鸡血玉石:圆的周长和面积

作者：佚名 点击数： 18475
2006-12-14 来源:小学生同步辅导网
学习目标
1、使学生理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能正确并灵活运用圆的周长公式进行计算正确。
2、使学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式，并能正确并灵活的运用公式进行计算。
3、培养学生的观察、比较、分析、综合及动手操作能力。
4、渗透转化思想；初步了解极限思想。
5、领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法。
学一学
1、  一个人要从A点到B点（如图），他可以按①号箭头所表示的路线走，也可以按照②号箭头所表示的路线走。哪条路线近？为什么？

分析：   假设大圆的直径为D，三个小圆的直径分别为d1 、d2 、d3，按照题意，1号箭头（绿线）所表示的路线是大圆周长的一半，即πD÷2；2号箭头（蓝线）所表示的路线是三个小圆周长的一半的总和，即πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2＝π（d1＋d2＋d3）×。因为d1＋d2＋d3＝D，即πD÷2＝πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2，所以两条路线同样长。
解：设外面半圆直径为D，三个小圆直径分别为d1 、d2 、d3；则：D= d1＋d2＋d3。
外面半圆路线周长：C①=πD
里面三个小半圆路线周长： C②=πd1+πd2+πd3
C②=π（d1＋d2＋d3）
因为：D= d1＋d2＋d3
所以：C②=πD
所以：C①=C②
答：两条路线一样长。
2、  一个长方形的长是6.42米，宽是3米，这个长方形的周长与一个圆的周长相等，这个圆的周长的半径是多少米？
分析：如果想求圆的半径需要知道圆的周长，根据这个长方形的周长与一个圆的周长相等，     长方形的周长等于（6.42+3）×2=18.84（米），说明圆的周长也是18.84米，从而求出圆的半径。
解：长方形的周长：（6.42+3）×2=18.84（米）
圆的直径：18.84÷3.14=6（米）
圆的半径：6÷2=3（米）
答：这个圆的周长的半径是3米。
3、求这个花坛的周长（如图）。

分析：求花坛周长实际就是求4个半圆的周长。因为4个半圆都是以同一个正方形的边长为直径，所以4个半圆的周长相等，相当于2个圆的周长。
解：3.14×10×2
= 31.4×2
=62.8（米）
答：这个花坛的周长是62.8米。
4、某学校操场的跑道是由正方形两条对边和两个半圆组成的。形状大小如下图，跑道一周的长度是多少米？

分析：跑道的周长是一个简单的组合图形。这个图形的周长等于两个半圆的长度与正方形两条边的长度之和。半圆的直径等于正方形的边长，两个半圆的长度合起来是一个圆的周长。所以解答时直接应用圆的周长公式。
解：


     （米）
答：跑道一周的长度是257米。
5、一只挂钟的分针长20厘米经过45分后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？
分析：分针尖端所走的路程，可以看作是一个点在半径为20厘米的圆上移动的长度。现在要求经过45分后，分针尖端所走的路程，就是求圆周长的是多少。
解：



（厘米）
答：分针尖端所走的路程是厘米。
6、下面图形的周长是多少厘米？你能想出几种算法？怎样算最简便？

分析：仔细观察后发现这个图形是由一个大半圆和两个相等的小半圆组成的。大圆的半径等于小圆的直径，计算出这些半圆周长之和即可。算法至少有五种。
解一：


（厘米）
解二：


（厘米）
解三：


（厘米）
解四：

（厘米）
解五：

（厘米）
答：这个图形的周长是厘米。
7、  一个圆形花坛，直径是10米，在它的外墙铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？

分析：这条小路的面积实际就是环形的面积。内圆直径已知，外圆直径（如图）应该是10＋2＝12米，从而可以知道内圆和外圆的半径，再根据环形面积公式即可求出小路面积。
解：
外圆半径：（10÷2）+1=6（米）
内圆半径：10÷2=5（米）
环形面积：(6×6－5×5)×3.14
= 11×3.14
= 34.54(平方米)
答：这条小路的面积是34.54平方米。
8、正方形的面积是10平方米，求圆形面积是多少平方米？（如图）

分析：正方形的面积是边长×边长，因为正方形的边长等于圆的半径，所以边长×边长＝半径×半径＝，根据公式即可求出圆的面积 。
解： 3.14×10=31.4（平方米）
答：圆形的面积是31.4平方米。
9、求花坛的面积（如图）。

分析：首先观察一下：花坛的面积是四个半圆的面积加上一个正方形的面积，正方形的边长是10厘米，而且圆的直径也是10厘米，根据公式即可求出花坛的面积。
解：  圆的面积：3.14×（10÷2）2 ×2
= 3.14×25×2
=157（平方厘米）
正方形面积：10×10＝100（平方厘米）
花坛面积：157＋100＝257（平方厘米）
答：花坛面积是257平方厘米。
10、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆（如下图）。这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的铁皮的面积占原来正方形的几分之几？

分析：观察这道题的图使我们直观认识到，在一个正方形里，当圆的直径等于正方形的边长时，所画的圆最大。也就是要剪下的圆的直径等于正方形的边长时，才能剪下一个最大的圆。
解：（1）圆形铁皮的面积是：
（平方厘米）
（2）正方形的面积是：
（平方厘米）
（3）剩下的占原来的几分之几：



答：圆形铁皮的面积是平方厘米。剩下的铁皮面积占原来正方形的。
11、下面的图形是一个边长为10厘米的正方形，计算阴影部分的面积是多少平方厘米？

分析：这个正方形图形是由阴影部分和4个圆组成的。4个圆合在一起是一个整圆，所以只要计算一个正方形与一个圆的面积之差即可。圆的半径等于正方形的边长的一半。
解：（1）正方形的面积：10×10＝100（平方厘米）
（2）圆的面积：（平方厘米）
（3）阴影面积： 100－78.5＝21.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是21.5平方厘米。
12、一根绳子长31.4米，用它围成正方形面积大，还是围成的圆面积大？计算一下，比比看。
分析：题中绳长31.4米，用它围成正方形或围成圆。说明正方形和圆的周长都是米。那么，这道题的实质是已知正方形和圆的周长，求它们的面积，且比较面积的大小。
解：
（1）正方形的边长：（米）
（2）正方形的面积： 7.85×7.85≈61.6（平方米）
（3）圆的半径：31.4÷2÷3.14＝5（米）
（4）圆的面积：（平方米）
（5）比较大小：61.6＜78.5
答：围成的圆形面积大。
练一练
一
1、圆的周长是这个圆的直径的（      ）倍， 圆的周长是这个圆的半径的（      ）倍。
2、如果圆的半径扩大2倍，那么圆的直径扩大（     ）倍，那么圆的周长扩大（     ）倍。
3、半圆的周长=（            ）
4、知道圆的（        ），就可以求圆的周长。
5、你能求出电扇的扇叶转动一圈的轨迹的长是多少吗？怎么求？
6、半径是3分米的一个圆，它的周长是（   ）分米。
7、一个直径是4厘米的半圆形，它的周长是（    ）平方厘米。
8、圆周率就是3.14，对吗？   （     ）
参考答案
1、π倍；2π倍
2、2倍；  2倍
3、＋d
4、半径或直径。
5、只要知道扇叶的长度即可。把扇叶的长度作为圆的半径。
6、18.84分米
7、12.56平方厘米
8、×
二
一、求下面各圆的周长（单位：厘米）
1、  r＝2     r＝3     r＝5
2、  d＝2    d＝3     d＝5
二、应用题
1、展览馆门前的圆形水池周长是78.5米，它的直径是多少米？半径是多少米？
2、一台压路机前轮半径是0.4米，如果前轮每分钟转动6周，十分钟可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？
3、用一条长20米的绳子围绕一棵树干绕了6圈，还余下1.16米，这可树干上的直径大约是多少米？
4、一条甬路长47.1米，小明在用路上滚铁环，铁环直径为30厘米，从用路的一端滚到另一端，铁环要转多少圈？
参考答案
一、1、 3.14×2×2＝12.56（厘米）
3.14×3×2＝18.84（厘米）
3.14×5×2＝31.4（厘米）
2、 3.14×2＝6.28（厘米）
3.14×3＝9.42（厘米）
3.14×5＝15.7（厘米）
二、1、25米； 12.5米
2、150.72米
3、1米
4、50
三
1、  口算：
1×3.14=   　　3×3.14=　　 4×3.14=
6×3.14=   　　8×3.14=   　　9×3.14=
2、 计算下面各圆的面积。（单位：厘米）
（1）  r=1    s=_________
（2）  r=3    s=_________
3、  填空：
把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆的（       ），宽相当于圆的（       ）。因为长方形的面积是（         ），所以圆的面积是（        ）。
4、判断：
（1）圆的面积公式是s = πr2 或者s=2πr  （         ）
（2）r2=r×2                             (          )
（3）半圆的周长等于圆的周长的加直径的长，所以半个圆的面积等于圆面积的加直径的长度。         （          ）
参考答案
1、3.14      9.42     12.56
18.84     25.12    28.26
2、 （1）3.14×1×1＝3.14（平方厘米）
（2）3.14×3×3＝28.26（平方厘米）
3、；  r；   s=ab     s = πr2
4、（1）× （2） × （3） ×
四
1、选择：
（1）如果一个圆的直径与正方形边长相等，那么圆的面积（     ）正方形的面积。
A：大于        　　B：等于        　　C:小于
（2）如果圆的半径扩大3倍，那么他的面积扩大（        ）倍。
A：3倍        　　B：6倍       　　C：9倍
（3）如果圆的周长等于正方形的周长，那么圆的面积（     ）正方形的面积。
A：大于        　　B：等于        　　C:小于
2、应用题：
（1）公园里自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？
（2）一块草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？
（3）一个养鱼池周长是100.48米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？
（4）从一个长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板是多少平方分米？
参考答案
1、（1）C   (2)  C  (3)  A
2、（1）3.14×10＝314（平方米）
（2）50.24÷3.14÷2＝8（米）
3.14×8＝200.96（平方米）
（3）100.48÷3.14÷2＝16（米）
3.14×（16－6）＝690.8（平方米）
（4）4÷2＝2（分米）
5×4－3.14×2＝7.44（平方分米）
读一读
圆周率
1、 π
圆周率是圆的周长和他的直径的比。这个比值是一个无限不循环小数，通常用小写的希腊字母π表示。
π来源于希腊文周长的缩写，以前人们用π来表示周长，用δ表示直径，用π/s表示圆周率。1706年，英国数学家琼斯在他的一本书中首次使用π做圆周率，但当时并没有被大家所接受。1737年，大数学家欧拉在他的著作中引用π做圆周率，才逐渐被推广开来，并沿用至今。
在我国古代数学中，圆周率的名称也很不一致，有称圆率的，也有称周率的，符号表示也不一致。直到20世纪初，我国数学著作由竖版改为横版后，才逐渐的用π表示圆周率。
2、圆周率是怎样计算的呢？

在半径r的圆中做一个内接六边形（如图）。这时正六边形的边长等于圆的半径r，因此，正六边形的周长等于6r。如果把圆内接正六边形的周长看作圆的周长的近似值，然后把圆内接正六边形的周长与圆的直径的比看作为圆的周长与圆的直径的比，这样得到圆周率为3，显然这是不精确的。
如果把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边形、二十四边形……，不难看出，当圆的正多边形的边数不断成倍增加时，他们的周长就越来越接近圆的周长。
也就是说他们的周长与圆的直径的比值，也越来越接近圆的周长与圆的直径的比值，根据计算，得到以下数据：

这样，我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的计算方法。
3、π精确度更新进程：
1500年前            中国祖冲之              3.1415926——3.1415927之间
17世纪初            荷兰卢道夫              35位
1841年              英国卢瑟福              152位
1853年              德国达瑟                200位
1853年              英国卢瑟福              400位
1873年              英国香克司              525位
随着电子计算机的出现，计算产生了根本改观。
1848年                                                                                                                                        808位
1849年                                                                                                                                        1120位
1952年                                       　　　　　　　　　　　　　　2037位
1990年                                                                                                                                    4.8亿位
1997年                                                                                                                                    515亿位
人们把圆周率的计算称为数学史上的“马拉松”，由于圆周率的知名度与其不规律性，许多人在背诵圆周率上展现自己惊人的记忆力。1999年，马来西亚大学生沈宝翰在15小时内背诵到了小数点后67053个数字，被《伦敦吉尼斯世界大全》收录。
祖 冲 之 简 介
祖冲之：（429—500）南北朝时代南朝科学家，字文远，范阳遒（今河北涞水县北）人，他推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出了π的约率22/7和密率355/113，其中密率值要比欧洲早一千多年。数学著作有《缀术》和《九章术义注》，已经失传。
在天文学方面，他编制的《大明历》，首先考虑到了岁差问题的计算，对于日月运行周期的数据比当时的其他历法更为准确确；又曾改造指南车，作水碓磨，千里船等，都很机巧。他的儿子祖暅曾修订《大明历》，并首先求出了球体积的准确计算公式。