中财网可莱丝clinie nmf:[网友问题]数字问题三题-悠游奥数-搜狐博客
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/05/05 00:50:30
解答：
分类考虑：
1、aaaa型：9个；
2、aabb型：0和1—9有9种组合，每种组合有C(3,2)=3种排列；1—9的两两组合有C(9,2)种，每种组合有C(4,2)=6种排列；所以本类有：9×3＋C（9,2）×6=243个；
3、abcd型：0—9中取4个不同数一组，任意一组至多有2个相同数的组合有30种（每个数出现12次，12×10/4=30），其中含0的组合12种，每种组合可以组成3×3！=18个；其余18种组合，每种有4！=24个；所以，本类有：18×12＋24×18=648个。
所以，全部共有：9＋243＋648=900个。
PS:最初想，两个数位上不同的组合最多有10种，每一种可以任意配上00—99，但考虑到四位数0不能在首位，去掉两位中首位含0的一种，所以最多有9×100=900个。后来又觉得里面有问题否定了，没想到绕了一圈还是回到了900个。
【题目2】若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果。假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个。下面开始做传递糖果的游戏。第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮。经过若干轮直到游戏不能做为止。最后发现恰有两个相邻的同学，其中一人的糖果数是另一人的5倍。则所有同学的人数为多少？游戏前后第一个同学手里糖果数为多少？
解答：
设有n位同学，则每一轮第二位至最后一位各减少一块，而第一位则得到n-1块。当游戏中止时，必定是最后一位同学前一轮结束时手中已无糖果（即为0），最后一次他得到n-1块却要给出n块给第一位时无法进行。因而，“其中一人的糖果数是另一人的5倍”，只能是第一位是最后一位的5倍或第一位是第二位的5倍。
设经过k轮最后一位同学手中无糖果，则到游戏无法进行时，第一位有kn＋n－1块，第二位有n－3块，最后一位有n－1块。
（1）如果第一位是最后一位的5倍，则kn＋n－1=5（n－1），k=4(n－1)/n。因为k是正整数，而n－1与n互质，所以，n=4，k=3。第一位同学原来手里有3＋（4－1）=6块，后来有4×4－1=15块。
（2）如果第一位是第二位的5倍，则kn＋n－1=5（n－3），k=4－14/n。因为k是正整数，所以，n=7或14，相应的k为2或3。
当n=7、k=2时，第一个同学游戏前后的糖果数分别为2＋（7－1）=8块和7×2＋（7－1）=20块；
当n=14、k=3时，第一个同学游戏前后的糖果数分别为3＋（14－1）=16块和14×3＋（14－1）=55块。
【题目3】考查具有如下性质的非零整数：或者是一位数；或者它的各位数字均不相同，且除去最高位的数字，每位数字都和其左边的某个数字之差为1（例如23104）。则有上述性质的数共有多少个？简述你的理由。
解答：
一位数：1、2、3、4、5、6、7、8、9，共9个；
两位数：0—9排序中取连续2个，除01外，各可组成2个（ab、ba），共9×2－1=17个；
三位数：0—9排序中取连续3个，除012外，各可组成4个（abc、bac、bca、cba），共8×4－1=31个；
四位数：0—9排序中取连续4个，除0123外，各可组成8个（abcd、bacd、bcad、bcda、cbad、cbda、cdba、dcba），共7×8－1=55个；
五位数：0—9排序中取连续5个，除01234外，各可组成16个，共6×16－1=95个；
六位数：0—9排序中取连续6个，除012345外，各可组成32个，共5×32－1=159个；
七位数：0—9排序中取连续7个，除0123456外，各可组成16个，共4×64－1=255个；
八位数：0—9排序中取连续8个，除01234567外，各可组成16个，共3×128－1=383个；
九位数：0—9排序中取连续9个，除012345678外，各可组成16个，共2×256－1=511个；
十位数：0—9排序中取连续10个，除0123456789外，各可组成16个，共1×512－1=511个。
所以，全部共有：9＋17＋31＋55＋95＋159＋255＋383＋511＋511=2027个。