井冈山十大著名景点:推 理 新 论 汤光霖 著

推 理 新 论

汤光霖 著

前    言

本书名为推理新论，新论是指下列两个问题而言：一是从数学证明中揭示出非演绎推理，这是与演绎推理及归纳法不同的另一种新的推理；一是对演绎推理传统表述进行剖析，从而一方面找到了非演绎推理存在的理论根据，一方面对演绎推理传统表述作了澄清，使澄清后的传统表述与演绎推理在数理逻辑中的确切表述相一致。全书以上述两个问题为中心进行论证，最后得出三个结论。另外，还有一节讨论非演绎推理方法在非数学领域中如何应用。

由于本书讨论的是推理，它的适用范围是广泛的。因此，虽然数学只用了三个微积分定理，但阅读本书可能存在三种情况。第一，凡是学过微积分中有关连续函数几个定理的证明，阅读本书将是很容易的；第二，学过微积分，但没有学过上述定理的证明，请先参阅本书附录I的补充资料，应该可顺利阅读；第三，没有学过微积分，建议阅读时略去3、4两节，或只读1、5、10及12四节，重点是5、10两节。

出书目的是为了进行交流，因为本书是从讨论数学推理推广到一般推理，我们知道，推理不仅是数学所必需，也是自然科学、社会科学等诸多学科所必需；特别是希望本书对准科学工作者、即正在学习各种科学的同学们，能在基本理论素养方面有点滴之助，即对推理应有较清楚的理解。

目录

1.  引论

2.  演绎推理

3.  非演绎推理

4.  再论非演绎推理

5.  非演绎推理方法

6.  揭示出非演绎推理的意义

7.  对演绎推理传统表述的剖析

8.  演绎推理的确切表述与另一个判断标准

9.  结论

10. 非演绎推理方法在非数学领域中如何应用

11. 附录Ⅰ：补充资料

12. 附录Ⅱ：本书摘要

1. 引  论

数学证明中的推理属于演绎推理，是数学工作者公认的，作者是数学教师，也一直这样认为，因为这是数学传统。但经过较长时间的反复思考，似乎发现在数学证明中存在既不是演绎推理更不是归纳法的推理，遂把这种推理称为从数学证明中揭示出的非演绎推理，简称非演绎推理。应该说一下，形式逻辑中有“非演绎推理”说法，它主要是指归纳法；亦即归纳法是非演绎推理，但一般并不把归纳法称作非演绎推理。因此，以上简称不致引起混淆。在本书中列举了多个非演绎推理的例证，并总结出它的推导、判断以及表达形式等方法，总称非演绎推理方法。由于非演绎推理的例证及有关的论述并不难判断，因此，可以肯定所提出的非演绎推理及其方法是正确的。这部分内容集中在本书3、4、5三节。揭示非演绎推理的意义在第6节作了说明。

在7、8两节对演绎推理的传统表述进行了剖析，一方面找到了非演绎推理存在的理论根据，另一方面使澄清后的演绎推理传统表述与数理逻辑中关于演绎推理的确切表述相一致。

本书第2节演绎推理是结合数学写的，例如将演绎推理概念在数学中具体化的说法，寻找演绎推理前提的“前提分析”提法，明确表述逻辑推导概念，以通俗方式介绍了哥德尔完备性定理并着重阐明其对演绎推理的重要意义。另外，强调演绎推理必定遵循某个演绎推理规则，而且这是一个推理是否为演绎推理的判断标准；换言之，判断一个推理是否为演绎推理是有标准的，不能根据传统推理习惯说是或不是。明确了这一点，才能区分出上面提出的非演绎推理。

非演绎推理不仅为数学所必需，也应为自然科学、社会科学等诸多学科所必需。因此，为了方便阅读，仅选择了一个初等代数及三个微积分定理作为例证进行讨论。另外，用到了一点逻辑，并同时作了说明，不假定阅读本书需要先有逻辑知识。

由于上述原因，本书数学起点是很低的；虽然如此，这不应影响对下列事实的认可：即非演绎推理揭示出了在数学证明中原本存在但却尚未认知的一种基本推理，并且它还可能是一种新的认识世界的基本推理；我们知道，演绎推理与归纳法是公认的两种认识世界的基本推理。

除了在本书第3节末段讲非演绎推理与归纳法的异同等几处外，由于没有新的见解，本书没有专门讨论归纳法。

水平有限，不妥之处难免，敬请批评指正！

2. 演绎推理

结合数学对数学证明中的演绎推理进行全面思考、系统阐述，可能还是有意义的。

    简单地说，演绎推理就是从前提通过推导得出结论。演绎推理的作用在于从已知的知识得到未知的知识。为了适应数学中的演绎推理形式的要求，说法可以具体一些，例如把演绎推理表达为：从前提为已知的真命题及定理（一个或几个）推出新的真命题作为结论^①，或从前提为已知定理（一个或几个）推出新的定理作为结论等形式。演绎推理的特点是：如果前提都真，则结论必真。由构成前提的真命题及定理必须能推出结论；换言之，不是任意的真命题及定理都能构成演绎推理的前提。在数学证明中，演绎推理的前提，即真命题及定理是从哪里来的呢？特别是从前提如何推出结论呢？推出结论又将如何呢？还有一些其他问题，这些问题将在后面详细论证或说明。

    讨论演绎推理必须了解数理逻辑在研究演绎推理方面所获得的非常重要的成果，因为它对演绎推理有特别重要的意义。

数理逻辑基础是研究其中的形式推理从而研究非形式的演绎推理。根据数理逻辑中的哥德尔完备性定理，凡是演绎推理中成立的前提与结论之间的关系，以及其遵循的演绎推理规则，在数理逻辑形式推理中都能反映^{[1]（P.300，P.336）}。   

在理论工作中的演绎推理，例如数学证明中的演绎推理，必遵循一个演绎推理规则。在下面，我们举几个演绎推理规则例子并看看它们在命题逻辑自然推理系统^{[1]（PP.1-228）}中的反映。

例如有演绎推理规则：设A则B；若非B真，则非A亦真。其在命题逻辑自然推理系统中的反映是形式定理

                    A→B┠ ┑B→┑A

其中符号“┠ ”表示在数理逻辑自然推理系统的形式推理规则（有若干条，相当于公理）下，由符号┠ 左边的合式公式序列，推导出符号┠ 右边的合式公式，这就是形式推理。

形式推理过程就是形式证明。形式证明可这样理解：亦即将演绎推理的前提与结论经符号化之后，两者之间的演绎推理关系在数理逻辑的公理化系统中可用形式推理来证明。应当注意，这里所说的“形式证明”与演绎推理的“从前提推出结论”是不同概念的两个方面，前者是说演绎推理在数理逻辑中有形式证明；后者是说在传统逻辑范畴内，演绎推理如何从前提推出结论的非形式的推导方法，这是以下要详细讨论的问题。

又如在一个重要定理的证明中演绎推理遵循如下演绎推理规则：设A则B且设非A则非C；那么设C真，则B真。其在命题逻辑自然推理系统中的反映是形式定理

A→B, ┑A→┑C┠ C→B

又如最常用的演绎推理规则：如果“设A则B”真及A真，则B真。其在命题逻辑自然推理系统中的反映是形式推理规则

A→B, A┠ B

本公式为命题逻辑自然推理系统中的形式推理规则（相当于公理）之一，不是形式定理。另外，为了说明方便，未涉及谓词逻辑，所举例子都属命题逻辑。

这个最常用的演绎推理规则比较简单，当“设A则B”是已知定理时，只要提供命题A，立即可推得结论B。在数学中有很多定理证明的演绎推理遵循这个推理规则。例如在平面几何中常用如下推理

                ∵

∴         （根据某某定理）

这是平面几何中的传统推理方式，便遵循这个最常用的演绎推理规则。

简言之，数学定理证明中每进行一次演绎推理，都遵循着一个演绎推理规则；尽管演绎推理是按数学中固有的传统推理方式进行的，进行演绎推理时并不提所遵循的演绎推理规则。同时还应注意到，在数理逻辑中有一个自然推理系统的形式定理或形式推理规则反映这个演绎推理及其遵循的演绎推理规则。

演绎推理是从前提通过推导得出结论。那么前提是从哪里来的呢？数学证明中的艰苦探索往往正是为了寻求演绎推理的前提。探索是探路子找线索，从而进一步分析问题解决问题。当探索的对象是演绎推理前提时，那么相应的分析可叫做演绎推理的前提分析，因为此时要通过分析来找出构成前提的真命题及定理。因此，演绎推理的前提是由前提分析产生的，前提分析是演绎推理前的关键准备步骤，是定理证明的重要论证过程。现在需要着重说明的是如何进行分析。例如，要针对定理给出什么样的条件、应该想出什么方法、涉及到哪些定义、有什么样的几何性质及图形、问题中存在哪些事实以及与已知知识之间有什么样的联系等等情况进行具体分析。完成前提分析后有了前提，通过推导得到结论，如果此结论就是所要证明的定理结论，于是定理证毕；否则，还要接着分析演绎推理所得结论，这可叫做结论分析。结论分析有时又蕴涵着新一轮的前提分析及相应的演绎推理。

下面举一个关于前提分析与结论分析的例。在微积分中关于薄莱尔预备定理^②的证明中一开始“考察区间[a,b]内具有那种性质的点x*，使得区间[a,x*]能用有穷个开区间σ来遮盖。……例如点a位于某一个开区间σ内，则一切接近于它的点就都含在这σ内，因此，就都成为点x^* ” ^{[2]（P.174）}。“因为一切x*≦b”。于是就得到一个真命题A：点集{x*}是囿于上的，由此便联想到已知的上确界定理。以上就是产生前提的前提分析。在这个前提分析中，差不多考虑了上面所列举的各种具体情况。于是从前提：上确界定理（即“设A则B”）及A，就可推得结论B：“sup{x*}= c≦b”。显然，这里的演绎推理是遵循前面所说的最常用的演绎推理规则。到此为止定理并未证明完毕，所以对结论B还要接着分析,还需证明“c也属于点x*之列”，从而能用有穷个开区间遮盖[a,c]，并且还要证明b=c，于是定理证毕。

现在举例从一个侧面、即从演绎推理的前提分析角度，说明某些定理的证明为什么难。有各式各样的演绎推理规则，遵循这些推理规则的演绎推理的前提当然也是各式各样的，因此相应的前提分析也是不同的。在遵循最常用的演绎推理规则的演绎推理的前提中当“设A则B”为已知时，前提分析只要提供命题A即可，例如薄莱尔预备定理证明中的演绎推理前的前提分析就是如此；但是当“设A则B”为未知时，还要证明“设A则B”为真，于是前提分析的任务就大大地增加了，也就是定理证明的难度大大地增大了。而在前面的第八段提到的重要定理中，演绎推理遵循的演绎推理规则的前提包括“设A则B”、“设非A则非C”及“C”^③，于是在证明该定理时，演绎推理的前提便由此三部分构成，当然此时A、B、及C都是特定的具体命题，每一部分都要证明而且又都比较困难，由此可知这里的演绎推理前的前提分析是多么困难；更何况——这当然是估计，在证明之前不会考虑、也根本不知道演绎推理将遵循什么样的演绎推理规则，也就是说在证明之前对要探索的演绎推理的前提是什么形式一无所知，因此定理的证明是很难的。

演绎推理是如何从前提推出结论呢？主要方法就是“逻辑推导”。但数学证明中的逻辑推导并不正规，通常是按已经习惯的传统推导方式进行的。

先谈谈逻辑推导。我们还是以所说的重要定理为例。在该定理中，演绎推理前的前提分析为：找到特定的命题A、B、C，提出并逐一证明“设A则B”、“设非A则非C”及“C”为真。由此可知演绎推理的前提由“设A则B”、“设非A则非C”及“C”构成，于是通过逻辑推导得到结论B。所谓逻辑推导是指根据（传统）逻辑的基本定律：同一律（即“A是A”）、矛盾律（即“A与非A不能同为真”）及排中律（即“A与非A必有一个为真”），以及逻辑联结词（即“非”、“与”、“或”、“如果，则”、“等价”）概念；另外，考虑到数学思维特点，再加上充分条件概念及必要条件概念，进行推导。具体推导为：因为C真，所以非C假（根据矛盾律）；因为非C假，所以非A假（由于在定理“设非A则非C”中，非C是非A的必要条件）；因为非A假，所以A真（根据排中律）；因为A真，所以B真（由于在定理“设A则B”中，A是B的充分条件），从而获得结论。关于上述的逻辑推导还需作一点补充说明。如果演绎推理中成立的前提与结论之间的关系，能为谓词逻辑的形式定理所反映，则从前提到结论的推导比较复杂，一般言之，可考虑化为逻辑推导来处理。根据数理逻辑中的可靠性定理^{[1]（P.300，P.321）}，我们可以设想以形式推理代替非形式的推导：当前提具有可能的结论而找不到有效的非形式的推导时，可考虑将前提符号化为合式公式序列，可能的结论也符号化为合式公式。如果在逻辑演算中有既成的形式定理反映它们之间有前提与结论的关系，或用形式推理由前提的合式公式序列推出可能的结论的合式公式，则可能的结论即成为前提的真正结论。或者，就已符号化的前提及其可能的结论，对命题逻辑而言，给其中命题赋以真（t）、假（f）值，只要当前提为真时，可能的结论也真，则可能的结论也即为前提的真正结论。 上面的演绎推理前的前提分析也可改为：对于特定的命题A、B、C，提出并逐一证明“设A则B”及“设非A则非C”，这时演绎推理的结论则为“设C则B”。于是可把逻辑推导改由“设C为真”开始，再根据新的前提便可推得B，从而获得结论。

所说的“传统推导方式”具有两个特点。第一，演绎推理前有一个产生前提的前提分析过程。为了着重说明完成前提分析后便提供了前提，在所举演绎推理例子中，有“演绎推理的前提由……构成”或类似说法，这在数学定理证明中是少有的，是不必要的重复，在此特作说明。前提分析是定理证明的重要论证过程，例如薄莱尔预备定理中的演绎推理的前提分析，这是比较简单的情况；或是定理证明的主要论证过程、甚至几乎是全部论证过程，例如所说重要定理的演绎推理的前提分析，因为这里的演绎推理是在该定理证明的最后，演绎推理的结论就是定理的结论。第二，一般言之，逻辑推导是从前提到结论的有效推导形式，当然是必需的，但显然是简易的，因此在定理证明的论证过程中常常被省略，或只是简单地提一下。例如在上述重要定理证明的推导中，仅说了一句：如果 C真，则A真。重要的是把推得的结论表达出来。简而言之，演绎推理在数学证明中的传统推导方式为：关键在于完成前提分析，逻辑推导常被省略或简单地提一下，最后得出结论。

最后谈谈前面多次提到的演绎推理规则。演绎推理从其前提推出结论的步骤与其遵循的演绎推理规则中的逻辑推导完全相同。演绎推理不是应用与其遵循的演绎推理规则进行的——实际上，这样的规则在进行演绎推理时一般言之尚不知道，但是由已完成的演绎推理可立即知道这样的规则。特定的演绎推理与其遵循的演绎推理规则是特殊与一般的关系。演绎推理规则属（传统）逻辑范畴。数学中的演绎推理有时可给逻辑提出新的推理规则，上面所说的重要定理中的演绎推理可能就是一例。根据哥德尔完备性定理，演绎推理及其遵循的演绎推理规则在数理逻辑基础的逻辑演算中有形式定理反映；反之，根据可靠性定理，每一形式定理所反映的前提与结论之间的关系也是（传统）逻辑中的演绎推理规则。于是，演绎推理是否成立便有了判断标准：即在逻辑演算中是否有一个形式定理来反映它，同时，也必有一个相应的演绎推理规则对应它。

关于演绎推理概念及演绎推理必遵循某个演绎推理规则问题将在后面进一步讨论。

3. 非演绎推理

  根据中国大百科全书哲学卷中的“推理”条，推理是“从若干命题（前提）直接得出一个命题（结论）的思维过程”。“推理可分为演绎推理与非演绎推理两类” ^{[3]（P.884）}。非演绎推理按传统意义主要是指归纳法，但在本文中把它定义为：不是演绎推理的推理，它当然包括归纳法，但已超越传统意义的非演绎推理，超越传统意义的那部分，就是从数学证明中揭示出的非演绎推理，简称非演绎推理。特别说明：本文以下的非演绎推理都是指这个简称。还是以薄莱尔预备定理为例，在它的证明中有下面两段非演绎推理。

一．            证明“c也属于点x*之列 ”。

           命题序列

1. c位于某一σ_o 之内。               

2. 在c之左且在σ_o之内有x*存在。

3. 在∑中存在有穷个开区间σ_1、σ_2、……σ_n遮盖[a, x*]。

4. 此有穷个σ_1、σ_2、……σ_n、σ_o便遮盖

[a, c]。

         对应命题成立的原因

1.c∈[a, b]，并根据定理的条件，这是演绎推理的结论。

2. sup{ x*}=c，并根据上确界的性质，是演绎推理的结论。

3. 根据x*的定义，是演绎推理的结论。

4. x*及c均在σ₀之内。

  根据x*的定义，因此c属于x*之列。这是演绎推理的结果。命题4是根据x*的定义进行演绎推理的前提。

这个命题序列所表达的推理是根据命题1、2、3的内容之间的联系进行分析得到命题4，由前提得到结论并不遵循任何形式的演绎推理规则，因此不是演绎推理，而是非演绎推理。

将（一）中的命题1、2、3、4表作A、B、C、D。于是命题序列所表示的推理的前提由A、B、C构成，结论为命题D。因为结论中唯一的命题D不在前提中出现，故当A、B、C都为真时，并不能用逻辑方法（包括逻辑推导等）推出D为真；由于同样的原因，也不可能存在某个演绎推理规则，其前提是以A、B、C与逻辑联结词组成的任何命题A₁、A₂ …A_n;当前提为真时，可用逻辑方法推出D为真。因此，可以断定由命题1、2、3推出命题4并不遵循任何形式的演绎推理规则。对以上论述，应特别注意的是：这里的A、B、C、D都是原子命题，即它们都是表达可判断真、假的句子且不包含逻辑联结词，而不是数理逻辑中所说的“合式公式”或“任何命题”^④。类似问题以下不再重复说明。

     对应命题成立的原因

1.因c≤b，又设c≠b。

2.c∈[a,b],并根据定理的条件，

  是演绎推理的结论。

3.σ₀∩(c,b]不空。

4.c属于点x*之列，根据x*定义，

   是演绎推理的结论。

5.c与x均在σ₀之内。

        命题序列

已知sup{ x*}=c≤b。设b≠c，

1. c

2. c位于某一σ₀ 之内。                  

3. 在c之右且在σ₀∩（c,b]之内取一点x。  

4. 存在有穷个开区间σ_1、σ_2、……σ_n遮盖[a,c]。         

5. 此有穷个σ_1、σ_2、……σ_n、σ₀便遮盖[a,x]。 

根据x*的定义，所以x也属于x*之列。这是演绎推理的结论。命题5是这个演绎推理的前提。由于x > c，根据上确界定义，c不是点集{ x*}的上确界。从而产生矛盾，因此，b≠c不成立，所以b = c。

这个命题序列所表达的推理是根据命题2、3、4的内容之间的联系进行分析得到命题5，由前提得到结论并不遵循任何形式的演绎推理规则，因此这个推理不是演绎推理，而是非演绎推理。

（一．）的第4个命题是前面第1、2、3个命题的直接结论；（二.）的第5个命题是前面第1、2、3、4个命题的直接结论。由若干命题作为前提直接得出一个命题成为结论，这就是推理，但它们从前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则，因此它们不是演绎推理，故为非演绎推理。由于非演绎推理与定理条件及证明方法等具体情况密切结合，因此在非演绎推理之中常常显示出推导的艰难、推导的技巧及推导的水平。在上面将证明分成两列,目的仅仅是为了可以更清楚地看出非演绎推理的形式。

非演绎推理的作用同样在于从已知的知识得到未知的知识。它的使用方式大致可分为三种：一是作为定理的全部证明，一般用于较简单的定理证明中；一是作为演绎推理的前提分析，为演绎推理提供前提，这是最常见的一种；一是作为演绎推理的结论分析，或对定理证明中需要的某个命题证明其为真。（一.）中的非演绎推理是对薄莱尔预备定理证明中的演绎推理的结论进行分析，也为其下一步演绎推理提供前提。为了说明（二.）中的非演绎推理的使用方式，需要对反证法作点说明。反证法可表达为：欲证命题A真，先假设非A真，从而推出非B真；而B是一个已知的真命题，从而得出矛盾，则必A真。显然，反证法是下列演绎推理在数学证明中的传统推导方式，其前提由“设非A真，则非B真”及真命题B二者构成，推导用到矛盾律及排中律，结论是A真。在（二.）中A是“b = c”，B是“c是点集{x^*}的上确界” ，因此（二.）中的非演绎推理是“设非A真，则非B真”的证明的主要部分，也就是该演绎推理的前提分析。由上述两例可知，非演绎推理为演绎推理提供前提，也就是说，演绎推理有时需要非演绎推理的支持。

演绎推理与非演绎推理有共同之处也有不同之处。共同之处在于：第一，二者都是从前提推出结论；第二，非演绎推理与演绎推理只要前提都真，则结论必真；第三，二者的作用相同，都是从已知的知识得到未知的知识；第四，二者都有一个前提分析过程。不同之处在于：第一，演绎推理从前提到结论之间的推导用的是逻辑推导；而非演绎推理的推导是根据命题的内容之间的联系进行分析。推理的严格性，对演绎推理而言，体现在逻辑推导中；对非演绎推理而言，体现在命题内容之间联系的分析中。第二，演绎推理的前提与结论之间的关系必然为数理逻辑的逻辑演算中的形式定理所反映，而非演绎推理的相应关系则不能；第三，演绎推理必遵循一个演绎推理规则，而非演绎推理则不遵循任何形式的演绎推理规则。

归纳法的特点是从特殊的前提推出一般的结论，而且结论带有或然性；而非演绎推理（指从数学证明中揭示出的非演绎推理）当前提为真时，结论必真，也不存在由特殊到一般的问题。二者的主要共同点是都不遵循任何形式的演绎推理规则。

4.再论“非演绎推理”

在前文中，关于非演绎推理只举了两个简单例子作为例证，显然是不够的；另外对非演绎推理还需作进一步探讨，故有再论的必要。

下面是从数学书中摘录三个例子对它们逐一分析，然后进行综合分析，从而对非演绎推理作出进一步的论证，并总结出非演绎推理方法。

例1. 下面从张景中著《数学与哲学》的P.141摘录一个例：

“中学里学了恒等式。下面的等式

                (x-1)² = x²-2x+1               (10.1)    

就是一个恒等式。

用x=1代入，两边都得0；x=2，两边都得1；x=3，两边都得4。

这样举了三个例子之后，能不能肯定（10.1）是恒等式呢？

恒等式恒等式，要求x 取所有数值时两边都相等。才验证了三个x的值，怎么能断定它一定恒等呢？

其实，这三个实例已经证明了（10.1）是恒等式。道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次或一次方程，这种方程不可能有三个根。现在x=1，2，3都是‘根’，说明它不是方程而是恒等式。

在这个具体问题上，演绎推理支持了归纳推理。我们用数学上承认的演绎法证明了归纳法的有效性。”

这是一个简单但却有重要意义的例子。现在把它改写并分析如下。

   （10.1）显然是恒等式。为了说明初等几何机器证明中代数恒等式的检验问题，作为检验方法，需要用演绎推理证明它是恒等式。在原文简短的论证中，不但有演绎推理、归纳推理，而且还有非演绎推理。

兹令命题

“（10.1）为二（或一）次方程”表作A，

“（10.1）有两（或一）个根”表作B。

于是有：设A，则B。

先为演绎推理的前提找一个真命题。

命题序列

1.       1满足（10.1）。

2.       2满足（10.1）。

3.       3满足（10.1）。

4.       有三个数满足（10.1）。

5.       “非B”为真。

‘“非B”为真’即为要找的真命题。

演绎推理

前提为：“设A，则B”及“非B”为真。推理如下：既然“非B”为真，则B假，由于B假，于是A假；根据排中律则得“非A”真，即（10.1）不是一次或二次方程。

“如果它（即10.1）不是恒等式，它一定是二次或一次方程”；既然（10.1）

不是一次或二次方程，则（10.1）必是恒等式。

以上两次演绎推理都遵循演绎推理规则：设A则B；若非B真，则非A真。

非演绎推理

由命题1、2、3、4（前提）直接得到命题5（结论），按推理概念，命题序列是推理。由命题1、2、3、4得出5，亦即由前提得出结论，是根据命题内容之间的联系，进行分析得到的。没有遵循任何形式的演绎推理规则，因而命题序列表示的推理不是演绎推理，故为非演绎推理。

需要说明的是：书中的论证是数学中通用的传统习惯写法。本文将其改写，只是为了适合推理形式的说明。原文用此例说明了演绎推理支持归纳推理。本文引用此例说明非演绎推理在数学推理中是存在的，而且是常见的，例如在这样简单的问题中也会出现；而且在本例中非演绎推理的作用是支持演绎推理，即为演绎推理提供前提中的真命题“非B”。

例2.  从Γ.M.菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（中译本）第一卷第一分册的P.158摘录关于连续函取零值的定理。

“柯希第一定理  设函数f(x)是在闭区间[a,b]内定义着并且连续的，又在这区间的两端点处取得异号的数值。则在a与b之间必能求出一点c，在这点处函数等于零：

f(c)=0,(a

我们将依布柴诺的方法进行，即用逐次等分区间的方法。为着确定起见,令f(a)<0,f(b)>0。我们用点 把区间[a,b]分成两半。可能偶然地遇到函数f(x)恰在这点处等于零，那末令 ，定理就已得到证明。次设 则两区间 中必有一个，在它的两端点处函数取得异号的数值且这时在左端为负值，在右端为正值。用[ a₁,b₁]表示这区间，就有

f(a₁)＜0，f(b₁)＞0。

再把区间[a₁,b₁]分成两半，且仍丢开当f(x)在这区间的中点处等于零的情形，因为那时定理已得证明。再用[a₂,b₂]表示那半个区间，它使

f(a₂)<0，f(b₂)>0。

继续进行这种构成区间的步骤。这时，或则在有尽次步骤以后，我们碰到作为分点的某一点，在该处函数等于零——而定理的证明就完成了，——或则我们得出内含区间（依次地一个包含一个）的无穷序列。我们就来讨论这最后的情形。对于第n个区间[a_n,b_n] (n=1,2,3,…)必有

  f(a_n)<0，f(b_n)>0,              （1）

并且它的长度显然等于

b_n - a_n=（b-a）/2ⁿ                （2）

易见这些区间所构成的序列满足内含区间的预备定理中所列的条件，因为，由于（2），lim(b_n - a_n )=0；因此，在区间[a,b]内存在着一点c，满足lim a_n =lim b_n =c。

 兹证明这点恰好能满足定理的要求。

将不等式（1）取极限，同时并应用函数的连续性（特别是在点x = c 处），就同时得出

     f(c)=lim f(a_n)≤0及f(c)=lim f(b_n) ≥0

因此，实际上，必有f(c)=0。定理证明完毕。”

兹将定理证明改写如下，说明非演绎推理。

对应命题成立原因

1．从略

2．根据实数性质，是演绎推理结果。

3．m即为定理中要求的c。

4．根据命题2及3，用排除法得此结果。

5．根据命题4，f (a)<0, f (b)>0为已知条

   件。

6．根据命题5直接得到。

    由命题1、2、3、4、5（前提）得到命题6（结论），按推理概念，命题序列Ⅰ是推理，由命题5到命题6，亦即由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则，所以它不是演绎推理，而是非演绎推理。此非演绎推理表达了等分区间法，结论就是等分区间的结果。

命题序列Ⅱ

1．存在闭区间[a₁，b₁]，其中f(a₁)＜0，f(b₁)＞0；a≤a₁，b₁≤b； 。

2．存在闭区间[a₂,b₂]，其中f(a₂)＜0，f (b₂)＞0；a₁≤a₂，b₂≤b₁； 。

…………………………………………

n．存在闭区间[a_n,b_n]， 其中f(a_n)＜0， f(b_n)＞0；a_n-1≤a_n，b_n≤b_n-1； 。

………………………………………

结论命题：存在内含闭区间[a₁，b₁]，

 [a₂，b₂]…[a_n，b_n]…

其中后一个闭区间包含在前一个之内， f(a_n)＜0,f(b_n)＞0,并且有

对应命题成立原因

1．由命题序列Ⅰ表达的非演绎推理得到的结果。

2．对[a₁,b₁]进行等分区间法，由非演绎推理得到的结果。

…………………………………

n．对[a_n-1,b_n-1]进行等分区间法，由非演绎推理得到的结论。

………………………………

综合以上无穷个命题得到的结果。

结论命题由命题序列Ⅱ中前面的无穷个命题直接得到。由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则，因而它不是演绎推理，而是非演绎推理。命题序列Ⅱ的结论命题为利用区间套定理进行演绎推理提供了前提，因此，由演绎推理得结论：在区间[a,b]内存在着一点c，满足lim a_n =lim b_n =c。以下讨论从略。

例3.  从Γ.M. 菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（中译本）第一卷第一分册p.175，摘录康都定理（即均匀连续性定理）及其一种证明。

“康都定理：若函数f( )是在闭区间[a,b]内定义着而且为连续，则它在这区间内亦是均匀连续的。

,

若 ₀同样是这邻域中的点，则同时亦有

这样，对于σˊ内的任意两点 及 ₀将有

把每一邻域σˊ向中心缩短一半，即不考察邻域σˊ而考察邻域

由这些邻域同样能组成遮盖全区间[a,b]的系 ，而且我们正是要对 来应用薄来尔预备定理。这样，区间[a,b]就能用 内的有尽个区间

（i=1,2,…,n）

来遮盖。

今设δ是一切数 中的最小者，而 ₀, 是给定区间内满足条件，

        （7）

的任意两点，点 ₀就应当属于某一个被选出的邻域，设为

于是 。因为δ≤ ，故由 (7)， ，

由此 ，即点 （点 _o当然也是）属于那些最初取出的邻域

－

该邻域收缩了以后就得出邻域 ，这时，依那些最初取出的邻域的性质，有

由于选取δ并不依赖于点 _o的地位，函数 的均匀连续性就已证明。”  

下面将定理证明分成三段进行分析。

第一段

这一段可根据函数在闭区间[a,b]连续的条件及绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，进行两次演绎推理得到下面两个结论。

（1）对任意 ˊ  [a,b]，有领域σˊ=（ ˊ-δˊ， ˊ+δˊ），因此闭区间[a,b]可用开区间无穷系∑={σˊ}来遮盖。

（2）σˊ具有性质：对σˊ中任意两点 及 _o，有

|f( )-f( ₀)|< ε

第二段

由无穷系∑={σˊ}得到无穷系 ={σˊ}其中

利用薄莱尔预备定理（参阅注2），进行演绎推理得结论：存在

遮住[a,b]。

第三段        原文“今设δ是……得出邻域 ，”这一段是一个推理，它是一个整体思维，其目的是寻找一个数δ，使当属于闭区间[a,b]内的任意两点 ₀、 满足 时，则 ₀、 都属于某个最初始的领域 。这是为下一步利用第一段的结论（2）进行演绎推理提供前提。原推理省略了很多步骤，现在改写如下：

命题序列

1.取δ=Min

2. _o， 是给定区间[a,b]内满足条

件| - ₀|<δ的任意两点。

3.存在

使

4.  

5．

6．

7．       

8．

9．

10．

11．  

12．  

13． 及 ₀ 属于某个最初始的邻域

   。

由第二段的根据薄莱尔预备定理进行演绎推理的结论，提出命题1，由1提出2，由2又提出3，由3直接得4。由4到5。由命题1、2到6，由5、6到7。由7到8。由8直接得9。再由5到10，由10直接得11。由11直接得12。最后，由9、12直接得13。这13个命题相互连接，是一个整体。这个命题序列的前提（即命题1、2……12）中含有四个最简单的非演绎推理；另外，还有多次由上而下的演绎推理（大多数都被省略）；特别值得注意的是，由9、12直接得13，即由前提直接得到结论并没有遵循任何形式的演绎推理规则，所以这个命题序列所表达的推理不是演绎推理，而是非演绎推理。

上述命题序列的结论即命题13，给根据第一段的结论（2）进行演绎推理提供了前提，于是由演绎推理得到结论

│f( )-f( _o)│<ε

由于δ并不依赖于点 _o的位置，到此，定理证毕。

通过把证明中的论证详细地改写成命题序列的方法，对例1、2、3相应的证明作出分析，说明以上列举的各个命题序列表示的推理均为非演绎推理，其根据就是：由前提（命题序列的第一个命题直至倒数第二个命题）到结论（命题序列的最后一个命题；对无穷命题序列而言就是结论命题）；特别是对有限命题序列而言，由倒数第二个命题到结论或倒数第二及第三个命题等到结论；没有遵循任何形式的演绎推理规则。如果上述各命题序列的前提与结论是演绎推理的前提与结论之间的关系，即假设这些命题序列所表示的推理是演绎推理，则根据哥德尔完备性定理，在数理逻辑的逻辑演算形式系统中，必有一个形式定理反映它。再由可靠性定理，此形式定理所反映的前提与结论之间的关系也是演绎推理规则，且此规则必为被该形式定理所反映的演绎推理所遵循，即为这些命题序列的前提与结论所遵循。然而在前面分析中已断定这些命题序列由前提到结论并没有遵循任何形式的演绎推理规则，从而得出矛盾！即以上列举的各命题序列表示的推理不是演绎推理，因此是非演绎推理。也就是说，一个推理为非演绎推理的判断标准是：由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则。

在例1、2、3的命题序列中，由前提到结论没有遵循任何形式的演绎推理规则。那么，究竟用什么方法进行推导呢？这个方法就是根据命题内部的内容之间的密切联系与相互关联、进行分析推导的。例如例1的命题序列中，由命题4得到命题5；例2中由命题5得到命题6；例3中由命题9、12得到命题13。这种方法既不同于传统逻辑中非形式的演绎推理，使用逻辑推导；又不同归纳法由特殊到一般的推理；更不同于数理逻辑的逻辑演算中使用形式推理进行推导。

非演绎推理除了从前题到结论不遵循任何形式的演绎推理规则及通过命题内容之间的联系进行分析、推导外，还有一个特点，这就是非演绎推理有种种不同的基本类型（以下简称类型），即由单个或若干个命题作为前提一次直接推出结论的简单非演绎推理。例如在第3节的序列（一）中，由命题1、2、3推出命题4；在序列（二）中，由命题2、3、4推出命题5。它们在两个不同的非演绎推理中，但都属于同一个类型。这个类型与x^*的定义密切有关，而定义x^*是薄乃尔预备定理的证明方法，这说明非演绎推理的类型与定理的证明方法密切相关。在例2的序列I中，由命题5推出命题6是另一种非演绎推理的类型，它与等分区间法有关。在例1的命题序列中，由命题1、2、3推出4，由命题4推出5；在例3的命题序列中，由命题9、12推出13，由8推出9，由3推出4，都是非演绎推理的类型。同样，例1例3中非演绎推理的类型也都是与其所在问题的证明方法有关。总之，非演绎推理的类型是各式各样的。由于问题不同，证明方法也不同，因而出现的非演绎推理的类型也变化多端。虽然如此，所有的非演绎推理的类型都具有两个共同点：第一，如上所说，类型与证明方法有关；第二，类型都有简单、直观、自明的特性，从而它使类型的正确性得到公认。正因为如此，非演绎推理才可以正确判断，正确推导，因而数学的严格性才能在非演绎推理中得到实现。非演绎推理的形式除了基本类型外，还有非演绎推理是由几个类型相连接而成的，甚至在前提中还包含有自上而下的简单的演绎推理（必须是简单的，否则，应单独处理），这就是前面提到的整体思维形式，是区别于基本类型的较复杂的非演绎推理，例如例1、2、3中的命题序列所表达的非演绎推理。

推理必须有正确的推导方法，非演绎推理的推导方法在上面讲过，它是根据“命题的内容之间的密切联系与相互关联”进行分析、推导的。这句话有两方面的含意：一是指非演绎推理的类型本身如何推导；一是指较复杂的非演绎推理的整体思维形式而言的，现在对此作进一步说明：第一，一般是以一个或几个真命题开始；第二，类型与类型之间的连接方式是以一个类型的结论作为另一个类型的前提；第三，类型与简单的演绎推理之间的连接方式与第二相同。以上三点在例3的命题序列所表达的较复杂的非演绎推理中均得到体现。

命题序列中的每个命题成立的原因有两种情况：第一，命题是演绎推理的结果，例如例2的命题序列I的第2个命题，例3中命题序列的第3、5、6、7、8、10各命题；第二，是根据命题内容之间的联系进行分析、推导的，，例如例1的命题序列中的各命题，例2的命题序列Ⅰ的命题3以下各命题，例3的命题序列中的命题1、2、4、9、11、12、13。

非演绎推理的主要作用是为演绎推理提供前提，这从例1、例3的命题序列的结论及例2的命题序列Ⅱ的结论命题来看是很明显的，它们都是为下一步演绎推理提供前提。在数学证明中有时演绎推理需要非演绎推理提供前提，因而演绎推理有时需要非演绎推理的支持。另外，在前文中曾提出“前提分析”这个概念，非演绎推理是前提分析的基本方法，但前提分析的含意比较广泛。例如在例3中的第三段的非演绎推理是在第一、二段的基础上建立起来的，从更广泛的义意上说，第一、二段的构思也应属于最后的演绎推理的前提分析范畴。

5.非演绎推理方法

根据本书3、4两节的论述，总结出非演绎推理方法如下：

1.  非演绎推理（即从数学证明中揭示出的非演绎推理的简称）为如下的推理：

（1）由若干个真命题按序组成的前提推出一个真命题作为结论。“按序”在某些简单推理中不是必需的。

（2）推理不遵循任何形式的演绎推理规则。

2.非演绎推理的推导方法：根据前提中真命题的内容之间的密切联系与相互关联进行分析，推出一个内容为真的命题作为结论。

3.非演绎推理的判断方法有两种，一种见本书第3节的第一段；另一种见本书第7节末段，判断方法是判断推理不遵循任何形式的演绎推理规则。

4.非演绎推理的表达形式：

（1）基本类型

 基本类型是最简单的非演绎推理，它由一个或几个命题一次直接推出结论。推理具有简单、直观、自明的特点。

（2）整体思维形式

   整体思维形式一般是由一个或几个相关真命题开始，与若干个简单的演绎推理及基本类型相互连接而成，连接方式是前一个推理的结论作为下一个推理的前提，整体思维形式的关键在于最后的推理结论是由基本类型推出的。

6．揭示出非演绎推理的意义

数学证明一直是在“数学推理属于演绎推理”的观点下进行的，提出非演绎推理有什么意义呢？就数学而言，从这个新的视角看数学推理，可以增进对数学证明及其中推理的理解。有数学家说“数学表面特征是一连串的推理”，“每种数学理论都有一串串的推理的长链构成。”^{[4]（P。101）}那么，推理之间是如何连、如何串的呢？在初等几何的定理证明中，前一个演绎推理的结论就是后一个演绎推理的前提，这是演绎推理相互联系的典型形式；但这种形式对推理之间的相互联系而言毕竟太简单了，下面再做说明。另外，例如定理与定理之间的联系，一般是这样的，在后面的定理证明过程中，用前面的定理作为演绎推理的前提。如果把某种数学理论中的定理按这种联系方法用图表示出来，将是一个既长又复杂的网络，但这种联系与非演绎推理并无直接的关系。

非演绎推理是在单个定理的证明中起作用的。前文列举的几个定理的证明都是分成几步或几段逐步进行的。各段的结论是由上而下相互联系的。各段的结论或由演绎推理推出，或由非演绎推理推出。一般言之，前者居多。这些推出段落结论的演绎推理可分为两类。一类是其前提可信手拈来，是现成的，例如推出前文第4节中例3的第一、二段结论的演绎推理；另一类的前提主要是由非演绎推理提供的，例如例3的第三段结论的演绎推理，这就是用非演绎推理支持演绎推理。前一类演绎推理比较简单，后一类，相对来说，则比较困难。这里的简单、困难都针对获得前提而言的，其中困难是由于非演绎推理与证明方法有密切联系的原因。再看看非演绎推理。构成非演绎推理的命题序列的每一个命题或是由简单的演绎推理推出，或是由非演绎推理的基本类型推出。这两种情况可由前文中非演绎推理例子清楚地看出。于是，一个非演绎推理又带出一批简单的演绎推理与非演绎推理基本类型。

证明定理的关键在于证明方法，但实现方法需要运用推理。从以上论述的情况看，前文列举的几个定理中的证明都有一连串的推理，但却不全是演绎推理，而是有演绎推理，也有非演绎推理；并且既有后者支持前者，也有前者支持后者的情况。因此，非演绎推理也是一种基本推理，而且是数学证明中本已存在但却尚未认知的基本推理。非演绎推理是数学证明的重要组成部分，也是实现证明方法的重要手段。这就是为什么说揭示出非演绎推理可以增进对数学证明及其中推理理解的原因。

有一种看法，即把从数学证明中揭示的非演绎推理看作演绎推理外延的拓广。这种看法虽符合“数学推理属于演绎推理”的要求，但却与非演绎推理定义相矛盾，因为非演绎推理被定义为不是演绎推理的推理。根据数理逻辑中的哥德尔完备性定理及可靠性定理，演绎推理的外延是不能拓广的。有一段话对此清楚地作了说明：“一方面要求，凡是形式推理所反映的前提与结论之间的关系，在演绎推理中应当都是成立的（……形式推理可靠地反映了演绎推理，它没有超出后者的范围）；另一方面要求，凡是在演绎推理中成立的前提与结论之间的关系，形式推理应当都能反映（……即形式推理在反映演绎推理时并无遗漏）。”^{[1]（P.300）}由此可知形式逻辑中的演绎推理与逻辑演算中的形式推理是完全一致的。因此，演绎推理的外延不能拓广。

在形式逻辑中将推理分为演绎推理与非演绎推理，后者主要是指归纳推理，即归纳法^{[3]（P.884）}。前文第3节中定义的非演绎推理已超越形式逻辑中的非演绎推理。超越的部分就是前文从数学证明中揭示出的非演绎推理，也就是形式逻辑中的非演绎推理外延的拓广部分，简称非演绎推理。事实上，它是演绎推理与归纳法之外的另一种新的基本推理。现在将三种推理图示如下。

推理示意图

   演绎推理

推理                        形式逻辑中的非演绎推理——主要是指归纳推理即归纳法

     非演绎推理

（即不是演绎推        由数学证明中揭示出的非演绎推理——(简称) 非演绎推理

理的推理）         (即形式逻辑中的非演绎推理外延

的拓广部分)

 图 1

7.对演绎推理传统表述的剖析

演绎推理的传统表述就是由前提推出结论，例如在文献[1]中是这样说的：“设A₁，…，A_n；R（注：原文是A）表示任何命题。

1）如果A₁，…，A_n能推出R，

也就是

2）如果A₁，…，A_n真，则R真，”^{[1]（P.316）}

于是A₁，…，A_n和R构成演绎推理关系。按此表述判断数学证明中的推理，则前文第3、4节中列举的非演绎推理也都应属于演绎推理，因为它们都符合1）、2）的要求。但必须注意，前文中判断一个推理是否为演绎推理，是以该推理是否遵循某个演绎推理规则为判断标准的。第3、4节中用命题序列表示的推理是非演绎推理，因为这些推理从前提推出结论并不遵循任何形式的演绎推理规则。于是同一推理既是演绎推理又是非演绎推理，从而产生矛盾！

产生矛盾的原因在于1）中的“推出”隐含歧义，即由A₁，…，A_n是用逻辑推导方法推出R？还是根据命题A₁，…，A_n的内容之间的联系进行分析推出R？同样地，2）中的“真”是用赋值概念（下面说明）确定为真？还是直接根据A₁，…，A_n这些特定的真命题的内容之间的联系进行分析确定R为真，例如就像前文第3、4节中由命题序列的前提为真来确定结论为真？“数学推理属于演绎推理”的观点可能就是根源于此歧义。为了消除歧义，必须明确演绎推理概念。将1）、2）中的“推出”、“真”的含意分别明确是用逻辑推导方法、赋值方法确定的。明确了1）、2）中的表述后，当前提为真时，用逻辑推导方法推出的结论亦真，则此推理即为演绎推理；演绎推理规则就是2）形式的演绎推理关系。在实际工作中的演绎推理，例如数学证明中的演绎推理，必定遵循某个演绎推理规则。例如前文第2节中的演绎推理规则：设“A蕴含B”（表作A₁）真，则“非B蕴含非A”（表作R）真；设“A蕴含B”（A₁）、“非A蕴含非C”（A₂）及“C”（A₃）真，则B（R）真；又如，设“A与B蕴含C”（A₁）真，“A与B蕴含非C”（A₂）真，则“A蕴含非B”（R）真。它们都是2）形式的演绎推理关系。“遵循”的含义，一是演绎推理与演绎推理规则的逻辑推导步骤完全相同；二是演绎推理与演绎推理规则是特殊与一般的关系。演绎推理必定遵循某个演绎推理规则，是一个推理是否为演绎推理的判断标准，从而区分出非演绎推理。例如，前文第3、4节中用命题序列表示的推理均不遵循任何形式的演绎推理规则，所以这些推理都是非演绎推理。因此，明确1）、2）表述的演绎推理概念后，上述矛盾便消除了。于是数学推理既有演绎推理，也有非演绎排理，数学推理不仅仅属于演绎推理。

现在对赋值概念作较详细的说明，一是为了如何用赋值概念说明2）中的“真”，二是为了沟通演绎推理的传统表述与下面要说明的演绎推理的确切表述。在1）、2）中A₁，┄┄，A_n；R是任何命题，例如“A蕴含B”，“A与B蕴含C”，可将它符号化为合式公式A→B，A∧B→C。赋值本来是数学名词，在数理逻辑中把它用到合式公式。例如，当A→B解释为真命题时，我们说赋以真值t；当A→B解释为假命题时，我们说赋以假值f。由于合式公式A→B是由“A蕴含B”经符号化而得，也可以对“A蕴含B” 赋以真值t或假值f。由于“A蕴含B”中含有命题A、B，所以在对“A蕴含B”赋值前，应先对命题A、B赋值，而A、B可真可假（A、B的真、假是由其内容决定的），所以A、B搭配起来有四种赋值方法。即t、t；t、f；f、t；f、f。按逻辑联接词“蕴含”（→）的定义，t→t为真；t→f为假；f→t为真；f→f为真。于是相应的A→B及“A蕴含B”的赋值为真（t）、为假（f）、为真（t）、为真（t），因此，对A→B及“A蕴含B”有四种赋值，其中三种为真（t）。对演绎推理规则‘设“A蕴含B”（A₁）为真，则“非B蕴含非A”（R）亦真’而言，以上三种对“A蕴含B”赋真值（t）的赋值方法同样对“非B蕴含非A”亦赋以真值（t）。这就是用赋值概念说明2）中的“真”。对演绎推理规则：设“A蕴含B”、“非A蕴含非C”、“C”均真，则B真，由于A、B、C均取真、假，搭配起来，对A、B、C共有八种赋值方法，即t、t、t；t、t、f；t、f、t；t、f、f；f、t、t；f、t、f；f、f、t；f、f、f。当A、B、C赋以t、t、t时，对前提的赋值均为真，而且结论亦为真，但只有这一种赋值方法能使前提为真。对演绎推理规则：设“A与B蕴含C”、“A与B蕴含非C”真，则“A蕴含非B”真，A、B、C同样有八种赋值方法，其中六种，即t、f、t；t、f、f；f、t、t；f、t、f；f、f、t；f、f、f，使前提的赋值均为真，结论亦真。另外，例如对上述诸例而言，如果先设前提均为真，通过逻辑推导，也可确定出当前提均为真时结论亦真的A、B、C的各组赋值，亦即先设1）中前提均为真，通过逻辑推导确定出所有满足2）的赋值方法，因此，1）也就是2）。

此外，在实际推理中，当“A蕴含B”为真时，其中特定命题A、B的内容决定A、B的赋值有三种可能，即t、t；f、f；f、t，从而使t→t；f→f；f→t为真，即“A蕴含B”有三种赋值方法为其赋真值（t）。但应强调的是特定命题A、B不是任意选定的，必须要求A、B所代表的特定命题使“A蕴含B”，即“如果A，则B”成为定理。例如前文第4节的例一中，A代表“（10.1）为二次方程”，B代表“（10.1）有两个根”，于是“A蕴含B”（A₁）是定理，并且同时使“非B蕴含非A”（R）也是定理。在实际推理中，对其他包含“蕴含”的任何命题都应如此要求。

演绎推理与其所遵循的演绎推理规则是特殊与一般的关系，逻辑推导完全相同。因此，对某个推理，将其前提与结论中的原子命题（见第三节（一）的末段）符号化，例如就命题逻辑而言，代之以命题变元（用A、B、C等表之）。相同的原子命题以相同的符号表之，相异的原子命题以相异的符号表之，命题A的否定命题以非A表之。凡使符号化后的前提为真的赋值方法，也能使符号化后的结论为真，则此推理为演绎推理，符号化后的前提与结论之间关系即为其所遵循的演绎推理规则；反之，如果存在一个赋值方法使符号化后的前提为真而使符号化后的结论为假，则此推理不是演绎推理。后者成为非演绎推理的一种判定方法。已知此推理不是演绎推理，因此，此推理不遵循任何形式的演绎推理规则；反之，如果它遵循某个演绎推理规则，则它必定是演绎推理。从而产生矛盾！因此，此推理不遵循任何形式的演绎推理规则。

8．演绎推理的确切表述与另一个判断标准

演绎推理概念的另一种说法是确切表述，可以概括为：A₁，…，A_n；R构成演绎推理关系当且仅当在逻辑演算中R是A₁，…，A_n的逻辑推论^{[1]（P.316）}（前面的A₁，…，A_n，R是任何命题；后面的A₁，…，A_n，R是合式公式）。什么叫逻辑推论呢？在前面所举的例子中有一个共同特点：即凡是能使A→B（A₁）为真的赋值方法，都能使┐B→┐A（R）真；凡是能使A→B（A₁），┐A→┐C（A₂），C（A₃）均为真的赋值方法，都能使B（R）为真；凡是能使A∧B→C（A₁），A∧B→┐C（A₂）均为真的赋值方法，都能使A→┐B（R）为真。于是相应地称R是A₁的逻辑推论，R是A₁、A₂、A₃的逻辑推论，R是A₁、A_2­的逻辑推论。以上所举的例题均为命题逻辑，因此，从命题逻辑看，2）中的R就是A₁，…，A_n的逻辑推论。同样，对谓词逻辑而言也是如此。一般言之，在给定的不空个体域S中（注：S是针对谓词而言的），凡能使A₁，…，A_n，均为真的赋值，也能使R为真时，则称在S中R是A₁，…，A_n的逻辑推论。逻辑推论的一般概念包含命题逻辑，另外还有谓词逻辑，后者较为复杂，其中赋值概念牵涉内容较多^{[1]（P.300-308）}。由此可以看出，明确1）、2）中“推出”与“真”的概念后，演绎推理概念的传统表述与其确切表述是一致的，可以把前者看作后者的简化形式和实际应用形式。但必须说清楚，后者中的逻辑推论概念是上世纪三十年代才有的。

设A₁，…，A_n；R由1）、2）中的任何命题经符号化后成为合式公式。哥德尔完备性定理^{[1]（P.327-336）}可表述如下：

如果R是A₁，…，A_n的逻辑推论，则有形式定理A₁，…，A_n├R

可靠性定理^{[1]（P.321）}则为：

如果有形式定理A₁，…，A_n├R，则R是A₁，…，A_n的逻辑推论。

由演绎推理的确切表述，通过哥德尔完备性定理和可靠性定理便可得到演绎推理是否成立的另一个判断标准：演绎推理成立，在数理逻辑的逻辑演算中必有一个形式定理与之相对应。演绎推理的两个判断标准是一致的，二者是等价的。演绎推理规则是非形式的推理，形式定理是形式推理。在前文第2节中曾列举三个相互对照的例子。

9．结论

综合前面的论述，得以下几个结论：（1）数学定理的证明中存在非演绎推理，因此，数学证明的推理中既有演绎推理也有非演绎推理，数学证明中的推理不仅仅属于演绎推理；（2）演绎推理与归纳法是公认的两种认识世界的基本推理，除此之外，从数学证明中揭示出的非演绎推理也应是一种认识世界的基本推理；（3）演绎推理的澄清后的传统表述可以看作其确切表述的简化形式和实际应用形式^⑥。

10. 非演绎推理方法在非数学领域中如何应用

推理是从若干命题（前提）直接得出一个命题（结论）的思维过程。推理分为演绎推理与非演绎推理。非演绎推理定义为不是演绎推理的推理。非演绎推理又分为两种：一种是形式逻辑中的非演绎推理，主要是指归纳法；亦即归纳法是非演绎推理，但一般并不把它称为非演绎推理。另一种是由作者从数学证明中揭示出的非演绎推理，简称非演绎推理，并由第5节第1条明确定义。

非演绎推理的推导方法是根据命题的内容之间的密切联系及相互关联进行分析推导的，当前提为真时，结论必真，结论为真是由前提中的真命题内容决定的。判断非演绎推理的标准是由前提推出结论不遵循任何形式的演绎推理规则。非演绎推理有两种表达形式：一是由一个或几个真命题作为前提一次推出结论的简单非演绎推理，称为非演绎推理基本类型，简称基本类型；一是由一个或几个真命题、简单的演绎推理及基本类型相互连接、最后通过一个基本类型推出结论的非演绎推理，称为非演绎推理整体思维形式，简称整体思维形式。

非演绎推理虽有两种表述形式，判断实际上只对基本类型而言，因为整体思维形式的判断也化归为对基本类型、特别是对最后推出结论的基本类型的判断。如果基本类型的前提与结论中的命题都是原子命题，它的判断方法已在本书第3节的（一）中讲过；如果基本类型的前提与结论中有不是原子命题的命题、即“任何命题”，它的判断方法已在本书第7节“赋值”概念的最后部分讲过。以上两段可参考本书第5节。

由于前面提到的两种判断非演绎推理的方法都用到“赋值”概念，为了避免使用这两种方法，现在我们从另一种观点说明如何判断非演绎推理。我们知道，最简单、最常用、最基本的演绎推理的前提中必包含某个定理或定义、公式、条件、运算法则、蕴含型的结论、定律、原理、原则等作为推出结论的根据。例如中国大百科全书哲学卷中的《推理》条有如下一个演绎推理例子：

“凡阔叶植物是落叶的，

凡葡萄树都是阔叶植物，

所以，凡葡萄树都是落叶的。”

这个例子的第一句可化为蕴含型的结论，现改写成如下常用的蕴含型即“如果，则”形式：

如果某种植物是阔叶的，则这种植物是落叶的。

葡萄树是阔叶的。

所以葡萄树是落叶的。

这个例子遵循上述最简单、最常用、最基本的演绎推理规则：由“设A，则B”和A推出B。例子的第一、二句分别称为大前提、小前提，第三句是结论。这个大前提便是植物学中蕴含型的结论，是这个推理中推出结论的根据。初等几何定理证明中的演绎推理也都是这样，大前提是一个几何定理，一般是写在结论后面作为“注”。本书提到的“重要定理”中的演绎推理遵循演绎推理规则：如果“设A，则B”、“设非A，则非C”及C均真，则B真。它的前提包含两个定理，这样的演绎推理从前提到结论的推导要复杂一些，但它的前提中的两个定理也是推导结论的根据。反之，如果一个推理的前提不包含、推导过程也不根据任何定理或定义、公式、条件、运算法则，蕴含型的结论、定律、原理、原则等，推导只是通过命题内容之间的密切联系或相互关联进行分析，一次推出结论，确保结论为真，则此推理便是非演绎推理基本类型；因为这样的推理一般不可能遵循任何形式的演绎推理规则。

下面列举6个例子，各说一个问题，每个问题都是一个推理。为了方便分析，把问题中的话，编成一个序列，叫命题序列。在每个命题序列之后各有一段分析，解说该推理是非演绎推理基本类型或是非演绎推理整体思维形式。换言之，就是用这几个例子说明在非数学领域中如何应用非演绎推理方法；实际上，非演绎推理在非数学领域也应是存在的，只是一般把它笼统地称为推理，或把它误称为演绎推理。

例1           小心误诊

下面的命题序列是根据媒体报导稿编的。

命题序列

1、某国每年有12万人死于医生误诊及医疗事故。

2、该国每年有1500人死于枪击事件　。

3、该国人死于医生误诊的危险高于枪击事件的危险。

这是一个推理。如果统计无误，命题1、2是真命题。由命题1、2的内容对比分析，很自然地得出命题3为真的这个结论。由前提一次推出结论并且具有“简单、直观、自明”的特点。前提中不包含、推导过程不根据任何“定理或定义、公式、条件、运算法则、蕴合型的结论、定律、原理、原则等”，因此，这个推理不可能服从任何形式的演绎推理规则，这个推理是非演绎推理的基本类型。

在这个例子中，判断推理是否为非演绎推理基本类型并未使用本书中讲述的两个方法，因为它们都要用到“赋值”概念；这里用的是前提中不包含、推导过程不根据任何“定理或定义、…等”的简便方法。

关于如何判断非演绎推理的基本类型问题以下不再重复说明。对于特殊问题另作相应解释。

例2 地区强国

下面的命题序列是根据媒体报导的一篇政论文章的摘要。

命题序列

1、内贾德掌权后，以核计划为起跳板统一了国内人们的认识。

2、美国对伊拉克、阿富汗的战争使伊朗摆脱了西边萨达姆、东

边塔利班的困扰，为伊朗在该地区扩大势力范围畅开了大门。

3、美国对伊拉克的战争，使伊朗的盟友伊拉克什叶派坐上权力

宝座，使伊朗在伊拉克有了巨大势力范围。

4、伊朗与叙利亚联盟。

5、由于阿拉伯国家政权软弱，美国、伊朗争相填补这个战略空

白。

6、由于宗教和意识形态原因，该地区主要力量倾向于伊朗。对

美国、以色列不利。

7、伊朗与哈马斯、真主党关系密切。

8、结论：伊朗确实变成了一个地区强国。

从近几年中东局势发展看，到文章发表之日止，前提中7个命题应是真命题，因而根据这7个命题的内容便可决定结论也应是真命题。这7个命题相互关联，都是讲中东局势的，但它们之间没有相互推导关系。结论是从前提中的7个命题的内容分析一次直接推导的，前提不包含、推导不根据任何“定理或定义…等”，因此，推理不遵循任何形式的演绎推理规则，这是非演绎推理基本类型。

例3　负荆请罪

在京剧中有一出戏，叫《将相和》。故事是这样的，在战国时代，赵王因蔺相如立了两次大功，封为丞相；但大将军廉颇不服，因而将相不和。赵王命大臣虞大夫去调解。下面是虞大夫与廉颇的对话，与原台词不同，情节未改。

命题序列

1、廉：蔺相如在大街上夸官，我三次拦挡，他三次逃避，蔺相

如胆小惧怕老夫。

2、虞：秦王强于大将军，蔺丞相敢抗拒秦王，完璧归赵，他的

避让不是怕你。

3、廉：我不如秦王，但蔺相如三次逃避是实。

4、虞：蔺丞相三次避让，他是为赵国设想，担心将相不和，招

致秦国攻赵，使赵国老百姓遭殃。

5、廉颇顿然悔悟，羞惭自己斤斤计较个人地位高低，去蔺府负

荆请罪。

6、将相和

这出戏可能编自《史记》中“廉颇蔺相如列传”一文。戏中主要情节文中均有记载，但无虞大夫这一角色。蔺相如“两虎共斗”危害赵国之言，“廉颇闻之，肉袒负荆…谢罪”。至于廉颇怎么闻之，文中并未交代。这可能就是戏中增加一个虞大夫的根据。

命题1的内容是廉颇认为蔺相如胆小怕他。这就必然引出虞大夫以蔺相如不畏秦王完璧归赵来反驳他。命题1、2都是真命题，1是前提，2是结论。这是一个非演绎推理基本类型。3是与1、2互相关联的命题，也是真命题，但不能看作以1、2为前提的结论，因为命题3不是命题1、2必然的结论，例如廉颇也可说蔺相如完璧归赵只是“口舌为劳”而已，表示看不起蔺。

由于廉颇再次说出蔺相如逃避的事，必然要使虞大夫说出蔺丞相三次避让他的原因，而且命题4也是真命题。因此，可以把1、3看作前提，4看作结论，由1、3到4是一个基本类型。廉颇是赵国大将军，忠于赵国，听说蔺相如避让他是为了赵国的安危，必然感到震动，顿然悔悟，因而廉颇向蔺相如道歉也是必然的，而“负荆”只是一种形式而已。因此4、5是一个基本类型。蔺相如担心将相不和，现在廉颇上门谢罪，当然乐意和解，6是5的必然结论，5、6是一个基本类型，而且这是推出最后结论的基本类型，因此，以命题1、2、3、4、5为前提，6为结论的推理是非演绎推理整体思维形式。

例3中的问题是将相不和，解决问题的方法是调解说服，方法是用非演绎推理整体思维形式的推理来实现的。

这个推理是根据《列传》及《将相和》这出戏编写的，不能认为《列传》、甚至戏具有明确的推理概念，因为前者是古文，后者是艺术。这与例1、例2不同；例1是新闻评论，例2是政论文章。在这两个例子中显然是有推理概念的，而且这两个推理肯定不是归纳法，但传统的基本推理只有两种，既然不是归纳法，那只能是演绎推理。其实不然，因为它们都不遵循任何形式的演绎推理规则，因而并不是演绎推理。按本书阐述的观点，它们都是非演绎推理基本类型，这在例1、2中已经讲过。

例4　一举两得

命题序列

1、年迈的父母住在北京的两间小平房里。

2、在国外工作的儿子给父母在北京买了一套100平米的新房。

3、父母从狭窄的小房搬进宽畅明亮的大房非常高兴。

4、儿子孝敬了父母，并且将来回国定居有房居住。

5、一举两得。

由于种种原因，儿子不是必然要为父母买房，命题2不是命题1的必然结论，即1的内容不能决定2的内容必真。已知1、2是真命题，1、2的内容必然决定3的内容是真，所以由1、2到3是非演绎推理基本类型。显然，由2、3到4以及由2、4到5也是非演绎推理基本类型。由2、4到5是由1、2、3、4到5这个推理推出最后结论的基本类型，所以整个推理是非演绎推理整体思维形式。

曾经考虑在命题4中加上“房产保值增值”，最后结论是一举三得。但这新的“一得”只有根据“凡是北京的房产都保值增值”才能推出，而后者却是北京房地产市场的一个可化为蕴合型的结论，那么新的一得就是演绎推理的结论。于是，由2、3到4的推理便不是基本类型了。本例的目的是在说明非演绎推理整体思维形式，因此才说这新的“一得”不能加进命题4；其实，在实际推理中，加上这新的“一得”，命题4仍是真命题，不过是把两种不同推理的结论写在一起罢了。新的命题4、5仍是基本类型，整个推理仍是整体思维形式。

例5　发射卫星

对此，仅从克服引力角度作简单粗略表述。

命题序列

1、卫星与运载火箭受地球的引力作用。

2、火箭发动机点火后，卫星及运载火箭产生与地球对它们的吸

引力方向相反的持续增大的上升力。

3、一定时间后，卫星上升力最终抵消了地球对它的引力作用。

4、卫星挣脱了引力束缚。

5、卫星发射成功。

命题1是根据万有引力定律，通过演绎推理得出的结论。命题2是一个真命题。命题3是以命题1、2为前提的基本类型的结论。命题4是以命题3为前提的基本类型的结论。命题5是以命题4为前提的基本类型的结论。由于最后结论是通过基本类型推出的，因此以命题1、2、3、4为前提推出结论5是一个非演绎推理整体思维形式，它由一个演绎推理及三个非演绎推理基本类型互相连接而成。

以上列举的例子摘编自媒体报道及常识传闻，内容很平凡，只是借此说明在非数学领域中如何应用从数学证明中揭示出的非演绎推理方法。

至于如何结合专业，希望读者结合自己专业作进一步考虑。

例6．荀彧之死

听中央电视台百家讲坛播放《易中天品三国》，知道了很多三国时代的史实，特别是易先生对当时的政治斗争、重要战争及人物的分析非常精辟，引人入胜。下面仅凭记忆就易先生关于荀彧之死根据史实所做的分析论述条列如下。如有差错，当是本书作者之过。

1.    汉末，董卓之乱后，汉室天下由各地军阀割据。

2.    荀彧是著名士人，为人正派，有谋略，有心辅助汉室。

3.    荀彧见曹操勇于攻打董卓，有才华，欲借助曹操重振汉室。

4.    荀彧成为曹操的谋士，提出奉天子以令不臣、屯田等三大政策，可比作荀、曹之间的“隆中对”。

5.    曹操从此实力逐渐强大，平定了中原，威震天下。

6.    曹操的野心也逐步膨胀，欲自立为魏公（后又立为魏王），要在名位上与汉献帝分庭抗礼。

7.    荀彧大义凛然地拒绝了领衔吁请立魏公。

8.    荀彧与曹操发生了政见分歧。

9.    荀彧无奈因郁闷而病死或因郁闷而自杀死。

    附注：据史载，有人对孙权说，荀彧是因曹操令荀彧杀害伏皇后，荀彧不从，而被曹操所杀。对此说法，易先生作了有力的批驳予以否定。论述从略。

由此可见，以上论述的逻辑性是很强的，按推理的定义（见第3节开始的引文），该论述是一个严格的推理。现在的问题是：它是什么推理？可以看出，前提（前8条）不包含、推导（除由5推出6这一步之外）不根据任何“定理、定义┅┅、原理、原则”，因此，它不是演绎推理；显然，它也不是归纳法。

我们可以确认：以1、2为前提推出3，这是一个非演绎推理的基本类型；同样由3推出4，由4推出5，由2、3、4、6推出7，由6、7推出8，由8推出9，均为非演绎推理的基本类型。在中国的漫长封建社会时期，在朝代更迭过程中，群雄并起。凡成功者必称王称帝（大前提），曹操是成功者（小前提），曹操欲自立魏公、魏王是必然的事（结论）。因此，由5推出6是演绎推理。由于最后结论是由基本类型推出的。故上面提出的推理应为非演绎推理整体思维形式的推理，即非演绎推理。

“荀彧之死”是一个很难得的体现非演绎推理在历史问题分析论述中也存在的例子，这是借易先生讲座之光，特致谢忱！

11.补充资料

1、上（下）确界定理

在本书第2节的前提分析举例及第3节的（一）、（二）两段中用到了上确界定理，现在介绍这个定理。

（1）狄特金基本定理

对于实数域内任一分划　A/A’（注：下面有解释）必有产生这分划的实数β存在。这数β，1）或是下组A内的最大数（A是实数集），这时在上组A’内无最小数；2）或是上组A’的最小数（A’是另一实数集），这时在下组A内无最大数。

实数域的这一性质常称为它的完备性，并称为连续性。

（2）数集的界 设有一任意实数的无限集，它可用任何方法给出。

例如自然数集，一切真分数集，在0与1之间的一切实数集，方程式sinx=1/2的根的集，等等。

集内的任一数记成x，因此x所代表的是集内一般的数，诸数χ所成的集，便记成 Х ={x}， 其中Х表示集。

若对所考察的集｛x｝，有这样的数M存在，使x≤M，就说，这集囿于上，M就是集｛x｝的上界。例如，真分数集以数1或任何大于1的数囿于上；自然数序列不囿于上。

仿此，若能求出数m，使一切x≥m，就说集｛x｝以数m囿于下，m称为集｛x｝的下界。例如，自然数序列以数1或任何<1的数囿于下。真分数集以0或<0的数囿于下。

囿于上（下）的集，可以又囿于下（上），也可以不囿于下（上）。如真分数集囿于上也囿于下，而自然数序列囿于下，却不囿于上。

若数集囿于上，即有有穷的上界M，则同时可知这种上界必有无数个之多，例如任何>M的数，显然亦是上界。在一切上界内，最小的上界特别有用，它称为上确界。仿此，若数集囿于下，则一切下界中的最大者，便称为下确界。如对于一切真分数集，0及1就各为下确界及上确界。

问题在于：对于囿于上（下）的数集永远有上（下）确界存在吗？实际上，上（下）界既是一个无限数集，而在无限数中并非恒能找出最小者或最大者。例如，在一切真分数的集中，便没有最小者及最大者。故在所考察的数集的一切上（下）界中有这种最小（大）数存在还需要加以证明。

定理  若集Χ ={x}囿于上（下），则它有上（下）确界。

证明：在进行上界的讨论前，先考察两种情形：

1^o　在集Ⅹ的诸数x 中有一最大数x。那时，集内的一切数将满足不等式x≤ x ，即x为Χ的上界。另一方面，x 属于Ⅹ；因此，对于任何的上界M成立不等式x≤M。由此得结论，x是Χ集的上确界。

2^o　在集Ⅹ的诸数x中无最大数，用下列方法产生实数域内的一个分划。取集的一切上界〆’归入上组A’内，一切余下的实数归入下组A内。在这样分拆时，集Ⅹ中的一切数x将全部落在A组内，因依照假定，其中没有最大数。这样，A组及A’组均非空集。这种分拆实际上就是一个分划A/A’，因一切实数均已分入两组，且A’组内的任一数大于A组内任何数。根据狄特金基本定理，必有产生分划A/A’的实数β存在。因属于A组的一切数x，均不能超过对应分划A/A’的界数β，即β是所求的集Ⅹ的上界，故β属于A’组，且成为A’的最小数。这样，β就成为一切上界的最小数， 即β是所求的集Ⅹ＝{x }的上确界，记作β=sup{x}。　

下确界的存在证法完全与此相同。

若M*是数集{x}的上确界，则对于一切x恒有x≤M*。今取小于M*的任意数α，因M*是上界中的最小者，则α一定不会是集{x}的上界，则必能在{x}中找出数 x’，使

α

用这两个不等式就能完全表明集{x}的上确界的特征。

3、薄莱尔预备定理中“遮盖”的含义

满足不等式a≤x≤b (其中a，b是两个实数且a

4、区间套定理

在第4节例2的末段中，用到区间套定理，下面介绍这个定理。我们说一区间序列

[a₁，b₁]，]a₂，b₂]，……[a_n+1, b_n+1]……(1)

作成一个区间套，是指

1)     对任意的n，有[a_n+1，b_n+1]   [a_n, b_n]，即[a_n+1, b_n+1]中的点均属于

[a_n , b_n] ;

 2) b_n-a_n→0  (n→∞)

区间套定理 假如(1)是一个区间套，则必定有唯一的一个数存在，它属于一切区间 [a_n , b_n]。

证明：a_n , b_n是闭区间［a_n , b_n］的左，右两个端点。于是，显然有

a₁≤a₂≤a₃…a_n≤…≤b_n≤…b₃≤b₂≤b₁

而且对于任意的a_n≤b₁，因此，数列a_n递增而且有上界，根据前面的相关定理，则极限lima_n=c存在。现在假定k是一个任意的自然数。当n>k 时，则闭区间［a_n ,b_n］整个属于闭区间［a_k ,b_k］，所以，a_k≤a_n≤b_k。现在令n→∞, 而k保持固定，由于a_n→c，根据前面的相关相定理，就得到：

a_k≤c≤b_k

这就是说，c属于闭区间［a_k，b_k ］；但因为k是任意的，所以c属于给定的闭区间套一切区间。要想证明数c的唯一性，我们假定 另有第二个数d >c也属于一切闭区间［a_n ,b_n ］。于是这些区间的每一个的长b_n-a_n不小于 d-c，而这与b_n-a_n→0(n→∞)的条件矛盾!因此，数c的唯一性证明。

又因为a_n≤c≤b_n,取极限，则lima_n≤c≤lim b_n 。根据以前的相关定理，则有

lim(b_n-a_n)=limb_n-lima_n=0

所以有

lima_n=limb_n=c。

5、函数f(x) 在闭区间[a,b]内的一致(或称均匀)连续

这个概念在本书第4节例3中用到。先说函数f(x)在一点x。连续。简单地说，当

limf(x)=f(x₀)

时，就称f(x)在点x。连续。就是说，当x→x。时，函数f(x)的极限等于f(x)在x。的函数值f(x₀)，就称f(x)在点x。连续。如果用ε、δ语言来表述，即对任意小正数ε，有正数δ，使当|x-x₀|<δ时，则

|f(x)-f(x₀)|＜ε

值得注意的是，对给定的ε，当x。的位置变动时，正数δ也随之改变，即δ依赖x。所在位置，也就是当x₀处在不同位置，相应δ也不同。如果对给定的ε，存在正数δ。，无论x。在闭区间[a, b]内的任何位置，只要|x-x₀|＜δ。时，

|f(x)-f(x₀)|＜ε

恒成立，则称函数f(x)在闭区间[a , b]内一致连续。另外，一至连续也可以这么说，对给定的ε，存在正数δ₀，在[a，b]内任取两点x_、x₀，只要|x-x₀|＜δ。时，则|f(x)-f(x₀)|＜ε恒成立。在例3中，δ₀就是命题序列的第一命题中的δ=Min{δ_i/2}。（以上各问题摘编自微积分教材）

12. 本书摘要

推理是从若干命题（前提）直接得出一个命题（结论）的思维过程。在形式逻辑中推理分为演绎推理与非演绎推理。后者是指归纳推理，即归纳法。值得注意的是，还存在从数学证明中揭示出的另一种新的非演绎推理。以上三种推理之间的关系可图示如下：

演绎推理

事实上，从数学证明中揭示出的非演绎推理可看作形式逻辑中的非演绎推理的外延的拓广。

非演绎推理方法

根据本书3、4两节的论述，总结出非演绎推理方法如下：

1. 非演绎推理（即从数学证明中揭示出的非演绎推理的简称）为如下的推理：

（1）由若干个真命题按序组成的前提推出一个真命题作为结论。“按序”在某些简单推理中不是必需的。

（2）推理不遵循任何形式的演绎推理规则。

2. 非演绎推理的推导方法：根据前提中真命题的内容之间的密切联系与相互关联进行分析，推出一个内容为真的命题作为结论。

3. 非演绎推理的判断方法有两种：一种见本书第3节第一段；另一种见第7节末段。判断方法是判断推理不遵循任何形式的演绎推理规则。

4. 非演绎推理的表达形式

（1）基本类型

 基本类型是最简单的非演绎推理，它由一个或几个命题一次直接推出结论，推理具有简单、直观、自明的特点。

（2）整体思维形式

整体思维形式一般是由一个或几个相关真命题开始，与若干个简单的演绎推理及基本类型相互连接而成，连接方式是前一个推理的结论作为下一个推理的前提。整体思维形式的关键在于最后的推理结论是由基本类型推出的。

数学定理的证明是在数学推理属于演绎推理的观点下进行的，现在从数学证明中揭示出非演绎推理有什么意义呢？非演绎推理在数学证明中是原本存在的，只是尚未认知而已。它被揭示出来是有深刻意义的。在数学中，它能增进对数学证明及其中推理的理解；另一方面，由于推理的高度抽象性及一般性，它适用于自然科学及社会科学等诸多学科。

演绎推理与归纳法是公认的两种从理论上认识世界的基本推理；除此以外，从数学证明中揭示出的非演绎推理也应是一种从理论上认识世界的基本推理。

演绎推理一般表述为：由前提推出结论，或当前提为真时结论必真。但是这种表述隐含着歧义。按照这种表述，本书3、4两节中列举的非演绎推理例证也都是演绎推理。因此，上述演绎推理的传统表述导致矛盾。因此演绎推理的传统表述应该用赋值概念加以澄清，从而非演绎推理便被区分出来，消除了矛盾。演绎推理的传统表述被澄清后将与在数理逻辑中用逻辑推论给出演绎推理的确切表述相一致，同时前者成为后者的简化形式与应用形式。

The abstract of this book

Prefernce is the thinking process in which a proposition as conclusion is derived directly from some propostions as premiss. Preference is divided into deductive preference and non deductive preference in formal logic, the latter means inductive preference,namely, inductive method.

It is noticed that there exists another new kind of non deductive preference which is discovered from mathematical proof by the author. The relation among the above three preferences may be diagramed in the below form:

deductive prefernce

In fact, the non deductive preference discovered from mathematical proof may be considered as the expansion of the extension of non deductive preference in formal logic.

The method of non deductive preference.

The method of non deductive preference is summarized from the discussion in the section 3 and 4 of this book. It may be described as the following:

1. Non deductive preference (i.e. the brief calling of non deductive preference discovered from mathematical proof) is defined so:

(1) A true proposition as conclusion is obtained from some true propositions in order as premiss. But “in order” is not necessary in some simple preferences.

(2) The preference does not observe any form of the rule of deductive preference.

2. The method of deriving from premiss to conclusion.

A true proposition as conclusion is obtained by analysing the close or relative connection among the contents of the propositions in premiss .

3. The methods of judgement for non deductive preference have two kinds: one is refered to the first paragraph of the section 3; the other one is refered to the end paragraph of the section 7.  The method of judgement is to prove that the prefernce does not observe any form of the rule of deductive prefernce. 

4. The expression of non deductive preference has two forms:

(1) The fundamental model.

The fundamental model is the simplest non deductive preference which has three characteristics, namely, simplicity, intuition and explicitness itself. Its conclusion is derived directly for one time from one or several propositions as premiss.

(2) The whole thinking expression.

The whole thinking expression is formed by one or several true propositions in the beginning, some simple deductive preferences and the fundamental models. It’s the connected form among the preferences that the conclusion of the preceding preference is the premiss of the next preference. The key process is the last conclusion of the whole thinking expression is obtained by the fundamental model.

The poof of mathematical theorem is always done under the point of view in that mathematical preference belongs to deductive preference only. What meaning has it to discover non deductive preference in mathematics? Non deductive preference exists originally in mathematical proof, but it is not yet known until now. It is meaningful itself that this matter is discovered. In mathematics, it may improve the understanding of the mathematical proof and the preference in it; on the other hand, non deductive preference should be feasible in national and social science owing to the highest abstraction and generalization of preference.

It is universally acknowledged that deductive preference and inductive method are the two fundamental methods to know the world; besides them, now non deductive preference should be a new fundamental method to know the world also.

Deductive preference is generally expressed as: the conclusion is derived from the premiss; or when the premiss is true, then the cumulusion must be true. But this expression includs implicitly two different meanings. According to this expression, the examples of non deductive preference in the section 3 and 4 of this book are all the deductive preferences. Hence, the above conventional expression of  deductive preference leads to a contradiction. Herein, the above conventional expression should be clarified by using the concept of evaluation and thereby non deductive preference is distinguished out. The clarified expression of deductive prefernce will be united with its exact expression given by logical consequence in mathematical logic and will be the simplified form and the applied form of the exact expression of deductive preference too.

参考文献

[1]  胡世华、陆钟万 .《数理逻辑基础》[M].北京：科学出版社，1982.

[2]  Г.M.菲赫金哥尔茨.微积分教程[M].第一卷.北京：人民出版社，1995

[3]  中国大百科全书[Z]：哲学卷.北京.上海：中国大百科全书出版社，1987

[4]  张景中  数学与哲学[Z] 北京 中国少年儿童出版社2003

注

① 前提中的定理可代以定义或具有可化为“设A，则B”形式的已知条件、结论等。另外，演绎推理概念的确切表达可参阅[1]（p.316），应特别注意“逻辑推论”的定义及有关论述。

②薄莱尔预备定理：若闭区间[a,b]被一个开区间的无穷系

              ∑={σ}所遮盖，则恒能从∑里面选出有穷系

              ∑^* ={σ_{1  ，}σ_2，……σ_n},

       它同样能遮盖闭区间[a,b]。

③下面两个形式定理是等价的：

                 A→B，┑A→┑C  ┠  C→ B

                 A→B，┑A→┑C，C ┠ B 

④“任何命题”是指以某些命题与逻辑联结词组成的复合命题，例如第2节第八段中的“设A则B且设非A则非C”等，将其符号化即成“合式公式”（A→B）∧（┑A→┑C），或合式公式序列：A→B，┑A→┑C

⑤由回溯分析可知：

1． 向中心缩短一半得 。

2. 是 （i=1、2、…n）之一。

3. （i=1、2、…n） ={ ˊ}；因此 是某个 ˊ。

4. 此某个 ˊ是由∑={σˊ}内相应的某个σˊ向中心缩短一半而得.

5.  由以上可知 是某个最初始的邻域σˊ.

这样的回溯分析并不遵循任何形式的演绎推理规则.

⑥ 以上是根据作者下列论文修改而成的。

⒈ 《数学证明中的推理问题》中国矿业大学学报社科版第5卷第4期（2003-12）

⒉ 《数学证明中的演绎推理与非演绎推理》中国科技论文在线（2005-12-21）

⒊ 《论数学证明中的演绎推理与非演绎推理》中国科技论文在线（2006-10-559）及第二卷第一期《数学/力学》期刊