中财网菠菜和蘑菇能一起吃吗:毕奥—萨伐尔定律
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/05/03 03:48:54
1820年，毕奥和萨伐尔通过实验得到了载流导线周围磁场与电流的定量关系，拉普拉斯又以公式的形式概括得出电流元产生磁感强度dB的规律。
为计算电流为I的导线在空间某点户产生的磁感强度B，设想将载流导线分割成许多电流元，用矢量 表示．线元 的方向与电流流向一致。毕奥—萨伐尔定律指出：载流导线上的电流元 在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元 的大小成正比，与电流元 和从电流元到P点的位矢r之间的夹角 的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比，即
（9-2a）
上式中， 为比例系数， 称为真空磁导率，其值为
dB的方向垂直于 和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从 方向沿小于 角转向r时，伸直的大姆指所指的方向为dB的方向， 即dB、 、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则，如图9—2所示， 因此，可将式(9—2a)写成矢量形式 （9-2b）
上式中，r0为位矢r的单位矢量．此即毕奥——萨伐尔定律的公式表述。
与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任 一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和， 即 （9-3）
例9-1 求载流直导线周围的磁场。
解： 设有长为L的直导线上通有电流I,求距离此导线为a处一点P的磁感应强度。在直导线上任取一电流元 Idl,它到P点的位矢为r,P点到直线的垂足为O，电流元到O的距离为l，Idl与r的夹角为θ，如左图所示。根据毕萨定律可得该电流元在P点的磁感应强度dB的大小为
dB的方向垂直于纸面向里，图中用 表示.由于直导线上所有电流元在P点的磁感应强度dB的方向度相同,所以, P点的磁感应强度B的大小等于各电流元在P点dB的大小之和,即
将上式中 、r、 等变量统一为一个变量,以便积分.由图9-3所得
于是 （9-4）
式中,θ1和θ2分别为直导线两端的电流元与它到P点的位矢之间的夹角。
若L》a,则导线可视为无限长.此时,θ1≈0,θ2≈π,P点的磁感应强度为
（9-5）
上式表明,无限长载流直导线周围的 。这一正比关系最初是毕奥、萨伐尔从实验中得到的。
例9-2 设在半径为R的圆形线圈上通有电流I,求圆心O处的磁感强度。
解：在圆线圈上任取一电流元Idl，他到圆心O的位矢为r，因Idl与r之间夹角为 ，所以该电流元在圆心O的磁感强度dB的大小为
dB的方向垂直于纸面向外。由于所有电流元在O点的磁感应强度B的方向都相同，所以，O点的磁感应强度B的大小等于各电流元在P点的dB的大小之和，即 （9-6）
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为计算电流为I的导线在空间某点户产生的磁感强度B，设想将载流导线分割成许多电流元，用矢量 表示．线元 的方向与电流流向一致。毕奥—萨伐尔定律指出：载流导线上的电流元 在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元 的大小成正比，与电流元 和从电流元到P点的位矢r之间的夹角 的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比，即
（9-2a）
上式中， 为比例系数， 称为真空磁导率，其值为
dB的方向垂直于 和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从 方向沿小于 角转向r时，伸直的大姆指所指的方向为dB的方向， 即dB、 、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则，如图9—2所示， 因此，可将式(9—2a)写成矢量形式 （9-2b）
上式中，r0为位矢r的单位矢量．此即毕奥——萨伐尔定律的公式表述。
与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任 一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和， 即 （9-3）
例9-1 求载流直导线周围的磁场。
解： 设有长为L的直导线上通有电流I,求距离此导线为a处一点P的磁感应强度。在直导线上任取一电流元 Idl,它到P点的位矢为r,P点到直线的垂足为O，电流元到O的距离为l，Idl与r的夹角为θ，如左图所示。根据毕萨定律可得该电流元在P点的磁感应强度dB的大小为
dB的方向垂直于纸面向里，图中用 表示.由于直导线上所有电流元在P点的磁感应强度dB的方向度相同,所以, P点的磁感应强度B的大小等于各电流元在P点dB的大小之和,即
将上式中 、r、 等变量统一为一个变量,以便积分.由图9-3所得
于是 （9-4）
式中,θ1和θ2分别为直导线两端的电流元与它到P点的位矢之间的夹角。
若L》a,则导线可视为无限长.此时,θ1≈0,θ2≈π,P点的磁感应强度为
（9-5）
上式表明,无限长载流直导线周围的 。这一正比关系最初是毕奥、萨伐尔从实验中得到的。
例9-2 设在半径为R的圆形线圈上通有电流I,求圆心O处的磁感强度。
解：在圆线圈上任取一电流元Idl，他到圆心O的位矢为r，因Idl与r之间夹角为 ，所以该电流元在圆心O的磁感强度dB的大小为
dB的方向垂直于纸面向外。由于所有电流元在O点的磁感应强度B的方向都相同，所以，O点的磁感应强度B的大小等于各电流元在P点的dB的大小之和，即 （9-6）
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