中财网小型砌块砖机:逻 辑 代 数 基 础
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 06:26:25
逻 辑 代 数 基 础
逻 辑 代 数 运 算 法 则
逻 辑 函 数 的 化 简
卡 诺 图 法 。 算 运 ） 。 辑 律 态 配 原
逻 辑 代 数 运 算 法 则
1 .逻 辑 变 量 只 取 ： 0 、 1 两 种 状依 据 ： 2 .与 、 或 、 非 是 三 种 最 基 本 的 逻
与 普 通 代 数 运 算 法 则 类 似 的 ： 分
律 、 结 合 律 、 交 换 律 等 。
与 普 通 代 数 运 算 法 则 不 同 的 ：
A •A = A A + A = A A = A (还 去 、 , 消 。 取 短 含 短 被 下 中
一 、 几 种 形 式 的 吸 收 律
吸 收 ： 多 余 （ 冗 余 ） 项 ， 多 余 （ 冗 余 ） 因 子掉 ⇒ 被 消 化 了 。 长 项 短 项
1 .原 变 量 的 吸 收 ： A + A B = A
证 明 ： 左 式 = A (1 + B ) || = A 1 长 = 右 式 留 ∴ 原 式 成 立 口 诀 ： 量 变 B ) 原 +
反 ( 原 (反 )变 量
2 . 反 变 量 的 吸 收 ： A + A B = A
添 冗 余 项
证 明 ： 左 式 = A + A B + A B
= A + B (A + A ) || = 右 式 1
长 中 含 反 ,
去 掉 反 。 口 诀 ： , ） C 。 对 项 A ： 完 余 + 相 B 诀 负 全 冗 A 口 = 余 消 正
互 为 反 变 量
3 .混 合 变 量 的 吸 收 ： A B + A C + B C
证 明 ：左 式 = A B + A C + B C
= A B + A C + (A + A )B C
= A B + A C + A B C + A B C 添 加
添 冗 余 因 子
= (A B + A B C ) + (A C + A B C ) （ = A B + A C = 右 式 ) ( 或 ： 式 法 或 非 明 ) （ 的 举 1
二 、 德 • 摩 根 定 理
（ D e • M o rg a n )
( ) 证 A • B = A + B 1
(2 ) 穷 A + B = A • B A • B • C = A + B + C 推 广 到 多 变 量 ： A + B + C = A • B • C
式 (
说 明 ： 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 变 量 的 与 非非 ） 运 算 等 于 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 变 量（ 非 与 ） 运 算 。 ) F 。 ） ) 数 ： 算 法 算 变 函 式 运 加 运 不 反 达 ( 后 反
三 、 反 演 定 理
内 容 ： 将 函 数 式 F 中 所 有 的
• +
+ • 新 表
互 补 变 量 与 常 数 均 取 反 （ 求 显 然 ： F = F 注 意 : (变 换 时 ,原 函 数 运 算 的 先 后 顺 序
1 .运 算 顺 序 ： 先 括 号 ⇒ 再 乘 法 ⇒
2 .不 是 一 个 变 量 上 的 反 号 不 动 。
用 处 ： 实 现 互 补 运 算 （ 求 反 运 算 ） 。 号 括 意
例 1 ： F = A • B + C • D + 0 1
F 1 = A • B + C • D + 0注 意 注 F 1 = (A + B )• (C + D )• 1括 号
∴ F = A C + B C + A D + B D 1
与 或 式 动 动 不 不 号 号 式
例 2 ： F = A + B + C + D + E 2
F 2 = A + B + C + D + E 反
F 2 = A • B • C • D • E 反 = A • (B + C + D + E )
= A • (B + C + D • E )
∴ F = A • B + A • C + A • D • E 2
与 或 ） 。 短 少 项 并 下 最 留 合 去
§ 2 .2 逻 辑 函 数 的 化 简 ? 公 式 化 简 法
乘 积 项 的 项 数 最 少 。最 简 与 或 式 ： 每 个 乘 积 项 中 变 量 个 数
例 题 ：
F1 = A B + B D + A B D + A B C D + A B
= B + B D + A B D + A B C D 吸 收 消
= B + B D （ 长 中 含 短 ，
吸 收 消 去
（ 长 中 含 反 ， 去 掉 反 ）∴ F = B + D 1 （ 最 简 与 或 式 ） G ) F 子 E 项 因 完 余 ） D 全 余 冗 + : 式 F 冗 : G 余 , 或 E F F
F 2 = A D + A D + A B + A C + B D + A C E F + B
A 吸 收 消 去
( 合 并 项 ) （ 长 中 含 短 ， 留 下 短 ）
= A + A C + B D + B E F + D E F G D E D E 吸 收 消 去 吸 收 消 去 ( 正 负 相 对
( 长 中 含 反 , 去 掉 反 )
∴ F = A + C + B D + B E F 2 （ 最 简 与 ) ) +G 完 F ） ( 全 E ） 余 式 D , 短
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
消 冗 余 项
合 并 项 ： A （ 长 中 含 短 ， 留 下
添 冗 余 项 ： A B (正 负 相 对 ,余 全 完 )
= A + B C + B C + B D + B D
添 冗 余 项 ： (正 负 相 对 C D
∴ F = A + B C + B D + C D 3 （ 最 简 与 或 ) G + ） F ) ( 式 E ） 完 D 或 短
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
消 冗 余 项
合 并 项 ：A （ 长 中 含 短 ， 留 下
添 冗 余 项 ： A B ( 正 负 相 对 , 余 全 完 )
= A + B C + B C + B D + B D
添 冗 余 项 ： ( 正 负 相 对 , 余 全 C D
∴ F = A + B C + B D + C D （ 最 简 与 3 ) G 数 + 。 F 子 ( 同 E 因 , 相 D 应
讨 论 :
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
经 过 化 简 得 最 简 与 或 式 :
F 3 = A + B C + B D + C D 项 数 或 者 : 对
F 3 = A + B C + B D + C D
∴ 化 简 结 果 不 唯 一 ) ） 码 码 。 ） D ） 权 雷 法 权 恒 C 格 变 方 B ： ( : e ： 法
§ 2 .3 卡 诺 图 法 ? 图 形 化 简
2 .3 .1 预 备 知 识
码 制 （ 编 码 方 式 ):表 示 二 进 制 数 (代 )码 的
（ 每 一 位 的 “ 1” 代 表 固 定 的 数 值 8 4 2 1 码
恒 权 代 码 ： 5 4 2 1 码编 码 分 类 二 ? 十 进 制 编
（ 常 用 ） 循 环 码 (G ra y co d 变 权 代 码 ： 余 3 循 环 码
（ 每 一 位 的 “ 1” 不 代 表 固 定 的 数 值 1 1 + 1 + 2 2 + + 8 + 4 4 + 1码 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
例 1 二 进 制 数 : 84 十 进 制 数 0 00 1 1 1 1 1 00 数 位 : 2 00 i= 3 2 1 0 3 00 8 4 2 1 码 4 01 5 01 i 3 2 1 0 6 01权 重 :(2 ) 2 2 2 2 7 01 8 10 基 9 10 10 10 11 10 12 11 13 11 14 11 15 11 1 5 2 + 码 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 ) ： 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 a 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 m 1 数 5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 i
例 2 ： 二 ? 十 进 制 编 (B C D 码 ) (B inary C oded D ec 四 位 二 进 制 代 码 表 示 一 位 十 进 制
十 进 制 数 8 4 2 1 码 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 11 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 4+ 1 6 0 11 0 7 0 111 8 1 0 0 0 8 9 1 0 0 1 ： 示
)表
例 :
十 进 制 数 (两 位 ) B C D 码 (8 4 2 1 权 重
9 1 1 0 0 1 0 0 0 1
8 7 1 0 0 0 0 1 1 1
7 0 0 0 0 0 1 1 1 码 y 0 1 1 0 1 0 a 码 量 1 1 1 1 0 0 r 0 0 0 0 : 1 1 G 1 1 1 1 1 1 编 变 。 ） 个 位 同 码 两 一 不
例 3 ： 四 位 循 环 码 (G ra y co d e:格 雷
两 位 循 环 码
十 进 制 数 G ray 码 十 进 制 数 0 1 0 0000 相 邻 11 1 0001 相 邻 2 0011 1 2 3 0010 1 3 相 邻 4 0110 1 4 5 0111 1 5 6 0101 7 0100 特 点 ： 相 邻 相 邻 8 1100 之 间 ， 只 有 9 1101 的 状 态 取 值 )
数 ) 函 简 法 辑
2 .3 .2 卡 诺 图 法 ? 图 形 化 简
卡 诺 图 法 步 骤 :
一 、 布 阵 （ 画 法 规 则 ）三
步 二 、 填 项 (用 卡 诺 图 表 示 逻
曲 三 、 勾 圈 化 简 (用 卡 诺 图 化 则 。 规 元 定 6 单
一 、 布 阵 （ 画 法 规 则 ）
卡 诺 图 :是 与 真 值 表 关 系 相 对 应 ， 按 一
画 出 来 的 方 块 图 。
n = 3 :N = 8 真 n n 个 变 量 :N = 2 项 n = 4 :N = 1 值
表 最 小 项 ： 构 成 逻 辑 函 数 的 基 本
卡 诺 图
小 方 块 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1
1 .N = 2 n 格 （ n ≤ 5 ） : 最 小 项 布 阵 循 环 邻 接 2 .循 环 码 编 排 上 下 封 闭 C D 最 小 项 0 1 0 0 1 1 A B编 号 方 式 一 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 00 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1
相 邻 两 项 ： 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1只 有 一 个 变
量 取 值 不 同 1 0 00 1 0 01 1 0 1 1 0
逻 辑 相 邻 (四 个 ) B
0 D C
1 A 量 量 C
最 小 项 取 值 = 0 反 变 变 量编 号 方 式 二 ： 取 值 = 1 原 变
D C D A B 0 1 0 0 1 1
A B C D 0 0 A B C D
0 1 A B C D A B C D 1 1 A B C D A 1 0 B
15 2 4 0 m 0 1 6 1 1 m m m m
最 小 项 （ 8 4 2 1 按 十 进码 制） 数 编 号 ： m编 号 方 式 三 ： 0 低 位 D C D A B 0 1 0 0 1 1 高 位 0 0 m m m 0 1 3
0 1 m m m 4 5 7
1 1 m m m 12 13 15 A m 8 m 9 m 11 1 0
C 1 .N = 2 n 格 （ n ≤ 5 ） : 最 小 项 布 阵 : 2 .循 环 码 编 排
最 小 项 编 号 方 式 :
1 ) 0 0 0 0 ∼ 1 1 1 1例 :四 变 量 A B C D A B C D 2 ) ∼ 卡 诺 图
3 ) m 0 ∼ m 15 ； ） 项 。 的 入
二 、 填 项
用 卡 诺 图 表 示 逻 辑 函 数
1 .最 小 项 直 接 填 入 ；
填 F = 1 2 .刷 项 （ 填 公 因 子 所 包 含的 项
3 .按 ∑ （ m 0 ,∼ m 15) 编 号 填
按 F = 1 的 与 或 式 填 项 B 入 A B + 填 D 接 C 直 B 0 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
（ C + C ) D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0公 因 子 : A B D 0 1 1 1
1 1 A 1 0
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
刷 项 ： D C D 填 公 因 子 A B 0 1 1 1 0 0 包 含 的 项 0 0
0 1 1 1公 因 子 :
B D 1 1 1 1 A 1 0
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1 1 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
刷 项 ： D C D 填 公 因 子 A B 0 1 1 1 0 0 包 含 的 项 0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 A 1 0 1 1 1
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1 D C D A B 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 A 1 0 1 1 1 ” “ C F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 ;
不 填 者 自 动 为 ; n ≤ 。 i 束
三 、 勾 圈 化 简
用 卡 诺 图 化 简
1 .尽 量 勾 大 ， 2 i个 格 消 i个 变 量
方 2 .至 少 有 一 个 独 立 格 ；法 ：
3 .所 有 “ 1 ” 值 取 过 ， 化 简 结
得 到 最 简 与 或 式 。 B B A + D 0 1 1 C 1 B C
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1 ∴ F (A ,B ,C ,D )= B + D 1消 取 值 不 同 D的 变 量 ： C D A B 0 1 0 0 1 1 A + A = 1
0 0 1 1 1保 留 公 因 子 ：
D 0 1 1 1
保 留 公 因 子 ： 1 1 1 1 B A 1 0 1 1 1
合 理 重 叠 （ “1”可 以 重 复 使 用 ） 。 D D + B B ) ,D
也 可 以 取 F = 0 的 项 化 简 : F (A ,B ,C = ∴ 1
= C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
F 1(A ,B ,C ,D ) = B D B
D 0 1 1 C
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B
填 项 ： D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0
0 1 1
1 1 1 A 1 0 1 1 1
C B
D 0 1 1 C
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B
D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0
0 1 1 1
1 1 1 1 1 A 1 0 1 1 1
F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 。 C B B A
D 0 B 1 A 1
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D +∴ F (A ,B ,C ,D ) = A C + A B + B C + A D 2 D C D A B 0 1 0 0 1 1 勾 圈 化 简 0 0 B C
0 1 1 1 A D 1 1 1 1 1 A冗 余 项 1 0 1 1 1 A C C ∴ F (A ,B ,C ,D ) = A B + B C + A D 2 ， 简
最 0
例 ： 用 公 式 化 简 法 得 到 下 式 ， 问 是 否 若 不 是 请 化 简 之 。
F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C填 项 ： C B C 0 0 0 1 1 1 1 A
0 1 1
1 1 1
B ， 简 最
例 ： 用 公 式 化 简 法 得 到 下 式 ， 问 是 否 若 不 是 请 化 简 之 。
F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C
C B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
1 1 1 0
1 1 1 1
F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 。 B C
0
F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C
勾 圈 化 简 ： A C B C 0 0 0 1 1 1 1 A
1 1 1 0
1 1 1 1
A B ∴ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C 3 B
F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C [ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C ] 3 B C
B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
1 1 1 0
1 1 1 1
∴ F (A ,B ,C ) = A C + B C + A BA C 3 B C 00 01 11 10A
0 1 1 1
1 1 1 1
B C 00 01 11 10A
0 1 1 1
1 1 1 1
说 明 ： 化 简 结 果 不 唯 一 。 ) B ] 5 5 ,1 1 3 ,m ,1 3 1 0 2 1 1 m 1
高 位 低 位
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1[F 4= Σ （ m 0,m 1,m 2,m 5,m 6,m 7,m 8,m 10,m 11,m 12, C D D A B 0 1 1(A ,B ,C ,D ) 0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 1 A
1 0 1 1
C D C C B ) A 5 C A ,1 B 3 A 1
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1 2 , = B D + A B C + A C D + A C D +
D B D C D A B 0 1 1 0 0 0 1 1 A B C 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
A C D 1 1 1 1 1 A 1 1 1 0 1
每 次 勾 圈 时 ， 应 包 含 尽 量 多 的 独 立 格 。 C C
A B
)
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,1 [ = B D + A B C + A C D + A C D + A B C ] = B D + A B C + A B C + A C D + A C D D A C D C D A B 0 1 1 0 0 0 1 1 B D 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
A B C 1 1 1 1 1 A 1 1 1 0 1
A C D C 包 , 应 格 立 余 唯 ， 独 冗 时 不
D C D A B 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 说 明 一 ： 0 1 1 1 1 B 每 次 勾 圈 1 1 1 1 1A 含 尽 量 多 的 1 1 1 0 1 以 避 免 出 现 D C C D 项 。 A B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 说 明 二 ： 1 1
0 1 1 1 1 化 简 结 果 B 1 1 1 1 1 一 。A 1 1 1 1 0
C 。 ; 会 ， 量 ） 项 项 不 态 变 束 值 小 辑 状 最 约 取
四 、 具 有 约 束 的 逻 辑 函 数 的 化 简
约 束 ： 用 来 说 明 逻 辑 函 数 中 ， 对 各 个 逻取 值 所 加 的 限 制 （ 定 义 域 问 题 ） 。
例 ： n 个 变 量 的 2 n种 组 合 中 有 一 些 变 量出 现 (或 不 允 许 出 现 )， 这 些 状 态 对 应 的称 为 约 束 项 （ 任 意 项 、 无 关 项 、 无 所 谓
在 真 值 表 和 卡 诺 图 中 ， 用 ： × 或 Φ 表 示
在 逻 辑 式 中 ,用 Σ d 来 表 示 约 束 项 之 和 。
(d o n ’t ca re) ： 15 取 D ,m , 4 C 1 , 码 ) ： m D , B 编 3 , C 1
十 进 制 数 8421 码 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 例 ： 四 变 量 ⇒ A 7 0111 二 ? 十 进 制 8 1000 9 1001 （ 8421 B 10 1010 11 1011 六 个 约 束 项 12 1100 m 10,m 11,m 12,m 13 1101 14 1110 15 1111 ) ) 4 1 ,1 ,1 1 9 1 , 为 , 8 ) 8 , , 化 4 3 3
例 题 :将 下 列 具 有 约 束 项 的 逻 辑 函 数 最 简 与 或 式 。
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d ( 1
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 ,1 2 + ∑ d (0 ,1,
F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3 ,5 ) 3 处 更 进 得 项 ” 当 0 化 束 时
利 用 约 束 项 进 行 化 简
解 :用 卡 诺 图 法 时 ， 可 以 利 用 约
行 化 简 ： 逻 辑 函 数 的 值 可 以 当 “
理 ， 也 可 以 当 “ 1 ” 处 理 ； 必 要
“ 1 ” 处 理 ,这 样 可 以 使 逻 辑 函 数
简 单 （ 可 以 尽 量 勾 大 ） 。 ) 1 D , C 1 B ,1 8 D , ( B
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d 1
低 位 D高 位 C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0
A D 0 0 1 ×
0 1 1 1
1 1 1 × A
1 0 × × 1
B D C
∴ F (A ,B ,C ,D ) = A D + C D + 1 ) D 1 C ,1 9 B , ) , 4 3 , C 1
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 , 2 + ∑ d (0 ,1 D C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0A D 0 0 × × × 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 A × 1 1 0 × × A C C ∴ F (A ,B ,C ,D ) = C D + A D + A 2 ) × ,5
高 位 低 位
F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3 3
B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
× × 0
1 × 1
C ∴ F = C 3 。 。 具 图 工 形 论 波
小 结 ：
•逻 辑 代 数 ： 数 字 电 路 分 析 和 设 计 的 理
一 、 逻 辑 函 数 的 表 示 方 法 （ 五 种 ） ：
真 值 表 ， 逻 辑 式 ， 卡 诺 图 ， 逻 辑 图 ， 。 理 、 定
二 、 逻 辑 代 数 ：
1 .基 本 运 算 法 则 ： 结 合 律 、 交 换 律
分 配 律 等 ；
2 .几 种 形 式 的 吸 收 律 ；
3 .几 个 定 理 ： 德 • 摩 根 定 理 、 反 演 ； 简 。
三 、 化 简 ： 两 种 方 法
1 . 公 式 法 — 布 尔 代 数 ；
2 . 图 形 法 — 卡 诺 图 (n ≤ 4 ) ：
三 步 ： 布 阵 、 填 项 、 勾 圈 化
具 有 约 束 的 逻 辑 函 数 的 化 简
逻 辑 代 数 运 算 法 则
逻 辑 函 数 的 化 简
卡 诺 图 法 。 算 运 ） 。 辑 律 态 配 原
逻 辑 代 数 运 算 法 则
1 .逻 辑 变 量 只 取 ： 0 、 1 两 种 状依 据 ： 2 .与 、 或 、 非 是 三 种 最 基 本 的 逻
与 普 通 代 数 运 算 法 则 类 似 的 ： 分
律 、 结 合 律 、 交 换 律 等 。
与 普 通 代 数 运 算 法 则 不 同 的 ：
A •A = A A + A = A A = A (还 去 、 , 消 。 取 短 含 短 被 下 中
一 、 几 种 形 式 的 吸 收 律
吸 收 ： 多 余 （ 冗 余 ） 项 ， 多 余 （ 冗 余 ） 因 子掉 ⇒ 被 消 化 了 。 长 项 短 项
1 .原 变 量 的 吸 收 ： A + A B = A
证 明 ： 左 式 = A (1 + B ) || = A 1 长 = 右 式 留 ∴ 原 式 成 立 口 诀 ： 量 变 B ) 原 +
反 ( 原 (反 )变 量
2 . 反 变 量 的 吸 收 ： A + A B = A
添 冗 余 项
证 明 ： 左 式 = A + A B + A B
= A + B (A + A ) || = 右 式 1
长 中 含 反 ,
去 掉 反 。 口 诀 ： , ） C 。 对 项 A ： 完 余 + 相 B 诀 负 全 冗 A 口 = 余 消 正
互 为 反 变 量
3 .混 合 变 量 的 吸 收 ： A B + A C + B C
证 明 ：左 式 = A B + A C + B C
= A B + A C + (A + A )B C
= A B + A C + A B C + A B C 添 加
添 冗 余 因 子
= (A B + A B C ) + (A C + A B C ) （ = A B + A C = 右 式 ) ( 或 ： 式 法 或 非 明 ) （ 的 举 1
二 、 德 • 摩 根 定 理
（ D e • M o rg a n )
( ) 证 A • B = A + B 1
(2 ) 穷 A + B = A • B A • B • C = A + B + C 推 广 到 多 变 量 ： A + B + C = A • B • C
式 (
说 明 ： 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 变 量 的 与 非非 ） 运 算 等 于 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 变 量（ 非 与 ） 运 算 。 ) F 。 ） ) 数 ： 算 法 算 变 函 式 运 加 运 不 反 达 ( 后 反
三 、 反 演 定 理
内 容 ： 将 函 数 式 F 中 所 有 的
• +
+ • 新 表
互 补 变 量 与 常 数 均 取 反 （ 求 显 然 ： F = F 注 意 : (变 换 时 ,原 函 数 运 算 的 先 后 顺 序
1 .运 算 顺 序 ： 先 括 号 ⇒ 再 乘 法 ⇒
2 .不 是 一 个 变 量 上 的 反 号 不 动 。
用 处 ： 实 现 互 补 运 算 （ 求 反 运 算 ） 。 号 括 意
例 1 ： F = A • B + C • D + 0 1
F 1 = A • B + C • D + 0注 意 注 F 1 = (A + B )• (C + D )• 1括 号
∴ F = A C + B C + A D + B D 1
与 或 式 动 动 不 不 号 号 式
例 2 ： F = A + B + C + D + E 2
F 2 = A + B + C + D + E 反
F 2 = A • B • C • D • E 反 = A • (B + C + D + E )
= A • (B + C + D • E )
∴ F = A • B + A • C + A • D • E 2
与 或 ） 。 短 少 项 并 下 最 留 合 去
§ 2 .2 逻 辑 函 数 的 化 简 ? 公 式 化 简 法
乘 积 项 的 项 数 最 少 。最 简 与 或 式 ： 每 个 乘 积 项 中 变 量 个 数
例 题 ：
F1 = A B + B D + A B D + A B C D + A B
= B + B D + A B D + A B C D 吸 收 消
= B + B D （ 长 中 含 短 ，
吸 收 消 去
（ 长 中 含 反 ， 去 掉 反 ）∴ F = B + D 1 （ 最 简 与 或 式 ） G ) F 子 E 项 因 完 余 ） D 全 余 冗 + : 式 F 冗 : G 余 , 或 E F F
F 2 = A D + A D + A B + A C + B D + A C E F + B
A 吸 收 消 去
( 合 并 项 ) （ 长 中 含 短 ， 留 下 短 ）
= A + A C + B D + B E F + D E F G D E D E 吸 收 消 去 吸 收 消 去 ( 正 负 相 对
( 长 中 含 反 , 去 掉 反 )
∴ F = A + C + B D + B E F 2 （ 最 简 与 ) ) +G 完 F ） ( 全 E ） 余 式 D , 短
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
消 冗 余 项
合 并 项 ： A （ 长 中 含 短 ， 留 下
添 冗 余 项 ： A B (正 负 相 对 ,余 全 完 )
= A + B C + B C + B D + B D
添 冗 余 项 ： (正 负 相 对 C D
∴ F = A + B C + B D + C D 3 （ 最 简 与 或 ) G + ） F ) ( 式 E ） 完 D 或 短
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
消 冗 余 项
合 并 项 ：A （ 长 中 含 短 ， 留 下
添 冗 余 项 ： A B ( 正 负 相 对 , 余 全 完 )
= A + B C + B C + B D + B D
添 冗 余 项 ： ( 正 负 相 对 , 余 全 C D
∴ F = A + B C + B D + C D （ 最 简 与 3 ) G 数 + 。 F 子 ( 同 E 因 , 相 D 应
讨 论 :
F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A
经 过 化 简 得 最 简 与 或 式 :
F 3 = A + B C + B D + C D 项 数 或 者 : 对
F 3 = A + B C + B D + C D
∴ 化 简 结 果 不 唯 一 ) ） 码 码 。 ） D ） 权 雷 法 权 恒 C 格 变 方 B ： ( : e ： 法
§ 2 .3 卡 诺 图 法 ? 图 形 化 简
2 .3 .1 预 备 知 识
码 制 （ 编 码 方 式 ):表 示 二 进 制 数 (代 )码 的
（ 每 一 位 的 “ 1” 代 表 固 定 的 数 值 8 4 2 1 码
恒 权 代 码 ： 5 4 2 1 码编 码 分 类 二 ? 十 进 制 编
（ 常 用 ） 循 环 码 (G ra y co d 变 权 代 码 ： 余 3 循 环 码
（ 每 一 位 的 “ 1” 不 代 表 固 定 的 数 值 1 1 + 1 + 2 2 + + 8 + 4 4 + 1码 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
例 1 二 进 制 数 : 84 十 进 制 数 0 00 1 1 1 1 1 00 数 位 : 2 00 i= 3 2 1 0 3 00 8 4 2 1 码 4 01 5 01 i 3 2 1 0 6 01权 重 :(2 ) 2 2 2 2 7 01 8 10 基 9 10 10 10 11 10 12 11 13 11 14 11 15 11 1 5 2 + 码 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 ) ： 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 a 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 m 1 数 5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 i
例 2 ： 二 ? 十 进 制 编 (B C D 码 ) (B inary C oded D ec 四 位 二 进 制 代 码 表 示 一 位 十 进 制
十 进 制 数 8 4 2 1 码 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 11 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 4+ 1 6 0 11 0 7 0 111 8 1 0 0 0 8 9 1 0 0 1 ： 示
)表
例 :
十 进 制 数 (两 位 ) B C D 码 (8 4 2 1 权 重
9 1 1 0 0 1 0 0 0 1
8 7 1 0 0 0 0 1 1 1
7 0 0 0 0 0 1 1 1 码 y 0 1 1 0 1 0 a 码 量 1 1 1 1 0 0 r 0 0 0 0 : 1 1 G 1 1 1 1 1 1 编 变 。 ） 个 位 同 码 两 一 不
例 3 ： 四 位 循 环 码 (G ra y co d e:格 雷
两 位 循 环 码
十 进 制 数 G ray 码 十 进 制 数 0 1 0 0000 相 邻 11 1 0001 相 邻 2 0011 1 2 3 0010 1 3 相 邻 4 0110 1 4 5 0111 1 5 6 0101 7 0100 特 点 ： 相 邻 相 邻 8 1100 之 间 ， 只 有 9 1101 的 状 态 取 值 )
数 ) 函 简 法 辑
2 .3 .2 卡 诺 图 法 ? 图 形 化 简
卡 诺 图 法 步 骤 :
一 、 布 阵 （ 画 法 规 则 ）三
步 二 、 填 项 (用 卡 诺 图 表 示 逻
曲 三 、 勾 圈 化 简 (用 卡 诺 图 化 则 。 规 元 定 6 单
一 、 布 阵 （ 画 法 规 则 ）
卡 诺 图 :是 与 真 值 表 关 系 相 对 应 ， 按 一
画 出 来 的 方 块 图 。
n = 3 :N = 8 真 n n 个 变 量 :N = 2 项 n = 4 :N = 1 值
表 最 小 项 ： 构 成 逻 辑 函 数 的 基 本
卡 诺 图
小 方 块 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1
1 .N = 2 n 格 （ n ≤ 5 ） : 最 小 项 布 阵 循 环 邻 接 2 .循 环 码 编 排 上 下 封 闭 C D 最 小 项 0 1 0 0 1 1 A B编 号 方 式 一 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 00 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1
相 邻 两 项 ： 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1只 有 一 个 变
量 取 值 不 同 1 0 00 1 0 01 1 0 1 1 0
逻 辑 相 邻 (四 个 ) B
0 D C
1 A 量 量 C
最 小 项 取 值 = 0 反 变 变 量编 号 方 式 二 ： 取 值 = 1 原 变
D C D A B 0 1 0 0 1 1
A B C D 0 0 A B C D
0 1 A B C D A B C D 1 1 A B C D A 1 0 B
15 2 4 0 m 0 1 6 1 1 m m m m
最 小 项 （ 8 4 2 1 按 十 进码 制） 数 编 号 ： m编 号 方 式 三 ： 0 低 位 D C D A B 0 1 0 0 1 1 高 位 0 0 m m m 0 1 3
0 1 m m m 4 5 7
1 1 m m m 12 13 15 A m 8 m 9 m 11 1 0
C 1 .N = 2 n 格 （ n ≤ 5 ） : 最 小 项 布 阵 : 2 .循 环 码 编 排
最 小 项 编 号 方 式 :
1 ) 0 0 0 0 ∼ 1 1 1 1例 :四 变 量 A B C D A B C D 2 ) ∼ 卡 诺 图
3 ) m 0 ∼ m 15 ； ） 项 。 的 入
二 、 填 项
用 卡 诺 图 表 示 逻 辑 函 数
1 .最 小 项 直 接 填 入 ；
填 F = 1 2 .刷 项 （ 填 公 因 子 所 包 含的 项
3 .按 ∑ （ m 0 ,∼ m 15) 编 号 填
按 F = 1 的 与 或 式 填 项 B 入 A B + 填 D 接 C 直 B 0 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
（ C + C ) D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0公 因 子 : A B D 0 1 1 1
1 1 A 1 0
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
刷 项 ： D C D 填 公 因 子 A B 0 1 1 1 0 0 包 含 的 项 0 0
0 1 1 1公 因 子 :
B D 1 1 1 1 A 1 0
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1 1 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1
刷 项 ： D C D 填 公 因 子 A B 0 1 1 1 0 0 包 含 的 项 0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 A 1 0 1 1 1
有 重 复 “ 1” 者 ， 只 填 一 个 “ 1” 。 C B A B + D
B 0 1 1
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1 D C D A B 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 A 1 0 1 1 1 ” “ C F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 ;
不 填 者 自 动 为 ; n ≤ 。 i 束
三 、 勾 圈 化 简
用 卡 诺 图 化 简
1 .尽 量 勾 大 ， 2 i个 格 消 i个 变 量
方 2 .至 少 有 一 个 独 立 格 ；法 ：
3 .所 有 “ 1 ” 值 取 过 ， 化 简 结
得 到 最 简 与 或 式 。 B B A + D 0 1 1 C 1 B C
例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A 1 ∴ F (A ,B ,C ,D )= B + D 1消 取 值 不 同 D的 变 量 ： C D A B 0 1 0 0 1 1 A + A = 1
0 0 1 1 1保 留 公 因 子 ：
D 0 1 1 1
保 留 公 因 子 ： 1 1 1 1 B A 1 0 1 1 1
合 理 重 叠 （ “1”可 以 重 复 使 用 ） 。 D D + B B ) ,D
也 可 以 取 F = 0 的 项 化 简 : F (A ,B ,C = ∴ 1
= C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
F 1(A ,B ,C ,D ) = B D B
D 0 1 1 C
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B
填 项 ： D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0
0 1 1
1 1 1 A 1 0 1 1 1
C B
D 0 1 1 C
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B
D C D A B 0 1 0 0 1 1
0 0
0 1 1 1
1 1 1 1 1 A 1 0 1 1 1
F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 。 C B B A
D 0 B 1 A 1
F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D +∴ F (A ,B ,C ,D ) = A C + A B + B C + A D 2 D C D A B 0 1 0 0 1 1 勾 圈 化 简 0 0 B C
0 1 1 1 A D 1 1 1 1 1 A冗 余 项 1 0 1 1 1 A C C ∴ F (A ,B ,C ,D ) = A B + B C + A D 2 ， 简
最 0
例 ： 用 公 式 化 简 法 得 到 下 式 ， 问 是 否 若 不 是 请 化 简 之 。
F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C填 项 ： C B C 0 0 0 1 1 1 1 A
0 1 1
1 1 1
B ， 简 最
例 ： 用 公 式 化 简 法 得 到 下 式 ， 问 是 否 若 不 是 请 化 简 之 。
F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C
C B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
1 1 1 0
1 1 1 1
F = 1 的 项 全 部 填 完 以 后 ,填 项 结 束 。 B C
0
F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C
勾 圈 化 简 ： A C B C 0 0 0 1 1 1 1 A
1 1 1 0
1 1 1 1
A B ∴ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C 3 B
F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C [ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C ] 3 B C
B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
1 1 1 0
1 1 1 1
∴ F (A ,B ,C ) = A C + B C + A BA C 3 B C 00 01 11 10A
0 1 1 1
1 1 1 1
B C 00 01 11 10A
0 1 1 1
1 1 1 1
说 明 ： 化 简 结 果 不 唯 一 。 ) B ] 5 5 ,1 1 3 ,m ,1 3 1 0 2 1 1 m 1
高 位 低 位
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1[F 4= Σ （ m 0,m 1,m 2,m 5,m 6,m 7,m 8,m 10,m 11,m 12, C D D A B 0 1 1(A ,B ,C ,D ) 0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1 1 A
1 0 1 1
C D C C B ) A 5 C A ,1 B 3 A 1
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1 2 , = B D + A B C + A C D + A C D +
D B D C D A B 0 1 1 0 0 0 1 1 A B C 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
A C D 1 1 1 1 1 A 1 1 1 0 1
每 次 勾 圈 时 ， 应 包 含 尽 量 多 的 独 立 格 。 C C
A B
)
F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,1 [ = B D + A B C + A C D + A C D + A B C ] = B D + A B C + A B C + A C D + A C D D A C D C D A B 0 1 1 0 0 0 1 1 B D 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
A B C 1 1 1 1 1 A 1 1 1 0 1
A C D C 包 , 应 格 立 余 唯 ， 独 冗 时 不
D C D A B 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 说 明 一 ： 0 1 1 1 1 B 每 次 勾 圈 1 1 1 1 1A 含 尽 量 多 的 1 1 1 0 1 以 避 免 出 现 D C C D 项 。 A B 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 说 明 二 ： 1 1
0 1 1 1 1 化 简 结 果 B 1 1 1 1 1 一 。A 1 1 1 1 0
C 。 ; 会 ， 量 ） 项 项 不 态 变 束 值 小 辑 状 最 约 取
四 、 具 有 约 束 的 逻 辑 函 数 的 化 简
约 束 ： 用 来 说 明 逻 辑 函 数 中 ， 对 各 个 逻取 值 所 加 的 限 制 （ 定 义 域 问 题 ） 。
例 ： n 个 变 量 的 2 n种 组 合 中 有 一 些 变 量出 现 (或 不 允 许 出 现 )， 这 些 状 态 对 应 的称 为 约 束 项 （ 任 意 项 、 无 关 项 、 无 所 谓
在 真 值 表 和 卡 诺 图 中 ， 用 ： × 或 Φ 表 示
在 逻 辑 式 中 ,用 Σ d 来 表 示 约 束 项 之 和 。
(d o n ’t ca re) ： 15 取 D ,m , 4 C 1 , 码 ) ： m D , B 编 3 , C 1
十 进 制 数 8421 码 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 例 ： 四 变 量 ⇒ A 7 0111 二 ? 十 进 制 8 1000 9 1001 （ 8421 B 10 1010 11 1011 六 个 约 束 项 12 1100 m 10,m 11,m 12,m 13 1101 14 1110 15 1111 ) ) 4 1 ,1 ,1 1 9 1 , 为 , 8 ) 8 , , 化 4 3 3
例 题 :将 下 列 具 有 约 束 项 的 逻 辑 函 数 最 简 与 或 式 。
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d ( 1
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 ,1 2 + ∑ d (0 ,1,
F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3 ,5 ) 3 处 更 进 得 项 ” 当 0 化 束 时
利 用 约 束 项 进 行 化 简
解 :用 卡 诺 图 法 时 ， 可 以 利 用 约
行 化 简 ： 逻 辑 函 数 的 值 可 以 当 “
理 ， 也 可 以 当 “ 1 ” 处 理 ； 必 要
“ 1 ” 处 理 ,这 样 可 以 使 逻 辑 函 数
简 单 （ 可 以 尽 量 勾 大 ） 。 ) 1 D , C 1 B ,1 8 D , ( B
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d 1
低 位 D高 位 C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0
A D 0 0 1 ×
0 1 1 1
1 1 1 × A
1 0 × × 1
B D C
∴ F (A ,B ,C ,D ) = A D + C D + 1 ) D 1 C ,1 9 B , ) , 4 3 , C 1
F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 , 2 + ∑ d (0 ,1 D C D A B 0 1 1 1 1 0 0 0A D 0 0 × × × 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 A × 1 1 0 × × A C C ∴ F (A ,B ,C ,D ) = C D + A D + A 2 ) × ,5
高 位 低 位
F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3 3
B C 0 0 0 1 1 1 1 0 A
× × 0
1 × 1
C ∴ F = C 3 。 。 具 图 工 形 论 波
小 结 ：
•逻 辑 代 数 ： 数 字 电 路 分 析 和 设 计 的 理
一 、 逻 辑 函 数 的 表 示 方 法 （ 五 种 ） ：
真 值 表 ， 逻 辑 式 ， 卡 诺 图 ， 逻 辑 图 ， 。 理 、 定
二 、 逻 辑 代 数 ：
1 .基 本 运 算 法 则 ： 结 合 律 、 交 换 律
分 配 律 等 ；
2 .几 种 形 式 的 吸 收 律 ；
3 .几 个 定 理 ： 德 • 摩 根 定 理 、 反 演 ； 简 。
三 、 化 简 ： 两 种 方 法
1 . 公 式 法 — 布 尔 代 数 ；
2 . 图 形 法 — 卡 诺 图 (n ≤ 4 ) ：
三 步 ： 布 阵 、 填 项 、 勾 圈 化
具 有 约 束 的 逻 辑 函 数 的 化 简
大富翁4代关卡数
“江山代有才人出,各领风骚数百年”作者是谁？
江山代有才人出,各领风骚数百年
初二奥数，分解因式（代定系数发）
初二奥数，分解因式（代定系数法）
初二奥数，分解因式（代定系数法）
江山代有人才出,各领风骚数百年!
完美世界代练级数的方法安全吗?
江山代有才人出，各领风骚数百年。
请问考研数一中高数，线代，概率各占多少分啊，谢谢
高数2包含线代和概率论吗？那高数1呢？
富不过三代?三代通指多少年？有超过这个数的吗？
代可可脂巧克力的热量和同样克数的纯巧克力相比怎样？
江山代有才人出，各领风骚数百年。这句话的作者是谁？
李杜诗篇万口传,至今已觉不新鲜.江山代有人才出,各领风骚数百年.
李杜诗篇万口传 至今已觉不新鲜 江山代有人才出 各领风骚数百年
论诗中是江山代有人才出,各领风骚数百年,赏析一下?
"江山代有才人出,各领风骚数百年"是谁写的?
江山代有才人出，各领风骚数百年。 这句诗含有什么哲理？
江山代有才人出，各领风骚数百年。这句诗所含有什么哲理？
考西安电子科技大 高数应该看哪本啊？线代还有概率呢？
考研数学三 高数 线代 概率统计的占有分直是多少啊？？
“江山代有人才出,个领风骚数百年”用了什么修辞手法？
江山代有才人出，各领风骚数百年。中的风骚怎样解释？