benefit的音标:2010年中考数学一轮复习--第12讲分式

第十二讲：分式

知识梳理

知识点1、分式的概念

重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件

难点：分式有意义、分式值为0的条件

分式的概念：形如   ，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式. 

分式  中的字母代表什么数或式子是有条件的.

(1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.

(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.

(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.

例1. 1. 若代数式             有意义，则x的取值范围为________________

解题思路：分式有意义，就是分式里的分母不为零，答案：x≠－2且 x≠－3且x≠－4

例2 如果分式的值为零,那么x等于(   )

    A.-1     B.1      C.-1或1      D.1或2

解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零,

    ∴.  解得x=-1.

    答案:A.

练习1. 若分式　　　　的值为零，则  的值为（　）

2.（1）当x=_______时，分式无意义；

（2）当x=_______时，分式有意义。

答案：1.  2. （1）x=3；（2）

知识点2、分式的基本性质

重点：正确理解分式的基本性质.

难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=，AB=.(其中M是不等于零的整式)

　　分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.

分式的约分和通分[来源:学科网ZXXK]

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

例1：  约分：          

解题思路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分

（1）解：

 (2).请学生分析如何约分：由于，所以，分子和分母的公因式是：，约分可得：

解：

小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．

例2   求分式与的最简公分母。

解题思路：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

                4x-2x2=-2x（x-2），x2-4=（x+2）（x-2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。

求几个分式的最简公分母的步骤：

1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

例3  通分：  ，

解题思路：各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。

解  （2x-4）2=［2（x-2）］2=4（x-2）2，

     6x-3x2=-3x（x-2），x2-4=（x+2）（x-2）。

所以，最简公分母是12x（x+2）（x-2）2，故

     ，

                    。

练习1. 分式与的最简公分母是_________。

2.（1）如果把分式中x和y都扩大10倍，那么分式的值（    ）

A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变

（2）下面各式正确的是（    ）

答案：1

2. （1）D；（2）D[来源:学科网ZXXK]

知识点3、分式的运算

重点：掌握分式的运算法则

难点：熟练进行分式的运算[来源:Zxxk.Com]

1.分式加减法法则

（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减． 

（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减．

 2．分式的化简[来源:学。科。网Z。X。X。K]

分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式．

3.分式的四则混合运算

分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些．

例1．先化简，再求值：．其中x＝2

解题思路：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处．结果要求最简．

   解法一：

        ＝

        ＝

        ＝。

解法二：[来源:学科网]

＝

＝

    当x=2时，原式＝一＝4。

例2． 先化简 ，然后请你给a选取一个合适的值，再求此时原式的值．

解题思路：本题有三个步骤：（1）化简；（2）取值；（3）求值．此类题以开放题的形式出现，字母的取值范围很广，比如，在本题中，为a选取合适的值时．存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为零．即a≠±2．

解：原式＝[来源:学|科|网]

   当a=1时，原式=1+2=3．

练习1.化简:()÷(1-).

2.化简: .

答案：1.     2.1

知识点4、分式方程

重点：掌握分式方程的解法与步骤

难点：解分式方程的思想转化以及验根

分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。　　 

分式方程的解法

　　①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

　　验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

　解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

例1解方程：．　

解题思路：解分式方程的基本思路是：先确定最简公分母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从而求得其解． 要注意的是解分式方程必须检验，若为增根，须舍去

解：两边同乘以，

得；

整理，得；

解得 ．

经检验，是原方程的根．

例2解方程：．

解题思路：本题在去分母把分式方程转化成整式方程时，方程中的整数项3，也应乘最简公分母（x-2）, 不要漏乘. 

解：方程两边同乘，得． 

　　　　  解这个方程，得．

　　　　检验：当时，，

所以是增根，原方程无解

例3若方程无解，则m=______．

解题思路：分式方程的无解，就是分式方程中未知数的取值使分母的值为0，导致分式无意义.本题当x=2时分母x-2=0. 分式方程无解，实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根，其整式方程的解会使最简公分母的值为零.

解：方程两边同乘以(x-2)，化去分母，

得x-3=-m,

因为分式方程无解，

所以x=2,    2-3=-m,  故m=1.

练习1.解方程．

2.若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数___________.

答案:1.解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得

       x(x+2)-(x2-4)=1，    

化简，得2x=-3   

 x=-3/2，    

经检验，x=-3/2是原方程的根．

2.a=1

知识点5、分式方程的应用

重点：掌握解分式方程应用题的步骤

难点：审题弄清题目中的等量关系

列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意．

例某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

　　解题思路：本题的等量关系为： 第二次购该书数量比第一次多10本，即（第一次购买的数量）＋10＝（第二次购买的数量）．

 　　解：设第一次购书的进价为x元，则第二次购书的进价为（1+20%）x元．

　　  根据题意得：，

解得：，经检验是原方程的解．

 　　所以第一次购书为（本），

第二次购书为（本），

第一次赚钱为（元），

第二次赚钱为： （元）

 　　所以两次共赚钱（元）．　

练习某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程                     .[来源:Z+xx+k.Com]

答案： 

最新考题

中考试题考查的是分式的基本性质及其运算，题型以填空、选择或计算为主，试题中渗透方程思想或高一年级数学知识，预计2010年中考这类试题比例会加大，理解分式的概念，分母中含有字母的式子，掌握分式分母的取值范围，分式方程的求解一类问题近年主要考查基本的解方程，

着重考查学生的实际应用能力，同时分式方程的验根仍作为考查重点。

考查目标一分式的概念

例1（09年天津市）若分式的值为0，则的值等于         ．

解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零,  答案：2

例2（09湖北宜昌）当x=            时，分式没有意义．

解题思路：分式没有意义则分式的分母为0，x=3

考查目标二分式的运算

例1（2009年新疆乌鲁木齐市）化简：        ．

解题思路：约分与通分，分式运算中分子分母能分解因式的先分解，答案：

例2（2009年枣庄市）15．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P        Q（填“＞”、“＜”或“＝”）．

解题思路：分式的比较大小，可以通分化为同分母，答案：=

例3（09年内蒙古包头）化简，其结果是（    ）

A． B． C． D．

解题思路：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序。先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号。==

=，故选D。

考查目标三分式方程应用

例（09年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？

（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：

项目

家电种类

购买数量（台）

原价购买总额（元）

政府补贴返还比例

补贴返还总金额（元）

每台补贴返还金额（元）

冰箱

40 000[来源:学科网ZXXK]

13%

电视机

15 000

13%

（2）列出方程（组）并解答．

[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网]

解题思路：弄清题意，列分式方程

（1）

40 000

13%

或5200

或或

15 000

13%

15 000×13%或1950

或

（2）解:依题意得-

解得

经检验是原分式方程的解分

答:冰箱、电视机分别购买20台、10台 10分

过关测试

一、选择题

1.函数y=中自变量x的取值范围是(   ).

    A.x≠-1     B.x>-1     C.x≠1     D.x≠0

2.若分式的值为零,则x的值为(   ).

    A.3       B.3或-3     C.-3     D.0

3.若分式的值为零,则x等于(   ).

    A.0      B.1      C.       D.-1

4.化简的结果是(   ).

    A.        B.         C.       D.a+b

5.当分式的值为零时,x的值为(   ).

    A.0      B.3       C.-3      D.±3

6.化简的结果是(   )

    A.      B.-     C.       D. 

7.化简+的结果是(   )

    A.         B.        C.      D. 

8.下面计算正确的是(   )

    A.         B. 

    C.            D. 

9、08年暑假期间，红星中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x人，则所列方程为（    ）

A.  B.  C.    D.

10、当x=_____时，的值与的值相等。

Ａ．－１　　　Ｂ．４　　　Ｃ．５　　　Ｄ．０

11、如果的值为0，那么代数式－x的值为（　　）　

Ａ．－１　　　Ｂ．０　　　Ｃ．１　Ｄ．±１

12、在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m1克，铜丝重m2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为r1cm和r2 cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是（   ）

A．铁丝为 cm  铜丝为cm B、铁丝为 cm     铜丝为cm

C、铁丝为 cm    铜丝为 cm     D、铁丝为  cm    铜丝为  cm

二、填空题

1.若分式的值为零,则x=________.

2.当x=______时,分式的值为1.

3.已知a+=3,则a2+=_______.

4.已知a2-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子()÷(a+b)的值为____.

5.已知,则分式的值为________.

6、关于x的分式方程有增根，则a=_______

三、解答题

1.已知x=+1,求代数式的值.

2.如图1-16-1小明家、王老师家、学校在同一条路上,小明家到王老师家的路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按照到校,王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?

3.若,试求A、B的值.

4、关于x的方程会产生增根，求k的值

5、在“汶川地震”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多3人，甲班共捐款2400元，乙班共捐款1800元，乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的倍．求甲、乙两班各有多少人捐款？

6、 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。

答案

一、1.A  2.C  3.D  4.A  5.B  6.B  7.B  8.A 9.C 10.A 11.B 12.A

二、1.3  2.1  3.7  4.   5.   6. .a=-3

三、1. 

2.设王老师的步行速度为xkm/h,则骑自行车速度为3xkm/h.

    依题意,得.

    解得x=5,

    经检验:x=5是所列方程的解,

    ∴3x=3×5=15.

    答:王老师的步行速度及骑自行车速度分别为5km/h和15km/h.

3.A=3,B=2.

4.k=3   

5.  解法一：设乙班有人捐款，则甲班有人捐款． 

根据题意得：

解这个方程得． 

经检验是所列方程的根． 

（人）

答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．

解法二：设甲班有人捐款，则乙班有人捐款． 

根据题意得：

解这个方程得． 

经检验是所列方程的根． 

（人）

答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．

6.解：设抢修车的速度为千米/时，则吉普车的速度为千米/时

     由题意得，

             . 

    解得，.

  经检验，是原方程的解，并且都符合题意. 

  答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.