渣打银行纽约分行:万物皆数——从几何化到数学化

万物皆数——从几何化到数学化

沈致远

  “万物皆数”，是古希腊毕达哥拉斯学派的重要思想，据说是毕氏等首先从音乐和声规律以及天体运动中总结而成。这种观点自近代至现代都不乏传人，从开普勒、莱布尼茨到爱因斯坦、狄拉克，每次都较过去达到了更为深入的理念和层次。如今，物理学在追求“终极理论”，万物皆数再次引起关注。

   甲：古希腊的毕达哥拉斯学派提出：万物皆数。

   乙：万物皆数代有传人。伽利略说：“宇宙是一部以数学语言写成的巨作。”开普勒说：“几何学在上帝创造万物前就已存在，为上帝创世提供了模型。”他试图在金木水火土加上地球这六大行星轨道所在的球面之间，介入五个不同的正多面体。开普勒此举以失败告终，却表达了他对万物皆数信念的一种追求。

   甲：英国物理学家、诺贝尔奖获得者狄拉克说：“上帝是高明的数学家，他用非常先进的数学创造宇宙。”

   乙：老子说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”这也包含了万物皆数的意思。

   甲：老子说得更具体：万物源于道，始于最基本的三个自然数：一、二、三。

   乙：英雄所见略同。

   甲：科学家和哲学家思考到极深处发现：万物同源，不同也难。

   乙：麻省理工学院的泰格马克（M.Tegmark）教授提出“数之宇宙假说”[1]，他主张：物理现实是数学结构，不是数学描述宇宙，而是宇宙即数学。

   甲：这是万物皆数现代版。

   乙：泰格马克提出的只是一种哲学思考，并无具体方案。

   甲：能想一些根本问题总是好的，即使错了也知所趋避。科学家要想取得重大突破，就应对根本问题不断进行思考。爱因斯坦深明此理，深思熟虑步步深入。

   乙：是的！爱因斯坦在广义相对论中将引力归结为时空弯曲，异军突起，石破天惊。

   甲：不仅天惊，天也认可，天文观测证实了广义相对论的预言。最近对广义相对论的验证，精确度已达到10-13。

   乙：爱因斯坦从广义相对论的成功得到启发，提出“几何化”设想，试图将万物皆数体现为几何化。

   甲：开普勒的几何化失败了，爱因斯坦的广义相对论却成功了。这是划时代的创举。但广义相对论的几何化并不彻底，其基本方程左边几何化了，右边的“能量－动量－张力”张量并未几何化。据说爱因斯坦曾戏称：方程左边刻在大理石上，右边是草编的。

   乙：爱因斯坦本人对此非常清楚，他试图沿几何化思路探讨万物之理，在某种意义上正是想解决这个问题。可惜事与愿违，物理学家沿几何化途径探讨万物之理，除引力外，其他方面并无进展。在主流理论“标准模型”中，基本粒子全为点粒子，既无拓扑结构也无几何模型，即为明证。想想看！不是几个人而是上千人，不是一代人而是几代人。号称“全世界最聪明”的一群人，锲而不舍孜孜以求，探索过每一条歧路，翻转过每一块石头……

   甲：“众里寻他千百度”，是“蓦然回首”的时候了。

   乙：对！寻求下一个重大突破，首先要进行反思。

   甲：科学史一再证明，寻求重大突破不能因循守旧固步自封。突破首先思想上要突破。

   乙：我在想，数学包含三个内容：数、形、关系。几何论形，只占三分之一。为何只重形而忽视数与关系？

   甲：你的意思是从几何化过渡到数学化。

   乙：正是此意。数学不仅比几何更广泛，而且更基本。

   甲：愿闻其详。

   乙：莱布尼茨和牛顿各自独立创立了微积分。他对空间的认识和牛顿不同。牛顿的绝对空间观认为空间独立于物体而存在，莱布尼茨否认绝对空间。他的名言：“空间只是物体位置之间的关系，去掉物体何来空间？好比语句是字母之排列，去掉字母，何来语句？”

   甲：此论深刻。

   乙：是的！寻求万物之理者屡遭挫折后，想起了莱布尼茨，有人主张放弃空间代之以关系。另有人不同意，认为此举背离几何化。其实从数学化观点看，两者并不互斥。数学包含形和关系，可兼容并包几何化与莱布尼茨的关系论。

   甲：有意思！笛卡儿将代数与几何相结合，创立解析几何；黎曼将微分与几何相结合，创立微分几何。两者皆兼容并包数与形。

   乙：兼容并包不等于平起平坐，数比形更基本。

   甲：何以见得？

   乙：欧拉提出著名公式：eiπ＋１＝０。

   甲：欧拉公式之所以著名，在于以一个简单公式联系不同类别的数，包括：数轴的原点 0，自然数的起点 1，虚数的单元 i，以及两个无理数e和π。

   乙：e和π均为无理数，但两者很不一样。自然对数的底e=2.71828…是不变的普适常数。圆周率π=3.14159…只适用于平面，曲面上的圆周率可以取不同数值，所以圆周率并非普适常数。这只是一个例子，关键在于形可变而数恒定。你可以改变拓扑流形的形状，但你无法改变1和2以及１+１＝２ 。

   甲：万物流变，为什么恒定的数比可变的形更基本呢？

   乙：万变不离其宗。

   甲：此话怎讲？

   乙：万物之理重在理，理者规律也。万物固然流变，其基本规律不变。探索万物之理，就是要在万变中寻求其不变的基本规律。

   甲：所以你认为，恒定之数比可变之形更基本；探讨万物之理，应该从几何化过渡到数学化。

   乙：数学化并不排斥几何化，而是扩展和提升。爱因斯坦的几何化是一种抽象，数学化则是更进一步的抽象。

   甲：太抽象会不会脱离实际？

   乙：问题不在于抽象而在于是否正确，正确的抽象理论比具体理论更接近实际。拉格朗日和哈密顿将牛顿力学抽象化，得出的拉格朗日原理不仅包含牛顿力学，还适用于电动力学、量子论和相对论。由此可见，正确的抽象不仅更接近实际，而且具有前瞻性。

   甲：言之有理！但我还是有点担心。当前对弦论的批评就是“纯数学脱离实际”，再提倡数学化抽象化岂不是火上加油。

   乙：弦论的症结是缺少选择规则[2]。在其多维空间中，三维以外的多余空间如何卷曲收缩，至少有10200种不同方式，在弦论框架内不知何所从。

   甲：于是就提出地貌（landscape）说和多宇宙（multiverse）说，试图绕过困难。

   乙：困难是绕不过去的，关键是要找到选择规则。

   甲：他们找过，就是找不到。

   乙：那是找错了地方。打个比方，丢了钥匙，在卧室中找不到，为何不在整个屋子里找？

   甲：我懂你的意思了，数学是屋，几何学是卧室。应该从几何化扩展为数学化。

   乙：对！所以弦论之困境并不在于“纯数学”，而在于用偏了数学。就好像偏食会导致营养不良。

   甲：在整个屋子里也找不到，该怎么办呢？

   乙：如果弦论确实包含正确因素，选择规则一定能找到。否则，只有改弦易辙。

   甲：对！难怪万物之理候选诸论者中有许多数学家。

   乙：还不够。目前投入的主要是论形者——几何学家及拓扑学家。还需要论数者——数论学家。

   甲：数论！万物之理竟与数论搭界？

   乙：大数学家高斯有言：“数学是科学之女王，数论是数学之女王。”承认了第一位女王，就得承认第二位女王。数论之核心是质数，质数乃众数之母。万物之理数学化能少了这位母亲吗？

   甲：好！还有呢？

   乙：还需要概率统计学家。

   甲：这我能理解。量子论与相对论是物理学的两大支柱，万物之理必须将两者统一。量子论的核心概念是代表不确定性的概率。

   乙：对！量子论在基本理论中引入不确定性，这一步非常重要。万物之理应在最基本的层面上予以继承。量子力学是在对波函数作解释时才引入概率。我在想，可否将概率作为基本前提假设？

   甲：大胆假设！你能否更具体些？

   乙：更具体就只能猜测了。我觉得，高斯概率分布非常值得注意。

   甲：我完全同意！高斯分布的许多特点具有基本重要性，可在万物之理数学化中担任重要角色。万物之理寄厚望于数学家。

   乙：更重要的是，物理学家和数学家的大同盟；尤其是实验物理学家，唯有他们才能请来判官。否则只是纸上谈兵。

   甲：万物皆数言之成理。

   乙：关键还在于是否持之有故，有待提出具体方案，让实验这位铁面判官来作判决。

   甲和乙：乐观其成，拭目以待！

   [1] Tegmark M. New Scientist, 2007，195（2621）：38.

   [2] 沈致远. 科学, 2007, 59（3）: 42.

   　　(作者电子邮件：zyshen@comcast.net) □