中财网会计基础教材电子书:让我们逐章思考初中的数学思想方法教育
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/30 00:05:09
让我们逐章思考初中的数学思想方法教育
（代 序）
此前在博客上发出了与本市教研员谭志俐合写的《小学数学思想方法教育例话》专题，反应还不错。近来一些网友建议我继续探讨初中的数学思想方法教育，觉得有理。
其实我和谭老师认为：中、小学数学的基本思想方法都是量化、逻辑化、结构化、化归化这四个，不过各自运用的深度和广度有别。既如此，探讨初中时就不必照搬探讨小学的框架，即不必重复对四个基本思想方法的逐一细腻说明。
那该用怎样的体例呢？我想以湖南教育出版社2010年6月版的初中教材为对象，按顺序一章章来探讨。
这样做的优点是：第一，每章教材只以代数、几何、统计概率中的一个领域为核心，分章探讨能使话题集中、收获明晰；第二，一般我们都是逐章教学的，按进度探讨利于配合日常教研。
但这样做也有缺点：第一，每个数学分支四种基本思想方法都要用到，探讨每一章均需兼顾、有点啰嗦，尚请谅解；第二，当今提倡“结构化教学”，需要指导学生打破章节和分支界限来学会对数学的整体理解和综合运用，分章探讨则容易陷入割裂与狭隘——为了弥补，我将在每次探讨时注意“综合扩展”，还会写一点独立的综合扩展。
这还不够：如果您不先从小学的《例话》序列弄清一些基本概念，将可能读不懂初中部分的探讨。所以您最好还是先读读小学的《例话》序列。或者您耐点心，先读读下面对那些基本概念的简介。
1、基本思想方法→解决问题的策略→解题术
“解题术”最小，每种只能解决一小类问题，如用“配方法”分解因式、用“反证法”做某些证明题等等。“策略”大些，能解决更广泛的问题，如图示法对很多代数与几何问题都有用；小解题术生成于较大的策略，如图形割补法、等量代换法、换元法等解题术其实都生成于“转换策略”。“基本思想方法”是指导各类数学活动最基本、最富于哲学意味的思维方式；正是这些基本思想方法生成了各种策略，再由这些策略生成了众多的解题术——比如“量化”基本思想方法生成的策略就包括算法、测量法、统计法以及以数理逻辑为代表的数值推理法等等，而这些策略又分别生成了众多代数、几何、概率统计的解题术（即解题技巧）。
2、中小学数学的基本思想方法有四个
所谓“数学基本思想方法”就是我们常说的“数学角度、数学思维方式、数学方法”；从哲学上说一种思想就意味着一种方法，所以后文可能把它们简称为“数学基本思想”或“数学基本方法”。
以下简要概述数学的四个基本思想方法。
量化思想方法：不论研究什么对象，数学总追求把它量化如“数量化”、“数值化”等等。贯彻这一思想一般遵循如后程序：赋值（建立数或量）-→规定大小比较法则-→规定加法计算的意义和法则-→以加法意义为基础逐步得出减法、乘法与除法的意义和法则（至少中小学如此）-→探究得出各条算律-→应用前述知识解决各类问题。
逻辑化思想方法：数学不论体系构建还是问题解决过程，比任何其他学科更追求逻辑严谨，以至历来公认“数学是思维体操”、以至著名数学史家M·克莱因（Morris Kline）认为“逻辑这门科学……来自数学”（《古今数学思想》第一册第62页）。不论数学的哪个分支，定义必须明确、计算必须守规则、证明必须依据定义和定理、知识体系必须公理化（原始概念→公理→定理→推论）。但别以为只有计算和证明才要遵守逻辑，即使猜想、枚举归纳、类比推测也要遵守“合情推理”的逻辑。
结构化思想方法：数学其实是研究结构的，小到整式3a、一个轴对称图形，大到“方程论”或“三角函数论”整体，其实质都是“数量关系结构”或“图形结构”或“数学分支的知识结构”。为何今天大家非常关注“数学建模”？因为运用数学，就是把各种数学的概念、定理、公式、方法等等当作模型，用来模拟实际问题并求得解答。为什么这些数学的东西可以做实际问题的“模型”？因为二者虽组成元素不同、但元素之间的结构关系相同即“同构”，而同构会使二者的某些性质与功能相同。所以，“教结构”、“用结构”即运用结构化基本思想方法非常重要。
化归化思想方法：数学体系最精干，比如可以解决无数问题的电脑程序，任何繁难算法归根到底都是“0”和“1”两个数字用极少规则做出的组合。数学最讲究“九九归一”：实数中的无理数可以表为有理数列的极限值→有理数就是整数和分数→负整数不过是加上负号的正整数→分数（含小数）不过是两个整数之比→正整数和零就是小学一年级学的自然数；任何几何图形都不过是点的组合；复杂的解题方法不过是基本解题方法的组合，等等。我们常说的“化新为旧”、“化繁为简”、“化难为易”，就是化归化基本思想方法所生成的几种策略。
3、四个基本思想方法综合起作用
前述四个基本思想方法并非互不相干，而是综合起作用。
代数运算既是数值计算又是逻辑推导，它研究的是数量关系结构、提供解决问题的代数模型、并根源于“自然数计算”这个老祖宗；几何问题、统计问题和概率问题的解决同样需要综合运用四种基本思想方法，不信您可仔细反思。
好啦，作为序言，该说的说完了，以后就让我们展开对教材的逐章探讨吧！
1、七上§1《有理数》：引入负数难但重要
（谨简记“七年级上册第一章”为“七上§1”，今后类此）
一、要点亮负数引入的重大数学思想价值
负数难学不奇怪：12年吃穿住行没用过它（今后日常生活除法和一般分数都极少用），孩子陌生、畏难、易忘。祖宗们更畏难了几千上万年呢！教材第53页说，中国在秦末《九章算术》才有负数记载，印度则晚在7世纪、欧洲更晚在16世纪之后——祖宗们此前上万年都不懂负数。
但引入负数太重要了，同页教材说这“使数的家族得到了扩张，……对数学的发展起到了推动作用，为认识世界提供了进一步的工具”。
如何“推动”的？小学减法狭隘，a≥b才能a-b，于是合计亏盈账目、合计双向路程、计算寒暑温差之类都很麻烦。有了负数才使减法通行，而且计算简捷、规则也只稍作增加。所以美国数学家丹齐克指出：负数的引入“使减法为全可能”（《数——科学的语言》、苏仲湘译、商务印书馆1985年、76页）。有此基点、数学大大拓展：多项式计算、移项解方程、加减消元法解方程组、求高次方程的全部解、构建完整的实数域及以它为基础的函数论、构建完整的数轴及以它为基础的解析几何与微积分——而没有了这一切，哪有现代科学技术和现代社会的一切？
为拓展原有运算的生存空间以解决更复杂的问题，人们拓展出新的“数”，这正是前此“代序”所说量化思想的起点“赋值”。
教学建议：1、花点时间用减法挑起疑问，再揭示一下负数在广阔数学中的生命力，既利于理解负数的意义、萌发学习的兴趣与积极性，又利于点亮数学思想方法的价值。2、做法上，既可教师搞“小讲座”，也可指导学生搞“课题研究性预习”。
二、要“整→分→整”教学，点亮全章蕴含的数学思想方法
教学建议：叶澜“新基础教育”提倡“从整体到部分再到整体的教学……引导学生先初步的整体感悟知识的类型或结构，然后在整体框架中学习各个部分的知识，最后引导学生从知识整体框架出发对各部分知识进行主动的整理和内在联系的沟通”，即“学结构、用结构”（《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》、吴亚萍著、广西师大出版社2009年、256页）。对“数的扩展”，主张小学“一年级学生要能够感受到数认识的框架结构；二年级……三年级……四年级……五年级学生能运用这个结构主动认识正负数；六年级……”（同前书第111页，负数引入上海放在小学五年级）。
强调“整”的理由：
1、每个单元都是一组知识点的整体，合成该整体的“凝结剂”则是思想方法，着眼于“整”利于发现、感悟思想方法的力量。
本章的展开结构是“负数→有理数→比较大小→加法→其他计算→知识运用”。提升到基本思想方法层次就是“量化程序”：赋值-→规定大小比较法则-→规定加法意义与法则-→以加法为基础生成减法、乘法与除法的意义和法则-→探得各条算律-→应用前述知识解决问题。不着眼全章整体，怎能发现和感悟其结构与方法？
再次提升：每次数的扩展（分数、小数、负数、无理数、虚数的逐次引入）均须遵循由德国数学家赫尔曼·汉克尔1867年首次明确建立的“固本原则”，丹齐克在《数——科学的语言》第77-78页对它的说明是：“一个包含无限多的符号的集合，当其可以满足下述条件时，就叫做一个数域，其中每个单独元素则叫做一个数。第一：在该集合的元素中，可以找出一个与自然数的序列相一致的序列。第二：我们要建立一种等级判别准则，用这准则可以判别任何两个元素是否相等；如果不等，则判别孰大孰小。若这两个元素都是自然数时，这些标准就化为自然标准。第三：对于集合中的任何两个元素，可以设计出一种加法和乘法，它们具有自然数运算中加法和乘法所具有的交换、结合、分配诸性质，若两元素均为自然数，则此两种运算就化为自然运算。”
这就揭示了数扩展中丰满的思想方法：第一，该原则要求的三步就是“量化程序”的概括；第二，“固本原则”就是思维规则、公理，是逻辑化思想的要求；第三，如此构建的新数域才是序列化、结构化的，并与旧数域同构；第四，文中“与……一致”和两个“化为”体现了化归化思想的要求：新数的“意义”、“大小比较法则”及“运算法则”必须包容对自然数的原有法则，使后者成为前者的特例——“固本”二字强调的恰恰是“化归”。
可见强调“整”使思想方法教育价值饱满起来！
2、能力生成于对知识整体结构的理解和运用。
能力光靠死记一堆知识点生不出来，非靠达成“过程与方法”目标不可。“方法”就是数学思想方法，“过程”则是对方法的感受、体验、领悟和运用过程——但方法是隐含在知识整体结构里的，所以才要“整→分→整”地两次强调“整”。
三、思想方法教育的其他亮点
1、数轴建立过程饱含结构化思想。有理数集与直线上的点集都是序列结构即“同构”→数与点对应→生成“数形互化策略”→今后用于解决方程、不等式、函数、解析几何、微积分中的问题。
2、计算饱含逻辑推理。只重算法不重算理、以为计算不能培养逻辑思维能力错啦！本章饱含新数及其计算的定义、规则和算律，计算过程就是用它们来严谨推理的过程。
3、应关注运用程序语言的算法。量化思想中的“算法”今天重焕青春——因为计算机使它威力巨大，并成为“数学建模”的基本功。本章共有6道此类习题，不要忽视，还可考虑让会编程的学生尝试“数学建模”。
3、七上§3《图形欣赏与操作》：
浅显有趣但隐含深意
本章内容浅显、有趣还有点杂。为何如此？通读全部初中几何内容之后我的感觉有二：第一，小学刚毕业、首次接触几何，如果一开始就编织图形复杂、论证严苛的逻辑体系，他们不会因畏惧而厌学吗？倒不如丰富联系生活、多操作以激发他们学几何的兴趣；第二，尽管如此，还要为今后的学习埋藏一些几何重要思想方法，对此教师应该深知并揭示，以免使学生一味“好玩”却没什么收获。
上述“第一”留给大家自己去理解和实施吧，本文目的只在于探讨“第二”——本章隐含了哪些重要的几何思想方法？
一、几何研究的对象是怎样从实物提升到“空间形式”的？
教材开篇第一句说“几何学是研究空间形式的”——多抽象的“空间形式”啊！难道一开始就这样吗？任何一门科学起先都是研究具体实物的，那几何研究的对象是怎样从实物提升到空间形式的呢，运用的又是哪些数学基本思想方法呢？不妨重温一番先辈的研究史——当然所列步骤乃本人“抽丝”一般提取，实际上它们是重叠交叉的。
1、第一次抽象，得出“形状”供研究。任一物体属性多多，不同学科各有所爱，物理学关注质量、机械运动等，化学关注组成元素、原子结合方式等，生物学关注它是否生长发育、变异遗传等……作为数学的几何学与众不同，把上述种种属性通通抛开、只抽象出它们的形状属性来研究——它占据着什么样子的空间、多大的空间。
2、第二次抽象，把实体性的形状转化成纸上的几何图形。这样研究多方便啊——省得把折磨人的实物搬来搬去。于是要注意，图形不等于实物而只是模拟其形状的模型（几何模型，数学模型之一）。“符号化”这一步抽象极为重要，否则永远只有实践经验而成不了“几何学”。
3、第三次抽象得出“点、线、面”，并用之分析综合图形的形状结构。无大小的“点”、不断的“线”、不漏的“面”真实世界里没有，只是我们头脑的抽象物。但它们很有用：先用来分析图形，人们发现任何图形的组成要素都不过是“点、线、面”（最终可归为“点”）；然后作综合，某具体图形的形状结构不过是点、线、面按一定规则的连接。不同图形形状结构的差别不过是要素多少及连接规则的差别，如锐角三角形只含1个平面、3个顶点、3条边且各边交成锐角，而圆柱则含2个圆形底面、1个曲侧面、0个顶点且两底面皆垂直于侧面。
4、把上述方法迁移到研究图形之间的位置关系。两个图形的相离、相交、相切、对称等等，都可化归为它们某些基本要素之间的位置关系如点之间的距离、线或面之间的夹角等等——不信你试着仔细想想。
5、进一步研究两图形形状结构的“同构程度”。重合的同构程度最大，什么都一样；相似的同构程度次之，所占空间的大小变了，但构成要素的多少及相互连接的规则不变；投影的同构程度最小，大小与形状都变，但仍有一些量不变。
6、运用逻辑化思想方法把散乱的知识建成体系。古希腊的欧几里得公理化体系便是经典一例，后来的非欧几何体系、希尔伯特体系、拓扑学体系等更是如此。
7、推进研究的定量化。刚开始研究长度、角度、面积、体积时就已定量化，遵循着“定义→选定计量单位→确定算法→依据算律优化算法”的量化思想方法程序，后来三角函数、向量、解析几何等理论的创立更是定量化研究的伟大成果。
概括一下，我想可以回答本节开头的两个问题了：其一，实物形状→图形形状→形状结构→空间形式，“空间形式”就是“图形形状结构”；其二，几何研究过程就是数学基本思想方法的运用过程——你看到了其中的量化、逻辑化、结构化、化归化了吗？
二、本章还隐含了哪些重要几何方法？
1、大量运用了逻辑思维方法：“比较”如各实物的形状比较、各组平面图形与空间图形的形状比较、大小视角的比较；“划分”如正多面体与非正多面体的划分、平面图形与空间图形的划分；“归纳”如通过观察、分析三种正多面体归纳出欧拉公式V+F-E=2；“类比”如从“平面图形的结构要素顶点、边、内角及是否正多边形”类比得到“空间图形的结构要素顶点、棱、面、内角及是否正多面体”。
2、大量应用了源于化归化思想的“割补思想”：教材第97页指出“这种朴素的数学思想就是割补思想……在几何中有着极为广泛的应用”，并身体力行如剪纸、玩七巧板、设计地板砖、在空间图形中找出平面图形等。“割”就是分解，把复杂图形分解成简单图形（“基本单元”）直至任何几何图形的根本要素点、线、面；学会了“割”才能会“补”，即把简单图形组合成复杂图形。所以“割补思想”就是“分解组合思想”，它是化归化基本思想方法生成的一种具体策略——想想看，它在代数等其他数学分支里是否也有广泛应用？
三、对教材内容的一点疑惑？
不过我对教材某些内容有点疑惑：
1、剪纸较多、玩七巧板更多：今天的初中生还玩它们吗？联系生活的动机固然对，但这些内容是否恰恰脱离现代学生的真实生活？
2、第100页“c组”的那道题“笔不离纸画出一只开口或封口的信封”，似乎与本章内容关系不大，而且相当难——有必要吗？
4、七上§4《一元一次方程》：
谨防机械操作抹杀思想方法教育
数学从算术提升为代数之后威力大增，因为它生成了高概括功能和方程方法，而方程方法比依赖灵感与机智的算术方法更清晰、简便乃至“机械化”。但切切谨防：一味热衷于机械化解方程将浪费本章宝贵的数学思想方法教育资源。
一、“代数”的原意就是“解方程”
李善兰创造了中文“代数”一词。百度网说：1859年李善兰跟伟烈亚士合译迪·摩根《Elements of Algebra》一书，Elements意为“原理”，而Algebra李善兰则首创性地意译为“代数”！
M·克莱因又指出“Algebra”的原意是“解方程”：“在代数方面阿拉伯人的第一个贡献就是提供了这门学科的名称。西文‘algebra’……这个字来源于830年天文学者Mohammed ibn Musa al-Khowarizm?……所著的一本书《Al-jabr w，almuqabala》。al-jabr的原意是‘复原’，根据那里上下文的意思是说在方程的一边去掉一项就必须在另一边加上这一项使之恢复平衡”（《古今数学思想》第一册218页，上海科学技术出版社1979年版）。
由此可见《一元一次方程》这一章的重大价值。
二、代数生出了两大威力
其一，高概括性。代替数的字母能极简洁、极概括地表示数量关系结构特征，如a+b=b+a概括表示了无数个加法的总规律，而s=vt则概括表示了无数个路程问题的总规律。字母代替数还为今后研究变量准备了工具（算术只能研究常量），如不定方程x+y=a一旦变形为y=a-x就成了专用来研究变量的函数式y=f（x）。
其二，可“机械化”操作的方程方法。用方程方法解决很多实际问题（如“龟兔赛跑”等问题）既比算术方法容易又有“机械化”优点。
教材第116页总结了解方程的机械步骤：“解一元一次方程的一般步骤是：先去分母，后去括号，再移项和化简得ax=b（a≠0），两边同除以a，x=b／a”。120页又总结了列方程解决实际问题的机械步骤：“应用一元一次方程解决实际问题的步骤是：实际问题→设未知数→找出等量关系→列方程→解方程→检验解的合理性”。总之，按部就班做去就是。
别小看了上面两个“算法机械化”，它们属于“数学机械化”！请到百度网检索“吴文俊”：早在上世纪七十年代，他就提出了“数学机械化的宏伟纲领”，目标是“把任意问题的解决归结为解方程”（任意问题→数学问题→代数问题→解方程组→解方程），并已在平面几何与微分几何定理的机械化证明等方面获得成功，走出了完全是中国人自己开拓的新数学道路，产生了巨大的国际影响。
而对算法的重视和研究就是数学量化基本思想方法的体现：任意问题→数学问题→代数问题→数值计算！在教学中要自觉向学生开展这方面的熏陶。
三、方程理论初步中的严谨逻辑思维
尽管初一年级不宜学习太严密的方程理论，但教材对本章知识体系的构建过程仍包含了足够严谨的逻辑思维：方程、建立方程、一元一次方程、方程的解、解方程等定义（原始概念）→等式性质1、2（公理）→解方程的移项法（定理1）→最简一元一次方程ax=b（a≠0）的解法（定理2）→解方程的去括号法（定理3）→解方程的去分母法（定理4）。
该过程运用的是“公理化方法”，而它本是逻辑化数学基本思想方法的表现之一。
不要无视从而浪费这一宝贵资源！在方程教学中，既要重视“算法”也要重视“算理”：引导学生通过“整→分→整”学习过程发现、感受贯穿全章的上述逻辑结构，细致经历一步步的逻辑推导过程，体验数学思维的严谨性并从而感受数学的“理智美”与“结构美”，提高逻辑思维能力——今天学好了这一方法，将来学更复杂的方程知识就能运用它更有效地自主学习。
四、列方程解应用题的关键是“建立数量关系结构”
大家都赞成吧？不再论证。问题是怎样建立数量关系结构。
首先要坚信，任何实际问题中的数据都不是孤立的，它们之间肯定存在某种关系结构。
至于找出该关系结构的思路可分两步：第一步找“子结构”，把所有可能的、由两个数据结成的、最简单的关系结构找出来，它们会是和、差、积、商结构中的某一种（幂是一种特殊的积、比率是一种特殊的商）；第二步找“总结构”，把前面找出来的各子结构连接成全部数据的总结构——它还会是和、差、积、商中的某一种。当然，两步顺序可以颠倒：先一后二是“综合法”、先二后一是“分析法”，学生们可各展其长。
上述思路运用的其实就是结构化与化归化两种数学基本思想方法。结构化：把注意力集中到寻找数据之间的关系结构，而且利用已有的“和、差、积、商四种基本关系结构”知识储备。化归化：不畏惧问题的复杂、数据的繁复，“从小事做起”，“化繁为简”从而“化难为易”。
五、源于结构化思想的“数形互化”
我觉得常说的“数形结合”应更正为“数形互化”。“结合”是“合在一起”，那么“数”和“形”合在一起成了什么呢？杂烩一盘、什么也不是！其实我们做的是把数化为形（如把实数集化为直线上的点集）、或把形化为数（如把曲线化为方程），所以应该是“数形互化”。
本章多次实施化数为形（这里的“数”既包括“shù”也包括“shǔ”）：解应用题时把数量关系结构转化为图形结构，用表格、直方图等统计工具来呈现数据的分布结构，把计算或推理（shǔ）的无形思维程序转化为看得见的流程图，等等。这样做能使散乱、隐蔽的数量关系结构得到直观、清晰的呈现，便于问题解决。
之所以能“互化”，是因为二者“同构”：其一，实数集与直线上的点集同构，都是有序、连续结构；其二，计算或推理的思维过程与流程图同构，都是直线型或矩阵型的。因此“数形互化”策略是结构化基本思想方法的产物，而它的好处正在于“形”成为“数”的模型——好用。
我们是否在教学中着意提醒了学生这一点呢？
对比本章与上章的同异很有意思、很有价值！
一、知识结构相同的三大好处
本章知识结构与上一章基本相同：原始概念（不等式、一元一次不等式、不等式的解与解集、解不等式）→公理（不等式性质1、2、3）→定理若干（不等式各解法）。
这种同构有三大好处：第一，对不等式三个基本性质的得出和上章一样都用不完全归纳法（对几个例子归纳共性、提出猜想、举例验证），利于培养学生“归纳”合情推理的能力；第二，和上章一样用“公理化”逻辑方法构建知识体系，利于培养学生“演绎”逻辑推理的能力；更应关注的是第三，两章的同构提供了一个机会——如果上一章学生是“学结构”，那么这一章他们就可以“用结构”来自主探究！
不过，我觉得不等式各基本性质可能不是公理而是依据“等量公理”（参考百度网的说明）和已有算律推出的定理。如，已知a﹥b，求证a+d﹥b+d。证：由a﹥b得a=b+c（c﹥0），依等量公理和加法算律可得a+d=（b+c）+d=（ b+d）+c，因为c﹥0所以a+d﹥b+d。其他基本性质亦可类此推出——您愿意试试吗？
如果我没错，那上述补充一可让教师更深刻地了解数学的逻辑严谨性，二可考虑让聪明学生尝试前述证明以推动“培优”。
二、“化繁为简”策略相同的一大好处
上章解方程的策略是运用机械程序把繁难者化为最简方程ax=b（a≠0），本章解不等式的策略也是运用机械程序（见教材第139页流程图）把繁难者化为标准式ax＞b（或＜、≥、≤，a≠0）。这种机械程序都是根源于化归化思想的“化繁为简”策略（转化策略之一）。
这一相同能强化对化繁为简策略的掌握——但用灌输法来强化效果不太好，不如先让学生主动反思上章的策略，然后指导他们运用这一策略去自主探究不等式解法。一旦学生通过“反思→总结→迁移”过程积累了经验、生成了运用化繁为简策略的能力，会带来更大的迁移效益——今后解更复杂方程（组）或不等式（组）的降次法、消元法，函数式的恒等变形化简法，和、差、积、商的微积分计算法，空间图形向平面图形的化归法，复杂图形向基本图形的化归法，复杂概率问题向基本概率问题的化归法等等，都是化繁为简策略的应用。
当然还要关注同中之异：最简一元一次方程只有一种，标准形一元一次不等式却有四种。
三、“解”不同：“解集”新概念彰显了集合思想
两章有一个重要不同：一元一次方程有唯一确定的“解”x=b／a（a≠0），而一元一次不等式正如教材第138页所说“解有无数个”、组成一个“解集”。
“解集”新概念将引发思维方式提升并使学生感到困难：六年小学长期习惯了数学答案的“有且唯一”，现在却要接受并理解答案的不唯一乃至无穷多性——本人就曾长期没做到，因为我读初中时教材对不等式只提“解”而不提“解集”，于是我常常错觉为“不等式的解只有一个数”。
把“解”提升为“解集”价值何在？在于首次严谨应用了当今极受重视的集合概念：教材139-141页出现了（2，+∞）、（-∞，5〕、{1，2，3，4，5，6}三种集合，开、闭、有限、无限都有；还“化数为形”，分别用数轴上的射线或离散点集来直观描述它们。
集合思想非常重要：第一，二十世纪数学中最为深入的活动是追寻整个数学扎实、可靠的逻辑起点，而这必须求助康托建立的集合论（参见M·克莱因《古今数学思想》第四册289-295页），懂了集合才能深刻理解数学；第二，正因为此，“集合”成为“现代数学中最基本的概念之一，又是数学各科通用的数学语言”，“在中学数学中，集合思想可以贯穿于数学教学内容的各部分及学生能力培养的各个阶段”（沈文选《中学数学思想方法》，湖南师大出版社1999年版第39页）。
今后学习解不等式组、各种函数、解析几何、微积分、复数与向量等等，都必须以各种集合为算子，进而对它们实施加、减、乘等新型算法来求并集、补集或交集——所以集合思想实际上是数学量化基本思想的拓展成果（以后再说）。
为熏陶学生的数学素养，应积极宣传集合思想的价值；为让学生今后学好数学，应让他们扎实掌握本章的集合知识。
四、一道题各解法的不同思维策略
教材第136页B组有一道填空题：由4a＜3a，可得a＿0。
解法一：一般来说都会4a＞3a，为何此处相反？哦，肯定a是负数即 a＜0。
解法二：a有等于、大于、小于0的三种可能；如a=0将得4a=3a=0，如a＞0将得4a＞3a，均与已知条件不符，排除；故a＜0。
解法三：已知4＞3；把它的两边乘以a的结果是“4a＜3a”，即不等式的方向改变了；根据不等式基本性质3可得a是负数即a＜0。
或许还有其他解法，不过暂且只讨论上述三法：
其一，从思维深刻性看三法递增：解法一主要凭直觉，解法二逐一列举，解法三则严谨演绎推理（初一学生可能想不到）。
其二，从思维敏捷性看三法递减：凭直觉最快，列举法比较容易想到，演绎法较难想到。
其三，你选择何种教法——只强调、提倡某一解法，还是并重三法、深挖不同思维策略、对比各自优劣？
我觉得：数学思维方式五彩缤纷，爆发灵感的直觉、分步迈进的列举（运用“划分”即“分类”的逻辑思维）、从已知向未知的演绎……；在纯数学研究和数学应用上它们都卓有功勋、一个也不能少——当然对某个具体问题它们确有优劣之分。
那么在教学上我们应该怎么做呢？
6、七上§6《数据的收集与描述》：
操作中深藏的统计思想
统计含描述统计和推断统计（参见百度网），小学主学前者、初中渐增后者——但本章仍以描述统计为主。
不小心会陷入误区，似乎本章内容不过就是153页总结的操作程序：“如何收集数据？（1）明确调查目的；（2）确定调查对象；（3）选择调查方法；（4）具体进行调查；（5）记录调查结果”，最多还加一条“（6）选择适当的统计图表描述调查结果”。
数学思想方法何在——在于意义重大的统计思想。
一、统计研究什么？
宇宙中存在必然、随机两类现象。“条件若知、结果肯定”者属必然现象，如1+1肯定等于2、两边及其夹角相等的两个三角形肯定全等之类，总之代数、几何都只研究必然现象，它们得出的结论是“必然规律”。“条件虽知、结果不定”者属随机现象，如不管多小心去掷硬币，也不能肯定哪次会掷出正面，统计学、概率论能研究随机现象，所得结论是“统计规律”（参见吴亚萍《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》第306页）。
但吴亚萍认为统计只研究随机现象，故反对让学生统计属于必然现象的“电脑室里的电脑数量”（第244页），我看不妥。统计何尝不能研究必然现象呢——本章教材出了很多统计独生子女数量、一首诗中各字母的出现次数、身高、体重之类的题目，对指定的人和诗而言，它们不都是必然现象吗？百度网上有专家指出，研究必然现象的“社会统计学”与研究随机现象的“数理统计学”同等重要——赞成。
不过要弄清两个道理：第一，统计所研究的必然现象必须总体很大、个体太多，不得不抽样研究，于是对样本得出的正确结论、对总体也只“可能正确”（此乃统计规律与必然规律之区别）；第二，若研究随机现象，因各个体状态有多种可能，故样本数量即使很大，所得结论推广到总体时也只是“正确概率较大”而已（故掷硬币次数越多、所得正面或反面出现的频率越接近1／2，这再次说明了统计规律的非必然性）。
以上是统计思想之一：统计能研究以往研究不了的大总体乃至随机现象，这是数学的伟大拓展。
二、统计用什么方法研究？
统计方法属于数学方法，其根源同样是数学基本思想方法。
首先抽样。合理抽取的样本组虽只含有限个体，但因其结构特征与含无限个体的总体大概率相同（概率论可证明这一同构性），故样本可作为总体的模型——样本有什么性质，就可推断总体有什么性质。这就是结构化基本思想的力量。
然后用量化基本思想研究样本。搜集数据（样本中各个体的数量性质），算出“特征量”（又称“特征数”）来描述数据分布特征：平均数描述数据分布的集中性，众数描述数据中出现最多者，中位数描述数据组的中间值（将来还要学其他特征量，如反映数据波动幅度的标准差、反映数据变化趋势的增减性和增长率、偏斜度、正态分布及其他分布、变异系数等）。对原本只能定性研究的必然现象大总体和随机现象现在能量化研究，数学思想方法何其伟大！
最后是运用合情推理进行推断。既然样本有如上得出的结构特征，就可推断总体也有这些结构特征。但要注意，这种推断只具可能性、不具必然性：统计得出1979-2005期间上海独生率为90%（百度网介绍），不见得2011年上海生出的孩子必然90%是独生子女；统计得出大量掷硬币会出现一半正面，但如你这次掷出反面、下次很可能还是掷出反面！所以逻辑学指出，依据统计结果进行推断叫“统计推理”，与“归纳推理”、“类比推理”同属合情推理（参见北师大版数学课标解读第164页）。但我们知道，合情推理、必然性推理（如演绎推理）都源于数学逻辑化基本思想。
化归化基本思想存在吗？存在：各种复杂的特征量不过是平均数、标准差的某种组合，复式统计表、复式统计图不过是单式表、图的某种组合。
于是得统计思想之二：它是四种数学基本思想的一个崭新结晶。
三、统计如何操作？
即使教材所列五条统计操作程序的实施，也饱含着分析、综合、因果推理等数学思维。
一要思考调查目的，因为它影响着调查对象、调查方法的选择。
教材150页“做一做”干嘛要统计《登鹳雀楼》中各拼音字母出现的百分比？书上没说，其实目的是破译密码、或检验电脑键盘设计是否合理……百度网介绍了对大量文献的统计结果，字母出现频率从高到低的前五名，英语是A、E、H、I、N，汉语则是 I、N、A、U、H——所以现行电脑通用键盘的字母分布并不合理，已经有人研究出了新式键盘。
又如教材173页例5，不同调查者目的不同、所选“最终调查对象”便不同：总经理为了解工资总额调查职工工资的平均数；工会主席为了解多数职工的收入水平调查工资表里的众数；普通职工为了解自己的收入等第则调查各人工资的中位数。
二要思考调查方法。在多种多样的方法中多如何选择，必须考虑科学性和可行性。教材中调查独生子女比例、字母出现频率分别用问卷法和文献统计法，此后统计身高、体重、气温等则分别用测量法、访谈法（访谈调查对象、专家）。
三要思考合理的统计结果描述工具。教材165页用一小段话分别指出了折线、条形、扇形三种统计图的优点，但不完整：这三者各有什么缺点？单式与复式折线图各有何优劣？统计表也是描述统计结果的一种工具（杂志上的很多调查报告就只用了统计表），其优点和缺点是什么？
这就是统计思想之三：它涵盖了各种数学思维。
总之，对本章不能只教统计操作技能，还要重视培养统计思想、统计意识——对必然现象的大总体或随机现象，懂得“从总体中抽取一定数量的样本，通过对样本的观察和数据的搜集，然后依据样本的信息在概率意义上对总体作出推断”（吴亚萍书第245页）。
本章容量不大，包括一元一次不等式的概念、解法及其应用题三部分。因已有前几篇基础，本篇对前两部分分析从简，多留点篇幅分析 “解应用题时的思维”。
一、一元一次不等式概念和解法中的数学思想
本册教材的总导语是编者致学生的信，做教师的我们也应该认真读，并特别关注以下两点。
其一，数学体系构建中的化归化。
数学体系严谨，编者信第一自然段粗略勾勒了一个体系构建的路线图：一元一次方程←→二元一次方程组，一元一次不等式←→一元一次不等式组，图形欣赏←→平面上直线的位置关系和度量关系及轴对称图形，代数式和一次式的加、减法←→多项式的加、减法和乘法，数据的收集与描述←→数据的分析与比较。
向前走的箭头说明了数学内容积少为多、积简为繁、积浅为深的拓展方式。
要注意向后走的箭头，它揭示着体系构建中化归化基本思想的运用！如编者信第三自然段说，解二元一次方程组的“基本思路”不过是“消去一个未知数，……解这个一元一次方程”；又如教材第5页说，解一元一次不等式组的基本思路不过是“解不等式组中的各个不等式”，……总之，化繁为简、化难为易，如此而已、岂有它哉？
其二，数学思考中的逻辑化。
编者信希望学生“多问几个‘为什么’，……学习讲道理”。何为讲道理？不光要发掘、总结上面说过的化归化解题“基本思路”，还要“探究”、“分析”、“猜想”，以及虽没直说但提到了的“论证”。这不就是逻辑化基本思想中的合情推理和必然性推理吗？
“要给学生一碗水、我们要像一条河”，您带头做到了深刻推理要求吗？试举二例：
例1：前两天为两位骨干教师指导教学设计，牵涉到“素质”与“素养”两个概念，问“知道它们有重要差别吗？”“知道。”“差别是什么？”两人答错！我笑着批评：“百度检索五分钟就能弄明白，可你们就是没有这种深究精神！”
例2：某初中全部数学教师都曾坚持“a0=1是推导出来的而不是人为规定的”，讲了很久道理他们才醒悟，——为何此前他们不深究这一点呢？
二、教材例二中的思维
作为本章起步的第二个例题，偏难！但也有好处，不妨用来深究“难在哪里”。
该题题意是：每房住4人、19人无房住，每房住6人、一房住不满；求房数与人数，并一题多解。（教材有三个提示，但仍然难）
难度一：方程解法混在其中。提示一设房数为x；提示二得人数为（4x+19）。干嘛要用这种方程解法？启示：数学是研究结构的，解题第一步应尽可能把各种数量关系结构找出来，而且这能把两个未知数化归为一个；在此过程中，不管哪种学过的方法都可以用。
难度二：容易受列方程思维定势束缚。受思维定势牵引，第二步学生可能想列方程（4x+19）／6=？但疑惑产生：得数不定啊？所以提示三的实质是：（x-1）间住满了，最后一间实住人数可在1-5之间变化，故方程之路不通。启示：解决涉及某区间内可变量的问题，该用不等式而不能用方程。
难度三：需多步综合才能列出不等式。本题列不等式共需6步综合。提示二人数为（4x+19）是第一步，提示三中“（x-1）间住满了”是第二步。还要补充没提示的三步：先安排6（x-1）人住满，剩下的人数则是（4x+19）-6（x-1），最后得不等式组1≦（4x+19）-6（x-1）≦5(为了方便采用连续写法)。启示：解应用题的总策略是“分析+综合”，综合能一步步连接已知与未知，最终列出方程或不等式——很多“差生”不是傻，而是没有一步步细致做综合的耐心！
难度四：一题多解。如何多解？得出（x-1）间住满了之后，换个思路列不等式（我没试）？改设房数为x（我试了，比设人数为x难做些）？……启示：多给学生一题多解的机会，既有巩固效用，又能适应不同学生的学习风格，还能发展创造思维；但建议引导学生对比分析多种解法各自的优劣。
三、复习难题中的思维
再看C组复习题：“某码头货场现有甲种货物1530t，乙种货物1150t。安排用A、B两种不同规格的集装箱共50个将这批货物运往外地。已知甲种货物35t和乙种货物15t可装满一个A型集装箱；甲种货物25t和乙种货物35t可装满一个B型集装箱。按此要求安排A、B两种集装箱的个数，有哪几种运输方案？你会设计吗？”
一看象个方程题，我便轻而易举地列出了方程：设用A型集装箱x个，于是B型集装箱用了（50-x）个，得35x+25（50-x）=1530。疑惑来了：还可列另一个方程啊，15x+35（50-x）=1150，哪个正确？
不管它，解了再说！第一个方程的解是x=28，第二个方程的解是x=30。哪个正确？直觉告诉我：既然题目问“有哪几种运输方案”，肯定解不止一个，答案应该是28≦x≦30，取整数即x=28,29,30——三种运输方案。
再回头分析题意，恍然大悟：要让集装箱的总容量留有余地，应把两个方程改为不等式组35x+25（50-x）≧1530和15x+35（50-x）≧1150！解之得28≦x≦30，所以x=28,29,30。检验得知三个答案都可以。
反思：我的思路是“纠错得对、歪打正着”，尽管走了弯路，但起手容易——其实这是一个合情推理过程。如果某学生也是我这种思路，您会批评他还是表扬他？
拓展开来，如把本题作为期末综合复习题（使学生不知是复习哪一章），而且把问题“有哪几种运输方案”改为“怎样设计运输方案”（隐藏答案的多样性），则迷惑性更大。此时是否应该允许学生“纠错得对、边打边象”？
8、七下§2《二元一次方程组》：机械化算法
这一篇探讨两个问题：一是本章最后《数学与文化》提出的“算法”与“数学机械化”，二是解方程组过程中不可或缺的的逻辑思维。
一、算法（量化思想）的重要性
广西教育出版社2001年版，马忠林、王鸿钧、孙宏安、王玉阁著《数学教育史》指出：“中国古代数学的重要特点：实用性和算法化”，使“计算成为数学教育的核心”（第8页），进而形成“我国独具特色的算法化的数学教育体系”并“延续约2000年，直到15世纪”（第19页）。可从明清开始，中国学校却被根源于古希腊的西方数学一步步占领，为何？因为它不但理论严谨而且算法简便、高明（如解析几何与微积分）。
但“三十年河东三十年河西”，近来中国传统数学的算法财富又重新获得全世界的赞赏，原因何在——在于新的信息化（即数字化）时代对算法提出了巨大需求，且计算机为满足这一需求提供了可靠的手段。本章《数学与文化》高度赞扬了我国当代数学家吴文俊和冯康在算法与“数学机械化”方面的贡献，时代背景就在于此。
“算法”源于量化基本思想方法，更是实现量化的必备技术——算不出来还怎么量化？于是我们看到了数学史中“螺旋上升式发展”的一个事实：古代巴比伦、埃及、印度、中国的数学偏重计算与算法，古希腊接手后把重点转到逻辑论证，而工业革命之后特别是追求数字化的今天，计算与算法重新灿烂。
二、算法的机械化
“数学机械化”，《数学与文化》说“就是对一类需要论证的数学问题，设计一种算法，沿着一条有规律的机械的途径一直达到结论” 并“可以交给计算机去做”。
此中意思有两层：其一，计算及其方法即“算法”本来就是机械化的，背熟九九表、二十以内自然数分解组合及一系列计算公式之后，计算过程就成为“自动化”的了；其二，“论证”原本不能机械化、需要创造性智慧（如证明几何题中的创设辅助线），但有了数理逻辑和计算机，论证也能机械化了——吴文俊创造的、用机器做证明的、闻名于世的“吴方法”正是此类。本章的二元一次方程组解法也是机械化的：程序清晰、操作简明、可用计算机实施、好学好用。
故值得提醒学生：生活在当代社会，学习算法和机械化数学是非常重要的。还要提醒学生：论证的机械化告诉了我们，量化与逻辑化两个基本思想方法其实是相互包容、相互转化、相互促进的。
三、解应用题的方程法比算术法好在哪里？
本章例一，“地球表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍，则地球上的海洋面积和陆地面积各是多少？”
算术法：列综合算式，陆地面积为5.1÷（1+2.4）=1.5（亿平方千米），故海洋面积为5.1-1.5=3.6（亿平方千米）。方程法：设陆地面积为x平方千米、海洋面积为y平方千米，得方程组x+y=5.1和y= 2.4 x，解得陆地面积 x=1.5（亿平方千米）、海洋面积y=3.6（亿平方千米）。（题中的“约”字忽略不计）
比较起来，方程法的思维过程更为清晰、简便：
其一，“化繁为简”：列综合算式需一次性构建四个量的关系结构，而列任一个方程都只需构建三个量的关系结构。其二，“化暗为明”：列方程时，一旦把未知量设为x（或y），这只暗藏的拦路虎便服服帖帖，任我们把它当作已知量去加减乘除——像做小学计算题那样容易。
用结构化思想看，算式与方程都不过是表征数量关系结构的数学模型，但方程模型更清晰、简便、好学、好用。
所以沈文选在其《中学数学思想方法》一书中指出：“从算术发展到代数是数学思想的一次重大发展”，而“解方程是初等代数最基本的内容，它的产生不仅极大地扩充了数学的应用范围，使得许多利用算术不能解决的问题得以解决，而且对数学的发展产生了巨大的影响”（湖南师范大学出版社1999年5月版第13页）。
四、解方程组过程中若干值得深究的逻辑思维
其一，联立“｛”的逻辑条件。正如教材第17页所说，两个方程必须“含有相同未知数”才能联立。
比如：今后学函数，y=x与y=x2就不能联立，因为两个y不同（表示着y与x间两种不同的函数关系）——严格地说，这两个函数式如果要连着写应该写成y1=x和y2=x2，否则岂不同一个y既对应于x又对应于x2？从逻辑规则方面说，这意味着我们必须遵守而不能违背思维的“同一律”。
其二，为何可以代入消元？因为两个方程中的x或y含义分别相同，比如教材第20页第1、2两行说的：“方程①和②中的x都表示小亮家1月份的天然气费，y都表示水费”。值得深挖的是：此中依据的是欧几里得《几何原本》中所列的首条公理，“跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的”（即“等量的可传递性”，见M·克莱因《古今数学思想》第一册第69页）——这就是“等量代换”思想，将来会发展为“换元法”。
其三，为何可以加减消元？教材没讲道理，只说“干脆把方程①减去方程②就可以了”！这很不妥：第一，解方程组并不是把几个方程加加减减（那是小学算术语言），而是“对方程实施同解变形”（可广义地称为“运算”或“演算”）——为何学生容易错用小学的连等式来记录变换前后的方程，正因为没搞清这一点！第二，加减消元的逻辑依据简单得很，不过就是“等量公理”中的“等量加（减）等量仍得等量（若a=b、c=d，则a±c=b±d）”——干嘛不让学生深究一下道理呢？
9、插叙：代数、符号化、西方数学的优势
（一）
形象地说，“代数就是用字母代替数”，但干嘛要这样说呢？
因为字母的运用爆发了巨大的威力：它创造出方程方法、函数方法、解析几何方法、微积分方法、组合数学、级数理论、概率统计理论等等——总之，不断催生了数学的伟大发展。所以沈文选先生指出“从算术发展到代数”是数学历史上五次重大发展中的第一次（另四次重要发展分别是几何代数化、创立变量数学、创立概率论、创立模糊集合论，参见湖南师范大学出版社1999年5月版《中学数学思想方法》）。
“用字母代替数”就是数学的符号化。沈文选先生把“符号化与变元表示思想”列为数学六个基本思想之一（第21页），并指出“用含有变元的符号组合来表示一般规律和规则，是从作为经验科学的‘算学’进到作为理论科学的‘数学’的第一个标志。”（第29页；本人没把符号化列为数学基本思想方法之一，是觉得它并非数学独创并独有——语言、逻辑学同样符号化，因而符号化只是隶属于数学逻辑化基本思想方法的策略之一）
（二）
虽然1、2、3、4、5、6、7、8、9、0称为阿拉伯数字（实为印度人首创），而且阿拉伯人首创了“代数”概念（al-jabr →algebra），但符号化的代数体系却是欧洲人即西方创立的——前文所说函数、解析几何、微积分、概率统计等等也是西方人创立的。
于是，我们中小学教的都是西方数学，包括数字、字母、运算符号与运算方法、公式、定理、公理……中国传统数学很可怜的只能在“数学与文化”角落里点滴闪烁！
中国传统数学的这种悲惨命运早就发生了，前此介绍过的《数学教育史》指出：中国古代数学在宋元时期达到了高峰，在当时世界上也是先进的；但元末之后，宋元时期的重要数学成果失传；而自明末开始，西方数学传入中国并逐渐取代中国传统数学成了数学学术与数学教育的统治者！
的确悲惨，但不得不承认“落后就要挨打”——况且只有像鲁迅先生说的，先来个“拿来主义”、再奋发创新，才能重新自强于世界。
这一惨痛历史教训提醒我们深思两个问题：
第一，近年来喧闹的“国学热”、“红色文化热”究竟有没有前途？可以反问那些鼓噪者：他们有没有本事造出自然科学、社会科学、人文科学、数学以及技术方面的“国学”？如果有，我将佩服得五体投地；如果没有，劝大家别相信他们别有用心的鼓噪！
第二，作为数学教师，该想想究竟西方数学比中国传统数学强在哪里？
（三）
本文仅探讨上面第二个问题。
沈文选先生是这样说的：“我国传统数学的最大弱点是没有普遍贯彻符号化与变元表示思想，因此在许多方面难以表示数学的一般规律。这个弱点曾长期阻碍我国数学的高度发展”（第29页）。
如果您认为沈先生不够权威，那就看看世界名人M·克莱因先生的说法吧：“数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍的和特殊的”（《古今数学思想》第二册第65页）。
至于中国传统数学何等缺乏符号化，前面说过的《数学教育史》可以为我们提供诸多证据：第一，受方块字桎梏，中国传统的“数学符号”最高只达到用汉字代表变元的低水平（用“天、地、人、物”代表不同变量）；第二，受依赖“筹算”直观操作的桎梏（先是用竹片、木片等摆算式，后进化为算盘），没有运算符号、没有笔算，使得运算方法、推导过程等等统统不好记、不好教、不好学。
正因为这一“最大弱点”，指望中国传统数学发展成“普遍的、表示一般规律的”理论体系，或指望它创造函数论、解析几何、微积分、概率论等等，就只能是梦幻——被西方数学战而胜之就只能是它必然的宿命！
写这段插叙干嘛？目的有二：
其一，我们要深刻认识代数、符号化、西方数学的巨大威力，进而让学生感受、领悟这个巨大威力，激发他们学习代数的积极性。
10、七下§3《平面上直线的位置关系和度量关系》
可否重组内容？
本章很长、46页，认真读后感到编排较乱、数学思想运用不佳、逻辑不够严谨，不利于思维能力培养。是否可将其重组？终于在吴亚萍《数学教学改革指导纲要》中找到了支持（黑体是我加的）：
“根据教材知识点的编排方式而进行的点状教学……破坏了几何知识之间的整体联系，……在这样断裂或碎片化的散点知识中，学生要发现知识之间的关系已经很难了，就更不用说形成严谨缜密的关系思维了”（283页），为弥补这一缺陷，提倡教师“对教材文本进行结构加工”，包括“条状重组”、“块状重组”和“条块融通”三种方式（53-55页）。
但靠什么来把本章知识连成整体呢——该靠数学基本思想方法：直线和点是本章射线、线段、角各类图形的构成元素===＞几何研究图形的形状结构，而前述任一类图形的形状结构不过就是其构成元素（直线、点）之间的位置关系===＞进而研究若干图形之间的位置关系（线与点、线与角、角与角、线与线等）===＞将前述形状结构、位置关系的定性研究提升为量化研究（角度与距离的度量等）。
仔细思考上一段话，您能否发现运用其中的逻辑化、结构化、量化、化归化这四个数学基本思想方法？（提示：前三个顺着找、第四个逆着找）
一、对3.1.1的重组
本节顺序为“线段→直线→点与直线位置关系→射线”，并揉入其他内容。毛病：第一，把线段先向两端、再向一端无限延伸分别生成直线、射线，违反了“由少到多拓展”的通常思维顺序；第二，“点与直线位置关系”还没讲就使用“一条线段有两个端点”说法（实即“有两点在线上”），逻辑颠倒。
建议重组：“直线→点与直线位置关系→射线→线段”，并揉入其他内容。理由：其一，直线和点是图形元素，该先讲；其二，射线、线段是直线与点发生位置关系时生成的图形（一点在直线上将其分成两条射线，两点在直线上将其分成一条线段和两条射线）；其三，使此处“点与直线位置关系”为后文“角与角、线与线位置关系”做好铺垫。如此编排，学生探究活动的逻辑化、化归化不就增强了吗？
二、接着应该探究“角”
教材3.1.2“线段长短的比较”突兀而来，没有必要——建议调到3.6.2“点到直线的距离”之前。
我认为紧接3.1.1应该探究的是“角”，且先考虑两直线交出的角、再考虑两射线夹成的角。理由为：
其一，小学的“角”是静态概念（共端点二射线所夹图形），初中给出动态概念“一射线绕其端点旋转生成的图形”；但毕竟初一只须思考“静态角”，以后学三角函数才须思考“动态角”——你看，角不仍然是两射线的一种静态的“位置关系”吗？
其二，两直线交成多个角是一般情形，两射线夹成一个角是其中一种特殊情形；从思维培养角度看，应先学“上位概念”即一般情形。
其三，上节学了“点与直线位置关系”，本节正好从它出发实施对“直线与直线（射线与射线）位置关系”的拓展。先考虑两条直线，让学生自主发现它们之间全部可能的关系（分重合、不重合两类，不重合又分相交、不相交两类，相交中含垂直特例、不相交即平行）。再从相交情形中引出多个“角”。最后引出其特例“两射线夹成的角”。
其三，这样安排，能为后面学垂直、平行打好基础：垂线的性质与判定不过是研究两直线的一种特殊相交，平行线的性质与判定则不过是研究三直线的位置关系——都正好用上本节学到的知识与经验。
三、3.3.1“平行、相交、重合”一节可删去
按上面的重组办法，已经把“重合、不重合、相交、不相交即平行”放在一起学过了，于是没必要单独设置本节——可把其中有用的部分调整到3.5“平行线的性质与判定”里去。
删去这一节还有个好处：消除它的打岔，使前此“角的度量”与后此“相交直线所成的角”顺利地连结起来。
四、既高度重视逻辑证明，又切实关注量化思想
正如吴亚萍所说，本章“两条直线位置关系学习……是学生进入几何逻辑推理证明的开始”（291页），所以教材细密作了层层铺垫、步步展开，还注意了让学生操作实验→自主猜想→严谨论证。这些大家都很重视、本文篇幅又有限——不需赘述。
要切实提醒老师们、再由你们切实提醒学生的是另一点：要发掘、关注、认真学习几何研究的量化思想！
既然角是两射线夹成的图形，哪个角的两边张得更开？直线外的几个点哪个离直线更远？哪两条平行线离得更远？光定性地说谁更开、更远不够，数学的本性追求精确化、数值化——这就是它的量化基本思想方法，于是本章设置了大量的“度量”内容，如角的度量、点到直线距离的度量、平行线距离的度量等等。
别以为“几何”只重逻辑化，其实它同样重量化。百度网介绍：英语geometry（几何学）这个词来源于希腊语γεωμετρ?α，由γ?α（土地）和μετρε ?ν（测量）两词合成，可见其原意就是土地测量即图形度量——何况量化思想方法后来还孕育出了解析几何的伟大创造！
最后声明一点：本文的重组建议部分借鉴吴亚萍、部分自创——如想有更丰富的理论与操作收获，您最好去读她的原著。
11、七下§4《多项式的运算》：请开发思维（上）
本章专讲多项式加、减、乘运算。
“运算”高于“计算”：计算仅是对“数”的数值计算；运算则对“式”（代数式、方程式、不等式、函数式等）实施，方法是对“式”进行恒等（同解）变形，虽含少量数值计算，更多却是运用定义、等量公理、等式或不等式基本性质、同解原理等进行推理（逻辑运演），故称“运算”。
专讲“运算”与专讲“计算”一样既好教又难教！好教：规则清晰易懂、算法不太复杂，“精讲多练”即可，考分不会低。难教：满篇机械运算、“多练”又常沦为题海战术、负担不轻，岂有精力开发思想方法教育、提高数学能力、熏陶爱数学情感？
您有两个选择：或只重考分、迷“精讲多练”，舍弃思想方法教育；或崇素质教育、狠学众多成功经验，运用思想方法教育提高教学效益，使学生的考分和数学素养双赢。
如您选择前者，这篇（乃至本系列全部）文章就不必看了——因为它们只为选择后者的朋友们服务，况且颇具权威的吴亚萍《数学教学改革指导纲要》一书也持此主张——但选择后者必须敢吃苦、敢克服困难！
以下参考吴先生主张展开本文。
一、该让学生思考“学它干嘛”
本章教材开篇就是“如何求两多项式和与差”、目标定在“算法”，却无视了“学它干嘛”这个重要“算理”。说它重要是因为：第一，从教育目的看，没意义的东西学它干嘛——不是该学“有用的数学”吗？第二，从学生心理角度看，不知“干嘛要学”就没了求知动机，只能被你灌、效益不高地被动学习。
正如吴先生批评的：“学生……不用思考为什么要学列方程……因式分解，……就容易陷入盲目被动的学习状态之中”（259-269页）。
究竟为什么要学“求多项式和与差”呢？我以为：
道理一较浅——以前每学一类数，都要先确定数的意义，然后研究它们之间的加减乘除——任何代数式归根结底也是一个数，当然也要在搞清它的意义之后研究它们之间的加减乘除；
道理二稍深——解决实际问题必需算，如教材第96页《动脑筋》“求南北长a+b、东西长m+n居室的面积”，就必须做多项式乘、加；
道理三更深——从哲学上说，诸事物必然相互联系、组成关系结构，和、差、积、商就是其中“数量关系结构”一类，各多项式也会组成数量关系结构，于是必须研究它们的加减乘除。
同上道理，还有两个地方该引导学生思考“学它干嘛？”
多项式乘法：干嘛要按“同底数幂相乘→幂的乘方与积的乘方→单项式乘单项式→单项式乘多项式→多项式乘多项式”的顺序去学？（可与“数的乘法”学习顺序类比）
乘法公式：学它干嘛？本章《小结与复习》中只说“乘法公式可以使某些特殊的多项式的乘法变得简单”，其实另一个理由更重要：乘法公式是因式分解的依据，而因式分解正如吴亚萍所说“在初中代数中……具有重中之重的地位”，它是解决一元二次方程、高次方程、分式方程、无理方程、分式运算等问题的基本方法（268页）。让学生今天知道一点明天，正是教学中必需的“瞻前顾后”。
二、可否接着思考“为什么多项式可以加减乘？”
前面讲的是思考“多项式为何要加减乘”，可否接着思考“多项式为何可以加减乘？”
本题答案：我们已知对任何种类的数都可以加减乘；多项式（含其特殊形式单项式）中的字母不过表示数，故多项式归根结底也是数，所以也可将它加减乘。
这个问题也有“瞻前顾后”价值：以前对“旧数”可以加减乘，今天弄清了对多项式可以加减乘，今后对一系列“新数”（无理数、实数、虚数、复数）和“新式”（分式、无理式、函数式、级数、极限、微积分）还要弄清“可否加减乘”——在高等数学中，对极限、导数、微分、积分等可否实施四则运算是必须加以证明的！
综合地说，这一节加上一节，实际上就是在运用量化基本思想方法展开对多项式的思考（数量性、数量关系、算法等）——这样教能让学生深刻把握数学的本质。
不过本节要求似乎过高、过多——您看着办吧！
三、该让学生经历自主归纳过程
本章首个算法结论“多项式加减就是合并同类项”该怎样得出？
教材4﹒1例题刚问“如何来求它们的和与差”，立马就让画中女生答出“不就是合并同类项吗？”结论来得太快、太容易了吧？
不如慢一点，让每个学生都来经历演算实践、猜想算法、归纳证实过程，具体做法可为：首先，把例题和练习中的一道求和差题分解成两加两减四道题，让学生（各自或分组）尝试演算；然后讨论“在刚才的尝试中你猜到并归纳出了什么算法”——议论可能较杂，但肯定会包括“哦，多项式加减的算法就是合并同类项”和“哇，还要注意去括号法则”。
当然上面的“归纳证实”只用了“不完全归纳法”，其实不严密、不合理——但它合情，正是课改提倡的合情推理。
吴亚萍指出：“中学教师往往……认为代数相对几何来说要简单许多，所以常常会关注几何教学中的演绎推理，而忽视代数教学中的归纳推理……不注意引导学生经历代数结论获得的归纳过程”（257页），进而“以整式加减法中合并同类项的法则教学为例”建议：“第一步根据现实问题有所发现，……第二步根据偶然现象引发猜想，……第三步列举大量具有同类项的单项式加法的事实进行验证，……第四步根据大量事实归纳概括一般结论”（258页）。
本章此后得出多项式乘法各法则、乘法两公式的教学，同样该让学生经历上述自主归纳过程。
12、七下§4《多项式的运算》：请开发思维（下）
四、还该让学生经历自主类比过程
课改提倡的合情推理有归纳还有类比，所以又该让学生充分经历自主类比过程。
（1）教材推导am·an=am+n用的就是类比推理：因为a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5，与此类比得am·an=（m个a自乘）·（ n个a自乘）=（m+n）个a自乘=am+n
（2）推出二个同底数幂相乘的法则后，教材紧接着问“当3个或3个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？”也可用类比法：与已得法则类比可得“仍然是底数不变、指数相加”。
（3）教材推出（am）n=amn，是通过将它与（a3）4=a3×4类比。
（4）教材推出（ab）n=anbn，是通过将它与（ab）3=a3b3类比。
（5）教材推出一般情形的多项式与多项式相乘法则，是通过将它与（a+b）·（m+n）=am+an+bm+bn类比。
（6）教材将算律ab=ba、a（bc）=（ab）c、a（b+c）=ab+bc不加任何说明就用于解决多于3个数的一般情形，其实也是将一般情形与只含3个数的特殊情形类比得出。
上述或明或暗的类比推理运用，我们先要自己弄明白，然后引导学生自主经历它们的过程，以此开发思维资源，培养学生合情推理的意识和能力。
五、演绎思维资源同样丰富存在
与“合情推理”相对的是“合理推理”即演绎推理，其“合理”指合乎逻辑，——给概念下定义、对概念作划分（即常说的“分类”）、判断概念之间的关系（如“1既不是素数也不是合数”）、推导判断之间的关系（即“推理”如“合数之和一定是合数，2和4都是合数，故其和6一定是合数”）等等，都必须符合相关逻辑法则。
我们熟知数学饱含演绎推理、学数学最利于培养演绎思维能力、要高度重视教学中演绎思维的开发，但遗憾地是，在代数教学中我们又往往只重运算技能培养却忽视演绎思维开发！
其实代数与几何一样饱含演绎思维资源——就看我们在意了没有、发掘了没有。
本章教材有运用演绎推理的地方吗？多得是，至少每道运算题、化简题都包含演绎推理——每一步运算都必须以该运算的定义、法则及算律等为依据进行演绎推理才能实施（无须举例了）。此外还有一些地方：
（1）第88页a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5的推导过程就属于演绎推理，只少了一个说明：（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a的依据是乘法结合律。
（2）第89页《动脑筋》“当3个或3个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果”：其结果“底数不变、指数相加”对3个同底数幂来说可以严密推出（只需分两步、每次计算两个同底数幂的积）；如多于3个（如一般性的n个）则又需运用数学归纳法推导。
（3）如果以上一结果为依据，则第91页幂的乘方法则可以通过严密演绎推导出来。
（4）第92页积的乘方法则虽可通过类比得出，但如看做演绎推出，则推导过程不够严密——所用的推广交换律、推广结合律还没证明呢！
（5）第93页《动脑筋》计算4x2y与-3xy2z乘积的第一步是：
4x2y·（-3xy2z）=4·（-3）（x2·x）（y·y2）z，并追问“为什么？”
能简单地回答“根据乘法的交换律与结合律”吗？不能！因为原式首先只能展开成（4·x2·y）·〔（-3）·x·y2·z〕，然后须多次运用乘法结合律展开成4·x2·y·（-3）·x·y2·z——此时面对着多于3个数相乘，必须运用推广的乘法交换律才能得出4·（-3）（x2·x）（y·y2）z。
（6）注意补充：第95页单项式乘多项式法则的得出用到了推广分配律——原有的分配律只对三个数的关系有效，而此时面对的不止三个数。
（7）第97页对（a+b）·（m+n）的计算方法，教材先根据例题的实际意义得出，然后指出“利用……继续利用乘法分配律”便可独立得出——该推导严密。
您可能对这段内容有看法：何必如此细究？
却不知，我早已发现有些教师（甚至是“优秀教师”）连自己都没弄清教材中演绎推理的深刻存在及其重要性——比如坚持认为“a0=1是推导出来而不是人为规定的”，那还怎能有效开发学生的演绎思维呢？
六、再罗嗦二句
（1）教材第97页探究（a+b）·（m+n）的计算方法时，把它转换为求居室面积，这是用了“数形互化”策略——而这一策略的源头则是结构化基本思想方法：该几何问题与原代数问题各自的数量关系结构“同构”，故解决该几何问题的方法可用来解决原代数问题。
13、七下§5《轴对称图形》：
站高一点分析、运用教材
本章教材其实蕴含了丰富的数学思想资源，建议大家站到高一点的立场去分析、发掘和运用它——但不排除对教材实行改进。
一、请用好数学语言训练资源。
数学思维包括形象思维，更包括抽象思维——用抽象符号作材料运作的思维。数字、字母、算符都是符号——但语言是更重要的符号。
思考过程要用“内部语言”，它无声、模糊、散乱、跳跃但很快；对思考过程与结果的表达则要用“外部语言”（话语、文字），为了让人听懂、看懂，它必须准确、清晰、符合逻辑，所以比用内部语言难得多。
因此，语言能力低←→思维能力低，我们必须高度重视数学语言训练。法对折法如何？法很好于这条直线轴对称而本章就有相当多的数学语言训练机会，千万别浪费了！法对折法如何？法很好于这条直线轴对称
概念逻辑定义的表述：教材多次运用了“如果……那么叫做（就说、就称）……”之类的句式。
逻辑判断（描述两概念之关系）的表述：教材多次运用了“如果……则……”这样的单句，务必提醒学生，“如果……”半句是说“条件”、“则……”半句是说结论。所以，对随后多次出现的省略型单句（如第118页“线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等”），要引导学生补上“如果”和“则”，弄清谁是条件、谁是结论。
演绎推理（描述若干判断之关系）的表述更丰富！先用简单复句：第117页对人字形屋顶问题的推导过程“如……那么……于是……”。随后复句稍长：第118页8、9两行“由于……因此……又由于……从而……因此……”。再后复句更长：第123页例题第（2）问的推导过程“设……，则……‖所以……‖所以……”，第127页《动脑筋》题的解答过程“因为……‖所以……‖由此得出……”，第137页《动脑筋》题的证明过程“因为……‖所以……‖从而……‖再由……‖因此……”。此外，也要引导学生弄清复句中每个单句的功能——谁是条件、谁是结论。
二、请用好数学研究方法资源。
怎样才能贯彻新理念“让学生像数学家一样研究数学”，——那就要知道数学家研究数学的基本方法。
对此，刚修改的数学课标回答了一句话：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”，——因为数学史证明数学家研究数学经历的就是“观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明”过程。
本章教材就提供了丰富的上述活动过程，我们要用好这一资源，大力发展学生的数学研究能力。
第115页先观察印章图样，再发现两图形的形状相同但方向相反，以此为基础提出“轴反射”概念及轴反射的性质；第117页先观察人字形屋顶图样，再发现中垂线；第118页先观察图示，再通过测量发现“线段中垂线上任一点到线段两端点等距”；第122页先观察三角形三条特殊内部线段的图示，再要求“试着为”这三条线段“命名”；同页还要求通过拼接操作自主发现三角形三边之间的关系；……
我数了数，此类活动本章共设置了14次，真好！
三、请关注：原命题为真，逆命题不一定为真！
本章出现了很多原命题与逆命题皆真的情形，如：
第118页，两点A、B关于直线L对称﹤＝﹥直线L是线段AB的中垂线；118-119页，点在线段的中垂线上﹤＝﹥点到线段两端点等距；第131页加第133页，等腰三角形﹤＝﹥有两个角相等；第133页，等角对等边﹤＝﹥等边对等角；第137页，等边三角形﹤＝﹥三内角皆为600。
这是好事，让学生开始接触命题逻辑以培养逻辑思维能力。但一味如此会危险——容易暗示一个错误观念“原命题真、逆命题必真”！
因此务必补充若干反例以澄清事实：如“金子是闪光的，闪光的却不一定是金子”之类；又如结合本章内容，三角形外角和等于3600，但外角和等于3600的图形却不一定是三角形（因为任何多边形的外角和都等于3600）。
四、能否换个办法定义“两图形关于某直线对称”？
教材用“轴反射”来定义，对“对称点”则未给出精确定义。
此法似不理想。第一，塞进来的“轴反射”概念在本章再没用过，是否多余？第二，被模糊带过的“对称点”概念反倒在本章一用再用，岂非舍本逐末？
换个办法如何？象第114页那样用对折法定义“轴对称图形”及其对称轴-→定义“对称点”（其连线被对称轴垂直平分）-→图形某部分的任一点都能在另一部分找到其对称点（对称轴上点的对称点就是它自身）-→推广到“两图形关于某直线对称”（图形a上的任一点都能在图形b上找到其对称点，反之亦然）。
这样做的好处是：复习巩固了逻辑化思想，严谨；复习巩固了量化思想，数量化、直观化；复习巩固了化归化思想（几何图形化归为点，如解析几何的起点就是“平面上的点与二元数组一一对应”），“化新为旧”、“化繁为简”；能消除“轴对称只是两图形轮廓线对称”的误解（对第114页第5行的“完全重合”须认真解读）；便于用来学习本章随后内容。法对折法如何？法很好于这条直线轴对称
五、“结构化教学”别只关注“知识结构”！
大家都知道应该推行“结构化教学”，吴亚萍《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》的教学法建议概括地说就是“学结构、用结构”。
但“结构”仅仅是“知识结构”吗？不，吴书指出“结构”有三个：“知识结构”即数学知识的逻辑结构，“方法结构”即各种解决问题数学方法之间的关系结构，“认知结构”即学生学数学的认知活动结构（知情意相互影响、从感性到理性等）。
这样来看，本章教材的“小结”就需改进了。
其第一部分“基本概念”图示出了本章的知识结构，很好。
但第二部分“基本方法”却单薄了：用轴反射性质探究线段或角相等，用内角和性质探究外角和，用等腰或等边三角形性质探究线段或角相等。这些都只是“小办法”，只停留在“解题术”水平！
难道本章没用更有价值的数学基本思想方法吗？非也，不但用了、还用得很多，仅举一例——本章研究三角形性质的部分：
（1）量化方法：研究三边大小关系；研究内角和、外角与相邻内角互补、外角和；研究边角之间的大小对应。
（2）逻辑化方法：先研究一般三角形，再研究特殊的等腰、等边三角形；以三边长度关系为依据对三角形做划分；前文提到的概念逻辑、判断逻辑和演绎逻辑。
（3）化归化方法：将复杂轴对称图形化归为最简的对称点。
（4）结构化方法：全章都是研究三角形的结构特征。
所以，做教材分析确实要站高一点！
14、七下§6《数据的分析与比较》
请思考统计方法的特点
本章对统计的介绍紧密服务于实际问题的解决，符合“大众数学”、“生活数学”理念，很好。但作为教师，还应深思“运用统计方法要注意什么”、“统计方法的根基是什么”等问题，并依此对教材进行适当改造，以提高实施数学思想方法教育的水平。
一、建议把
本章第一部分
理由之一：实质上，用老办法“各数据之和除以数据个数”得出的“平均数”就是“加权平均数”，所以观察题和例1用两种办法算出的结果相同。但既然相同，干嘛费劲去学“加权平均数”这个没用的新东西？可见这两个问题没有激发学生学新知的必要资源。至于例2，它不是实际问题而只是纯数字题，价值就更小了。
理由之二：再看
结论：删掉
但仅如此不够，需要补充一些内容——因为教材没提供：
（1）为何规定“权数是一组非负数”？“0”可以吗？分数可以吗？需结合实际问题经过讨论弄清。
（2）为何规定“权数之和为1”？也应结合实际问题经过讨论弄清。
二、请对一个习题发掘方法论内涵
第152页练习题3探讨加权平均数的应用：按2.4元价格卖出50千克、2元价格卖出35千克、1.6元价格卖出15千克，求平均价格。对这个题目不应只满足于“会算”，还应以它为资源对统计方法进行有方法论深度的发掘：
发掘一：为何总重量恰好设置为100千克？
“权数”是一种数学模型（源于结构化基本思想），但模型毕竟只是对真实情景的模拟——此题总重量恰好设置为100千克不过是编者的善意、想使计算简单，真实情况大多并不如此。为何不让数据更真实一些呢？要是我就会把总重量设置为小于或大于100千克，还正好能用分数来表征权数，既利于深刻理解“权数”的实质又不会增加多少计算量。
发掘二：用学过的老办法算，平均价格=总收入÷总重量，于是（2.4×50+2×35+1.6×15）÷（50+35+15），它与新学的加权平均数算法（2.4×0.5+2×0.35+1.6×0.15）结果相同！为什么？因为新办法不过是用分配律改变了计算程序，结果当然相同。那为何要学新办法？因为新办法包含了很有用的“权数”和“加权平均数”两个新概念，丰富并深化了统计方法。
三、请弥补违背统计方法要求的一个误差
统计分析是一种重要的数学方法，但要注意：只对某数据组做个统计就对该数据组结构性质得出分析结论是不科学的。
例一：第156页《说一说》的第三个结论“4月至9月……最高水位的极差达到了10.41m，最低水位的极差也有5.35m，反映了1998年湘江洪水暴涨，灾害严重”，可信吗？不可信：既不与其他年份比较、又不与容许极差值比较，你怎么知道1998年的情况是“暴涨、严重”？。
例二：第162页研究“如何评价一批棉花的质量”，方法是算出这批棉花的纤维长度平均数为4.85cm、方差为1.3275。但能根据这两个数据就说这批棉花“好”还是“不好”吗？不能：因为没有比较标准。
例三：第163页对“生产过程控制”的研究方法倒是对的！先算出两个时段所产两组零件的直径方差分别为0.026和0.008，再把它们与“方差应不超过0.01mm2”的标准比较，从而得出可信的结论：“8:30-9:30……生产情况不正常；经过调整后，……10:00-11:00……生产过程已恢复正常”。
四、请提炼并强调生成统计方法的数学基本思想
本章的主线是为解决一系列实际问题提出统计方法，很好。
但统计方法是如何生成于数学基本思想方法的呢？教材没说，可惜——因为这太重要了！那好，我们自己来提炼并向学生强调它吧。
以167-168页“派谁去参赛”问题的解决为例：
（1）只看最快速度该派小华去，因为他的13.2s比小明的13.9s快很多。（2）只看最慢速度则该派小明去，因为小华的16.1s比小明的15.5s慢多了。（3）如看10次训练的平均速度又无法定论，因为一个14.6s、一个14.49s，差距极小。
哈，学生们为难了：究竟该派谁去呀？
请他们再度审查、对比两组数据后，应能激发出新的猜想：那就看谁的训练成绩更稳定吧！
如何衡量呢？“稳定”或“不稳定”只是定性的说法，要精确衡量、使人信服，必须用到数学的“量化基本思想方法”：创造一个数学模型，用它来数值化表征一组数据的波动幅度——这就是“方差”。
何止于此，其实所有的统计概念乃至整个统计学都是如此生成于数学量化思想方法的！不信的话，您可以回顾、反思一下。
此外，我们还可以留个尾巴让学生课外探究：第160页例2中，乙合唱队身高的方差是120cm2——数字这么大呀，该队最高的不过180cm、最矮的不过150cm呀？这说明“方差”这个数学模型还不太令人满意，那该怎么修改它呢？