传承良好家风:中美两国国内数学教育的论争及其启示

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中美两国国内数学教育的论争及其启示
来源： 《中国教育学刊》2007年第2期 作者： 刑红军　张九铎　陈清梅                           [字体：大中小 ]
摘 要：中美两国的数学教育改革都在国内引发了争议。深入分析美国“数学战争”的缘起、争论和不同观点，并与我国数学界、数学教育界关于义务教育数学课程标准的争论对比，有助于了解中美两国基础教育课程改革中存在的问题。我国基础教育课程改革应当正确认识学生的自主探究、正确认识教师的主导作用、正确认识学科的传统体系。这在一定意义上为我国基础教育课程改革提供了有益的启示。
关键词：数学教育；基础教育；课程改革
一、美国“数学战争”的爆发
美国国内将肇始于1962年的有关数学教育的论争称为“数学战争”。其时，美国“新数学运动”正处于高潮。75位美国和加拿大的著名数学家联名在《美国数学月刊》上发表了一封公开信，指责“新数学运动”做得太过分，旗帜鲜明地反对空洞抽象的理论和僵化的形式主义，呼吁学生应当学习“初等代数、平面与立体几何、三角、解析几何和微积分”等传统基础数学，同时还强调学生应当能够相当熟练地应用数学语言去找出证明，在具体实践中认识数学概念或得出数学概念。
1996年冬，美国“数学战争”再次爆发。在第三次“数学和科学国际测试”中，美国学生表现不佳。在37个国家和地区参加的数学测试中，美国名列第21名，在工业发达国家中处于末尾。
1997年，美国加州大学(伯克莱)的数学教授伍鸿熙首先发难，他认为美国的数学课程标准存在忽视基本训练，甚至包含错误。他举的例子是加州的课程标准中的“周长和面积的关系”一节。学过数学的人都知道 “二者间没有一般的关系”。一些科学家抱怨美国数学教
育界推行的课程“一英里宽、一英寸深”，没有深度，造成学生学业成绩下降。［１］497
美国乔治亚大学(伯克莱)的数学教育教授K·开伯屈克(K．Kilpatrik)则持相反观点。他认为美国的数学教育正在逐步改善，SAT测验的成绩也在提高。数学教育改革的口号“问题解决”“小组学习”“强调数学在日常生活中的应用”等是对的。美国优秀学生的数学成绩不错，在创造性思维方面有优势。数学教育不能退回到旧时代去。
两派在报纸上公开进行激烈的辩论。1998年1月8日，美国教育部长R·赖利(Riley)发表演说，要求双方“停火”。R·赖利在分析美国数学教育的状况时承认问题很多，但认为在两种不同观点之间存在着“中间地带”。他在演说中要求停止这场混战，否则“真正受损失的是美国学生”。
R·赖利的呼吁收到一定的效果。美国数学教师协会(NCTN)组织一些优秀的数学教育专家重新修订了原来的数学课程标准，在制定标准的原则、教学的内容等诸多方面做了修改，尤其注意加强基本训练。数学课程标准的初稿在1998年底公布并征求意见，预计2000年定稿发表。
但事情在1999年又发生变故。1999年10月初，一个专家小组向教育部推荐了10种教科书和参考书作为 “示范的”或“有希望的”教学方案。美国教育部批准了这一建议，并将这些教学材料下发到全国15000多个学区。
11月8日，美国《华盛顿邮报》刊登了给教育部长R·赖利的一封公开信，签名的有近200名数学家、物理学家，其中包括诺贝尔奖获得者L·莱德曼(L．Ledermall)和朱棣文，他们要求R·赖利撤消对10种数学教学读物的推荐。
公开信批评的焦点是小学四则运算忽视了“算法”。文章还引用了以下观点：1)美国数学学会(AMS)组织的一个委员会明确指出，算术的算法不仅是找到答案的方法，它与后来的多项式代数运算有着天然的联系。2)加州大学(圣他巴巴拉)数学系主任的文章认为：教育部推荐的《数学园地》读物竟然没有提及“乘法的标准方法”。3)美国科学院院士、威斯康星大学教授R·阿斯克(R．Askey)批评另一种推荐的数学读物“完全忽视了分数除法”的课题。
公开信发表之后，许多媒体都进行了报道，美国 “数学战争”又死灰复燃。
NCTM立即做出反映，认为10种数学教学材料的推荐是郑重的、负责任的，欢迎数学家和科学家参加讨论，但是教育部长没有必要撤回这一推荐。国际数学教育委员会主席、哥伦比亚大学著名数学教授H·巴斯 (H．Bath)撰文表示，数学家参与数学教育应该受到鼓励，也可以做出贡献。但发表公开信的做法不好，它使数学家与数学教育家的合作难以进行。[11499
12月10日，13名从事数学教育的大学教授发表声明，表示“专家小组”应该有数学家参加，对“公开信”提出的“提高算术计算能力的唯一甚至是最好的方法是用'纸和笔’的运算”的观点不赞同，认为这一观点“没有理论研究和实践经验的支持”。在21世纪即将到来的时刻，使用计算器和计算机进行计算是必然的事。
最后，教育部长R．赖利回答了公开信。他欢迎数学家参与数学教育的研究和决策。但认为撤回对10种数学教学读物的推荐则没有必要。因为决定权在各州和各个学区，相信他们会很好地行使自己的权利。[1]499
对于美国的“数学战争”，我国数学教育家的观点是：1)数学教育的决策应当邀请活跃的数学家参加，但是数学家采取“轻视数学教育工作”的态度是不好的；2)美国数学家关注“数学基本能力”的诉求值得注意；3)采用“公开信”的手段进行学术讨论，效果不好；4)数学家与数学教育家之间的沟通需要加强；5)中国和美国的数学教育恰恰在东西方差别的两端，我们应当找到平衡点，保持合理的均衡。[1]500
二、我国数学教学论争的缘起
我国国内有关数学教学的论争缘于《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》  (以下简称新课标)的制定。
2000年8月，中国数学会教育工作委员会举行座谈会，专门邀请部分院士、数学家对当时的新课标征求意见稿进行讨论。会上，一些数学家对新课标提出了尖锐的批评。2001年7月新课标正式推出后，这些批评意见也没有停止。
批评的焦点之一是新课标对欧氏几何(平面几何)等注重推理证明的数学内容的处理。新课标用“空间与图形”替代了“平面几何”，但不少数学家认为，作为训练学生逻辑思维的主要内容，平面几何在新课标中应该得到加强。但新课标里平面几何“几乎消失了”。著名数学家陈省身2002年接受采访时曾强调，中学一定要讲欧氏几何，几何推理的部分不能取消，整个数学就是建立在推理之上的。
批评的焦点之二是新课标的“体系创新论”。新课标打破了传统的代数、几何、三角的分科，代之以“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合运用”四大版块。这种创新，实际上打破了千百年来形成的数学科学体系。湖南师范大学匡继昌教授认为“教学体系不一定完全照搬科学体系，但也不能完全脱离科学体系另搞一套。新课标打乱了传统的科学体系，结构松散、跳跃，给教和学带来了极大的困难。”［２］
批评的焦点之三是新课标的“学生自主探索论”。数学家们认为：新课标强调让学生自主探索，这本身并不错，但绝不能代替数学上的严格证明。数学与物理、化学等以实验为基础的学科的最大不同就在于数学证明的逻辑严格性。丢掉了数学证明，就丢掉了数学的核心。
批评的焦点之四是新课标的“数学应用论”。对于新课标强调加强应用数学的观点，中山大学徐远通教授认为“数学在义务教育阶段不必引入太多的应用内容，以免让学生眼花缭乱而掌握不到数学的科学实质。数学应由它的简洁、明确和强烈的规律性来引起学生的好奇心和学习兴趣，而不是用繁杂的事例来灌输知识。”［２］
数学新课标再次坐上“火山口”，缘于2005年1月22日中国数学会召开的迎春茶话会，许多院士、数学家对当前的数学教育改革发表了比较“集中”的意见。2005年2月23日，中国数学会教育工作委员会召开了扩大会议，邀请姜伯驹、王梓坤等院士以及部分中学教师与会，以“义务教育阶段数学课程标准的回顾与讨论”为议题进行讨论，交流思想，交换看法。会上，数学家们普遍认为，这次数学教育改革“有点革命的味道”。事实上，数学教育只能改革，不能革命，否则社会、教师、学生都无法接受。［３］
2005年3月16日，《光明日报》发表了“义务教育新课标让数学课失去了什么?”的访谈文章。姜伯驹院士认为“新课标全面否定了过去的数学体系，全面否定了我国中等教育的优良传统，大大淡化了数学中的推理证明。”他指出：义务教育数学新课标“改革的方向有重大偏差”“方向是错误的”。［４］
2005年6月1日，《中国教育报》发表了“对话义务教育数学新课标”的访谈文章，新课标有关负责人认为：“数学新课标的大方向应当肯定”。文章还阐述了以下观点：1)在义务教育阶段的数学课程中，数学的抽象、简洁、规律性和论证功能要慢慢地逐步渗透。因此新课标首先考虑的是数学学习内容是不是现实的，是不是有意义，是否与学生的年龄特征和学习水平相适应，把数学在哪里、数学是什么、数学有什么用的问题突出出来。所以，新课标最重要的理念就是：数学学习内容要与学生熟悉的生活有关，要重视学生已经积累的数学经验，要通过具体的问题情景引出数学问题，要让学生经历解决数学问题的过程并重视这个过程。在这方面，新课标的理念与传统数学课程之间确有很大不同。2)新课标的体系结构可能会导致“新课标的结构体系有问题”的看法：一个是新课标强调重视学生的经验，强调数学内容要通过问题情景引入，强调让学生经历解决问题的过程，这就使得数学的应用从传统上数学考察内容的终端一下子置换到了起点。以前是把知识学完了再应用，现在是通过用来学、在解决问题的过程中学。这其中确实存在一个“另起炉灶”的问题。第二个是新课标对内容结构的设置。新课标中数学知识内容一共有4个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用。前3个领域都不可能按照自己的学科体系从头至尾地发展，都将被实践与综合运用这个领域多次打断，总是要阶段性地交织在一起解决问题。这些对学生的成长和发展都具有至关重要的启示作用。3)新课标在安排几何内容时采取了首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案。这个思路我们认为是对头的，弱化的部分也还会在高中继续出现。让直观几何与推理几何并重，把发现与证明绑在一起，与传统的几何课程体系确有不同。
新课标负责人认为：“数学新课标确定的基本理念是正确的，最值得肯定的是这个大的方向。这个方向不能否定，要努力坚持。”［２］
对于上述观点，数学家们并不认同。2005年8月，姜伯驹院士在《数学通报》上发表了“关于初中数学课程标准的'基本理念”’的文章。文章认为：1)基础教育既要提高国民素质，又要保证人才辈出。“大众教育”与“精英教育”不是对立的。精英来自大众，包含在大众之中。社会的发展呼唤人才，需要千万精英。西方的教育体制是多元的，精英的基础教育另有讲究，课程标准所规范的是面上的大众教育，这是国外时髦教育理论产生的背景。我国教育体制上的矛盾使我们更应该高度警惕“理论陷阱”，学术上无伤大雅的理论，一旦以政府的名义铺天盖地清一色的生搬硬套，往往会误国误民。2)《课标》研制组提出了“大众数学”的旗号，据说是“mathematics for all”的中国版。最初听到的表述是“义务教育阶段学人人都能掌握的数学”，其余的应该放到义务教育之后，突出了平等、公平、民主的诉求。另一个版本是“人人学有用的数学；有用的数学应当为人人所学；不同的人学不同的数学”，亮出了实用主义的旗帜。正式的说法又改成：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。这样吞吞吐吐、躲躲闪闪、讳莫如深的“基本理念”应该删去。3)《课标》针对过去教学中存在的通病，强调教学过程中学生的参与、体验和创造，然而却走向了另一个极端，避而不谈教师在整个教学过程中的主导作用。但是如果缺少了教师的正确主导作用，学生的活动就会失去方向。［5］
对于我国的这场数学教学论争，我们的观点是：1)数学家关注“数学课程标准”的诉求应当重视。数学教育的决策一定要请数学家参加，数学家对于数学的本质、数学的美、数学的力量肯定有更高的认识，不能因为数学家对教育理论是外行就不听取他们的意见。2) “数学课程标准”的争论从学术殿堂走向民间，能够在大众媒体上公开进行讨论并得到国家教育主管部门的高度重视，效果较好。3)数学教育家采取“轻视数学家”的态度是不好的。姜伯驹院士在《课标》酝酿过程中提了相当尖锐的意见，“被人家嗤之以鼻，说是这个地方讲的是大众数学，跟你们数学家没有关系，我们讲的不是培养数学家”［３］。因此，数学家与数学教育家之间的沟通需要加强。4)要防止一些时髦的理论将教改引入歧途，以免重蹈美国等国家或地区教育改革失败的覆辙。5)中国与美国的数学教育有所不同，我们应当认清自我，合理借鉴。
三、若干启示
(一)应当正确认识学习活动中学生的科学探究
新一轮基础教育课程改革提出了提高全体学生科学素养的课程理念，并把“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”作为课程目标，认为课程目标实现的重要方式是科学探究。显然，科学探究教学主要基于杜威的教育理论。这是一种“从做中学”的教学方式，在“做”中验证所获经验的有效性。对此，我们应保持必要的警觉和怀疑。
自20世纪50年代，杜威的教学理论已被美国教育界视作导致教育质量下降的重要根源。这是因为，杜威的理论并未处理好获取知识与发展能力的关系问题。他将知识的获得从属于探究的过程，但系统知识的存在形式是逻辑的，其根本特性是具有很强的概括力和包容性，并非所有的系统知识都可以通过探究而获得。因此，怎样才能获得系统知识，在杜威的理论中始终是一个悬而未决的问题。即使是杜威本人也承认，按照他的要求来解决教材和课程问题“是非常困难的，我们并没有解决好；这个问题到现在还没有解决，而且永远不可能彻底解决。”［６］这种在教育史上已被证明是失败的课程改革指导理论，今天却未经过深刻反思，便被冠以建构主义的标签重新登场，这不能不引起我们的深思。
怎样将学生的直接经验通过“自主探究”转化为系统的知识，这是一个非常难以解决的问题。首先，学生的直接经验是非常有限的，这就使“自主探究”建立在一个不甚宽厚的基础之上；其次，“自主探究”需要花费相当长的时间，而学校教育的时限却是短暂的；第三， “自主探究”过高估计了学生组织知识的能力，忽视了教师指导的作用。事实上，“自主探究”学习与在教师指导下学习二者不同。对此，许多人并无深刻的洞察，学校教育应取后者而非前者。
(二)应当正确认识教学活动中教师的主导作用
在基础教育课程改革中，一些建构主义观点十分流行。例如：“在教学活动中，学习是学生通过自主活动对知识意义的建构过程，在这个过程中，知识不能简单地由教师传授给学生，必须通过学生的自主活动主动地加以建构才能获得，这个建构过程是不可能由其他人来代替”［７］。“学生的知识习得，归根结底依附于学生自身的感官经验与生活方式。知识仅仅靠'教师讲授’是难以习得的。”［７］
针对数学新课标以自主探索和合作交流作为教学活动主要方式的取向，姜伯驹院士认为这“不符合人类认识发展的规律”；“不强调以吸收、继承间接经验为基础而片面强调创新，容易孽生虚妄”。因此“有必要重申教师在教学中的主导地位，重申讲课、课堂讨论、课外作业是主要的教学方式”。［５］
我们认为，“传授一接受教学”方式应成为实现基础教育课程目标的主要途径。这是因为，科学教育内容只有通过教师的讲授才有生命力，才能显示其内涵、色彩、格调以及内在的理由、作用和功能。正是在这个意义上，我们认为“传授一接受教学”方式不仅可以使学生有效地学习科学知识、掌握科学方法，而且也能很好地训练技能，培养学生的能力。
(三)应当正确认识传统学科教学体系的科学性
基础教育课程改革需要正确地认识学科结构、课程结构和教材结构及其相互的关系，并在教学中恰当地运用，以使学生形成良好的认知结构、能力结构和品格结构，从而最大限度地发挥教育的功能。
学科体系中的学科结构、课程结构、教材结构，往往经历了实践经验的广泛积累和汇集以及大量实际材料的加工，再通过总结教学经验、理论思考和教学实践，从而逐渐形成学科教学体系。学科教学体系具有一定的稳定性和规律性以及相当的合理性和可行性。因此，义务教育数学新课标“使得数学的应用，从传统上数学考察内容的终端，一下子置换到了起点”的做法值得商榷。
基础教育课程改革牵动着整个社会，广大教师、家长和学生都是直接或间接的参与者。课程改革应当是一个渐进的过程，“欲速则不达”。课程改革可以提高教学质量，也可能降低教学质量。上世纪90年代我国台湾地区课程改革以失败而告终便是一个明证。目前，我国中小学生超过两亿，运用先进的教育理论来指导课程改革显得尤为重要。基础教育课程改革，必须继承传统，循序渐进。
参考文献：
[1]张奠宙．数学教育经纬[M]．南京：江苏教育出版社，2003．
[2]储召生，赵小雅．对话义务教育数学新课标[N]．中国教育报，2005—06-01(3)．
[3]2005年中国数学会教育工作委员会扩大会议实录[J]．数学通报，2005(4)：１－13．
[4]蔡闯，周迅．义务教育新课标让数学课失去了什么? [N]．光明日报，2005—03-16(B1)．
[5]姜伯驹．关于初中数学课程标准的“基本理念”[J] ．数学通报，2005(8)：I-4．
[6]吴式颖．外国教育史教程[M]．北京：人民教育出版社，1999：519．
[7]斯特弗，盖尔．教育中的建构主义[M]．高文，徐斌艳，程可拉，译．上海：华东师范大学出版社，2002：封底．
责任编辑：谢广夫
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[2008-08-17]
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