范冰冰民国电视剧:2.3幂函数

课题：§2.3幂函数

教学目标：

知识与技能  通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．

过程与方法  能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．

情感、态度、价值观  体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

教学重点：

重点  从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．

难点  画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．

教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设计

师生双边互动

创

设

情

境

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：

1．它们的对应法则分别是什么？

2．以上问题中的函数有什么共同特征？

（答案）

1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．

2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．

生：独立思考完成引例．

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．

组

织

探

究

材料一：幂函数定义及其图象．

一般地，形如

的函数称为幂函数，其中为常数．

下面我们举例学习这类函数的一些性质．

作出下列函数的图象：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）． 

[解] 1 列表（略）

2 图象

师：说明：

幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．

师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析，强调画图象易犯的错误．

环节

教学内容设计

师生双边互动

组

织

探

究

材料二：幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．

生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

材料三：观察与思考

观察图象，总结填写下表：

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

材料五：例题

[例1]

（教材P92例题）

[例2]

 比较下列两个代数值的大小：

（1），

（2），

[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．

并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

环节

呈现教学材料

师生互动设计

尝

试

练

习

1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．

3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．

4．用图象法解方程：

（1）；     （2）．

探

究

与

发

现

1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：              ．

2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？

（1）和；

（2）和．

规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．

作业回馈

1．在函数中，幂函数的个数为：

A．0      B．1     C．2      D．3

环节

呈现教学材料

师生互动设计

2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．

3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．

（1）写出函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．

4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：

（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；

（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

课

外

活

动

利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．

收

获

与

体

会

1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？

第8课时    幂函数

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如    的函数称为幂函数，其中     是自变量，      是

常数；

注意：幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点           ；

（2）当时，幂函数在上     ；当时，幂函数在上           ；

（3）当时，幂函数是          ；当时，幂函数是           ．

3．幂函数的性质：

（1）都过点         ；

（2）任何幂函数都不过         象限；

（3）当时，幂函数的图象过         ．

4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从      到         分布；

（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在       象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于       轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限

关于         对称．

例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

（1）       （2）      （3）   

 （4）     （5）     （6）

解：（1）此函数的定义域为R，          

∴此函数为奇函数．

（2）

∴此函数的定义域为   

此函数的定义域不关于原点对称 

∴此函数为非奇非偶函数．

（3）

∴此函数的定义域为

∴此函数为偶函数

（4）

∴此函数的定义域为

    ∴此函数为偶函数

（5）

∴此函数的定义域为

此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数

（6）   

 ∴此函数的定义域为

 ∴此函数既是奇函数又是偶函数

变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：

（1） （2） （3）（4）（5）

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．

解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．  

（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，

在 上单调递减．

（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．

（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．

（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．

例2比较大小：

（1）  （2）

（3）

（4）

解：（1）∵在上是增函数，，∴          

（2）∵在上是增函数，

，∴

（3）∵在上是减函数，

，∴；

∵是增函数，，

∴；

综上，  

（4）∵，，，

∴

变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：

（1） 

（2）  

（3）

解：（1）   

（2）

（3）

例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．

分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．

解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，

∴，∴；

∵，∴，又函数图象关于原点对称，

∴是奇数，∴或．

变式训练3：证明幂函数在上是增函数．

分析：直接根据函数单调性的定义来证明．

证明：设，

则

   即

此函数在上是增函数

1．注意幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质要熟练掌握

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点2(1)，则f(2)＝(　　)

A.4(1)　　　　　　　　　　 B．4

C.2(2)   D.

解析：设f(x)＝xa，因为图象过点2(1)，代入解析式得：a＝－2(1)，∴f(2)＝2＝2(2).

答案：C

2．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为(　　)

A．2   B.4(3)

C.3(2)   D．0

解析：由题意得：x＝1－2y≥0，∴0≤y≤2(1)，

∴2x＋3y2＝3y2＋2(1－2y)＝3y2－4y＋2

＝3(y－3(2))2－3(4)＋2

∴当y＝2(1)时2x＋3y2有最小值4(3).

答案：B

3．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(0,1)  D．(－∞，0)

解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，

∴0.71.3＜1.30.7，∴m＞0.

答案：A

4．若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值(　　)

A．正数   B．负数

C．非负数   D．与m有关

解析：法一：∵f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝2(1)，

而－m，m＋1关于2(1)对称，∴f(m＋1)＝f(－m)＜0，

法二：∵f(－m)＜0，∴m2＋m＋a＜0，

∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)＋a＝m2＋m＋a＜0.

答案：B

5．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为(　　)

A．－1   B．1

C．－2   D．2

解析：由题意f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a为偶函数，所以2－a＝0，a＝2.

答案：D

6．已知函数f(x)＝4x－x2，x＜0.(x2＋4x，x≥0，)若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：函数f(x)＝4x－x2，x＜0，(x2＋4x，x≥0，)

的图象

如图．

知f(x)在R上为增函数．

∵f(2－a2)＞f(a)，

即2－a2＞a.

解得－2＜a＜1.

答案：C

二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)

7．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－2(1))n>(－5(1))n，则n＝__________.

解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．

答案：－1或2

8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为________．

解析：由题意知f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2?a＝2，b＝－3.所以f(ax＋b)＝f(2x－3)＝4x2－8x＋5，

令f(2x－3)＝0，由Δ＜0，得解集为.

答案：

9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________．

解析：法一：∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，

即m<－x(4)对x∈(1,2)恒成立，令y＝x＋x(4)，

则函数y＝x＋x(4)在x∈(1,2)上是减函数，∴4，

∴－5<－x(4)<－4，∴m≤－5.

法二：设f(x)＝x2＋mx＋4，x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立?f(2)≤0(f(1)≤0，)?m≤－4(m≤－5，)?m≤－5.

答案：(－∞，－5]

三、解答题(共3小题，满分35分)

10．已知函数f(x)＝x(2)－xm，且f(4)＝－2(7).

(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

解：(1)∵f(4)＝－2(7)，∴4(2)－4m＝－2(7).∴m＝1.

(2)f(x)＝x(2)－x在(0，＋∞)上单调递减，

证明如下：

任取0<x1－f(x2)

＝(x1(2)－x1)－(x2(2)－x2)＝(x2－x1)(x1x2(2)＋1)．

∵00，x1x2(2)＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

即f(x)＝x(2)－x在(0，＋∞)上单调递减．

11．(2010·浏阳模拟)已知二次函数f(x)的图象过A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；

(3)求不等式f(x)≥0的解集．

解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，

将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，∴a＝2，

即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.

(2)f(x)＝2(x－1)2－8

当x∈[0,3]时，由二次函数图象知

f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.

(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥3}．

12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝－f(x)，x＜0，(f(x)，x＞0，)求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－2a(b)＝－1，解得a＝1，b＝2.

∴f(x)＝(x＋1)2.

∴F(x)＝－(x＋1)2，x＜0.((x＋1)2，x＞0，)

∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，即b≤x(1)－x且b≥－x(1)－x在x∈(0,1]上恒成立，

根据单调性可得x(1)－x的最小值为0，

－x(1)－x的最大值为－2，所高考资源网

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