找朋友儿歌歌词 再见:第 一 章 逻辑代数基础

第 一 章 　逻辑代数基础                

教学要求：

理解数制与编码，掌握数制间的转换；

熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式；

理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数；

掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。   

教学重点：

数制与编码。

逻辑函数及其表示。

逻辑函数的化简。
1.1 概述
布尔：英国数学家， 1949 年提出变量 “ 0” 和 “ 1” 代表不同状态。

本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的代数化简法

和卡诺图化简法。逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。

1.2 逻辑函数及其表示法

1 . 2 . 1 基本逻辑运算

1 、与运算 ——— 所有条例都具备事件才发生

开关： “ 1” 闭合， “ 0” 断开　　　　； 灯： “ 1” 亮， “ 0” 灭

真值表：把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。

逻辑表达式： L=K1*K2 ( 逻辑乘 )

逻辑符号： 原有符号：

讨论与逻辑运算的逻辑口诀

逻辑功能口决： 有 “ 0” 出 “ 0” ，全 “ 1” 出 “ 1” 。

2 、或运算 ——— 至少有一个条件具备，事件就会发生。

真值表：

K1

K2

L

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

逻辑表达式： L=K1+K2 （逻辑加）
逻辑符号：

讨论或逻辑运算的逻辑口诀

逻辑功能口决：有 “ 1” 出 “ 1” 全 “ 0” 出 “ 0”

3 、非运算： — 结果与条件相反

    逻辑表达式： 1

逻辑符号：

1.2.2 几种导出的逻辑运算

一、与非运算、或非运算、与或非运算

　 二、异或运算和同或运算

逻辑表达式： 相同为 “ 1”，不同为 “ 0”

1. 3 逻辑代数的基本定律和规则

1.3.1 逻辑代数的基本公式

一、逻辑常量运算公式

表 1.3.1 逻辑常量运算公式

二 逻辑变量 、 常量运算公式

表 1.3.2 逻辑变量 、 常量运算公式

变量 A 的取值只能为 0 或为 1 ，分别代入验证。

1.3.2 逻辑代数的基本定律

逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。这些定律和普通代数

相似，有其独特性。

一、与普通代数相似的定律
                          表 1.3.3 交换律 结合律 分配律

二 吸收律

吸收律可以利用基本公式推导出来，是逻辑函数化简中常用的基本定律

表1.3.4 吸收律

与学生一同验证以上四式。
第 ④ 式的推广： （ 1.3.1 ）
由表 1.3.4 可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。

三、摩根定律

表 1.3.5

表 1.3.6

   
1.3.3 逻辑代数的三个重要规则

一、代入规则

对于任一个含有变量 A 的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量 A 用同一个逻辑函数替代，替代后等

式仍然成立。这个规则称为代入规则。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。

若两函数相等，其对偶式也相等。 （可用于变换推导公式）。

讨论三个规则的正确性。

1.4.1 逻辑函数及其表示法

一、逻辑函数的建立 举例子说明建立（抽象）逻辑函数的方法，加深对逻辑函数概念的理解。

例 1.4.1 两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反

之下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试建立其逻辑式。

［例 1.4.1 ］真值表

二、逻辑函数的表示方法

1 ．真值表

     逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有 n 个变量时，共有2n个不同的变量取值组合。在列真

值表时，变量取值的组合一般按 n 位二进制数递增的方式列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、

明了，可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。分析逻辑式与逻辑图之间的相互转换以及如何由

逻辑式或逻辑图列真值表。

2 ．逻辑函数式

写标准与 - 或逻辑式的方法是：

（ l ）把任意一组变量取值中的 1 代以原变量， 0 代以反变量，由此得到一组变量的与组合，

如 A、 B 、 C 三个变量的取值为 110 时，则代换后得到的变量与组合为 A B C 。

（ 2 ）把逻辑函数值为 1 所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与 - 或逻辑式。

3 ．逻辑图

逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。

1.5 逻辑函数的公式化简法

1. 5 . 1 化简的意义与标准

一、化简逻辑函数的意义

根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到

最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件，优化生产工艺，降

低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。

二、逻辑函数式的几种常见形式和变换

三、逻辑函数的最简与 - 或式

1 . 5 . 2 逻辑函数的代数化简法 　

一、并项法

在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简式 .

1.6 逻辑函数的卡诺图化简法

1. 6. 1 最小项与卡诺图

一、最小项的定义和性质

1 ．最小项的定义 ：n个变量X1,X2,X3…,XN的最小项是n个因子的乘积,每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘

积项中出现,且仅出现一次.

特点：每项都有 n 个变量

每个乘积项中每个变量出现且仅出现 1 次

2 ．最小项的基本性质

a ．只有一组取值使之为 “ 1”

b ．任二最小项乘积与 “ 0”

c ．所的最小项之和为 “ 1”

二、表示最小项的卡诺图

1 ．相邻最小项

逻辑相邻项 —— 只有一个变量取值不同其余变量均相同的最小项

两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量。

对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。

1. 6. 2 用卡诺图表示逻辑函数

一、逻辑函数的标准与 - 或式

如一个或逻辑式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑式叫做标准与 - 或式，又称为最小项表达式，并

且标准与 - 或式是唯一的。

二、用卡诺图表示逻辑函数

1 ．最小项表达式 卡诺图

例 1. 6. 2 试画出例 1. 5. 1 中的标准与 - 或式的卡诺图。

解：（ 1 ）画出 4 变量最小项卡诺图，如图 2. 5. 4 所示。

2 ．真值表 卡诺图

逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与 - 或式是 — 一对应的关系，所以可以直接根据真值表填卡诺图。

3 ．一般表达式样 卡诺图

(1) 、化为最小项表达式

(2) 、把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入 1 ，直到填完逻辑式的全部与项。

1.6.3 用卡诺图化简逻辑函数

步骤： ① 画卡诺图 ② 正确圈组 ③ 写最简与或表达式

1. 7. 1 具有无关项的逻辑函数的化简

一、逻辑函数中的无关项

用 “×” （或 “d” ）表示

利用无关项化简原则：

① 、 无关项即可看作 “ 1” 也可看作 “ 0” 。

② 、 卡诺图中，圈组内的 “×” 视为 “ 1” ，圈组外的视为 “ 0” 。

例 1.7.1 为 8421BCD 码，当其代表的十进制数 ≥5 时，输出为 “ 1” ，求 Y 的最简表达式。（用于间断输入是否大于 5 ）

解：先列真值表，再画卡诺图

本章小结

常用的数制： 二进制，十进制，十六进制。

常用的编码： BCD 码，循环码。

基本逻辑运算关系有： 与、或、非。

常用的复合逻辑运算关系有： 与非、或非、异或、同或等 。

表示逻辑电路的方法主要有： 逻辑函数表达式、真值表、卡诺图和逻辑图。 

逻辑函数的标准形式有： 最小项之和与最大项之积两种形式。

逻辑函数常用的化简方法有： 代数化简法和卡诺图法。