容。
　　［内容扫描］
　　教材以直接引入的方式，抛出研究问题：小麦的体积是多少。围绕问题启发学生进行知识迁移，形成初步猜想：“底面积×高”是圆柱体积，那么圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的几分之几；再以实验验证的思路，让学生发现两者的确定关系，最终导出V＝1/3Sh。整个编排，以圆锥体积计算为主线，安排了问题生成、结论假设、实验验证、获得结论四个大环节，力图让学生经历发现问题、联想猜测、观察操作、归纳提炼的思考过程。应该讲，这样编排核心明确、方法科学、操作性强，体现了新课程所倡导的让学生“探究学习”的要求。
　　那么，为什么在课堂上，我按教材进行的教学却经不起学生的一个追问呢？
　　［深度解析］
　　1. 知识逻辑
　　奥苏伯尔的认知同化学习理论指出：新学命题和已有知识之间有“下位关系”和“上位关系”。其中下位关系指新学知识是原有的包摄面较广的知识命题的一个事例或是对原有命题的修正、限定。数学学科中有许多知识点之间就存在着这种关系。比如，圆柱体积计算方法其实就与直立方体体积计算相关，是其下位知识；圆锥体积计算方法与圆柱体积计算方法之间，也有明显的下位关系。所以，教材安排在圆柱体积之后学习圆锥体积，其关联性主要表现在两方面：（1） 圆锥体积和与其等底等高的圆柱体积有关联；（2） 圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的1/3。其中“等底等高”关系是命题V＝1/3Sh成立的充分条件，“1/3”是两者体积关系的自然属性。
　　鉴于此，教学时要密切关注“充分条件”的生成，同时挖掘其自然属性关系，突出圆锥体积计算方法学习是圆柱体积计算方法的下位学习。
　　2. 教材体现
　　教材应该讲已经关注圆锥体积计算是圆柱体积计算方法的下位知识。这在两个方面有体现：（1） 实验设计：圆锥体积和与其等底等高的圆柱体积关系操作性实验；（2） 计算公式的概括：以半开放的方式，要求学生自己在实验基础上提炼。如，教材对此采用了一种“倒推”的思路设计：学生猜测圆锥体积计算是不是也用V＝Sh后，引导关注“Sh”计算的结果表示与圆锥等底等高的圆柱体积。由此引出“等底等高的圆柱”这个上位命题。让学生的思维经历着由圆锥想圆柱的倒推过程。
　　但这样的编排和设计，强化了“1/3”关系，弱化了“等底等高”这个条件。
　　3. 学习过程
　　本教材的设计意图设计教学过程，我感觉对学生经历这种下位学习并不十分有利，会埋下如下几个“隐患”。
　　（1） 学生对圆锥体积和与其等底等高的圆柱体积的关系的确定性、普遍性体验不足，影响了实验及结果的可信度。
　　在猜测“Sh”不能得到圆锥体积后，学生在老师的牵引下发现“Sh”表示与圆锥等底等高的圆柱体积，只是论证了圆锥体积不能直接由“Sh”得出，这是直接结论。“圆锥体积与圆柱体积肯定存在一种确定的倍数关系”这个判断是不太可能在否定“Sh”之后随之产生的。所以，实践教学这个环节中往往是由老师“牵”着学生去“故意”发现：“你猜猜这时圆锥体积是与其等底等高的圆柱体的几分之几。”在这个过程中，学生缺乏对问题解决的渴求，缺乏对“圆锥和与其等底等高的圆柱体积关系是恒定的”这个前提的感悟，从而降低了两者体积存在确定倍数关系的可信度。（2） 在探索过程中，学生始终被动参与，自主体验不足。
　　很显然，在猜测失败之后，在老师的“牵导”下，学生开始关注圆锥和与其等底等高的圆柱的体积关系，并由老师安排进行实验操作。这期间，学生由于在问题的起点上就是跟着老师走的（猜两者体积关系，学生并没有充分的准备，只是一种“瞎猜”），因此缺乏真想法与真期待，思维兴奋点总落后老师一步。为此，学生在整个学习过程中总感觉不到目标所在、方法何在以及为什么要这样做。这些问题得不到解决，学生的学习过程只能是被动地执行老师的思路，这不利于学生的学习体验的积累与学习思维能力的提升。

实施：“圆锥体积只要与其等底等高的圆柱的体积除以3”
　　［教学新思路］
　　经历上述的剖析，我似乎明白了原因所在：把圆锥体积计算孤立了，忽视了它与圆柱的紧密联系，同时限制了学生的思考。要突破首先要解放学生、开放课堂。因此，我确立了如下教学思路。
　　1. 顺藤“生”瓜
　　圆柱体积计算方法是圆锥体积计算的上位知识。教学能否就顺着“圆柱”这根藤走下去？我的答案是肯定的。为了让学生更好地体会圆锥体积与圆柱体积的特殊关系，我将教材中呈现“与圆锥等底等高的圆柱”的思路“顺”过来，让学生从圆柱中发现与圆柱等底等高的圆锥的存在，并发现从一个圆柱中削出的与其等底等高的圆锥是唯一确定的，为探寻它们体积关系的确定性打通思路。所以，我在教学中增加了一个新的环节：圆柱中能画出几类不同的圆锥。通过课前动手操作及画图记录，让“不等底不等高”“等底不等高”“等高不等底”“等底等高”四类情况全面展示，连起圆锥和圆柱的形象关系网，并挖掘出“等底等高时圆锥只有一个”。这为学生深入探索具体关系创造可能，建立思路上的基点。
　　2. 自主“摘”瓜
　　由于教材未直接呈现V＝1/3Sh这个结论，因此我想只有让学生自己经历“建构-解构-再构”的认知过程，才能让学生真正感受到思考的快乐。所以，教学设计时，在形成“与圆柱等底等高的圆锥是唯一的”后，我就开始全开放式教学：安排“与圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的几分之几猜测（初步建构两者关系）”“同伴质疑（解构）”“实验论证确立关系（再构）”的过程，调动学生最真实的学习需求，促使学生全心投入观察和思考，最终在一致认同“关系”基础上，由学生自己说出V＝1/3Sh，让学生自己摘得知识的果实。
　　［课堂实录］（片断）
　　出示问题：将一块圆柱形木料削成圆锥形，你能削出怎样的圆锥体，画出草图，并说说圆锥体和圆柱的关系，再根据它们的关系分一分类。
　　学生独立活动后，进行汇报交流。
　　1. 圆柱和与其等底等高的圆锥的体积关系的形成。
　　（1） 圆柱与圆锥的关系探索。
　　生：第1个圆锥和圆柱是等底等高的。师：请具体点讲。
　　生：就是它们的底面积相等，高也相等。
　　师：这样的关系就是等底等高。那其他几个呢？
　　生：第2、3个是等底不等高的情况，第4个既不等底也不等高。
　　（依据学生的汇报，教师板书：等底等高，等底不等高，不等底不等高。）
　　师：还有其他情况吗？
　　生：还有等高不等底的情况。
　　师：请同学们观察并思考每种情况的圆锥体分别能削出几个。
　　生：等底不等高、等高不等底、不等底不等高三种情况都能削出很多个，等底等高的只能削一个。
　　（2） 等底等高情况下圆柱与圆锥的体积大小关系猜想。
　　师：看来，除了等底等高的情况，其他情况下的圆锥与圆柱体积关系不太确定，而等底等高情况下只有一个圆锥。看看图（指等底等高的圆柱和圆锥图），现在你有什么感觉或发现？
　　生：我看等底等高的圆锥体积是圆柱的一半。
　　师：真会思考，等底等高情况是唯一的，他马上产生了一种新思考——它们的体积关系。板书：圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的1/2。
　　（这里学生通过对圆锥与圆柱关系的梳理，明白了等底等高情况的唯一性，并在自主观察中生成了第一次结论，实现了对知识的初步建构。）
　　师：我们为朱××同学的这种眼光鼓鼓掌。我很想听听你判断出1/2关系的想法。说说你是怎样判断等底等高的圆锥是圆柱体积的1/2的。
　　生：我看图，应该是1/2。
　　师：大家相信吗？（没有学生反对，但其实学生在思考）说说为什么是1/2。
　　生：圆柱中削出一个圆锥，剩下的可以再做一个圆锥，所以是1/2。
　　师（附和）：噢！这样削去的部分一定就跟圆锥体积一样。
　　生：老师，好像不是1/2，感觉不对，我看剩下部分比圆锥大。因为从圆柱中挖出圆锥，还剩一圈的，肯定大一些。
　　生：我也感觉不对，把圆柱倒过来看，剩下的部分明显要多些。
　　师：看来，仅靠观察想象，这种结论是不可靠的。那有办法来验证吗？
　　生：找等底等高的圆锥和圆柱罐子，装满水，倒一倒。
　　（这个环节，充分激活了学生的思维，让学生在相互争论及自我反思之中，经历了对初步建构的知识的解构过程。）
　　（3） 等底等高情况下，圆柱与圆锥的体积大小关系验证。
　　教师演示倒水实验：第一杯水倒入圆柱杯中……
　　（班内同学情不自禁站了起来。）
　　师：看到这里你想说什么？
　　生：圆锥体积不是与其等底等高圆柱体积的1/2。
　　师：眼见为实。那会是怎样的，再看。（学生都不敢轻易下结论。）
　　（当第三杯水稳稳地填满圆柱水杯时，教室内发出一阵惊叫。）
　　师：现在你有结论了吗？
　　生：圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的1/3。
　　师：确信吗？
　　生：再另外找几个也试试。
　　（学生显然对这一次实验的结论还不太完全信服，所以提出了要多试几个的请求。）
　　师：好的，老师还准备了大小不一样的其他几组。我们再次实验。
　　老师引领着学生进行了多轮实验，并确定了这种结论。
　　（通过实验验证，学生目睹了圆锥和与其等底等高的圆柱体积关系的重新形成，实现了对这个知识的再次重新建构。）2. 圆锥体积计算方法的形成。
　　师：真想不到等底等高情况下圆锥体积是圆柱体积的1/3。现在看到这个结论，你又想到了什么？
　　生6：只要圆柱体积除以3就是圆锥体积。
　　师：谁听明白了，再说一说。
　　生7：要求圆锥体积只要将与其等底等高的圆柱的体积除以3，就行了。
　　师：就是说圆锥体积等于与其等底等高的圆柱体积除以3。用字母表示就是（板书）：
V圆锥＝V等底等高的圆柱×1/3＝1/3Sh。
　　（在学生面对自己经过再三观察与思考形成的结论--圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的1/3时，老师及时进行了再次的思维刺激——“现在看到这结论，你又想到了什么？”使学生自然而然地说出了圆锥的体积计算方法。这个过程，看似意外，其实是情理之中的。因为学生经历了自主思考与发现的学习过程，摘得最后的果实也就是水到渠成的事了。）
    后思：1/3现象消失了
    当我将圆锥杯中最后一滴水注入圆柱杯中，学生喊出“圆锥体积是与其等底等高的圆柱体积的1/3”时，我感觉一阵畅快，如释重负，心头的那根“刺”瞬间消失。这次课后，我特意留心了学生次日的练习。结果全班无一人在计算圆锥体积时遗漏了1/3。这让我更加感慨——学生自主的学习才是真正高效的学习。