二八杠技巧:搭建数学与物理的桥梁

搭建数学与物理的桥梁

商河县弘德中学    赵凡    2011年7月19日 10:05

 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，有着极其丰富的物理背景。学生在学习必修四第二章平面向量之前，已经学习了高中物理必修一。物理学科的矢量的学习给平面向量的学习，做了足够的铺垫。因此在教授平面向量一章时，教师要充分了解学生对于平面向量已经有了哪些了解，从而在教学中依托学生在物理学习中的这些矢量平台，结合我们平面向量的教学，用“拿来主义”的方式精心设计向量的教学。引导学生在学习平面向量时，有意识的结合自己在物理上的学习，实现学科之间知识的交融和理解的加深。

1、平面向量的实际背景及其基本概念

我们课本上第一节在介绍向量的概念时，就是采用从向量的物理背景出发，通过位移、力抽象出向量的概念。在物理必修一第一章运动的描述——第二节时间与位移中，对矢量和标量都有具体的描述和定义。同时以位移为依托介绍了可以有向线段来表示位移。这些都对学生理解和接受向量的概念，以及采用有向线段对向量进行几何表示，做了核好的铺垫。随后物理必修一第一章对速度和加速度的描述和学习，为向量进一步提供了理解和学习的实际模型。

另外在物理必修一第四章牛顿运动定律中，对物体进行受力分析时，讲物体所受的所有的力平移到同一起点的思想，也为我们学生理解向量是可以任意平移提供思维的支点。

2、平面向量的线性运算

    教材明确提出：“人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。”因此忽视向量的物理背景，在向量教学中是一种怎样的损失！

（1）在物理必修一第一章第二节时间与位移中的思考与谈论中，给出了位移的合成法则三角形法则，这恰好对应首尾相接向量加法的三角形法则。物理必修一第三章相互作用第四节力的合成中，通过手拉弹簧测力计的实验详细介绍并总结出求分力的合力的方法——平行四边形定则，这恰好对应我们数学中起点相同向量加法运算的平行四边形法则。我们的教材在处理上完全借鉴了物理教材上的素材和方法，有同曲同工之妙。同时，物理必修一第三章相互作用第四节力的合成中对共点力的介绍，还渗透出空间向量的影子。

   （2）我们教材上向量减法的学习是在学习向量加法及其几何意义之后，类比实数运算中减去一个数等于加上这个数的相反数，在向量运算中减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。相反向量在向量减法的学习和理解中扮演一个重要的角色。相反向量的物理原型是作用力和反作用力，相应的定性描述是：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反（即牛顿第三定律）。物理中没有与向量减法对应的矢量减法，基本的处理都是将作用力其转化为反作用力从而进行力的合成，即只存在矢量的加法，这是两者的不同之处。

（3）数学上向量的数乘运算的学习，可以结合物理必修一第一章速度变化快慢的描述和第二章匀变速直线运动的研究中，瞬时速度等于加速度（向量）乘以时间（数量）和位移等于时间（数量）乘以速度（向量）来帮助学生理解。这两个物理实际模型给向量的数乘运算从另一角度提供了很好的诠释。

（4）另外物理必修一第二章匀变速直线运动的研究中，对有初速度的瞬时速度和有初速度的质点位移的求解，恰好对应了向量的线性运算。例如有初速度的质点位移的求解：位移（向量）=初速度（向量）乘以时间（数量）+1/2乘以加速度（向量）乘以时间的平方（数量）。

3、平面向量的基本定理及其坐标表示

（1）此处对于教材的第一节2.3.1平面向量的基本定理的学习与感悟时，可以结合物理必修一第三章相互作用的第五节力的分解，其中对力的分解的描述“力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。把一个已知力作为平行四边形的对角线，那么与已知力共点的平行四边形的两个邻边，就表示已知力的两个分力”，与教材直接采用直观作图，确定起点与对角线和邻边方向下做出平行四边形的思想基本一致。描述“如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力”与平面内同一个向量可以用无数对不同的基底进行不同的线性表示，一脉相通。“在分力方向确定的前提下，力的分解是唯一确定的”与在平面向量基底确定的前提下，对平面内内任一向量的线性表示是唯一确定的，更是息息相关。因此在讲解平面向量基本定理时，引导学生与之前学习的旧知——力的分解发生联系，新知与旧知相结合，会在很大程度上加深学生对新知的接受、理解、掌握。从而对平面向量基本定理的本质和实质有较深层次的理解和掌握。

（2）平面向量的正交分解与力的正交分解，更是如同同一人穿了不同的衣服。我们的教材采取直接将物理中“斜面上物体所受重力的分解”，作为本节课的学习情境引入。

4、平面向量的数量积

（1）平面向量的数量积运算定义对应物理上功的计算公式。“如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力所做的功W=|F||S|cos”——物理上对功的计算为我们数学上向量的数量积的定义提供了理论上的支持，和学生能够合理认同的支持。在平面向量的数量积的教学上，有些老师会机械的要求学生记住数量积的定义，然后抛给学生一定量的习题训练。缺少对知识的必要认同和理解，学生机械的套用公式做题的弊端就不再赘述。有些学生会在计算时记错、代错公式，这说明了什么问题。

（2）结合物理上功的计算还可以帮助学生理解和掌握向量数量积的运算律。例如教材第104页探究中的运算律三，教材在随后给出了详细而严格的数学证明。在理解和记忆上，可以借助“合力做功等于分力做功的代数和”，则问题再次简单清晰化。

向量又称为矢量，最初被应用于物理学，因此，向量本身具备非常强的物理背景和实际背景。在具体的教学中，我们要充分的关注向量在物理学中应用充分借助学生在物理学习中对（向量）矢量的认知，从而增强学生对向量学习的兴趣，降低学生学习向量的难度。