施工业务合作框架协议:高考数学难点突破 难点05 求解函数解析式
来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2024/04/29 09:43:49
难点5 求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1).
●案例探究
[例1](1)已知函数f(x)满足f(logax)=
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.
命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.
知识依托:利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义域.
错解分析:本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法:(1)用换元法;(2)用待定系数法.
解:(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则x=at.
因此f(t)=
∴f(x)=
(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c
得
并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1,所以所求函数为:f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.
[例2]设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象.
命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法,对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此,分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托:函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线.
错解分析:本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱.
技巧与方法:合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式.
解:(1)当x≤-1时,设f(x)=x+b
∵射线过点(-2,0).∴0=-2+b即b=2,∴f(x)=x+2.
(2)当-1<x<1时,设f(x)=ax2+2.
∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即a=-1
∴f(x)=-x2+2.
(3)当x≥1时,f(x)=-x+2
综上可知:f(x)=
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有:
1.待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;
2.换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若函数f(x)=
A.3 B.
2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则x>1时f(x)等于( )
A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1
C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1
二、填空题
3.(★★★★★)已知f(x)+
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且其图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为
6.(★★★★)设f(x)是在(-∞,+∞)上以4为周期的函数,且f(x)是偶函数,在区间[2,3]上时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当x∈[1,2]时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上,C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上,求这个矩形面积的最大值.
8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时,函数取得最小值,最小值为-5.
(1)证明:f(1)+f(4)=0;
(2)试求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;
(3)试求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
参考答案
难点磁场
解法一:(换元法)
∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1
令u=2-cosx(1≤u≤3),则cosx=2-u
∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3)
∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4)
解法二:(配凑法)
f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5
∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3),即f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+14(2≤x≤4).
歼灭难点训练
一、1.解析:∵f(x)=
∴f[f(x)]=
答案:A
2.解析:利用数形结合,x≤1时,f(x)=(x+1)2-1的对称轴为x=-1,最小值为-1,又y=f(x)关于x=1对称,故在x>1上,f(x)的对称轴为x=3且最小值为-1.
答案:B
二、3.解析:由f(x)+
答案:f(x)=
4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(
故
答案:
三、5.解:利用待定系数法,设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解,f(x)=
6.解:(1)设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),又因为4是f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4.
(2)设x∈[0,1],则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4,又由(1)可知x∈[0,2]时,f(x)=-2(x-1)2+4,设A、B坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1
7.解:(1)如原题图,当P在AB上运动时,PA=x;当P点在BC上运动时,由Rt△ABD可得PA=
f(x)=
(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时,△ABP的形状各有特征,计算它们的面积也有不同的方法,因此同样必须对P点的位置进行分类求解.
如原题图,当P在线段AB上时,△ABP的面积S=0;当P在BC上时,即1<x≤2时,S△ABP=
故g(x)=
8.(1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1),又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解:当x∈[1,4]时,由题意,可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,解得a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).
(3)解:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数,∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,又f(1)=k·1=k,∴k=-3.∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x,当-1≤x<0时,f(x)=-3x,当4≤x≤6时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=
-3(x-5)=-3x+15,当6<x≤9时,1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)=