斯大林怎么评价上甘岭:难点9 指数函数、对数函数问题
来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2024/04/26 11:47:36
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2
(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明:对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)>
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明:方程F-1(x)=0有惟一解.
●案例探究
[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明:点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A点坐标.
错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明:设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,所以
OD的斜率:k2=
(2)解:由BC平行于x轴知:log2x1=log8x2 即:log2x1=
[例2]在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由.
命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级
题目.
知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识.
错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口.
技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.
解:(1)由题意知:an=n+
(2)∵函数y=2000(
(3)∵5(
∴bn=2000(
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法有:
(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.
(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.
(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )
A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)
B.
3.(★★★★★)已知函数f(x)=
ae-nt,那么桶2中水就是y2=a-ae-nt,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x-
(1)写出函数y=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断
7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式2(log
参考答案
难点磁场
解:(1)由
F(x2)-F(x1)=(
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数.
(2)证明:由y=f(x)=
∴f-1(x)=
当n≥3时,f-1(n)>
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明:∵F(0)=
歼灭难点训练
一、1.解析:由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②
由①②得:g(x)=
答案:C
2.解析:当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>1时,y=(1-a)x为减函数.
答案:B
二、3.解析:容易求得f- -1(x)=
f-1(x-1)=
答案:
4.解析:由题意,5分钟后,y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n=
答案:10
三、5.解:(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x-
∵点P(x,y)在函数y=loga(x-
(2)由题意得x-
由loga(9-
∴所求a的取值范围是0<a≤
6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(
当a>1时,有logax1x2≤loga(
∴
即
当0<a<1时,有logax1x2≥loga(
∴
7.解:由已知等式得:loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内,圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=-u+k有公共点,分两类讨论.
(1)当u≥0,v≥0时,即a>1时,结合判别式法与代点法得1+
(2)当u≤0,v≤0,即0<a<1时,同理得到2(1-
8.解:∵2(
∴(2
∴-3≤
即
∴(
即M={x|x∈[2
又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.
∵2
∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;当log2x=3,即x=8时,ymax=0.