论语第8章原文及翻译:变式教学升华数学课堂的有效性

变式教学升华数学课堂的有效性

摘要:在新课程理念下,有效的数学教学要以学生的进步和发展为宗旨,教师必须具有一切为学生发展的思想,运用科学的变式教学,使学生乐学、会学、学会,达成预期的和生成的教学目标,促进学生的全面发展、主动发展和个性发展。

关键词:变式教学 ；数学教学；有效性

《课程标准》指出“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。”课堂教学是实施素质教育的主阵地,如何优化课堂教学,让课堂45分钟有限的教学时间焕发出无限的生命活力,使学生成为真正学习的主人,这是广大教育工作者不懈追求的目标。如何提高数学课堂教学的有效性,让数学课堂焕发出强大的生命活力？我认为加强变式教学是一条很好的途径。

所谓变式教学,就是在教学中变换直观材料或事物呈现的形式,使教学对象的非本质属性得到变异,而本质属性保持不变。通过变式教学能让学生对概念、定理、公式有多角度的理解;同时通过对问题的多层次的变式构造，可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，也能有效地帮助学生积累问题解决的经验和提高解决其他问题的能力.激发学生学习数学和思考问题的兴趣,增强数学课堂教学的有效性。

一、概念变式

案例：　“相似三角形”的引入

课件:出示形状相同、大小不等的两幅中国地图。

师:两幅中国地图之间有什么关系?形状有什么特点?

生(众):两幅中国地图相似;形状相同、大小不等。

师:哪位同学能在两幅地图上分别找出北京(首都)、武汉(江城)、昆明(春城)三座城市的大致位置?

生1:上台操作电脑,通过鼠标分别在两幅地图上点击所选的位置。

课件:顺次连结三座城市间的线段,得到两个三角形。

师:两个三角形有什么关系?形状有什么特点?

生2:两个三角形相似;形状相同、大小不等。

(教师板书课题:相似三角形)

    通过变式揭示概念形成、发现的全过程,让学生在观察、体验中创造性地感知和学习概念,有利于知识的和谐拓展和创新意识的培养。

二、图形变式

    例:已知:如图1,AE=CF,AD∥BC,AD=CB。

    求证:△ADF≌△CBE

    本题是一个几何中三角形全等判定的证明题,如果将

△BEC沿着CA边方向平行移动,那么图形有如下变化:                       

                                                         （图1）                                      

    图形变式是以基本图形为“生长点”,将其引申变换为相关图形而得到的变式题组,并通过题组的讨论解决,达到熟悉概念、巩固双基、提高解决问题的能力的目的.通过图形变化,可以培养学生的探索能力和识图能力,加深对图形的理解,达到做一题,解决一类题的效果,从而提高课堂教学的有效性。同时,通过图形变化,开拓了学生思维的广阔性和灵活性,增强数学知识的趣味性,让学生乐学,爱学,进一步激发了学生的求知欲。

三、题型变式

例:设x为整数,求证:x(x+1)(x+2)(x+3)+1是完全平方数。本题是一个代数中完全平方知识的证明题,如果对它的知识点进行延伸,用不同的方式反映它的实质,那么可将题型作如下变化：

    变式1:分解因式:x(x+1)(x+2)(x+3)+1

    变式2:解方程:x(x+1)(x+2)(x+3)+1=24

    变式3:解不等式:x(x+1)(x+2)(x+3)>5

    变化题型,但解题思路基本相同。通过这方面训练,既激发了学生的数学思维和学习数学的兴趣,又帮助了学生正确、有效的找到解决问题的方法和手段。这有利于扩大学生的知识视野及知识点的串联,碰到各种题型处惊不乱,临危不拘,从而提高学生综合运用知识的能力。

四、条件变式

例： 已知：如图2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90⁰. 求证：△CAB≌△ECD。

本题是一个几何的证明题,如果对它的条件进行弱化或强化,用不同的方式反映它的实质,那么可将题型作如变化。                   

变式1 ：如图3，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90⁰.求证：△CAB～△ECD。

变式2：如图4，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm, CQ的长为y cm。

（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

（2）当y =1/4 cm时，求x的值。

（图2）               （图3）                  （图4 ）

通过条件变化来变换题目的表现形式,将数学中各种知识点有效地组合起来,在不断变换中层层推进,不断揭示问题的本质,从不断的变化中寻找数学的规律性;可以培养学生的探索能力和联想能力,开拓学生思维的广阔性、深刻性和灵活性,激发学生的求知欲。这有利于提高学生的分析问题、解决问题的能力,逐步养成开拓创新的能力。

五、结论变式

例：如图5,已知AB =CD,BC =DA,E、F是

AC上两点,且AE =CF,求证:BF =DE.由题设可得,

△BCF≌△DAE∴∠BFC =∠DEA,DE =BF,从而有

DE平行且等于BF由此在题设不变的情况下得:

变式1：求证:∠EDC =∠FBA;                      （ 图5）      

变式2：图5中有________对全等三角形.将题设稍作等价变换又可得:

变式3：已知四边形ABCD是平行四边形,E、F是AC上两个三等分点,求证:四边形DEBF是平行四边形。

结论变式是运用类比、联想等发散思维将问题的结论向横、纵拓展,以达到以点串线,举一反三目的.这种教学设计可引导学生多方向地发现问题或引申问题,让学生直接参与到数学问题的形成过程中,有利于培养学生的创造性思维和探索精神。

六、结构变式

    案例：二次三项式X²+(a+b)x+ab的因式分解

原题：X²+4x+      中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解。

变式1：如果添上的数不是4而是3，即X²+4x+3，还能不能分解？

变式2：把X²+4x+3改为X²-5x-6，又如何分解呢？

变式3：分解因式：X²+(a+b)x+ab。

适当地利用问题结构性变式教学会对数学知识网络的形成、对学生数学能力的提高会带来意想不到的效果.在进行数学问题结构性变式教学时,既要关注水平变式题的设计和教学,也要兼顾垂直变式题的设计和教学.只有这样,才能既不停留于水平变式的“浅层”特征的学习,也不盲目于垂直变式的“深层”特征的理解,也只有这样,才能将两者的优点充分发挥出来,促进学生思考问题、解决问题能力的提高。当然,在进行数学问题结构性变式教学和设计的时候,选择合理的源问题加以变式、关注变式题之间的衔接问题、把握水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”,以促进学生在已有认知水平的基础上,数学知识结构和数学能力都能循序渐进,螺旋上升的发展。

七、条件、结论变式

通过问题中条件与结论的互换, 建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题教学中最为常见的一种演变方法。如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用。这有利于开拓学生解题的互逆思路和辨证思想,正确认识矛盾的对立统一性,提高学生的解题能力。

八、方法变式

例： 如图6，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE .

思路1：(相似法）如图6，利用△AEC∽△ACD，相似比为 1︰2，得EC︰CD= 1︰2。

思路2：（延长法）如图7，延长CE至点D′,使ED′=CE，连接AD′,BD′，则CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可。

思路3：（截取法）如图8，取CD的中点E′，连接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而CE′=1/2CD。

(图6)              （图7）           （图8）            （图9）                    

思路4：(利用三角形中位线的性质)如图9，构造△DFG，使E，C分别是DF，DG的中点，连接CF，则FG=2CE，CG=CD，只要证FG=CG即可。

“方法变式”就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来，即“一题多解”。这有利于开发学生的智力,培养学生的能力,有利于发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性,有利于促进学生思维能力的发展和素质的提高。

在数学课堂中，通过变式教学,有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探求“变”的规律,使知识点融会贯通,逐步培养学生灵活多变的思维品质,增强其应变能力,激发其学习数学的积极性和主动性,提高其数学素质,培养其探索精神和创新意识,从而真正把对能力的培养落到实处,切实增强数学课堂教学的有效性，使数学课堂教学得以升华。