标致3008好还是缤智好:关于人教版小学数学新教材中若干问题的思考

    教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）于2001年7月正式颁布。同年，人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》（下简称《新教材》）各年级分册陆续出版，这是全国发行最早，使用范围最广的一套新教材。然而，这套新教材还存在一些值得我们探讨和思考的问题。新教材是实现课程改革总体目标的重要保证，因此，希望有更多的教师和专家来关心新教材，关心小学数学教学现状，提出意见和建议，使小学数学教学提高到一个新的水平。
    一、新教材中值得探讨的几个问题
    新教材中值得探讨的问题较多，本文主要就教材中涉及数学基础知识的问题进行探讨。
    1.正方体（1立方厘米）是否可以作为长度单位
    新教材二年级上册第1单元的教学内容是“长度单位”，与之配套的《教师教学用书》第18页上指出：“前面教学统一长度单位的必要性时，已经引出统一的长度单位——正方体（1立方厘米）……”《教师教学用书》是教师教学的指导用书，不少教师都是在该书的指导下完成备课和教学任务的，然而该书把体积为1立方厘米的正方体说成是“统一的长度单位”，且这并非是笔误，而是按照教材内容要求经过精心设计使学生和教师相信体积为1立方厘米的正方体可以作为“统一的长度单位”的。在新教材二年级上册第1页中，教材安排了请小朋友用硬币、小刀、三角形、铅笔、正方体等物品测量书本边长的活动，在练习中又要求学生用正方形去测量胡萝卜、玉米、大蒜的长，用正方体去测量小刀、橡皮、曲别针、蜡笔的长，通过这些活动，学生大都能得出如下结论：“书边大约有4个三角形那样长”……“书边大约有15个正方体那样长”。而《教师教学用书》第17页上建议教师这样启发学生：“要想得到相同的结果，应选用同样的物品作标准进行测量。”还建议：“在此基础上，让学生用同一物品（如方木块学具）作计量单位去量不同的物品看结果如何。”由此可知，《教师教学用书》的作者的确是把正方体作为长度的计量单位了。不仅如此，连硬币、三角形、铅笔也都成了长度单位。这样一来，长度单位是被物品“具体化”“生活化”了，但“长度单位”的概念却被模糊了。我们听了几位教师执教“长度单位”的课，都是按照《教师教学用书》的建议教学，没有一个学生或教师对此提出异议。
    事实上，任何一种物品是不能作为长度单位的。例如棱长为1厘米的正方体木块，它不能作为长度单位，可以作为长度单位的是它的棱的长度或某个面的对角线的长度等。教材为了“使学生初步经历长度单位形成的过程，体会统一长度单位的必要性，知道长度单位的作用”而要学生用不同的物品去测量另一些物品的长度，以致使学生错误地认为这些物品就是“长度单位”。事实上，对二年级的小朋友来说，没有必要使他们“经历长度单位形成的过程”。
    2.小数和名数是否可以互化
    众所周知，“小数”是“数”，而“名数”表示的是“量”。“量数和计量单位的名称合起来叫名数，如3米、1吨20千克，都是名数。”[1]由此可知，小数和名数是不可以互化的。然而新教材却多次要求学生将“小数”和“名数”进行互化。
    例如在新教材四年级下册第69页上有这样的例题：“把上面的数据改写成以米为单位的数。”这里所说的数据是指80厘米，教材中最后得出结论：80厘米＝0.8米。把0.8米叫做“以米为单位的数”，甚至把它叫做“小数”，这显然是错误的。又如新教材第77页上有这样一个练习题：“2003年我国在校小学生116897000人，改写成用‘亿人’作单位的数（保留一位小数）。”该题是要学生将116897000人改写成1.2亿人。显然，“1.2亿人”是一个名数，而不是数。
    在与之配套的《教师教学用书》中，错误的说法更多了，例如在第122页上指出：“把单名数改写成小数是教学的重点”，并以80厘米==0.8米为例，说明这就是把单名数改写成小数。显然，这里错误地把0.80米当作小数了。又如在第121页上指出：“在改写时，学生先要判断哪个单位大，哪个单位小，是从高级单位的数改写成低级单位的数，还是从低级单位的数改写成高级单位的数”，对于“数”来说，从来就没有“高级单位的数”和“低级单位的数”之分，这里指的应该是“带有高级计量单位的名数”和“带有低级计量单位的名数”，这里又把“数”和“名数”的概念混淆了。
    3.正方体和长方体究竟有哪些不同点
    新教材五年级下册第30页上要求学生找出正方体和长方体有哪些相同点，有哪些不同点，在与之配套的《教师教学用书》上指出了长方体和正方体的相同点和不同点，其中所列的不同点如表1所示：
    表1　长方体和正方体的不同点
    
    如果我们仔细分析一下，就可发现这并不是它们的不同点，从“面的形状”看，作者已经偷换了“长方体”的概念，这里的“长方体”只是一些长、宽、高不全相等的“长方体”了，这显然是不对的。再从“面积”来看，正方体的“6个面的面积都相等”，而长方体“相对的面的面积相等”，事实上，“相对的面的面积相等”并不排除“6个面的面积都相等”的可能，况且正方体也具有“相对的面的面积都相等”的性质，因此这并不是它们的不同点。对于“棱长”的比较也存在类似的问题。
    
    图1　长方体和正方体关系
    在新教材的第30页上还指出：“正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。我们可以用图1来表示长方体和正方体的关系”，既然正方体集合是长方体集合的一个真子集，我们怎么能找出正方体和长方体的不同之处呢？要学生认识正方体，可以让学生找一找正方体的特点就可以了，不能叫他们去找正方体和长方体的不同之处。
    4.使“因数”具有两种不同的涵义是否合理
    “因数”这个名词在新教材中有两种不同的涵义。“因数”这个名词最早出现在二年级上册“乘法的初步认识”这一教学内容中，在教科书第47页上列出算式5×3=15和3×5=15后，指出3和5都叫因数，15是积，“×”叫乘号。此后，凡是出现在乘号两边的数，不管是整数还是小数、分数都叫做“因数”，而且全套教材中都不出现“乘数”这个名词，也就是说，新教材中用“因数”取代了过去教材中的“乘数”。然而，在五年级下册“因数与倍数”这一单元中，“因数”又有了新的涵义。在这一单元中出现的“因数”必须是整数。在该册教材第12页上指出：“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数一般指的是整数（不包括0）”，在与之配套的《教师教学用书》第33页上指出：“因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。a是b的因数，反过来是b就是a的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数（或倍数），要引导学生使用比较规范的语言，如‘2是12的因数，12是2的倍数’而不是‘2是因数，12是倍数’，在课堂上或练习中学生如果出现类似的错误要及时加以纠正。”在同一页上还指出：“要注意区分乘法算式各部分名称中的‘因数’和本单元中的‘因数’的联系与区别，在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于‘积’而言的，与‘乘数’同义，可以是小数，而后者是相对于‘倍数’而言的，与以前所说的‘约数’同义，说×是×的因数时，两者都只能是整数。”由此可知，《教师教学用书》的编者确认“因数”有两种不同的涵义，而且要教师区分这两个‘因数’的联系与区别。
    在同一套教材中，“因数”既与“乘数”同义（可以是小数），又与以前所说的“约数”同义（不能是小数），这显然是不合理的，不利于小学数学教学。
    5.在规定了“6×3也可以记作3×6”之后，乘法交换律应该如何处置
    新教材二年级上册第4单元是“表内乘法”，教材通过算式3+3+3+3+3+3=18来说明“像这样的加法，还可以用乘法表示：6×3=18或3×6=18。”教材是按《标准》编写的，《标准》中是有这样的一个注释：“关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3，3×5读作3乘5，3和5都是乘数（也可以叫因数）。”[2]由此可知，6×3也可以记作3×6，据此推理，对于任何大于1的自然数a、b，a×b也可以记作b×a。然而新教材四年级下册中又安排了“乘法交换律”的教学。教材通过让学生计算4×25和25×4，得到4×25=25×4，然后再写出这样的一些乘法算式，再归纳出“交换两个因数的位置积不变，这叫乘法交换律，用字母表示：a×b=b×a。”既然二年级时已规定6×3可以写作3×6，而到了四年级4×25就不能写作25×4，而是要学生通过计算来验证，再用不完全归纳法得到a×b=b×a。这不是多此一举吗？事实上，规定了6×3可以记作3×6之后，a×b=b×a已经不能称为“乘法交换律”了，它只是一个规定而已。当然，这种“规定”是否合理也是值得探讨的。
    二、思考与建议
    通过以上分析可以看出，新教材中还存在诸多问题，因此，如何提高新教材的质量就值得我们思考。
    1.数学课程改革需要高质量的数学课程标准
    刘兼和孙晓天老师指出：“《标准》是整个基础教育数学课程改革系统中的一个重要枢纽，它的内容要涉及教材编写、教学、评估和考试命题等各个具体领域，它的内容要体现国家对义务教育阶段学生在知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观等方面的具体要求。”[3]对如此重要的纲领性文件，其自身必须是高质量的。然而，《标准》本身却存在不少值得商榷之处。
    文[4]指出了《标准》第13页上一个注释所存在的3个问题，正是由于这个注释，就使教材中出现了本文(1)、(2)节所指出的问题，对教材编写工作造成负面影响，建议《标准》修改时去掉这个注释。
    文[5]则指出了《标准》中存在的8个瑕疵，这些瑕疵中有简单的数据错误（《标准》第28页例5），也有耐人寻味的数学概念的错误。例如在《标准》第50页上有这么一个案例：“用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？”这里所提的“无盖的长方体”是一种错误的说法。对于长方体有这样的定义：“底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体。”[6]由此可知，长方体是一个六面体，它不存在什么“盖”，如果少了一个面，那么它就不是长方体了，更谈不上它的“体积”大小了。正是由于《标准》中出现了“无盖的长方体”这样错误的说法，于是在北师大出版的新教材《数学》七年级上册第212页上就出现了标题为“制成一个尽可能大的无盖的长方体”的课题学习材料，在近几年出版的杂志上也经常可看到“无盖的长方体”这种说法，由此可见《标准》影响之大，同时也说明《标准》本身应该是要经得起仔细推敲的。
    总之，要有高质量的新教材，首先要有高质量的《标准》。2003年10月曾在沈阳开过《标准》修订研讨会，并对《标准》进行了修订，然而四年多时间过去了，修订后的《标准》仍未颁布，我们期望修订后的《标准》早日颁布，以便早日修订教材。
    2.新教材亟须修改与完善
    综观新教材，除了存在涉及数学基础知识的问题外，还存在其他方面的一些问题。例如，对于“统计”这一教学内容的安排就值得商榷。在小学阶段“统计”的学习内容主要是收集数据、设计简单的调查表、画条形统计图、画折线统计图、画扇形统计图等。然而就这些学习内容却被编成了10个单元（12册教材中除了复习课外共94个单元），除了一年级上册、三年级上册中没有“统计”内容外，其余十册教材中每册都有一个单元叫“统计”，这就难免会使某些单元内容有相似之处，学生从一年级开始就学“统计”，一直学到六年级，几乎每学期都学一个单元，实在没有必要。事实上，“统计”这些内容编成4个或5个单元已经足够了。总之，新教材中存在的问题还是不少的，亟须修订和完善。
    李善良先生认为：“……而一套好的教材最难写，因为它是一个群体（包括数学家、教育学家、心理学家、优秀教师）的长期研究、实验、升华的结晶。”[7]事实确实如此，一套新教材诞生之初存在一些错误和缺点是难免的。但由于教材“将影响到数以万计的学生的终生发展”[7]，所以存在的错误和缺点又必须及时消除。
    近几年来，一大批教育工作者以极大的热情关注着课程改革，他们在数学教育杂志上发表了大量关于课程改革的文章：有赞美新教材、介绍使用新教材经验的，也有指出新教材中不足之处、提出改进建议的，这些文章有力地促进了课程改革的深入开展，教材编写者可以对这些文章进行收集、整理和研究，然后对新教材进行修改和完善。我们相信，在不久的将来，经过修订的人教版新教材将会成为适合我国国情、符合新时代要求、质量一流的新教材。