青岛园林学校:★经典问题—欧几里得求最大公约数

来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/05/05 04:22:16

问题：快速求取正整数a，b的最大公约数？

欧几里得算法（又称辗转相除法）


定理：gcd(a,b) = gcd(a,a mod b)

证明：对于任何正整数a，b。如果a>b，都有a=k*b+r 即r=a-k*b => r=a mod b.

假设d为a，b的公约数，则a=a1*d，b=b1*d。

而r=a1*d-k*b1*d=(a1-k*b1)*d => d也是r的约数 => d也是(a，r)的公约数

则说明(a，b)的公约数也就是(a，r)的公约数。因此gcd(a，b)=gcd(a，a mod b)。

Java代码

  1. /**
  2. * 求最大公约数
  3. *
  4. * 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
  5. * 其计算原理依赖于下面的定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
  6. *
  7. * @author heartraid
  8. */
  9. public class EuclidDivisor {
  12. public static int getDivisor(int a,int b){
  13. if(a%b==0) return b;
  14. if(b%a==0) return a;
  15. return a>=b?getDivisor(a,a%b):getDivisor(a,b%a);
  16. }
  18. public static void main(String[] args) {
  19. System.out.println(EuclidDivisor.getDivisor(12,8));
  20. }
  22. }

引申： 快速求取正整数a，b的最小公倍数？首先求出a,b的最大公约数c=(a,b)，然后用a*b/c 即可。

使用欧几里得算法，求给定两个整数的最大公约数。 求最大公约数 关于求最大公约数出现的问题 如何求最大公约数？ 如何求最大公约数？ 求各组的最大公约数 求经典开门问题！ 怎么求最大公约数和最小公倍数 怎么求最大公约数和最小公倍数 求两个最大公约数的算法 编程求最大公约数与最小公倍数 最大公约数 ABCD四个数，已知AC最大公约数72，BD最大公约数90，求四个数的最大公约数是多少？ 两个数求最大公约数公式是什么？？？ 求n个自然数的最大公约数 怎么求最小公倍数和最大公约数啊？？？ 谁知道假分数怎么求最小公倍数和最大公约数 在Pascal中，如何求高精度最大公约数 请教:C语言求最大公约数和最小公倍数 关于用C求最大公约数的题目！ C++求算两个数的最大公约数 欧几里得的求学历程? A B的最大公约数是72,C D的最大公约数是90，求这4个数的最大公约数是几 两个数5比4,他们的最大公约数和最小公倍数的和是803,求最大公约数