坐飞机怎么去青海湖:难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知 ＜β＜α＜ ,cos(α－β)= ,sin(α+β)=－ ,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin²20°+cos²80°+ cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.

错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin²20°+cos²80°+ sin²20°cos80°

=  (1－cos40°)+  (1+cos160°)+ sin20°cos80°

=1－ cos40°+ cos160°+ sin20°cos(60°+20°)

=1－ cos40°+  (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－ cos40°－ cos40°－ sin40°+ sin40°－ sin²20°

=1－ cos40°－ (1－cos40°)=

解法二：设x=sin²20°+cos²80°+ sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－ cos20°sin80°，则

x+y=1+1－ sin60°= ，x－y=－cos40°+cos160°+ sin100°

=－2sin100°sin60°+ sin100°=0

∴x=y= ，即x=sin²20°+cos²80°+ sin20°cos80°= .

［例2］设关于x的函数y=2cos²x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)= 的a值，并对此时的a值求y的最大值.

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

解：由y=2(cosx－ )²－ 及cosx∈［－1，1］得：

f(a)

∵f(a)= ,∴1－4a= a= ［2,+∞

故－ －2a－1= ，解得：a=－1，此时，

y=2(cosx+ )²+ ，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5.

［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin²x+sinxcosx

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；

(3)若当x∈［ ， ］时，f(x)的反函数为f^－1(x)，求f^-－1(1)的值.

命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.

错解分析：在求f^-－1(1)的值时易走弯路.

技巧与方法：等价转化，逆向思维.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin²x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos +cosxsin )－ sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+ cos2x=2sin(2x+ )

∴f(x)的最小正周期T=π

(2)当2x+ =2kπ－ ，即x=kπ－  (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.

(3)令2sin(2x+ )=1，又x∈［ ］,

∴2x+ ∈［ , ］,∴2x+ = ，则

x= ，故f^-－1(1)= .

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.

2.技巧与方法：

1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.

2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.

4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x²+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈

(－ )，则tan 的值是(    )

A.                             B.－2                     C.                            D. 或－2

二、填空题

2.(★★★★)已知sinα= ，α∈( ，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________.

3.(★★★★★)设α∈( )，β∈(0， )，cos(α－ )= ，sin( +β)= ，则sin(α+β)=_________.

三、解答题

4.不查表求值:

5.已知cos( +x)= ，( ＜x＜ )，求 的值.

6.(★★★★★)已知α－β= π，且α≠kπ(k∈Z).求 的最大值及最大值时的条件.

7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知cosα+sinβ= ，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y= 的最小值，并求取得最小值时x

的值.

参考答案

难点磁场

解法一：∵ ＜β＜α＜ ,∴0＜α－β＜ .π＜α+β＜ ,

∴sin(α－β)=

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二：∵sin(α－β)= ,cos(α+β)=－ ,

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－

sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－

∴sin2α=

歼灭难点训练

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.

tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－ , )∴α、β∈(－ ,θ),则 ∈(－ ,0),又tan(α+β)= ,

整理得2tan² =0.解得tan =－2.

答案：B

2.解析：∵sinα= ,α∈( ,π),∴cosα=－

则tanα=－ ,又tan(π－β)= 可得tanβ=－ ,

答案：

3.解析：α∈( ),α－ ∈(0, ),又cos(α－ )= .

答案：

三、4.答案：2

（k∈Z）,  （k∈Z）

∴当 即 （k∈Z）时, 的最小值为－1.

7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则

｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y= x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q( sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－ sinθ.

于是S_PQRS=sinθ(cosθ－ sinθ)= ( sinθcosθ－sin²θ)= ( sin2θ－ )= ( sin2θ+ cos2θ－ )= sin(2θ+ )－ .

∵0＜θ＜ ,∴ ＜2θ+ ＜ π.∴ ＜sin(2θ+ )≤1.

∴sin(2θ+ )=1时，PQRS面积最大，且最大面积是 ，此时，θ= ，点P为 的中点，P( ).

8.解：设u=sinα+cosβ.则u²+( )²=(sinα+cosβ)²+(cosα+sinβ)²=2+2sin(α+β)≤4.∴u²≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t= ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ .x= .