1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1．等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， ．求数列 的通项公式.
解：设数列 公差为
∵ 成等比数列，∴ ，
即
∵ ， ∴ ………………………………①
∵ ∴ …………②
由①②得： ，
∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练一练：已知数列 试写出其一个通项公式：__________；
2.公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法： 。
例2．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式。
解：由
当 时，有
……，
经验证 也满足上式，所以
点评：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
练一练：①已知 的前 项和满足 ，求 ；
②数列 满足 ，求 ；
3.作商法：已知 求 ，用作商法： 。
如数列 中， 对所有的 都有 ，则 ______ ；
4.累加法：
若 求 ： 。
例3. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
如已知数列 满足 ， ，则 =________ ；
5.累乘法：已知 求 ，用累乘法： 。
例4. 已知数列 满足 ， ，求 。
解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即
又 ，
如已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求
6.已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。
（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。
① 解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列 中， ， ，求 .
解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 .
② 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用 的方法解决.。
例6. 已知数列 中， , ，求 。
解：在 两边乘以 得：
令 ，则 ,应用例7解法得：
所以
练一练①已知 ，求 ；
②已知 ，求 ；
（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。
例7：
解：取倒数：
是等差数列，
练一练：已知数列满足 =1， ，求 ；
数列通项公式课后练习
1已知数列 中，满足a ＝６，a +1=2(a +1) （n∈N ）求数列 的通项公式。
2已知数列 中，a ＞0,且a ＝３， ＝ ＋１ （n∈N ）
3已知数列 中，a ＝３，a ＝ a ＋１（n∈N ）求数列 的通项公式
4已知数列 中，a ＝１，a ＝3a ＋２，求数列 的通项公式
5已知数列 中，a ≠０，a ＝ ，a ＝ （n∈N ） 求a
6设数列 满足a =4，a =2，a =1 若数列 成等差数列，求a
7设数列 中，a =2，a =2a +1 求通项公式a
8已知数列 中，a =1，2a = a + a 求a
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