增员4句口号霸气押韵:难点7 奇偶性与单调性(一)

 

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

●难点磁场

(★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.

●案例探究

［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( )=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f( ),试证明：

(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 的范围是焦点.

证明：(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)－f(－x₁)=f( )

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴ >0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,

∴0< <1,由题意知f( )<0，

即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=( ) 的单调递减区间.

命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.

错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解：设0<x₁<x₂,则－x₂<－x₁<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，

∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)为偶函数，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),

∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.

又a²－3a+1=(a－ )²－ .

∴函数y=( ) 的单调减区间是［ ，+∞］

结合0<a<3,得函数y=( ) 的单调递减区间为［ ，3).

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

(1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.

复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.

(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是(    )

A.f(x)=(x－1)                                        B.f(x)=

C.f(x)=                                    D.f(x)=

2.(★★★★★)函数f(x)= 的图象(    )

A.关于x轴对称                                              B.关于y轴对称

C.关于原点对称                                              D.关于直线x=1对称

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

4.(★★★★★)若函数f(x)=ax³+bx²+cx+d满足f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0 (0<x₁<x₂),且在［x₂,+∞ 上单调递增，则b的取值范围是_________.

三、解答题

5.(★★★★)已知函数f(x)=a^x+  (a>1).

(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

6.(★★★★★)求证函数f(x)= 在区间(1，+∞)上是减函数.

7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x₁－x₂)= ；

(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

(1)f(x)是奇函数.

(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－ )=0,当x>－ 时，f(x)>0.

(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

 

参考答案

难点磁场

(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即 +ae^x.整理，得(a－ )

(e^x－ )=0.因此，有a－ =0,即a²=1,又a>0,∴a=1

(2)证法一：设0＜x₁＜x₂,则f(x₁)－f(x₂)=

由x₁>0,x₂>0,x₂>x₁,∴ >0,1－e ＜0,

∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

证法二：由f(x)=e^x+e^－x，得f′(x)=e^x－e^－x=e^－x·(e^2x－1).当x∈(0,+∞)时，e^－x>0,e^2x－1>0.

此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.

歼灭难点训练

一、1.解析：f(－x)=  =－f(x)，故f(x)为奇函数.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1 上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1 上递减.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞ 单调递增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0）

三、5.证明：(1）设－1＜x₁＜x₂＜+∞,则x₂－x₁>0, >1且 >0,

∴ >0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴ >0,

于是f(x₂)－f(x₁)= +  >0

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.

(2）证法一：设存在x₀＜0(x₀≠－1)满足f(x₀)=0,则 且由0＜ ＜1得0＜－ ＜1,即 ＜x₀＜2与x₀＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.

证法二：设存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,则 ＜－2, ＜1,∴f(x₀)＜－1与f(x₀)=0矛盾，若x₀＜－1,则 >0, >0，∴f(x₀)>0与f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.

6.证明：∵x≠0,∴f(x)= ,

设1＜x₁＜x₂＜+∞,则 .

∴f(x₁)>f(x₂),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）

7.证明：(1）不妨令x=x₁－x₂,则f(－x)=f(x₂－x₁)=  

=－f(x₁－x₂)=－f(x).∴f(x)是奇函数.

(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］= .

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］= =f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

8.(1）证明：设x₁＜x₂,则x₂－x₁－ >－ ,由题意f(x₂－x₁－ )>0,

∵f(x₂)－f(x₁)=f［(x₂－x₁)+x₁］－f(x₁)=f(x₂－x₁)+f(x₁)－1－f(x₁)=f(x₂－x₁)－1=f(x₂－x₁)+f(－ )－1=f［(x₂－x₁)－ ］>0,

∴f(x)是单调递增函数.

(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.