歪星撞地球:小学数学中若干科学性问题的探讨（上）

小学数学中若干科学性问题的探讨（上）

数学教育 2011-02-13 08:47:09 阅读38 评论0   字号：大中小 订阅

小学数学中若干科学性问题的探讨（上）

张奠宙

一、“分数”的份数定义需要修改，突出引进“新”数的意义。

许多小学数学教材和教案，都把分数定义为：“把一个整体平均分以后，表示其中一份或几份的数叫分数。”这个定义含混不清，表示“一份或几份”的数，究竟是自然数还是分数？

分数是自然数的扩展，对学生来说，是要认识一种“新”的数。任何“数”都是表示数量大小的。因此，我建议分数的定义中加“大小”两个字，即：将一个整体平均分之后，表示其中一份或几份的“大小”的数，叫做分数。

二、估算的基础是精确计算，没有精确度的估算是“胡算”

小学不要过分强调估算。精确计算是基础，估算只是辅助。从数学上看，估算必须有精确度的标准。没有精确度的估算是胡算、瞎算。

小学的估算不可能正面谈近似计算，也不宜提精确度。那么应该如何处理呢？答案是：我们不可以笼统地、一般地谈估算，只能学习几种具体的估算方法，如四舍五入、截尾法、进位法等。具体的方法里已经有精确度的要求。

此外，对一张上海南京路照片上密密麻麻淡然人头数目进行估计，乃是“估数”。这和前面“在算法上简化”的估算不是一回事。

三、统计是新内容，许多教材内容不科学

首先，关于数据的收集上有许多不确切的表述。现在强调联系学生的日常生活，教材要求学生做许多调查，收集数据，这是好事。但是出现的问题也不少。如：统计班级同学睡眠时间（学生不知道自己每天的准确睡眠时间，往往随便说。）统计去年过年收的贺卡数（学生根本没记录，即使记录了数据也早忘了，只能是胡编造数据。而且统计贺卡多少有何意义？是越多越好吗？）某地绿化亩数增加，于是降雨量增加（这样的数据之间是否存在着因果关系？难以判明。）

四、大数的进率和数的读法，需要顾及国际化

我国处理大数是四位一级制。这是中华民族的习惯，当然要学习。但是国际上通用的是三位一级制。我们的导向是和国际接轨，不放少量地介绍一下国际上三位一级制。这对英文教学也是一个数学上的铺垫。此外，在大数的读法上，也不能强求汉语的唯一读法。例如2010年，不必一定要读两千零一十年，直接读数字反而是常用的。

五、小数教学的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“十分之几”的表述

日常生活中小数比分数有用。学生离开学校后，如果只是简单地在社会上从事工作和生活，几乎可以不接触分数，却时时不能离开小数。元、角、分的货币自不必说老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。

小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于分数的理解。小学教育界的流行观点是“小学数学要给予分数教学，否则是科学性错误”，未免耸人听闻。

确实，小数乃是一种特殊的分数。理论上先出分数，再叙述其特殊情形——小数，从一般到特殊，在逻辑上有一定道理。但在教学安排上却未必都从一般出发。事实上，我们也可以从特殊推广到一般，正如先有自然数，在逐步推广到分数、实数一样。在实际教学中，小数因其具体而易学，分数则因抽象而难以把握。因为小数有其独立的价值体系，所以可以独立于分数教学而存在。

小数的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“”十分之几的表述。也就是说，小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向进行“不断缩小”的计数方式加以延伸：即增加了十分位、百分位等新位置的设置，使之成为更完善的一种位置计数制度。小数的教学，可以抓住这一总的线索展开。不要什么都回到分数意义上理解。

六、什么是代数？只说字母代数是不够的。什么是方程？“含有未知数的等式叫方程”的定义要淡化。

代数学的原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消？大家知道有正负对消，就是解方程时所谓的移项。还原，就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目。所以方程式是和代数紧密联系的。

简单用字母代表数，还不是代数。例如加法交换律写为a+b=b+a，虽然也用字母代表数却和代数思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为x这样的做法，只是运用代数方法的第一步。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，是算术与代数的根本区别。

“含有未知数的等式叫方程”，大家都把他当做方程的定义，以为非常正确。其实，这是一个不大好、也不重要的表述。把他过分地渲染，就会问“x=1是不是方程” “0×x=0，x-x=0，a+b=b+a是不是方程”等这样的怪问题。其实这句话只谈了方程的表面，实在不重要。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。这样讲，就把“方程”说活了。这好比要结识“朋友”，就得通过别人介绍，借助中介关系，如此而已。

现在，既然方程的本意就是要求未知数，如果x=1，未知数已经出来了，也就没有方程的问题了。0×x=0，x-x=0，a+b=b+a等，虽然有字母，但和求未知数的目标无关，因而和方程只是没有关系。

七、问题解决与应用题的教学

在新课程改革中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题，这在逻辑上说不通。事实上，数学问题分为两类：一类是纯数学问题，像哥德巴赫猜想等；另一类称为应用题，是各行各业提出来的数学问题。问题和应用题是严格的包含关系，不能用问题取代应用题。

应用题是客观存在的，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的、远离现实的、使学生得不到什么教育的应用题。新的应用题，其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。应用题可以改进，却不宜取消。

数学应用题的本质是数学建模。把一个用文字叙述的复杂情境里的数量关系，用数学符号加以描述，并通过式的运算，得出满足问题条件的答案，这和高等数学中的数学建模程序大体相同。因此，我们要用数学建模的思想改造应用题教学，而不是取消。

长期以来，为了强调某种关系的理解，我们常常强化某种类型的解题方法。如行程问题、工程问题等，弄得非常复杂，一直是小学数学教学的难点，也一直为大家所诟病。近年，则索性一刀切砍掉，全盘否定。

不过进行这样的分类是正确现象。在微积分课程里要讨论瞬时速度问题、切线问题、曲线梯形问题，微分方程课程里有热传导方程、电磁波方程、等周问题、投影问题、掷骰子问题等，将一类情景中发生的问题给予特殊的名称，未尝不可。但是，作为一个研究领域来说，上述的问题都只是一个名称，未尝不可。但是作为一个研究领域来说，便于称呼而已，并非一个数学领域。比如行程问题，尽管题目花样翻新，也可以出的很难，但总不过是s=vt这样的数量关系的各种不同的变式。宏观地看，没有单独设立一个数学课题的必要。

无论如何，以下的7种类型是应该正面提出的，让学生认真学习的。

行程问题：路程=速度×时间

工程问题：工作量=工作时间×工作效率

价格问题：总价=单价×数量

利息问题：利息=本金×利率

利润问题：利润=成本×利润率

折扣问题：金额=价格×折扣率

百分数问题：数量=总量×百分比

其中涉及的利息、利润、速度、效率等概念，是生活需要的常识，又是语文、社会等其它学科不会详细涉及的。它们并非数学问题，却是小学数学应用题教学的任务，责无旁贷。

八、小学几何有哪些新增的内容

新课程在“图形与几何”的领域多了一些新的内容。为什么要增加？几何学的内容很丰富。首先是直观几何学，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在新课标以前，小学数学主要包括这两部分内容。

后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想是非常简单的、非常朴实而又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容：第一演绎几何，比如垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴；第二是运动几何的平移、旋转和对称；第三是引进了坐标。总体看来，现在小学数学里的几何学，从高哟取得两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野和感受，是十分有意义的改革。

小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。因为我们每个人所处的世界的事物都是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的，因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课标通过照相机从“不同角度拍照片“，通过三视图科学描述简单对象，都是如此。

这里强调一下运动几何的诠释。小学里原来就有图形的运动。例如，求平行四边形的面积，要通过三角形的运动拼成矩形，这就是平移运动。面积是平移运动下的不变量。那么为什么在知道了平移和旋转之后，还要谈轴对称变化呢？

可以从数学上思考这三者原始的价值。我们分几步考虑；（1）从一点到另一点的运动，只要知道方向和距离，用平移就能实现。（2）如果是两条一样长的有方向线段，如火柴棒，先将一根移动过去，使得火柴头和火柴头重合，但是火柴尾不一定重合，还得转一转才行。（3）如果是两个一模一样好的三角形ABC和A?B?C?，如何看它们的运动过程呢？首先，平移运动使得A和A?重合，然后转动，使得AB和A?B?重合。这时两个三角形可能已经重合了，但也可能不重合，还需要反射一下才行。因此，我们在平面上通过运动定义两个图形重合，需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。这三种变换及其合成，称之为“刚体运动”。

九、小学里渗透平面坐标思想要“源于定位，但高于定位”

这时坐标几何学的内容。新的数学课程标准，在小学里就引入了平面直角坐标系，不过只有第一象限，也只有整数坐标。那么小学数学的学习为什么要渗透平面坐标思想？很多的教案都认为，坐标的核心思想就是确定位置，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。

小学数学中引入坐标系，学习的重点和难点是坐标系的建立，尤其是坐标原点的设置。许多教案从电影院找座位引入，当然可以，问题就在于这时的电影院排座位的坐标在哪里？第一排第一座是原点吗？可是我们还有0排0座怎么办？电影院若用单双号方法排座位，就无法设原点，也够不成熟学意义上的坐标轴。其实，还是把教室中座位排紧，可以构成符合坐标系要求的座位图。我们不妨设左上角为原点：0排0座。其它座位就都有（自然数排列）坐标了。如果将它定为第一排第一座，那就需要假想虚拟的原点和坐标轴。

小学的坐标教学，既要基于“定位”，又要高于“定位”。用坐标来表示数学对象，才是我们的目标。例如，观察“两个坐标都一样点”“第一个坐标为1的点”等，他们都能表示一条直线。有些小学教材，就注意到用坐标来表示几何图形。比如，将只有第一象限、整数坐标的坐标系看作动物园所在地，已知熊猫馆是一个矩形，我们给出了其中三个坐标，让小学生确定第四点的坐标，就是凸显坐标的价值的好题。

(摘自《小学教学》2011.01期)