灭绝师太什么含义:三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点在哪里？

来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 07:57:15
 
       这个问题可以作为一个知识了解，发散思维

       三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点叫费马点，为什么这么叫，请看如下：

费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。

费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距

离之和最小．人们称这个点为“费马点”.


引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总

长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：

在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。


解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点即为所求P点。

证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60°
∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。

∴∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆

∴∠APB=120° ，   ∠APD=∠ABD=60°

同理：∠APC=∠BPC=120°

以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，

以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°

∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF全等。

∴BP=DF ，PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD

另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心

将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。

则△ABG与△BDM重合，且M或在线段DG上或在DG外。

GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。

从而CD为最短的线段。

以上是简单的费马点问题。

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