2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）
【051】如图14（1），抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0， ）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］
（1） ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）设抛物线 的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线 上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
图14（1） 图14（2） 图14（3）
【052】已知二次函数 （ ）的图象经过点 ， ， ，直线 （ ）与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 （ ）上有一点 （点 在第四象限），使得 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似，求 点坐标（用含 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，请求出 的值及四边形 的面积；若不存在，请说明理由．
y
x
O
【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）经过 ， ， 三点，其顶点为 ，连接 ，点 是线段 上一个动点（不与 重合），过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 的坐标；
（2）如果 点的坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围，并求出 的最大值；
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
E
x
O
（3）在（2）的条件下，当 取得最大值时，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，把 沿直线 折叠，点 的对应点为 ，请直接写出 点坐标，并判断点 是否在该抛物线上．
【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分
别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到
点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线
经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．
（3）当0＜ ≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．
【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 ，点 ，如图所示：抛物线 经过点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点 （点 除外），使 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
B
A
C
x
y
（0，2）
（－1，0）
（第25题）
【056】如图18，抛物线F： 的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′： ，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
⑵若a、b、c满足了
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
图 18
【057】直线 与坐标轴分别交于 、 两点， 、 的长分别是方程 的两根（ ），动点 从 点出发，沿路线 → → 以每秒1个单位长度的速度运动，到达 点时运动停止．
（1）直接写出 、 两点的坐标；
（2）设点 的运动时间为 (秒)， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当 时，直接写出点 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【058】如图，已知抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
C
P
B
y
A
（3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【059】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(4分)
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(5分)
图（2）
M
B
E
A
C
D
F
G
N
N
M
B
E
C
D
F
G
图（1）
【060】已知：如图所示，关于 的抛物线 与 轴交于点 、点 ，与 轴交于点 ．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点 ，使四边形 为等腰梯形，写出点 的坐标，并求出直线 的解析式；
B
A
O
C
y
x
（第26题图）
（3）在（2）中的直线 交抛物线的对称轴于点 ，抛物线上有一动点 ， 轴上有一动点 ．是否存在以 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案
【051】解：（1） ，（-1，0），B（3，0）．················ 3分
（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．
则 △AOC的面积= ，△MOC的面积= ，△MOB的面积=6，∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．··················································· 6分
图14（2）
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．
（3）如图14（2），设D（m， ），连结OD．
则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积= ，△DOC的面积= ，
△DOB的面积=- （ ），
∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
= = ．
图14（3） 图14（4）
∴ 存在点D ，使四边形ABDC的面积最大为 ．
（4）有两种情况：
如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为 ．···················· 12分
由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．······ 13分
如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 点F的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF的解析式为 ．···················· 14分
由 解得
∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），
使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
y
x
O
B
A
D
C
(x=m)
(F2)F1
E1 (E2)
【052】解：（1）根据题意，得
解得 ． ．（2分）
（2）当 时，得 或 ，
∵ ，当 时，得 ，
∴ ，∵点 在第四象限，∴ ．······························ （4分）
当 时，得 ，∴ ，
∵点 在第四象限，∴ ．··················································· （6分）
（3）假设抛物线上存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，则
，点 的横坐标为 ，
当点 的坐标为 时，点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ （舍去），∴ ，
∴ ．······································································· （9分）
当点 的坐标为 时，点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线的图象上，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ （舍去）， ，∴ ，∴ ．
【053】解：（1）设 ，把 代入，得 ，····················· 2分
∴抛物线的解析式为： ．顶点 的坐标为 ．························· 5分
（2）设直线 解析式为： （ ），把 两点坐标代入，
得 解得 ．∴直线 解析式为 ．················· 7分
，∴ ············ 9分
．················································ 10分
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ．················································· 11分
(E)
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
x
O
F
M
H
（3）当 取得最大值， ， ，∴ ．∴四边形 是矩形．
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ．
法一：过 作 轴于 ， 交 轴于点 ．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理， ．
解得 ．∵ ，∴ ．
由 ，可得 ， ．∴ ．
∴ 坐标 ．············································································· 13分
法二：连接 ，交 于点 ，分别过点 作 的垂线，垂足为 ．
易证 ． (E)
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
x
O
F
M
H
N
M
∴ ．
设 ，则 ．∴ ， ．
由三角形中位线定理， ．
∴ ，即 ．
∴ 坐标 ．············································ 13分
把 坐标 代入抛物线解析式，不成立，所以 不在抛物线上．·············· 14分
【054】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，
得 解得
∴抛物线对应的函数关系式为： ．························· （2分）
（2）当 时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．
当 时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．······················· （5分）
（3）当 ≤2时， ．S ．
当 ≤5时， ．S ． （8分）
B
A
D
C
O
M
N
x
y
P1
P2
当 时，S的最大值为2．··················································· （10分）
【055】（1）过点 作 轴，垂足为 ，
；
又 ，
，
点 的坐标为 ；··································· 4分
（2）抛物线 经过点 ，则得到 ，··················· 5分
解得 ，所以抛物线的解析式为 ；···································· 7分
（3）假设存在点 ，使得 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形：
若以点 为直角顶点；
则延长 至点 ，使得 ，得到等腰直角三角形 ，····················· 8分
过点 作 轴， ；
，可求得点 ；······· 11分
若以点 为直角顶点；
则过点 作 ，且使得 ，得到等腰直角三角形 ，··········· 12分
过点 作 轴，同理可证 ；····································· 13分
，可求得点 ；······································· 14分
经检验，点 与点 都在抛物线 上．······················ 16分
【056】解：（1） C（3，0）；
（2）①抛物线 ，令 =0，则 = ， ∴A点坐标（0，c）．
∵ ，∴ ，∴点P的坐标为（ ）．
∵PD⊥ 轴于D，∴点D的坐标为（ ）． ……………………………………5分
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为 ．
又∵抛物线F′经过点D（ ），∴ ．……………6分
∴ ．又∵ ，∴ ．∴b:b′= ．
②由①得，抛物线F′为 ．
令y=0，则 ． ∴ ．
∵点D的横坐标为 ∴点C的坐标为（ ）．
设直线OP的解析式为 ．∵点P的坐标为（ ），
∴ ，∴ ，∴ ．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴ ．∴ ．
∵点P的横坐标为 ，∴点B的横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴点B的坐标为 ．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
【057】(1)
(2)∵ ， ，∴
当点 在 上运动时， ，
；
当点 在 上运动时，作 于点 ，
有 ∵ ，∴
∴
（3）当 时， ， ，
此时，过 各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点 不存在；
当 时， ， ，此时， 、
【058】解：（1）令 ，得 解得 ，令 ，得
E
C
B
y
P
A
∴ A B C ········· 3分
（2）∵OA=OB=OC= ∴ BAC= ACO= BCO=
∵AP∥CB，∴ PAB= ，过点P作PE 轴于E，
则 APE为等腰直角三角形
令OE= ，则PE= ∴P
∵点P在抛物线 上 ∴
解得 ， （不合题意，舍去） ∴PE= ······································· 4分
∴四边形ACBP的面积 = AB?OC+ AB?PE= ····················· 5分
(3)． 假设存在∵ PAB= BAC = ∴PA AC
∵MG 轴于点G， ∴ MGA= PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= ，在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= ·· 6分
G
M
C
B
y
P
A
设M点的横坐标为 ，则M
①点M在 轴左侧时，则
(ⅰ) 当 AMG PCA时，有 = ∵AG= ，
MG= 即 解得 （舍去）
（舍去）………7分
(ⅱ) 当 MAG PCA时有 =
G
M
C
B
y
P
A
即 ，解得： （舍去）
∴M ··············································································· 8分
② 点M在 轴右侧时，则
(ⅰ) 当 AMG PCA时有 =
∵AG= ，MG=
∴ 解得 （舍去） ∴M
(ⅱ) 当 MAG PCA时有 = 即
解得： （舍去） ∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与 PCA相似，M点的坐标为 ， ，
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图（1）
H
【059】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG …………4分
（2）∠FCN＝45o …………5分
理由是：作FH⊥MN于H
∵∠AEF＝∠ABE＝90o
∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o
∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90o
∴△EFH≌△ABE …………7分
∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH
∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o …………8分
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图（2）
H
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分
理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o
结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ……11分
∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝
B
A
O
C
y
x
第26题图
Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1
P2
D
C
P4
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝
【060】解：（1）根据题意，得
，解得
抛物线的解析式为 ，顶点坐标是（2，4）
（2） ，设直线 的解析式为
直线经过点 点
（3）存在． ， ， ，
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