ssdao.fcczp:2011中考数学加油站：几何证明（与三角形有关）

                  几何证明（与三角形有关）

【复习要点】

1、三角形的边角关系

（1）三角形任何两边之和　　第三边，任何两边之差　　第三边。

（2）三角形的内角和等于　　　，任何一个外角　　和它不相邻的两个内角的和；任何一个外角　　和它不相邻的内角。

2、三角形全等的判定和性质

（1）三角形全等的判定方法有　　　　、　　　　、　　　　、　　　　，直角三角形全等的判定除了上述方法外，还有　　　。

（2）全等三角形的　　　　　、　　　　、　　　　　、　　　　　、　　　　、　　　　、

　　　　　　　分别相等。

3、三角形相似的判定和性质

（1）三角形相似的判定方法有　　　　、　　　　、　　　　，直角三角形全等的判定除了上述方法外，还有　　　。

（2）相似三角形的　　　　　相等，　　　　　成比例，　　　　　等于相似比，　　　　　等于相似比的平方。

4、三角形的中位线　　　　第三边，并且　　　第三边的一半。

5、三角形的外心是　　　　　　　　，它到　　　　　　　　　　的距离相等。

6、三角形的内心是　　　　　　　　，它到　　　　　　　　　　的距离相等。

7、勾股定理是指：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。

8、等腰三角形的“三线合一”是指：　　　　　　、　　　　　、　　　　　互相重合。

9、等边三角形的判定有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

【例题解析】

例1：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．

(1)求证：AB＝DC；

(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．

解析：欲证AB＝DC，则要看这两线段是否在同一个三角形中，若在，则利用“等角对等边”证之；若不在，则看它们分别分布在哪两个三角形中，然后证全等，从而寻求全等所需的三个条件是解决问题的关键。判断△OEF的形状，在利用（1）的结论时推导出是等腰三角形时，还要考虑是不是直角三角形。证明如下：（１）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC．（２）△OEF为等腰三角形 ；理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形.

反思：对于此类证明线段或角的问题，应先从结论出发，分析证明结论所需的条件。再根据条件，选择适合的知识点进行证明。如本题要证明线段相等，根据条件，选择不同的判定，证明的方法、难易度也会因此不同。

例2　如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE；.

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；

（2）请分别说明三角形相似的理由.

　　解析：看图、选择判定方法是解决这类题的关键，已知条件给的都是角，所以选择判定时可以从和角有关的判定入手。解答如下：（1）△ABC∽△ADE；△ABD∽△ACE。（2）①证△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；又∵∠ABC=∠ADE；△ABC∽△ADE；②证△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE；

反思：对于此类问题，选择好判定方法是解决这类题的关键，在证明时，应先证简单、把握的，然后现利用已证的结果作条件再应用。

【实弹射击】

1、如图，在中，点、分别在边、上，求证：

2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．

求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD．

3、如图，点是的中点，，.

求证：△≌△

4、如图．点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF．

5、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

6、如图，和都是等腰直角三角形，交于点分别交于点试猜测线段和的数量和位置关系，并说明理由.

7、学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．

（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足     ，或     ，两个直角三角形相似”；

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足     的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．

已知：如图，     ．

试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．