微妙卡盟:数与代数应用问题的内容主线和教学建议

 数与代数应用问题的内容主线和教学建议北京教育学院数学系 张丹这里所指的“数与代数应用问题”（以下简称应用问题）是指运用数与代数的知识和方法解决实际生活中的问题，这无疑是学生学习数与代数的重要目标。要讨论这个主题，首先需要说明的是本问为什么使用这个提法，却没有使用大家熟悉的“解决问题”和“算术应用题”。与“应用问题”相比，“解决问题”无疑是个更大范畴的概念。这既包括所涉及的领域不仅仅是数与代数的应用，还包括空间与图形、统计与概率以及综合运用所有领域的知识和方法；同时解决问题也不仅仅局限于解决实际问题，还包括解决数学内部的问题。更为重要的，本文所持的观点是把解决问题中的“问题”解释为“非常规”的，学生必须经历探索、适当的创造并综合运用数学知识和方法加以解决的问题，即“问题解决”（Problem Solving）。即使都是解决实际问题，解决问题中的“问题”是具有真实意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，从而具有开放的特点。解决这些问题，学生并无类似熟悉的题目和解法去模仿，需要学生进行探索、讨论和一定的创造。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并且力求具有一定的开放性，但总体来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生熟悉的，因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。需要指出的是，对比两者并不是说我们不提倡解决问题，而主要是为了界定这里所讨论的主题。实际上，我们更应以解决问题为理念和目标，指导应用问题的教学，比如注重学生思考的过程，设计的题目要符合学生的生活经验，适当设计具有开发性的问题。算术应用题是传统小学数学课程的重要内容，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中没有使用算术应用题的名词，并且提倡将计算和应用结合起来，这并不是削弱应用题的教学。实际上，传统算术应用题教学在整个小学阶段对学生发展产生了重要的作用，但也确实存在着一些问题：第一，在学生解答的应用题中，很大一部分的内容远离他们的生活，造成了应用题“不应用”。第二，过于注重问题的类型和固定解法，套搬题型的现象比较严重。诚然，这样做可以提高学生解符合“题型”的问题时的速度。但设置应用题的目的是培养学生解决实际问题的能力，如果忽视对问题实际意义和数学意义的理解，只是套搬题型，学生的解决问题的能力又如何能提高？同时，原有应用题的分类，在数学逻辑上无疑是正确的，但是否是学生真正思考问题和解决问题的途径呢，学生是否必须要经历分辨题型才能解决问题呢，这些都需要认真思考。第三，呈现形式单一，基本上是纯文字叙述，同时所提供的信息往往是不多不少，这既无法激发学生解决问题的动机，又与信息及其呈现形式丰富的现实世界不相符合。这些问题都在一定程度上造成了学生一接触到生活中的实际问题，往往感到无从着手。第四，目前在小学高年级将使用方程解决应用题，再使用算术应用题的提法显然也不科学。随着代数的方法不断地渗透到小学数学中来，一些繁难的应用题的算术解法应该得到淡化。综上所述，为了既继承原有的算术应用题教学中的优势，又避免其中的问题，更好的反映小学数学课程所追求的目标，本文没有使用“算术应用题”，而采取了“应用问题”的说法。经过几年实践，教师们对于《标准》中应用问题设计的理念普遍认同，但在具体教学中又出现了一些新的疑惑。实验教材将应用与计算结合在一起出现，将解决实际问题作为数与运算学习的自然组成部分，这无疑是重要并且应该坚持的。但由于缺乏相应的系统思考和研究，造成教师们在教学时往往把握不好每节课应该以应用为重还是计算为重？另外，不以传统的类型为线索，实验教材在应用问题的安排方面是否存在其他基本线索呢？没有传统的应用题类型，不去训练学生记忆一些基本应用题的类型，如何指导学生去分析问题和解决问题呢？这些问题无疑都是需要认真思考和交流的。图1呈现了笔者认为的应用问题内容中的基本线索。下文将具体阐述这些线索，并提出一些教学策略和建议。

应用问题 运算的实际背景 表征和分析数量关系 分析问题和解决问题的策略 基本的数量关系 解的检验  

       
   图1  应用问题的内容主线 一、以四则运算的实际背景为线索，注重学生对于运算意义的理解为了解决问题，学生首先需要学习在什么实际背景中应该用加法、减法、乘法或除法来解决问题，即四则运算的实际背景，有人也称之为四则运算的意义。四则运算实际背景的不断丰富构成了教材编写的一条线索，教师应该对此加以梳理，并且思考如何能帮助学生理解和积累这些背景。1.注重“实际背景”的积累“以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法或乘法的逆运算的模型”[1]。文中的“合并”、“移入”等笔者理解实际上就是指四则运算的实际背景。例如，对于乘法的学习，在二年级开始时，教材一般会提供一些具有“相等的数的和”的结构的实际情境，然后从中抽象出乘法；然后，学生将开始接触到具有“倍”的实际情境；在三年级面积学习时，学生又接触到乘法在“求长方形面积”的实际情境中的运用。这些对于乘法实际背景的积累将一直延伸到小数、分数的乘法，特别是对于“倍”的认识，将扩充到“几分之几”。有关“组合”的实际情境在小学教材中也出现，比如搭配问题，但在小学鼓励学生通过操作、画图等策略加以解决，意在发展学生解决问题的策略，而不需要总结公式。由于实验教材对于运算的实际背景大多安排为“暗线”，这就需要教师对教材进行系统梳理，找到实际背景不断扩充的这条线索。有的教师可能会产生这样的疑问，这和原来的十一类简单应用题类型又有什么不同呢？首先，我们不难看出，实际背景更加丰富了，比如乘法中的面积计算的实际背景。更主要的是，教师明确这些蕴含一定“数学结构”的实际背景，不是要让学生去背诵类似“一个数的几倍是多少”的类型，而是提醒教师，学生此处增加了新的实际背景，学生也许不能从以前的实际背景的经验出发直接还原到运算意义，而是需要经历将新的实际背景与运算意义进行联系的过程，此时在教学中的重点应放在如何实现联系上了。至于二者到底还有什么区别，这正是一个值得研究的问题。2.生活经验、操作、画图的重要性那么，进一步如何实现实际背景与运算意义之间的联系呢？为了使大家更好地理解，我们对比一下两条途径。第一条：问题情境——问题类型——运算意义第二条：问题情境——经验、操作、画图等—运算意义在第一条套用类型的教学中，学生需要将问题情境中的数量关系与类型相对应，然后决定用什么运算。比如，看一个在小学低年级学生理解比较困难的问题：例：小勇家养白兔8只，灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？想：已知大数（白兔8只）和小数（灰兔5只），求相差数。（白兔比灰兔多多少只？）列式：8－5=3（只）。从上面可以看出，学生遇到了这个问题情境，需要寻找符合哪个类型，发现符合已知大数和小数求差的类型，所以用减法。这样的教学固然可以使学生熟记这些类型，从而熟练套用类型达到快速解题的作用。但确实存在着一些弊端：第一，这些类型相对比较抽象，学生往往不能真正理解，所以就会出现学生找不到大数和小数的情况，或者片面的认识给出的数大就是大数，给出的数小就是小数等错误。第二，在实际生活中遇到没有现成类型的问题，学生往往束手无策。

图 2 而目前新课程提倡第二类途径，当学生遇到这个问题后，如果能借助经验直接反映出运算意义就直接反映；如果不行，就借助操作、画图等策略帮助学生反映运算意义。看北师大版新世纪教材中的一个例子。如图2，学生在解决学生比老师多几个人的问题时，或者可以进行实际操作，将老师和学生进行一一对应从而得出答案，并且将这个过程与减法的意义联系起来，从而选择用减法解决问题；或者运用记号等代表学生和老师进行模拟操作；或者直接在纸上画图。这样

既避免背诵一些相对抽象的类型，同时又教给了学生操作、画图等基本的解决问题的策略。老师可能又会产生新的困惑：不要“类型”，按照第二种途径，仅仅依靠学生的经验、操作、画图行不行？有多少学生行？如果学生有困难怎么办？要回答这些问题最好的办法是做学生研究。下面列举一些学生研究的结果。[案例1] 有多少学生行？[2]对一年级没有学过“比较”问题的34名学生测试了如下的6道题目：①  
□〇□=□(个) ②  
□〇□=□(盆)    ③                                      ④       
⑤      
⑥一支钢笔15元，比一支签字笔贵10元，一支签字笔多少元？    测试的结果如表2—3：表2—3 题目 正确人数 正确率 第1题 32 94.1% 第2题 30 88.2% 第3题 31 91.2% 第4题 30 88.2% 第5题 16 47.1% 第6题 13 38.2% 从上面的结果可以看出，对于前四道题目学生已经有了较好的经验，通过自主思考就能够独立解决。即使对于学生困难较大的“反序”问题（第5题、第6题），也有不少学生能够独立完成。实际上，许多实验教材在一年级都不再要求此类问题，而是随着学生年龄的增长自然得到解决，或者运用方程来解决。对于这一点，笔者是表示赞同的。那么学生是如何思考的呢？下面摘录部分的访谈片段（括号内是笔者的注释）：l      对第1题的访谈：黑松鼠有20个松果，白松鼠有25个松果，白松鼠比黑松鼠多几个？师：你来说说这个（第1题）。生：我（黑松鼠）有20个松果，我（白松鼠）有25个松果，我比你多几个？就是用25-20还剩5个，所以它（白松鼠）就比它（黑松鼠）多5个。   （此题学生借助以前的学习经验，直接“反映”出用减法解决。）l      对第4题的访谈：小亮有小汽车15辆，红红比小亮少5辆。红红有几辆小汽车？学生先拿出15个白棋子，摆成一行。又拿出10个黑棋子，摆成一行。教师让学生看着围棋子，说明各表示什么？生：15个白棋子表示小亮的，10个黑棋子表示红红的。师：少的5个棋子在哪？学生正确指出“空白处”，并列式：15-5=10。（此题学生借助操作得出答案，并且“反映”出用减法解决。）实际上，学生正是通过经验、操作、画图等独立完成了题目，即使是对于困难较大的第5、6题，也有部分学生正确列式。[案例2]学生的困难是什么？如何帮助学生克服困难？[3]通过访谈，我们发现学生的常见错误有如下几种：第一，不能理解题目中的比较关系，搞不清楚谁和谁比；第二，清楚题目中的比较关系，但不能和运算意义相联系；第三，“看到多就加，少就减”等定势。那么，如何帮助学生克服困难呢，通过操作和画图等手段是否能达到呢？我们还是从访谈中获取信息。下面的两位学生都是在进行第5题时，开始列出了错误算式“30-10=20”。老师分别对他们进行了访谈，括号内的文字是笔者的说明与感想。l      对学生甲的访谈师：怎么列式？生：应该用减法，30-10。师：为什么用减法？生：因为“小亮比小红少跳10个”，“少”应该用减法。（这是学生中不理解的一个典型表现：见多用加、见少用减）师：你能不能画图表示一下这句话。学生画图。边画边解释。生：小亮跳了30个，小亮跳的少，小红跳的多，小红跳了多少个，我觉得应该用减法比较好？（虽然学生仍然没有改正，但画图已经使她产生了“冲突”，对用减法产生了疑问）师：你算一算小红跳了几个？生：30减10等于20，小红跳了20个。师：小红是跳了20个吗？生：不是，改用30+10=40。师：为什么又改用加法了？生：再次读题，上面用减法不对，所以用加法。（重新读题，用数据进行检验，发现并改正了错误。）l      对学生乙的访谈学生读题：在跳绳比赛中小亮跳了30个，小亮比小红少跳10个，小红跳了多少个？列式：30-10=20。师：你是怎么想的？生：我想3减1，加一个10。（学生在说计算方法）师：这句话什么意思？（指“小亮比小红少跳10个”）生：小亮比小红多跳了10个。师：是吗？生：小亮比小红少跳的。（学生开始不能准确判断到底谁多。）师举例：假设我是小亮，你是小红，咱俩谁跳的多？（老师借助举例，实际上是和学生一起模拟题目中的情境）生：我。师：那我们看这道题，小亮跳了多少个？生：小亮跳了30个。师：小红应该跳多少个？生：小红跳了40个。师：哪你为什么这么做？（指学生的算式30-10=20。）生：错了。师：改一下。生改正30+10=40。师：刚才为什么用减法？生：我读错了，读成小红比小亮少了。师：提醒我们什么？生：不能读错。（其实学生不是简单地粗心看错题目，还是没有读懂比较关系。由此可见，深入地了解学生的思维过程是非常重要的。）    以上访谈从一个侧面证明了学生可以通过操作、画图、模拟等手段分析清楚题目中的比较关系，并且联系运算意义的。特别是，做完题后的检验也是很重要的，学生可以将结果带回题目进行检验以做出正确判断。当然，还有哪些好的策略还需要教师们一起探索和实践。但有一点可以明确的是，依靠背题型来克服困难是不足取的。 总之，在运算意义的教学中，应突出在实际问题抽象出四则运算意义的过程，强调对问题实际意义和运算意义的真正理解，鼓励学生通过联系已有经验、实际操作、画图分析等手段，寻找问题中的数量关系，并联系所学数学知识的意义加以解决。3.可以适当鼓励学生总结自己对于运算的理解其实，对于运算意义的教学，还有许多需要研究的问题。比如，在学生经历了从实际情境中抽象出运算意义的基础上，还需要学生总结一些类似“求一个数的几倍用乘法”的规律吗？注意这里的总结和过去的套题型是不一样的。主要体现在：第一，总结的主体不一样。过去套题型大多是教师总结出来的，学生的工作主要是理解和记忆；而现在是学生在解决问题的基础上的自己总结。第二，总结的基础不一样。过去大多是刚刚引入运算在学生还没有充分体验的基础上就提出题型，现在是在学生经历了多次解决问题的基础上加以归纳。第三，总结的目的不一样。过去主要目的是给学生一个“抓手”，以便快速地解决其他问题；现在的目的是进一步的提炼和概括，培养学生概括的能力，以进一步加深对运算的理解。因此，笔者认为可以适当鼓励学生总结自己对于运算的理解。但这里需要注意，这个总结不要过早，最好是学生学习了一段时间后的水到渠成。同时，要鼓励学生通过举例、画图、自己的语言来表达对于运算的理解，而不是统一要求背诵程序化的语言。所以，教师可以鼓励学生完成如下的学习任务：（1）举生活中不一样的例子，可以用加法、减法、乘法或除法来解决。（2）画图表示一个情境，可以用加法、减法、乘法或除法来解决。（3）用自己的语言说说什么是加法、减法、乘法或除法。那么，到底什么时候该总结，学生哪些语言可以认为真正理解了运算，这些问题都值得进一步研究。研究的关键还是要了解学生真实的思维。 二、以表征和分析问题为线索，鼓励学生探索如何分析数量关系当学生在学习了运算的意义，并能解决一些简单的问题后，学生将要学习解决一些复杂的问题。这些问题之所以复杂，有的是因为实际问题的背景比较复杂，学生不易读懂题目；有的是问题中蕴含的数量关系比较复杂，学生不易分析出来。因此，在这里就存在着两方面的问题，一是读懂问题；二是分析数量关系。在新课程中应用问题中的信息并不总是“正好”的，这就需要根据问题来选择信息和收集信息。实际上，三者往往是交织在一起的，以下分开是为了更好地加以分析。1.如何读懂题目 这里读懂题目指的是理解题目所表达的是一件什么事情，学生可以用自己的语言把这件事情说清楚，这一点应该得到重视。因为，读懂题目的意思是分析数量关系的基础，而小学生由于生活经验和阅读能力等的缺乏会出现一些理解上的困难，所以一些有经验的老师会深有体会地说：“许多学生做不出数学题是因为文字没读懂”。因此，在教学中，对于复杂的题目，教师要鼓励学生多懂几遍，尝试完整地用自己的语言叙述题意。当题目中出现一些学生不易理解的词语或句子时，教师可以采取情景表演、动作操作等方式帮助学生。这方面有一个比较经典的案例，吴正宪老师在执教“相遇问题”时，首先鼓励学生采取情景表演的方式，理解“同时、相遇、相对、相向”等题目中相对比较难理解的词汇。 同时，由于新课程提倡运用图、文字、表格等多种形式表达信息，这也给学生造成了一定的阅读困难，学生往往不能同时从不同的形式中捕捉信息，这就需要教师加以适当指导。下面就提供一个教师指导学生如何从图中获取信息的案例[4]。[案例3]指导学生如何从情境图中获取信息教师呈现了一幅情境图，图中草地上有3个房子，还有6只兔子。一只小兔子提出问题：“平均每间房子住几只？”师：快看。从图上你看到了哪些数学信息？生1：草地上有3个房子，草地上还有6只兔子师：你怎么知道有6只兔子，3间房子？生1迟疑。师：草地上确实有兔子，你怎么知道有6只？接着说，好吗？谁来帮帮她？生2：我是数出来的。    师：是吗，你（生1）是怎么知道的？    生1：我也是数的。师：那3间房子你是怎么知道的 ？    生1：3间房子也是数出来的。师：也就是说我们在解题时，有时候数学信息时要从图中直接数出来的。我们继续看图，问题在哪里？生1：平均每间房子住几只？师：说的非常完整。谁再说说说数学问题在哪里？    生2：平均每间房子住几只兔子？师：他说的非常完整。谁再说说这个数学问题你是怎样知道的？    生：它用文字表达了。师：说的真好。你们看这是谁说的话呀？    生齐说:小兔子。师：我们在解决数学问题的时候，有些数学信息时可以直接从图中数一数得到，还有的数学信息，要从图中看到小朋友或是小动物说的话当中而得到。师：下面我们看着这幅图，谁能连起来把数学信息和所求问题一起说一说？生：一共有3间房子，6个兔子，平均每间房子住几只？师：说的真好！大家一起来读读。生齐读：有6个兔子住3间房子，平均每间房子住几只？在上面的案例中，教师通过语言指导学生可以从哪些角度获取信息，并且鼓励学生完整地表述题意，这就由学生“局部”读题到“整体”读题；最后是由个人读题到全班读题。2.如何分析数量关系在读懂题目的基础上，教师就要鼓励学生分析题目中的数量关系了。在这方面，过去总结了一些方法，比如对于分数应用题分析数量关系，就有人总结了“抓住关键句（带分率的句子），找准单位1，分清求什么（单位1已知用乘法，求单位1用除法）；量率要对应”。我们来举例说明：某超市运来600桶花生油，卖出的占总桶数的 。还剩下多少桶？面对这样的题目，教师会教给学生：“首先找关键句，此题的关键句是卖出的占总桶数的 ；然后找到单位1是总桶数；此题单位1已知用乘法；要求剩下的量，要找到剩下的率为1- 。所以600×（1- ）。”确实这样分析数量关系的思路是正确的，但这种教师认为好的思路，学生能自觉得到并认同吗？在面对这样的问题时，学生是如何进行分析的呢，他们的想法能给我们一起启发吗。我们来看下面的一个教学片段[5]。[案例4] 分数应用问题教学片段1教师出示题目：“某超市运来600桶花生油，卖出的占总桶数的 。还剩下多少桶？”。鼓励学生独立审题（实际上包括读懂题目和分析数量关系）。教师找学生中不同的审题策略，并要求学生板书。师：请这几位同学分别介绍各自的审题策略。并说明为什么选择这种策略，说清这种审题策略是怎么做的。生1：我用画关键词的方法。因为它可以知道题中最重要的词是什么，这对解题是非常重要的。如果没有关键词，做题可能就会出现错误，所以我选择画关键词的方法。师：请说清楚你选择了哪几个词作为关键词，在它下边写了什么？生1：如图4，我选择的关键词是“卖出的”、“总桶数”和“剩下的”。“卖出的”按题意分析它占“总桶数的”的 ，“总桶数”是600桶，问的是“还剩下的有多少桶?” 这样很快就可以求出                                               图4问题。（边说边列式）600× =240吨桶，然后用总桶数减去卖出用去的240桶就是剩下的桶数， 就等于360桶，600－240=360吨桶。师：他的思路很清晰，根据这种审题思路，他找到了要先求出卖出了多少桶，然后求剩下的桶数进行列式解答。生2：如图5，我利用找关键句的方法，这种方法可以非常清楚地发现，剩下的占总桶数的 ，所以600× =360桶。                                     图5师：他是用找关键句的方法，他在关键句下面写了一个简单的批注———“没有卖的就是 ”。说明他从关键句当中读到了这里有一个隐藏的信息。这跟我们学习语文一样，不能只看到表面的，还要找到他背后隐藏的其他条件，对我们审题会有所帮助。生3：我用的是画批注的方法，它能够把题目的信息表达得更清楚，让我们看得更明白。如图6，600桶就是总数，卖出的占总数的 ，是600桶的 ，由此可以              图6看出，有 没卖，求剩下多少桶也就是求600的 是多少，所以我用1— = ，           600× =360桶。师：我发现生3同学的画批和生1的找关键词有些联系的。从整个句子理解，都是把重点提炼出来。生4：我采用的是直观图的方法。因为直观图在我们班很少用过，所以，我想证明直观图这种方法也是很好的，对于不会画线段图的同学们来说会更加容易理解。（边指图7边说）阴影部分表示卖出的占全部的 ，空白部分表示剩下了 ，求剩下的桶数就转换成了求总桶数的 是多少，用600× =360桶。

   

      
                                                     图7师：我们用掌声感谢生4。他为几位画不好线段图的同学提供了一种直观的策略。生5（边列式边对应着图8解释）：我用的是画线段图的方法。因为线段图可 以使我更加理解题意。这里是卖出的 ，要求的是剩下的桶数，就是求余下的这一段是多少桶，         图8列式是：600×  =240桶，因为这求的是卖出了多少桶，所以再用600－240=360桶，就是求出了剩下多少桶。     师：生5同学用画线段图的解题策略，让我们很清晰地的看到了数量之间的一种关系。生6：我把生5的方法改进了一下，他的线段图有平均分的份额，我把它省略了（所以叫“粗线条”线段图，如图9）。这样的图对我来说就能理解题意。用单位“1”减去卖出的 ，                     图9就是剩下的 ，用总桶数去乘 ，也就求出了是剩下的桶数。师：大家看一看他们的线段图，一个当中有平均分的份数，一个没有，影不影响审题呀？生纷纷表示：不影响。师：至少在这样的题里面是不影响的，同样也可以清晰地反映数量关系。许多老师在处理这一问题时，总是把自己的解题方法“迫不及待”地讲给学生，比如找关键句、画线段图，可是再遇到问题时学生往往还是不会用。老师的方法为什么无法转变为学生的呢？认真分析不难发现，实际上教师在课堂上并没有真正注重培养学生分析问题和解决问题的方法。当教师呈现给学生一个问题时，教师注重的是将自己已有的方法传授给学生，学生不费什么脑子就从老师那里得到了解决问题的方法。但是，这种方法好在哪，学生感受不深，轻而易举得到的经验学生印象不深，自然也就很难转化为自身的经验，也就不会在面对类似问题的时候主动加以运用。另一方面，教师总担心如果我不教，这么复杂的问题学生能会解吗？回答这个问题只能靠学生自己。因此，教师要在课堂上给学生留一点独立思考、探索策略的时间，一旦学生探索出了方法，并且体会到了画图等方法解决分数应用题的好处，当他们在面对类似问题的时候会注重借助这些方法帮助自己分析数量关系，从而正确解决问题。同时，不同的学生有着不同的思维特点和思维水平，给学生展示自己分析数量关系方法的时间和空间，也是学生之间交流的需要。学生在独立思考后就会对自己与他人的进行比较，为方法之间的沟通联系，突出数量关系打下了基础。[案例5] 分数应用问题教学片段2  师：现在要思考一个新的问题：观察这些审题策略，请你说一说这些策略之间都存在着哪些联系？先独立思考，然后进行小组讨论交流。   （学生独立思考后，小组交流。下面是不同小组交流后的发言）。组1：我们组讨论的是生5和生6两个人的策略，生6的“粗线条”线段图和生5的线段图看上去有区别，其实表达方法是一样的，只是没有标出多少份，实际上都表示了相同的量，我们认为这两种方法是差不多的。师：你们组还有补充吗？ 组1的另一位同学：直观图和线段图，方法其实都是一样的。师：好，他们组讨论的是线段图、直观图这三个呈现出来的图的形式之间的联系。其他组呢？组2（指着“画批注”、“找关键词”、“找关键句”三种方法）：我们觉得这些都是有联系的。他们这些审题方法都是把题目要表达的意思简单化，让人看得更明白。师：再具体一点，有什么联系呢？怎么说能让所有人都清楚明白？组2：比如，这些都是题目中说的话，现在把它换成我们可以理解的简单的话。组3补充：批注、关键句、关键词这三个之间有联系。因为他们全是把关键词、关键句都画出来，另外还都加上自己的理解，所以我们组觉得这三个之间有联系。师：这样就把题目中已知的条件和隐藏的条件都表现出来了，对吗？组4：直观图、“精细”线段图、“粗线条”的线段图这三幅图都是从图中找更深层的意义，而批注、关键句、关键词这些都是从文字中发现更深层的意义。师：说得好！这是两条线。你们组的两条线一个是从图的内容找，一个是从文字去找。组5：我们组发现直观图、精细线段图这两幅图有着很大的联系，如果要把直观图底下的线去掉，就可以变成精细线段图这幅图的意思，都标出了“总数600桶”。画批注、找关键句这两个同时都标出了“卖出了 ”，我们组发现了这几个有很大的联系。师：他们组也是找这两条线。师：下面我们请组6的代表发言，。我刚才听他说了一句话，觉得特别好。组6：我们觉得黑板上的这些图，还有画批注、找关键句、找关键词，这些审题策略之间都有联系。比如说，它们把关系都提炼了出来，（生，手指黑板，标出每种策略提炼出的内容—没卖的 ），同时文字中“没卖剩下的占 ”，……在图中很明显的表示出来。师：你们赞同组6所说的观点吗？生齐答：赞同。看到学生朴实而精彩的发言，笔者不禁有些感动，这些来自农村中心小学的孩子们不仅仅独立探索出了分析数量关系的方法，而且还通过比较归纳出了这些方法之间的联系。在这样的过程中，他们不仅仅理解了题目中的数量关系，而且发展了概括归纳的能力。特别是那句“这些审题策略之间都有联系，……它们把关系都提炼了出来”多么精彩。学生的精彩折射出教师的精彩。教师给了学生独立探索的空间，又不仅仅停留于此，而是在探索出不同方法的基础上，再鼓励学生比较归纳，将个人的理解通过交流形成学习共同体的共识。这一切都源于教师对学生的信任，以及对他们能力的不断培养。这个案例也给了我们分析数量关系的几个教学策略。第一，鼓励学生独立探索分析数量关系的方法，并运用自己的方式有条理地表达自己的理解；第二，鼓励学生将不同的方法进行比较沟通，以凸显其中蕴含的数量关系。看起来这两个策略并不新鲜，但它不正是教学这一问题的两个“大”策略吗？这里还需要讨论的是一些传统的方法，比如画线段图、抓关键词句等，在现在的应用题教学中还强调吗？关于线段图将在下面一个问题，分析和解决问题的画图策略中再加以阐述。我们来看看抓关键词句。其实，每一个问题确实都有分析问题和解决问题的关键词句，抓住并理解了它们无疑对分析数量关系是重要的。但关键是对关键词句的理解以及如何“抓法”。过去的抓关键词句的主要目的是服务于回忆题型，这种题型的教学在短期内可能会取得效果，特别是对付传统的考试，但长期却存在着弊端，这在上文已经论述过。同时，服务于题型的抓关键词句，学生往往不仔细地去阅读和理解题目，而是快速地找到类似“一共”、“剩余”、“几倍”等词语，由此去确定是什么题型，这就会造成学生出现大量的“见一共就加，见剩余就减”的问题。另一方面，关键字句的“抓法”基本上是教师告诉的，学生甚至体会不到为什么要去抓关键字句，而在以上的案例中，我们不难看出，部分学生也在抓关键句，但他们是在对题目整体结构分析的基础上找到的，并且都对这些句子为什么关键、这些句子的意思是什么、这些句子隐含了哪些条件作出了阐述，这实际上是体现了学生们对于数量关系的理解。同时，由于学生们是自己探索出方法，所以他们也感受到这一方法的好处：“他们这些审题方法都是把题目要表达的意思简单化，让人看得更明白。”“批注、关键句、关键词这些都是从文字中发现更深层的意义。”因此，概括地说，找到问题中的关键字句是重要的，但要注意实现三个转变：由为了套用题型的抓关键字句转变为基于理解数量关系的抓关键字句；由教师要求找转变为学生自主感受找的必要性；由教师介绍找的统一方法转变为学生探索自己的方法并多样化的表达（如案例中有的用批注，有的找到了几个关键词，有的找到了一个句子）。同时，无论采取哪种方法，教师要引导学生注重问题中最基本的数量关系结构的分析，即关注题目中的“大逻辑”。比如，在上面所举的问题，一个最基本的数量关系结构是“总的数量—卖出的数量=剩下的数量”。学生发现了这一结构后，就自然地去寻找如何能得到卖出的数量和剩下的数量，并发现了常用的两种方法之间的联系。下面的对话还是来自于分数应用问题的课堂：师：请你观察两种方法有什么区别和联系？生互相讨论。生1：第一种方法（600×  =240，600-240=360）是先求出卖出的数量，然后再用总箱数减去卖出的箱数，求出剩下的箱数，第二种方法（1-  = ，600× =360）是先求出剩下的分率，再用600乘剩下的分率求出剩下的数量。相同点是都求剩下的数量。生：相同点都是用对应量乘以对应的分率求出对应的数量。那么题目中的“大逻辑”到底是什么，还需要具体问题具体分析。3.如何有效地收集和选择信息 人们在现实生活中接触到的问题，其信息往往是多途径的，对话、报纸、电视、广播、标牌等都可能呈现出信息；呈现的形式也许是文字的、表格的、图画的；信息也许杂乱无章，需要你重新组织，而且经常是多余或不足的。因此，应用问题也应注重以多种形式（如表格、图形、漫画、对话、文字）提供信息、呈现问题。必要时，也可以鼓励学生对信息进行选择、判断或者是补充。实际上，在帮助学生如何有效地收集和选择信息上，教材和教学中都做了一些有益的尝试。比如，鼓励学生面对情境中的众多信息，选择若干信息提出可以用数学解决的问题；又如，鼓励学生回答如果要解决某一问题，需要收集哪些信息等问题。但总的来说，无论是在教材还是在教学中，如何帮助学生有效地收集和选择信息，这方面的教学策略还比较缺乏，需要广大教师不断研究和实践。 三、以分析问题和解决问题策略的学习为线索，鼓励学生形成一些基本策略解决问题活动的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生在分析问题和解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些分析问题和解决问题的基本策略，体验策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。各套实验教材涉及的解决问题的策略不尽相同，笔者选择其中最基本的三个策略：画图策略、列表策略和模拟操作策略加以具体阐述。需要指出的是，这三个策略不仅仅是解决问题的策略，也可以用来分析数量关系，并且，二者往往是结合在一起使用的。因此，本线索提及的内容与上一条线索有所交叉。1.画图的策略画图策略是非常重要的一种分析问题和解决问题的策略，它是利用“图”的直观来对问题中的关系和结构进行表达，从而帮助人们分析问题和解决问题的。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。同时，画图又是一个“去情境化”的过程，它把情境中的数量关系进行提炼，并且进行直观表达。总的来说，画图的策略的作用主要体现在：画图可以帮助理解问题；画图可以帮助解决问题；画图可以促进反思和交流；画图可以导致发现。其中，教师对于画图可以帮助理解问题、分析数量关系并不陌生，下面举两个例子说明画图对于解决问题、促进反思和交流的作用。[案例6]画图可以帮助解决问题[6]一位教师在三年级学生学习了分数的初步认识后，鼓励学生尝试解决如下的问题：气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的1/3，航模小组的人数是摄影小组的3/4，航模小组有多少人。当学生面对过去需要学习过分数乘法才能解决的问题，是否就束手无策了呢？其实不然，不少学生选择画图得到了正确答案。图10是学生画出的一些图，体现了画图策略可以帮助学生解决问题。

     

    
图10[案例7] 画图可以促进反思这方面的例子在实际教学中是比较少的。这里列举笔者在一篇文章中摘录的例子[7]，来对画图可以促进学生反思加以阐述。教师在鼓励学生解决完下面的应用题后，

要把400本新书放到书架上。 平均每一格要放多少本呢？

      鼓励学生将探索出来的三种解法用“图”进行表达：

 

想法一： 想法二：  想法三：  借助图学生对两道题进行比较，反思到这两个题目虽然情境不同，但题目中所蕴含的数量关系的结构是相同的。以上对于画图策略的意义和作用加以了分析，下面对教师如何在教学中培养学生的“画图”策略提一些教学建议。第一，鼓励学生画图来分析问题和解决问题，发展学生的画图意识。事实上，不仅仅在解应用题上，画图策略广泛应用于小学数学的内容领域中。比如，运用画图可以有助于学生理解数概念、运算的道理、正反比例的变化情况等。因此，教师应在教学中重视寻找教学契机，发展学生的画图意识。可以鼓励学生运用图、表格、自然语言、符号等对某一概念和规律进行多重表达；在解决问题缺乏思路时鼓励学生画图分析一下；在问题解决后运用画图来向别人表达自己的思路。当然，画图是一种分析问题和解决问题的策略，是否需要画图与问题的难度、情境对学生的熟悉程度、学生的年龄特点等都有关系。如果学生不借助画图已经可以解决问题了，教师可以鼓励他运用画图来表达自己的思考过程，但不必强求他必须经过画图才解决问题，更不能因为强求必须画统一的图而造成学生“会解决问题，但不会画教师要求的图”的困惑。第二，重视学生自己的示意图。在过去的教学中往往只强调线段图，或者不鼓励学生自己去画图，或者认为学生画的图比较“初等”，不如线段图来得“简洁和抽象”。笔者认为，画图本身是一种解决问题的策略，能够有效地解决问题就是好的办法。而且画图正是借助了图形的直观。而“直观”是因人而异、因年级而异的，因此要重视学生自己的示意图，挖掘这些图中的价值。其实，学生的许多示意图在本质上与线段图没有太大的差别。如图11，我们来对比一下案例4和案例6中学生的示意图和线段图。（下图中将直观图放在左面，线段图放在右面）

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图11从图11中不难看出，学生的某些图（如上面所展示的学生作品）与线段图“结构”是一样的。而学生的图更加直观，容易表达出学生自己的理解，同时不同的学生可能会选择不同的图；而线段图则显得更加简洁。鉴于此，我们有必要对于是否要求线段图做一个讨论。对于什么是“要求”学生画线段图，至少有下面四种观点：观点1：学生能画出线段图更好，不画也不用教，只要自己的图是合理的，有效发挥了作用从而达到解决问题目的就可以了。因为画图的目的是为了帮助学生分析问题、理解问题，学生会借助自己的经验进行选择，不必为了教线段图而教线段图。观点2：教师可以画出线段图来引导学生，但学生只要能看懂线段图即可，不要求一定画线段图。因为线段图确实比较简洁，所以教师可以画出了引导，但学生能否体会其简洁性，选择来画线段图就不做要求了。观点3：学生可以运用自己的示意图来分析问题和解决问题，但到一定年级应该使每个学生都会画线段图。当然从学生的示意图到线段图的学习是一个渐进的过程，可以鼓励学生通过比较，体会线段图的简洁性。其实在低年级教材中已经有了线段图的雏形，如几个小圆片、几个三角形等排成一排；到了四年级的“路程、时间、速度”学习中大多数实验教材就出现了比较规范的线段图，如果还停留在学生示意图的层面，教学的梯度没有体现。观点4：尽可能早地教给学生画线段图，并且在分析问题和解决问题中尽可能使用线段图。虽然以上对于“线段图”的要求不尽相同，但也存在着共识：教师应鼓励学生运用画图分析问题和解决问题，挖掘“画图”的价值；如果需要学习线段图，应使学生通过比较等方式体会到线段图的好处；对于线段图不必过分苛求格式，比如量一定要标在下面、率一定要标在上面，只要清晰地表达出正确的数量关系就可以。并且，大部分的观点认为画图是一个分析问题和解决问题的策略，既然是策略，在具体解题时就可以用或者不用，就可以选择用示意图或线段图。对于以上共识，笔者是非常赞同的。确实，如果把画图当成策略，那么能有利于学生分析问题和解决问题的就是好策略，而每个人选择的策略是可以不一样。而学生的示意图和线段图都是利用了图形的直观，并且如前所述学生的很多示意图和线段图的结构上无本质性区别，所以笔者比较倾向于上面的第一种观点。进一步，我们不必马上陷入观点之争上，而是需要思考一些基本问题：线段图与学生的示意图相比到底优势在哪里，包括在分析问题和解决问题中的优势以及对于其他内容学习的优势；学生是否能通过比较体会到这种优势，特别是能否自发体会到。第三，重视画图在解决问题和反思交流中的作用。如前所述，画图不仅仅可以帮助学生分析问题，它还有助于学生解决问题和反思交流。而后两者在教学中是比较缺乏的，需要我们不断加深对它们的理解，并创造出更多更好的案例。第四，重视画图中学生的数学思维。学生画图的过程应该与数学思维的过程结合在一起，实际上根据对题目的分析画出图、根据图联系运算的意义、运用图来直观表示解决问题的思路和结果等，这些都必然会与数学思维紧密联系。作为教师，要把这种联系适当凸显出来，比如鼓励学生表达自己图的意思，是根据什么画出此图的；鼓励学生借助图有条理地表达自己的思路等。总而言之，画图是一种非常重要的分析问题和解决问题的策略，但在它的教学中也确实存在着不少需要进一步研究的问题。比如，学生是否选择画图来解决问题，与题目的难度、呈现形式以及学生的年龄特点有关，那么，影响学生选择这一策略的因素有哪些呢？在教学中不难发现一个现象，许多学生遇到解决不了的问题时，并不主动选择画图策略，而当老师要求画图后往往能正确画图解决问题，也就是学生会画但缺乏画图意识，如何看待这一问题呢？教师也会发现，如果我们鼓励学生画自己的示意图，学生的图是非常富有个性的，但这些图中哪些可以真正有效地解决问题，需要我们细致研究。再如，前面提到的线段图教学中的问题。总之，如何使学生体会到画图的价值，并且在需要时自觉想到画图解决问题，并能画图有效地解决问题，是我们今后需要不断思考的问题。 2.列表的策略在小学教材中，列表策略的作用主要体现在两个方面。第一方面，学生通过列表枚举出符合条件的一些结果，然后通过验证从中选择中最终的答案。比如，对于“鸡兔同笼”的问题，教材大多选择了列表的策略，鼓励学生进行枚举，学生通过枚举每一种情况并进行检验，得到问题的最终答案。如果头和腿的数目较多的情况，学生也可以在列举中发现一些规律从而进行调整，如“发现腿数还差得很多，多增加些兔子”；又如可以从一半开始枚举（从假设有一半是鸡开始）。这不仅使学生学习了解决问题的重要策略，还可以培养学生对数的感觉和估计的能力，使学生经历建立假设、检验假设的过程，发展学生自己进行判断的能力。随着对这个问题的不断讨论，越来越多的老师认识到枚举方法的重要性。正如张景中先生提到的[8]：“小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想，其实有普遍意义，可以用来求解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个笨办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看成自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要求的自变量，这个思路能解决很多问题，是‘大智若愚’。这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。”我们不难看出文中所指的“试商”的方法就是这里说的枚举并验证的方法，它是一个“大智若愚”的方法。第二方面，学生可以将问题中的信息用表格的形式加以整理，往往既起到整理信息的作用，也有助于学生探索出解决问题的思路。看苏教版教材中的一个例子（如图12）：借助表格整理了条件和问题，并且学生通过观察表格会有助于思考出解决问题的思路，也为正比例的学习奠定了经验。进一步，通过整理信息，并进行适当地推理，有时就能解决问题。看北师大新世纪版教材中的一个例子（如图13）：学生通过表格整理提供的信息，并进行进一步的推理，就能解决最终问题了。                  图12                            图133.模拟操作的策略模拟操作是借助实际操作或模拟操作分析问题和解决问题的策略。一方面，如前面提到的通过模拟“相遇问题”中的情境，帮助学生理解题意和分析问题。另一方面，学生可以通过操作解决问题。比如，一年级学生在解决“8个男孩比2个女孩多几人”时，学生通过操作可以得到多6人的结果。对于小学中到底有哪些基本的分析问题和解决问题的策略，目前还存在着不同认识，以上笔者只是列出最基本的三种策略。同时，这三种策略在实际解决问题时往往是结合在一起使用的。对于分析问题和解决问题策略的教学，这里提出两点建议。第一，教学中要重视对学生分析问题和解决问题策略的指导，适时地将“隐性”的策略“显性化”。例如，在具体求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些策略；在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整策略；在解决问题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织全班交流；在适当时候，教师可以总结一些分析和解决问题的策略，让学生收集使用这些策略的典型实例。总之，教师要将分析问题和解决问题的策略作为重要的目标，有意识地加以指导和教学。第二，学生所采用的策略，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要解题过程及答案具有合理性，就值得肯定。这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。 四、注意基本数量关系在小学中的学习线索，帮助学生形成一些基本数量关系在分析问题和解决问题的过程中，还需要帮助学生学习一些基本数量关系，这些关系对于解决实际问题和今后学习都是重要的。在课程标准修订中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系：一个是物理模型中的“路程、时间和速度”关系；一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛地应用，同时也是学生进一步学习（如微积分）的两个重要的基本模型。这两个基本数量关系在小学数学教材中一般在四年级左右正式引入，但教师应注意它们在小学中的学习线索，包括第一学段的蕴伏——四年级的正式学习——高年级的进一步认识。在第一学段，虽然没有正式引入这一数量关系，但学生借助生活经验和对运算意义的理解，能够解决类似“飞机每分飞行21米，60分飞行多少米”的问题，这为正式学习路程、时间和速度的关系奠定了基础。到了四年级正式学习两个数量关系时，教师要帮助学生理解速度（或单价）的意义，以及三量之间的关系。在下面的案例中，教师在多次帮助学生构建“路程、时间与速度”之间关系方面做了有益的尝试[9]。[案例8]“路程、时间与速度”关系的教学片段1.三量关系的初步构建——体会速度与路程、时间有关系（1）设置冲突，引发思考    师：两位小朋友在比上学路上谁走得快，你能帮他们比一比吗？出示情境：   师：你觉得谁走得快些？生1：我认为张明走得快，因为他走的时间短，李红走得时间长。生2：我觉得不一定，因为李红的家离学校可能比张明家远一些。因为不知道谁的家远。师：再知道什么，你就能比出谁走得快了?生：他们两家到学校的路程。（2）尝试解决问题，初步体会速度含义教师呈现张明与李红上学的路程：张明从家到学校要走280米，李红从家到学校要走480米。学生尝试计算。师：谁走得快些？你是怎么想的？生1：李红走得快些。因为280÷4=70（米），480÷6=80（米），80比70大，所以李红快。（教师板书算式）师：算式中的70米、80米表示的是什么？生：表示每分走多少米。（教师板书：每分走70米，每分走80米）（笔者按：教师通过创设情境，使学生体会到速度不仅仅与路程有关，还与时间有关，并且借助已有学习经验体会到需要计算中每分走的路程）。2.三量关系的再次构建——速度表示单位时间内的路程师：我们知道了速度与什么有关，现在你会求速度了吗？呈现两个问题，请学生口答。 ① “神七”飞船在太空5秒飞行了约40千米，“神七”飞船的速度约是（        ）。 ②小青骑自行车，2小时骑了16千米，小青骑自行车的速度是（     ）。  学生口答，教师列式“40÷5＝8（千米）”“16÷2＝8（千米）”。师：“神七飞船”的速度和骑自行车速度都是8千米，他们的速度是一样的吗？你有什么想法?生：是不一样的，“神七飞船”的速度是每秒8千米，骑自行车的速度是每分8千米。师：但黑板上这样的写法能区分清楚吗？有什么办法区分开呢？生：写上时间。师：说得好，我们可以在路程单位后面加上时间单位来表示速度单位，如这两个速度单位可以写为8千米/分、8千米/秒。引导学生将步行速度也改写成70米/分、80米/分，并读一读。师：观察上述几个速度，你能说说速度表示的是什么吗？生1：速度表示每分走多少米，每时走多少千米，每秒走多少千米。生2：速度表示每分、每时、每秒走的路程。师：速度怎样计算呢？ 生：路程÷时间=速度。（板书）（笔者按：学生通过比较两个情境，首先找到其结果的不同点，体会表达速度需要明确路程和时间；然后找到不同情境的共同点，从而提炼出速度=路程÷时间的关系式）3. 三量关系的三次构建——运用其中的两个量可以表示第三个量（1）体会速度的实际意义①解读博尔特的速度。师：跑步是有速度的，你知道当今世界上“100米”跑得最快的人是谁吗？生：博尔特。（教师呈现图片）师：“9.58”是博尔特的跑步的时间还是速度？生：时间。师：他跑步的速度是多少？怎么求？（呈现10.4米/秒）。师：10.4米/秒什么意思？生：每秒10.4米。师：博尔特的速度是10.4米/秒，有多快呢？生：“滴答一下，就10米多”。（滴答，1秒过去了，也就是咱们一眨眼的时间。）师：这个教室从前到后共10米，嘀嗒一下，博尔特已经从这里跑到教室后面了。（老师生动的描述引起学生笑声、惊讶声。）师：你有什么感受？生：太快了。……②解读猎豹、声音的速度、光的速度师：博尔特的速度真够快的，有没有更快的速度呢？生1：光速。生2：猎豹的速度。师：想知道猎豹的速度吗？（课件呈现：猎豹奔跑的速度是30米/秒）。生（惊讶声）。师：看了猎豹的速度你有什么感想？生1：像闪电一样，快得没法说了。 生2：1秒钟可以跑过了这样三个教室，太厉害了。再呈现声音的传播速度是340米/秒，光的速度是300000千米/秒，请学生选择一个与同桌说说速度表示的含义。③解读蜗牛爬行的速度师：不过不是所有动物跑起来都会很快的，也有跑起来很慢的。生1：乌龟。生2：蜗牛。课件呈现：蜗牛爬行的速度大约8米/时。（生读）师：什么意思？生：每时爬8米。师：你有什么感受？生：太慢了，这个教室博尔特只要跑1秒钟，蜗牛要爬1小时多。（2）解决简单实际问题，进一步完善数量关系的建构课件呈现问题：①蜗牛爬24米大约要几时？ ②蜗牛4时大约可以爬多少米？学生独立解答，再反馈交流。师：蜗牛爬24米大约要几时？生1：24÷8=3（时）师：你怎么想的？你能结合线段图说说吗？（呈现线段图）生1：24米里有3个8米，就是3小时。生2：路程÷速度=时间。师：蜗牛4时大约可以爬多少米？生：8×4=32（米）。师：有一位同学画了下面这样一幅图，你能看懂吗？（呈现学生作品） 生：一段表示每时爬8米，4时就有4个8米，8×4=32米。师：对，老师把这四条线段连起来就与我们所画的线段图一样了。（呈现线段图）师：从这个问题中，我们可以知道怎样求路程？生：速度×时间=路程。（笔者按：学生通过感受不同情境下速度的实际意义，不仅使学生将数学概念与生活实际相联系，并且进一步加深对于速度的含义。进一步，学生通过解决实际问题，探索如何由两个量来求第三个量，从而对于这三量关系有了比较完整的认识）。学习了两个基本数量关系之后，学生可以在进一步学习和解决问题中进一步认识三量之间关系。比如，在正反比例学习中，学生将认识到当“速度一定时，路程与时间是正比例关系；路程一定时，速度与时间是反比例关系”。 五、对应用问题的解进行检验，鼓励学生逐步形成评价与反思的意识教学中还应注重鼓励学生对问题的解加以检验。检验的一方面是解是否正确，是否为所求。教师可以鼓励学生将问题的解带入题目进行检验。比如，在解决完“六一班学生分成两组进行运动，跳绳的有16人，打篮球的占全班人数的60%，全班多少人”后，在教师的鼓励下，学生们尝试将结果（40人）带入题目，从不同角度进行检验。生1：40×60%=24；40-24=16.生2：40×（1-40%）=16.生3：16 ÷40=40% .  检验的另一方面是考察问题的解是否符合实际。事实上，验证结果的合理性需要两种基本的能力：首先需要对现实世界的数量及其关系有一定了解。例如，知道中国的人口是10亿左右，而不是1亿或100亿；人的速度、自行车的速度、汽车的速度、飞机的速度分别大约是多少。虽然这些信息并不只是数学的内容，但是它们对于判断实际问题解的合理性却是重要的背景知识。第二个方面是能对结果的数量级有准确地估计。这种能力并不是通过大量地训练笔算就可以获得的，而是通过对位值的理解和对简单数的运算的灵活运用而得到的。特别地，虽然课程改革提倡应用问题与实际生活的密切联系，但确实应用问题是将生活中的真实情境进行了适当简化。为了使学生发展应用意识，可以在解答完应用题后，鼓励学生将应用问题的情境与学生的真实生活联系起来。比如，一位教师在解决了题目“学校买了200本书，放在2个书架上，每个书架有4层，平均每层放了多少本书”后，鼓励学生讨论在自己的学校是否有类似的事情。学生联系自己学校买书的情境，提出“学校图书馆新购了一批书，而学校只有2个空书架，每个书架有4层，那么平均每层必须要放多少书才能放下”；“如果放不下，需要再找几个书架”等问题。进一步，适当的时候教师还可以引导学生对所求解的问题抽象或一般化；思考在解应用问题的过程中使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法；对不同策略进行比较，以体会各自不同的特点与适用性；在解应用问题的基础上提出新的问题，等等。必要的时候，教师还可以鼓励学生举出类似的问题，以通过变化具体的情境从而突出问题中所蕴含的基本结构。  

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[1]摘自詹姆斯·T·费撰写《数量》一文。出自林恩•阿瑟•斯蒂恩编.站在巨人的肩膀上[M].胡作玄等译.上海：上海教育出版社，2002：79 [2] 此研究提供者 北京教育学院石景山分院 张岭，指导教师 张丹[3]此研究提供者 北京教育学院石景山分院 张岭，指导教师 张丹[4] 案例提供者 平谷第六小学 景彩凤，指导教师：张丹，王林华[5] 执教者 北京市顺义区尹家府小学 郑士龙，指导教师：张丹，于海[6] 案例提供者 北京师范大学奥林匹克实验小学 王笑晖[7]平国强，《浅谈小学数学解决问题教学中学生思维的梳理》[8] 张景中. 感受小学数学思想的力量—写给小学数学教师们[J]. 人民教育.2007(18)[9] 执教者 特级教师 浙江省嘉兴市南湖区教研室 朱德江。