cnblue演唱会门票:关于小学“数学本质”的对话--静夜，思。

关于小学“数学本质”的对话

对话者：张奠宙  唐彩斌

分数究竟该如何定义

1、：小学数学教材中已经根据这一标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的数。在教学中，有些老师觉得把0作为自然数，不大好接受。

张：这只是习惯问题。0是自然数有许多理由。首先，人的经验是从无到有。我们常说：“从0开始”、“零距离接触”，就表明0是最小的自然数。再比方说，魔术师总是先交代两手空空，再变出一只兔子，然后是两只兔子……铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两支铅笔等等。老子的《道德经》里说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”可见，一是由道——一种虚无的存在而产生的。第二，更重要的是书写的需要，10的位置记数写法是10。没有0，就写不出10、20、30、100.所以0、1、2……9这10个数字是最基本的。第三，0的出现可以保证自然数集有单位圆a+0=0+a=a。在自然数5-5=0，如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？

2：通过让学生认识“100万粒米的体积”，来认识100万有多大？您怎么看这样的教学？

张：数学教学要关注度额是100万这个数的结构。至于100万粒米有多大，知不知道无所谓。难道我们还要体验100万颗花生、100万个篮球有多大？有的文章问100万张100圆的人民币要多大的箱子装？这不是普通百姓需要的知识。关于100万的教学，主要精力要放在100万的结构，即如何形成100上面。例如：从一个单位立方体除法，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠成一个立方体即1000.再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后10个新正方形构成新的立方体就是100万。

3、很多教材这样定义分数：单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼，因而是引入分数的首选。

张：用分数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。分数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。1份、2份是分数还是自然数？因此必须进路爱过度到分数的“商”的定义即分数是正整数a除以正整数b的商，记作a/b。用a除以b，当除得尽时（整除），答案仍是自然数，除不尽时，得到的商就是我们要结识的新朋友——分数。这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻的分布在射线上。商的分数的定义比分数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。目前教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。

分数的第三种定义是比的定义：两个自然数a和b，b不为0，把比值a/b叫做分数。比和除，本来是一个问题的两个方面，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。有个调查：组织了100名学生，分别来自三、四、六年级。给他们看屏幕上的一个圆，这个圆倍分为4份，其中一份被图呈蓝色。然后问，你看到了哪些分数？想两分钟然后尽量写答案。结果如下：

张：比的定义和原来份数的定义是相关的。份数的定义是说：份数表示的是一个整体平均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定式还是太强了。不仅是圆可以作为整体，1个半圆或3/4个圆也可以是整体。灵活地选择整体是理解分数的重要一步。作为一个大学数学教师，看到的是1个圆里面有1块蓝、3块白，它们的比是1：3，首先想到的是1、3.所以，不能把一个整圆四等分作为一种定式，以至于看不到1块蓝与3块白之间的比。比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望老师们能把分数和比的意义连起来思考。

什么是代数？

1、《标准》设置了“数与代数”的学习领域。过去，在小学里对于数的认识我们比较熟悉。至于代数，相对来说比较陌生一些。怎样理解代数？

张：代数学的英文名称是algebra,是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。愿意是“还原与对消的科学”。什么叫对消呢?大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项。所谓还原，就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原了x的本来面目。所以方程和代数紧密联系在一起。

2、一般在学习方程之前，我们都要先学习“用字母表示数”。方程理论就是“用字母代表数”吗？它们之间到底是一种怎样的关系？

张：单单用字母代表数，还不是代数。例如，加法交换律为a+b=b+a，虽然也用字母表示数，却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为x的做法，知识运用代数方法的第一步。代数的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。

3、小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx+d这样的方程小学里解起来还是有些困难。

张：难在含x的项的合并，即关于“式”的运算。小学里解方程，用字母代表数后，主要使用逆向思维进行对消和还原。例如2x-1=5，用逆向思维也可以还原出x=3。中学里则要引入负数、进行式的运算，用同解概念进行对消和还原，按照程式化的规则，一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说，算术中的逆向思维也有对消和还原的思想，需要学习，但是思维过程是一题一解，没有固定的程式，不能程式化。所以，小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。

4、关于方程概念的争论也很多。如x=1，是不是方程？

张：毛病出在“含有未知数的等式叫方程”。大家都在把它当作方程的定义，所以会出现x=1，0×x=0，x-x=0是不是方程这样的怪问题。其实，这句话只谈了方程的表面，实在不重要。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系。既然方程的本意就是要求未知数，如果x=1，未知数已经求出来了，也就没有方程的问题了。这类问题与我们学习方程知识没有关系，应当淡化。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说，需要“淡化形式，注重实质”。

解决问题与应用题是什么关系？

1、在数学新课程中，以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。

张：数学问题可以有多种分类方法。例如，可以分为常规的练习题和非常规的探究性问题。通常所说的“解决问题”则比较关注非常规问题。另外，还可以分为纯数学问题和应用数学问题。像歌德巴赫猜想这样的纯数学问题，来源于数学内部；至于“神舟7号“飞行轨道的计算问题，则属于应用问题，来源于显示生活中各行各业所涉及的数量关系。

小学数学里的应用问题是客观存在的，似乎不必回避。应用题可以改进，却不能取消。我们反对的是过去小学数学中哪种矫揉造作、远离现实、缺乏教育价值的应用题。新的应用题，强调数学模型的建立，问题的条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证，值得提倡。

2、您常常提起20世纪最伟大的数学教育家弗莱登塔尔举过的一个例子：“昨夜外星人访问我校，留下一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？“这个问题是应用题吗？

张：我认为是好的应用题。首先，这是一个学生喜欢的题材，虽然不是实际发生的问题，却是可以领会理解的情境。正如鸡兔同笼问题一样，是一种好的数学模型。其次，它蕴含了丰富的数学思想，非常深刻地体现了比例的思想。学生通过测量巨人的手和自己的手的大小比值，然后按比例放大，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度。这是比、比例、相似等数学本质的体现。再如，日本有一堂公开课，内容是要求学生在一块举行场地上设计花坛，使得花坛的面积为场地的一半。这是数学和艺术相结合的应用题。类似的问题就和过去的应用题有很大的区别，是我们需要关注的。

小学几何内容为什么要增加？

1、新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，从您的角度看，为什么要增加呢？

张：几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现，大学数学的许多问题，它的原始思想非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说处置、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。

2、不过与对小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师您认为直观几何学教学的重点是什么？

张：小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。事实上我们生活的空间是三维的，接触的物体是立体的，但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的；因此，空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课程的教材中，通过照相机从不同角度下拍摄照片，通过三视图科学描述简单对象，都是要用平面图形描写立体事物。

3、小学教材中大都这样表述面积和体积：“物体表面或平面图形的大小叫面积”，“物体占有空间的大小叫做体积。”这是它们的定义吗？

张：这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。在严格的定义里不能出现“大小“的词汇。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义（那是大学数学课程的内容）。现在的教材上，把体积说成“占有空间的大小”，要学生记住，实在是没有必要。事实上，要理解“空间”，比理解体积更困难。这说明对于这类定义不要太当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉已经够用了。

4、在课堂上，我们会看到类似“排水法测土豆的体积”案例。

张：那是物理方法。数学上可以运用，做一些教学实验。但是，数学的本质是如何“计算”某些图形的面积和体积。注意是找出“计算”的方法和公式，并不是一味地度量。面积的严密定义是“一些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集合函数”。这是大学里研究的问题。但是在小学课堂上，要让小学生体会面积、体积的一些特征：例如可以演示，不相交的两图形合并后面积是两图形面积之和，图形搬来搬去，其面积不变，进而可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂的图形面积，等等。

5、小学数学为什么要渗透平面坐标思想？坐标的核心是确定位置吗？

张：很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都是一样的点（y=x）；每一个坐标为1的点（x=1），等等，都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。

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