小茹有声小说:引用 四年级奥数 - lds11011的日志 - 网易博客

引用 四年级奥数

数学田地 2010-07-29 06:40:28 阅读466 评论0   字号：大中小 订阅

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小点 的 引用 四年级奥数

 植树问题

　　春天到了，春光明媚，正是植树的好季节.校园里、马路边、山坡上、池塘周围，一排排、一行行，新栽的树苗向人们点头微笑.美化环境，造福人类是我们每个人应尽的责任.但你可知道，在植树活动中还有不少有趣的数学问题哩！今天我们就专门来讲一讲植树问题.

问题24.1 在一条长300米的公路两边栽树，每隔4米栽一棵，这样一共要栽多少棵？

分析 分路上的栽树问题要注意头和尾.例如在一条长8米的小路旁，每隔两米栽一棵树，如果栽一行，需要栽多少棵呢？我们不妨画一个图：

 

　　图 24-1 中可以看出8米长的路，按两米一个间隔，有4个间隔，但栽树却要栽5棵，就是：

　　8÷2+1=5（棵）.

　　这是计算在公路上栽树的一般方法.如果栽在公路两旁还要乘以2.

解 在300米公路两旁栽树，每隔4米栽一棵，共需栽树

　　（300÷4+1）×2=（75+1）×2

　　=76×2=152（棵）.

　　答：需要栽树152棵.

问题24.2 一条路上每隔10米有一根电线杆，连两端一共有24根.问这条路有多长？

分析 这与上面一道题类似，只不过是知道电线杆数，要求路长.因为连两端共有24根电线杆，所以一共有23个间隔.

解 这条路长为

　　10×（24-1）=230（米）.

　　答：这条路长230米.

　　类似地，有下面一道题.

问题24.3 一个老人在公路上散步，从第一根电线杆处走到第12根电线杆处共用了22分钟，这个老人走了40分钟，走到第几根电线杆处？

解 从第一根到第12根电线杆之间有11个间隔，共用了22分钟，因此走完一个间隔需要

　　22÷（12-1）=2（分钟）.

　　老人共走了40分钟，走了的间隔数为

　　40÷2=20（个）.

　　所以老人遇到的是第21根电线杆.

　　综合算式为：

　　40÷［22÷（12-1）］+1=40÷（22÷11）+1

　　=40÷2+1=21.

　　答：老人走到第21根电线杆处.

　　下面一道题实际上也类似植树问题.

问题24.4 有12根木料，每根长10米，现在需要把它们锯成长为2米的圆木，如果每锯开一处需要3分钟，问全部锯完需要多少时间？

分析 要求的是时间，我们先考虑锯一根木料所花的时间.一根木料长10米，要锯成长2米的圆木.请你想一下，需要锯几次？4次、5次还是6次？对了，只需要锯4次，每次3分钟，所以锯一根木料所花时间应为3×4=12（分钟）.这样锯12根的时间就容易求得了.

解 全部锯完所需时间为

　　3×［（10÷2）-1］×12=3×4×12

　　=144（分钟）

　　=2小时24分钟.

　　答：总共需要2小时24分钟.

问题24.5 科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指向9.问第一次记录时，时针指向几？

分析 第一次记录到第12次记录，中间有11个间隔，每次间隔是5小时，共用时间为

　　5×11=55（小时）.

　　第12次记录时是9点，现在倒推55小时应为几点呢？请同学们动脑筋想一想.

　　我们这样考虑：由于时针每12小时转一圈，因此48小时前也是指向9点，还要倒推55-48=7（小时），因此时针应指向2点.

解 时针应指向

　　9-［5×（12-1）-4×12］=9-（55-48）

　　=9-7=2.

　　答：第一次记录时，时针指向2.

　　 问题24.6 在一条公园小路旁放一排花，每两盆花之间距离为4米，共放了25盆.现在要改成每6米放一盆，问有几盆花不必搬动？

分析 由于每两盆花间隔为4米，共放了25盆.所以这条路长为：

　　4×（25-1）=4×24=96（米）.

　　现在改成每隔6米放一盆，则要放

　　96÷6+1=16+1=17（盆）.

　　现考虑那些不动的花盆.它们与第一盆的距离应该既是4的倍数，也是6的倍数，也就是12的倍数.小路全长96米，含有96÷12=8个12，再加上第一盆花不动，于是不必搬动的花盆有8+1=9（盆）.

解 不必搬动的花盆有：

　　4×（25-1）÷12+1=4×24÷12+1

　　=8+1=9（盆）.

　　答：不必搬动的花有9盆.

　　如果将25盆花编号，你能说出不必搬动的是哪9盆花吗？

　　按照上面的分析，这9盆花应该是第1、第4、第7、第10、第13、第16、第19、第22、第25盆.

　　上面讲的是沿直线的栽树问题，下面我们来看一下沿圆周栽树的问题.

问题24.7 一个湖泊周围长1800米，现每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树.问湖泊周围一共栽了多少棵柳树，多少棵桃树？

分析 沿圆周栽树与沿直线栽树不同.例如一个圆圈有20米长，每隔4米栽一棵树，

　　由图24-2可知，可栽树

　　20÷4=5（棵）.

　　共有间隔也是5个.

　　这里树数与间隔数相同，这是与沿直线栽树的不同之处，请同学们注意.

　　由此本题中的柳树很容易求得：

　　1800÷6=300（棵）.

　　现在考虑桃树，每两棵柳树之间有一棵桃树，那么桃树是否只有300÷2=150（棵）呢？

　　这个答案对不对？请好好想一想.

　　每一个间隔内（也就是相邻两棵柳树之间）有一棵桃树那么有多少间隔就有多少桃树.刚才说过间隔数等于树数，因为柳树间隔数为300，因此桃树也应该是300，和柳树一样多.

　　我们还可以这样想：每两棵柳树之间有一棵桃树，说明每两棵桃树之间间隔也应当是6米，因此桃树也是300棵.

解 略.

问题24.8 水池周围栽了一些树，小明和小红绕水池散步.一前一后朝同一方向，边走边数树的棵树.小明数的第20棵在小红那儿是第7棵.小明数的第7棵在小红那儿是第94棵.问水池四周栽了多少棵树？

分析 为了便于分析，我们用图24-3的圆表示水池，用一些点表示树.由于小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，所以小红应该在前面，用圈外数字表示小红数的树，用圈内数字表示小明数的树.由图中可看出小红与小明之间相差13棵树.又由于小明数的第7棵在小红那儿是第94棵.

　　由图24-3中可看出第94棵树前面还有6棵，所以水池周围应有100棵树.

解 因为小明数的第20棵在小红那儿是第7棵，因此小红与小明之间相差 20-7=13棵树.

　　又因为小明数的第7棵在小红那儿是第94棵，因此水池周围有

　　94+（13-7）=100（棵）.

　　答：水池周围共有100棵树.

问题24.9 矩形操场四周栽了一些柳树，每两棵柳树相隔5米，操场4个角上各有一棵柳树.小王和老马从一个角上同时出发，向不同的方向走去.小王的速度是老马的2倍.结果当老马在拐了一个弯之后遇到的第5棵树下遇见了小王.已知操场长是宽的2倍，问操场四周栽了多少棵树？操场周长多少米？

分析 我们画一个矩形ABCD（图24-4）.用点表示柳树.假设老马和小王同时从A处出发，而且假定老马沿短的一边走.小王沿长的一边走.

　　从图24-4中可看出，因为操场长是宽的2倍，小王速度刚好是老马的2倍，因此小王走到B处，老马刚好走到D处.接着老马在拐弯后的第5棵树下E处遇见小王，说明BC+CE中共有10个间隔，所以BC+CD共有15个间隔.又因DC是BC的2倍，所以EC间有5个间隔，BC间也有5个间隔，因此操场四周共有30个间隔，也就是有30棵树，操场周长有5×30=150（米）.

　　刚才我们假定老马沿操场的短的一边走，如果沿长的一边走，会有什么结果呢？请同学们自己画一个图，想一想，这种情况能否成立.

练习24

　　1.王涛坐在火车里看外面的电线杆，从第一根到第16根共花了半分钟，如果火车时速为72千米，每两根电线杆相隔多少米？

　　2.一条路原有木电线杆46根，每两根之间相隔12米.现在要全部换成水泥电线杆，如果每两根电线杆之间间隔20米，需要多少根水泥杆？

　　3.一根木头锯成5段要付锯板费1元，6根木头，每根锯成4段，共要付锯板费多少元？

　　4.甲、乙两人在长300米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵柳树，在每相邻两棵柳树之间又栽上两棵梧桐树.已知甲比乙多栽树12棵，问甲、乙各栽树多少棵？

　　5.东方旅店共15层，每层楼梯有20个阶梯.如果某人每上一阶梯需要0.5秒，问他上到顶层需要多少时间？

　　6.池塘周围栽了一圈树，每两棵树相隔5米.甲、乙两人分别从两棵树出发朝同一方向行走.已知甲、乙之间间隔15棵树，甲每分钟走120米，乙每分钟走130米，问甲多少时间追上乙；如果追上乙后两人继续前进，又过了4O分钟后甲再次追上乙，问池塘周围有多少棵树？

　　7.在长1米的木棍上，从左到右每隔5厘米染一个红声，再从左至右每隔6厘米染一个蓝点.沿这些点将木棍锯开，问长度为4厘米的木棍有多少根？

　　8.小军在少年宫里发现一个有趣的图形，九个红球纵横交错地排成10行，而且每行都是3个球，你能画出排列的方式吗？

还原问题

　　同学们，我们先来玩一个游戏.

　　你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上3，再乘以5，然后减去你想的这个数，然后再加上5，再除以2，最后减去10.好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少.你信不信？

　　一定会有小朋友说，这个游戏我也会玩，我反过来算就可以知道你心里想的是什么数.比如你最后的结果是10，我就将10先加10，再乘以2，再减去5，再….

　　哦，再怎么办？不好办了吧.

　　其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最后的结果总是你所想的数的2倍，比如你想的数是7，按设计程序计算，最后结果一定是14.我们把算式写一下：

　　［（7+3）×5-7+5］÷2-10=（50-7+5）÷2-10

　　=48÷2-10=14.

　　因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里想的是什么数.

　　不过刚才那个小朋友说的方法也是解下面一类问题常用的方法.

　　某数经过一系列的四则运算后，结果知道，要求这个数.

　　我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个数.

　　这样一类问题，我们称之为还原问题.

问题23.1 某数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数.

解 我们反过来算：

　　（51+9）÷5-7=60÷5-7=12-7=5.

　　答：这个数是5.

　　请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到51.

问题23.2 有一位老人说：“把我的年龄加上17，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁.”这位老人有多少岁？

　　请同学们自己算一下，看这位老人有多少岁.

问题23.3 在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成9，把十位上的8看成了3，结果得到123，问正确答案应该是多少？

分析 由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.

解 小胖把个位上的5看成9，多加了4，因此要减去4；他把十位上的8看成了3，少加了50，所以应当再加上50.这样正确的答案应该是：

　　123-4+50=169.

　　答：正确答案应为169.

问题23.4 某人去银行取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元.他原有存款多少元？

分析 看起来这个问题很复杂，实际上这还是一个还原应用题，我们照样可以反过来求出原先的存款数.

解 这个人第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，说明余下的一半是

　　125+10=135（元）.

　　因此余下钱数应为 135×2=270（元）.

　　而这270元是这个人第一次取了存款的一半还多5元而剩下的，因此存款的一半应为：

　　270+5=275（元）.

　　所以这个人实际存款为：

　　275×2=550（元）.

　　列综合算式为：

　　［（125+10）×2+5］×2=（270+5）×2

　　=550（元）.

　　答：这个人原有存款550元.

　　我们来验证一下所得的结果是否正确.

　　第一次这个人取了存款的一半还多5元，就是

　　550÷2+5=280（元），

　　还剩下

　　550-280=270（元）.

　　第二次又取了余下的一半还多10元，就是

　　270÷2+10=145（元），

　　还剩下 270-145=125（元）.

　　说明求的结果是正确的.

　　

甲，这时他们各有240元.两人原来各有多少元钱？

　

　

　

　

　　

　　此时甲有

　　240×2-300=180（元）.

　　　　

　　　　

 

　　此时乙有

　　240×2-216=264（元）.

　　答：甲原有216元，乙原有264元.

问题23.6 兄弟三人分24个苹果，每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三，这时每人所得的苹果数恰好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁.

分析 要求三人的年龄，必须先求各人所得的苹果数.为此我们反过来推导.为了便于理解和说明，可以列出一个表，从最后每人所得苹果数相等，倒推出开始每人所得的苹果数.

解 由于总共24个苹果，最后三人所得苹果数相等，因此每人都分得8个苹果.为了便于说明，请看表23－1.

　　

　　由表23－1中可以看出老大、老二、老三原有苹果分别为13、7、4个，因此他们的年龄分别为16岁、10岁、7岁.

　　答：老大、老二、老三的年龄分别是16岁、10岁和7岁.

　　同学们可以验证一下，由表中的最下面一行推上去，看是否能推出三人的苹果都是8个.

　　列表的方法也是我们解应用题常用的方法.特别是当对象和程序较多的情况下，利用表格可以把中间过程清楚地表示出来，从而容易得到正确的结果.

　　下面再看一例.

问题23.7 甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍，然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？

解 我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.

　　由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都为32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：

　　32÷2=16（本）.

　　丁手中的书应为：

　　32+16×3=80（本）.

　　同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为：

　　8本、8本、40本，此时丙手中的书应为：

　　16+8+8+40=72（本）.

　　继续下去，…，就可推出原来四人手中各有的书.

　　为方便起见，我们仍然列表23-2加以说明.

　　

　　由表23-2可知，甲、乙、丙、丁最初各有书66本、34本、18本和10本.

　　答：甲、乙、丙、丁原来各有66本、34本、18本、10本书.

练习23

　　1.一个数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6.求这个数.

　　2.一个数除以5，乘以7，减去20再加上15等于100.求此数.

　　3.一个数加上7，乘以3，减去15，得到最大的3位数.求这个数.4.有一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数减3，个位上的数加3，就得到另外一个两位数，把这个两位数与原来的两位数相加，和是141.求这个两位数.

　　5.小红买书用去所带钱的一半，买练习本又用了2角5分，买铅笔用了剩余钱的一半，这时小红还有2角7分钱.问小红带了多少钱？

　　6.书架上有上、中、下三层，一共分放了192本书.现在先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等.问这个书架上、中、下层原来各有多少本书？

　　7、甲、乙、丙三只猴子各有桃子若干个.甲猴从乙猴手中抢来一半，吃掉一个；乙猴又从丙猴手中抢来一半，吃掉一个；丙猴又从甲猴手中抢来一半，也吃掉一个，最后三只猴子都有9个桃子.问原来它们各有桃子多少个？

同余与尾数

　　两个整数在作除法运算时，被除数和除数之间的关系不全是整除的关系.

　　如果a是整数，b是一个自然数，那么一定有两个整数q和r，使得

　　a=b×q+r（0≤r＜b）.

　　当r=0时，则称a被b整除.

　　当r≠0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，r/b叫做a除以b的尾数.

　　如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同，就称a、b对于模m同余.记作

　　a≡b（mod m）.

　　同余有下面的一些性质：

　　a、b是整数，m是自然数.

　　1.如果 a≡b（mod m），则m｜（a-b）.

　　2. a≡a（mod，m）.

　　3.如果a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.

　　4.如果 a≡b（mod m），b≡c（mod m），则 a≡c（mod m）.

　　5.如果a≡b（mod m）， c≡d（mod m），

　　 则a＋c≡b＋d（mod m）， a—c≡b—d（mod m）.

　　6.如果 a≡b（mod m）， c≡d（mod m），

　　 则 a×c≡b×d（mod m）.

　　7.如果a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）.根据余数相同，可以对整数分类.例如一个整数a被3除时，余数只能有0、1、2这三种可能，因此所有整数可以分为3k、 3k+1、3k+2（ k为整数）这三种类型.

问题22.1 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数.

分析 用被除数减去余数.然后将其差分解质因数.

　　解310-37=273.

　　273=3×7×13.

　　考虑到所求的两位数（除数）要比37（余数）大，而3×13=39，7×13=91，因此所求的两位数为39或91.

问题22.2有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？

分析 因为1001能被7整除，所以111111能被7整除.

解 因为 1001=7×11×13，而

　　111111= 100100+10010+1001，

　　所以，由六个数字1组成的六位数必定是7的倍数.

　　77÷6=12余5.

　　11111÷7=1587余2.

　　所以，这个77位数除以7的余数是2.

问题22.3 一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0.问这个整数是几？

分析 这个整数能整除300、262、205中任何两个数的差.

解 300-262=38=19×2，

　　262-205=57=9×3，

　　300-205=95=19×5.

　　因为所求整数是38、57、95的不为1的公约数，所以这个整数是19.

问题22.4 已知某数被5除的尾数是0.2，求这个数被5除的余数.

分析 尾数与除数之积等于余数.

解 5×0.2=1.所以，这个数被5除的余数为1.

问题22.5 一名养牛专业户，共有牛41头，他准备把这些牛分给3个农民去养，要求第一位农民养总数的1/2，第二位农民养总数的1/3，第三位农民养总数的1/7.由于牛的头数不是偶数，二分之一办不到，允许借一些牛来参加分，但借的牛分后要归还原主.问这三位农民各分几头牛？

分析 利用尾数及其尾数之和解题.

　

　　

　　

　　

　　答：这三位农民各分得21头、14头、6头牛.

问题22.6求77被4除的余数.

分析 利用同余的性质.

　　解77=（72）3×7.

　　∵ 72≡1（mod 4），

　　（72）3≡13（mod 4）.

　　即（72）≡1（mod 4）.

　　又7≡（mod 4），

　　∴ （72）3×7≡1×3（mod 4）.

　　即 77≡3（mod 4）.

　　故77被4除的余数为3.

问题22.7 今天是星期日，再过364365天是星期几？再过365364天又是星期几？

分析 就是求364365、365364分别被7除的余数.

解 ∵364≡0（mod 7），

　　∴ 364365≡0（mod 7）.

　　∵ 365≡1（mod 7），

　　∴ 365364≡1（mod 7）.

　　因此，如果今天是星期日，那么再过364365天是星期日，再过365364天是星期一.

问题22.8 39865×48731=1382476895吗？为什么？

分析 在检验a×b=c是否正确时，可以看一看a×b与c对于模9是否同余，如果是同余，则 a×b有可能与c相等（当然也有可能不等），否则，a×b必不等于c.这种方法称为弃九法.

解 39865≡3＋9＋8＋6＋5≡4（mod 9），

　　48731≡4＋8＋7＋3＋1≡5（mod 9），

　　1382476895≡1＋3＋8＋2＋4＋7＋6＋8＋9+5

　　≡8（mod 9）.

　　

　　∴ 39865×48731≠1382476895.

问题22.9 a、b都是整数，则a＋b，a-b，

　　a×b中至少有一个数是3的倍数.为什么？

分析 将所有整数分为3k，3k＋1， 3k+2（k为整数）进行讨论.

解 如果a、b中有一个是3的倍数，则a×b是3的倍数.

　　如果a、b都不是3的倍数，则有四种可能.（以下字母表示整数）

　　（1）当a=3m＋1，b=3n＋1时，

　　a－b＝3（ m-n），

　　∴ 3|（a-b）.

　　（2）当a=3m＋2，b=3n＋2时，

　　a-b＝3（m-n）,

　　∴ 3|（a-b）.

　　（3）当a=3m+1，b=3n＋2时，

　　a+b＝3（m＋n+1），

　　∴ 3|（a＋b）.

　　（4）当，a=3m+2，b=3n+1时，

　　a+b＝3（m＋n+1），

　　∴ 3|（a+b）.

　　综上所述，不论a、b为何整数，a+b，a-b，a×b中至少有一个数是3的倍数.

练习22

　　1.修改五位数31354的某一个数字， 可以得到654的倍数.问修改后的五位数是多少？

　　2.已知某数被8除的尾数是0.5，求这个数被8除的余数.

　　3.求乘积15×38×412×541除以13所得的余数.

　　4.142857×514876302=7355368387484吗？为什么？

　　5.已知1991年7月1日是星期一，那么2000年10月1日是星期几？

　　6.有5个不同的自然数，它们当中任意3个的和是3的倍数，任意4个的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能地小，这5个数分别是什么？

年龄问题

　　每个人都有年龄，你的年龄、同学的年龄、爸爸妈妈的年龄、老师的年龄等等.你知道吗，年龄里面包含着许许多多有趣的数学问题，有的问题不是那么容易解决，确实还要好好动一番脑筋.现在我们来看一下几个简单的问题：

　　1.小明的爸爸去年比小明大25岁，明年小明的爸爸比小明大几岁？

　　2.今年陈老师的年龄是王芳的2倍，明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗？

　　3.前年红红和姐姐的年龄加起来正好30岁，今年红红和姐姐的年龄之和为多少岁？

　　相信同学们一定能够正确回答这三个问题.这三个问题也是关于年龄问题的三个基本问题，它告诉我们以下规律：

　　(1)两人年龄的差是不变的量；

　　(2)两个年龄的倍数关系是变化的量；

　　(3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量.

　　父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁，问父女现在各为多少岁？

　　分析 请同学们思考一下，三年前父女年龄之和为49岁，那么今年父女年龄之和为多少岁呢？是49＋3＝52岁吗？显然不对.因为这三年父亲年龄增加了3岁，女儿的年龄也增加了3岁，所以父女俩今年年龄之和应该为49＋3×2＝55岁，再由已知条件就容易求出父亲和女儿分别有多少岁.

　　解　因为三年前父女年龄之和为49岁,因此今年父女年龄之和就应为 49＋3×2＝55(岁).

　　又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍，所以女儿的年龄应为55÷(4＋l)＝11(岁).

　　父亲年龄为 11×4＝44(岁).

　　答：父亲年龄为44岁，女儿年龄为11岁.

　　一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子的4倍，问三人各是多少岁？

　　分析 这实际上是一道和倍应用题，妈妈的年龄是儿子的4倍，那爸爸年龄是儿子的几倍呢？爸爸比妈妈大2岁，当然不止是儿子年龄的4倍，但是如果爸爸年龄同妈妈一样，那么爸爸年龄也应当是儿子年龄的4倍.这时爸爸妈妈年龄加起来就是儿子的8倍，连同儿子年龄就是9倍了.但是如果是这样，那么三人年龄加起来就不应该是74岁，而应该是74－2＝72岁.这样就可以求出三个人各是多少岁了.

　　解　假设爸爸同妈妈年龄一样大.那么爸爸年龄也是儿子的4倍，这时全家年龄之和为：

　　74－2＝72(岁).

　　儿子年龄为： 72÷(4＋4＋1)＝8(岁).

　　妈妈年龄为： 8×4＝32(岁).

　　爸爸实际年龄为： 32＋2＝34(岁).

　　答：爸爸年龄为34岁，妈妈年龄为32岁，儿子年龄为8岁.

　　已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍，求祖孙三人各多少岁。

　　分析 在题目条件中，祖父和父亲年龄的差等于父亲和孙子年龄的差，那就是说，祖父比父亲大多少岁，孙子就比父亲小多少岁，现在已知祖孙年龄之和为82岁，那你能求出父亲是多少岁吗？请想一想。

　　今年祖孙两人年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好为孙子的5倍，根据这些条件，你又能求出祖父和孙子各有多少岁吗？请你再想一想，并且算一算，再看下面的解答。

　　解 因祖父与父亲年龄的差等于父亲和孙子年龄的差，我们作一示意图(图13－1).

　　

　　已知祖父和孙子年龄之和为82岁，由图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍，所以父亲年龄为：

　　82÷2=41(岁).

　　又因为明年祖父年龄恰好等于孙子的5倍，而明年祖父和孙子年龄的和为82+2=84(岁)，所以，明年孙子年龄为：

　　84÷(5+1)=14(岁).

　　明年祖父年龄为： 14×5= 70(岁).

　　因此今年祖父69岁，孙子13岁.

　　答：祖父69岁，父亲41岁，孙子13岁.问题13.4 王军父亲的年龄是王军的3倍，12年后王军的年龄是父亲的一半，问现在王军和他父亲各是多少岁？

　　分析 题目条件是王军父亲现在年龄是王军的3倍，那么12年后，王军父亲和王军年龄都增加了12岁，因此王军父亲年龄不再是王军的3倍了.由此可见12年后王军父亲年龄是王军的3倍少12×(3-1)=24岁.又由已知条件12年后王军父亲是王军年龄的2倍，说明24岁就相当于1倍，也就是说王军12年后的年龄为24岁·因此王军今年12岁，父亲今年36岁.

　　一般，甲的年龄是乙的a倍，那么n年后甲的年龄是乙的a倍少n(a-1)岁.

　　解 王军父亲年龄是王军的3倍，12年后应是王军的3倍少12×(3-1)=24(岁)，又由已知王军父亲12年后的年龄是王军的2倍，所以王军12年后的年龄应为：

　　24÷(3-2)=24(岁).

　　王军现在年龄为：24-2=12(岁).

　　王军父亲现在年龄为：12×3=36(岁).

　　答：王军12岁，王军父亲36岁.问题13.5 陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了”.你能算出王老师有多少岁吗？

　　分析 这是一道比较复杂的年龄问题.先要把题意弄懂.题目意思是.陈辉3岁时，王老师年龄等于陈辉现在的年龄；陈辉长到王老师这么大时，王老师已经42岁了.为了便于理解，我们还是采用图示的方法，见图13－2：

　　上面有四条线段，第一条表示3岁，第二条表示陈辉的年龄，第三条表示王老师的年龄，第四条线段表示42岁.

　　当陈辉3岁时，王老师年龄等于现在陈辉的年龄，因此王老师与陈辉年龄的差等于线段AB的长；因为第二、三两条线段分别表示陈辉和王老师现在的年龄，所以王老师与陈辉年龄的差又等于线段CD的长；同样陈辉长到王老师这么大时，王老师已经42岁，所以王老师与陈辉年龄之差又等于线段EF的长.所以有AB=CD=EF.

　　

　　所以王老师与陈辉年龄之差应为：

　　(42-3)÷3=39÷3=13(岁)(线段 AB).

　　陈辉年龄为：13+3=16(岁).

　　王老师年龄为：16+13=29(岁).

　　解 由题意及上面图13－2可知王老师与陈辉年龄的差的3倍为 42-3=39(岁)，所以王老师比陈辉大

　　39÷3=13(岁).

　　因为陈辉3岁时，王老师像陈辉现在这样大，所以陈辉年龄为：3+13=16(岁)，

　　王老师年龄为：16+16=29(岁).

　　答：王老师今年29岁.

　　问题13.6 张老师的年龄比王兵的年龄的3倍少4岁，张老师在7年前的年龄和王兵9年后的年龄相等.问张老师和王兵各是多少岁？

　　分析 这实际上是一道差倍应用题.你能根据题目条件分析出张老师比王兵大多少岁吗？好好动一下脑筋，想一想.

　　解 因为张老师7年前的年龄和王兵9年后的年龄相等，所以张老师的年龄比王兵大 9+7=16(岁).

　　又因为张老师的年龄比王兵的年龄的3倍少4岁，所以16岁相当于王兵年龄的2倍少4岁，所以王兵的年龄为：

　　(16+4)÷2=20÷2=10(岁).

　　张老师年龄为：10×3-4=30-4=26(岁).

　　答：张老师有26岁，王兵10岁.

　　年龄问题多数属和倍问题和差倍问题，只要我们掌握了关于年龄的几点规律，能够借助于圆形来处理一些较复杂的问题，那么年龄应用题就不难解决了.

练习13

　　1.父亲45岁.儿子23岁.问几年前父亲年龄是儿子的2倍？2.李老师的年龄比刘红的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和王刚8年后的年龄相等.问李老师和王刚各多少岁？3.姐妹两人三年后年龄之和为27岁，妹妹现在的年龄恰好等于姐姐年龄的一半，求姐妹二人年龄各为多少.4.小象问大象妈妈：“妈妈，我长到您现在这么大时，你有多少岁了？”妈妈回答说：“我有28岁了”.小象又问：“您像我这么大时，我有几岁呢？”妈妈回答：“你才1岁.”问大象妈妈有多少岁了？

　　5.大熊猫的年龄是小熊猫的3倍，再过4年，大熊猫的年龄与小熊猫年龄的和为28岁.问大、小熊猫各几岁？6.15年前父亲年龄是儿子的7倍，10年后，父亲年龄是儿子的2倍.求父亲、儿子各多少岁.

　　7.王涛的爷爷比奶奶大2岁，爸爸比妈妈大2岁，全家五口人共200岁.已知爷爷年龄是王涛的5倍，爸爸年龄在四年前是王涛的4倍，问王涛全家人各是多少岁？

和倍、差倍问题

　　种花和种瓜 苹果和梨

　　姐姐王小华， 一篮苹果一篮梨，

　　弟弟王小瓜， 两篮相差二十一.

　　姐姐小华栽花， 四篮苹果换篮梨，

　　弟弟小瓜种瓜. 数量才是一样的.

　　小华每栽三棵花， 聪明一休请算算，

　　小瓜就种一棵瓜， 多少苹果多少梨？

　　两人共种八十八.

　　请你算算：

　　小华栽了多少花？

　　小瓜种了多少瓜？

　　

　　同学们，你们可知这两首绕口令似的儿歌，分别包含着什么数学问题吗？如略去其趣味化的情节，就分别改编为“和倍”与“差倍”问题的应用题了.

　　小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？

　　一篮苹果比一篮梨少21个，梨的数量是苹果的4倍.苹果和梨各多少个？

　　类似问题12.1，已知几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求这几个数的问题称为和倍问题.

　　类似问题12.2，已知几个数的差，及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.

　　解答基本的(只含两数间关系)和倍、差倍问题，先确定其中一数(通常定较小数比较方便)作为标准数(1倍数)，再找出两数的和(或差)，及与其相对应的倍数关系，这样就可以求出这个标准数，随之即可求出另一数(较大数).

　　对应关系：

　　较小数？──1倍，

　　较大数？──几倍，

　　(和) (和)

　　两数──倍数

　　(差) (差)

　　数量关系式：

　　

　　较小数×倍数＝较大数，

　　或者

　　

　　问题12.1、问题12.2的分析与题解如下：

　　问题12.1

　　对应关系：种瓜的棵数？——1倍

　　栽花的棵数？——3倍

　　棵数和88棵——(3＋1)倍

　　解 88÷(3＋1)＝22(棵)，

　　22×3＝66(棵).

　　答：小华栽花66棵，小瓜种瓜22棵.

　　问题12.2

　　对应关系：苹果的数量？——1倍

　　梨的数量？——4倍

　　数量差21个——(4—1)倍

　　解 21÷(4－1)＝7(个)，

　　7×4＝28(个).

　　答：一篮苹果7个，一篮梨28个.

　　和倍、差倍问题，及小学数学课本中的几倍求和、几倍求差问题，是可以相互沟通的.同学们可以试举一例，找一找它们之间的区别和联系.

　　开各版本“数学竞赛题集”，和倍、差倍问题类，实在变化多端，令人眼花瞭乱.其实，都是编题者从此类问题基本数量关系出发，综合运用不同的数学知识点，经情节性、扩展性或逆向性变换精心编制的.无论数学题的复杂程度如何，分析数量关系时，我们可以运用“变换”与“对应”的数学思想，善于抓住题中几个数的“和”或“差”，及其对应的倍数关系的直接或间接表述的语句，且借助于线段分析图或对应关系式，便可剥“伪”装，识“基本”，还其庐山真面目，解题也将化难为易了.

　　1.变换表述语

　　甲数是乙数的10倍，两数相差72，求这两数.

　　大数比小数多72，把大数个位上的0去掉，则与小数同样多，大、小数各是多少？

　　一个数的小数点向左移动一位，比原数小72，原数是多少？

　　提示：仔细观察各题“差”与“倍”的表述是怎样变换的？实质一样吗？你可根据“相差数”的概念，数位上的数的意义及小数点移动规律的有关知识，认识该组题的联系与区别.请自己解题.

　　2.隐蔽性表述

　　两数相除，商3余4；被除数、除数、商及余数的和是43.求被除数和除数.

　　提示：根据被除数＋除数＝四数之和－(商＋余数)这一关系式，你知道：被除数与除数的和是多少？两数间的倍数关系是多少？

　　在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角的2倍，顶角和底角各多少度？

　　提示：求顶角和底角的度数，那它们的度数和是多少？根据是什么？

　　3.增加情节

　　

　　

　　45人.男、女队员各多少人？

　　分析 该组题间的联系是什么？仅增加情节，变文字题为应用题.

　　

　　那么女队员人数就是2份，男队员人数就是3份.进而可知，男队员人数比女队员多(3－2)份.

　　

　　解 45÷(3—2)＝45(人)，

　　45×2＝90(人)，

　　45×3＝135(人).

　　答：男队员有135人，女队员有90人.

　　4.变换情节

　　一块长方形的地，长是宽的2倍，周长是108米，它的面积是多少平方米？

　　两个物体的平均重量是27千克，甲物体重量是乙物体重量的2倍，两物体各重多少千克？

　　修一条1.08千米长的隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，20天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的2倍，甲、乙两队每天各开凿多少米？

　　观察与思考：

　　以上三道题的数量关系是否一样？是一样的，仅“和”间接告诉而已.两量之和均为“54”.你知道是怎样分别求得的吗？

　　以上三道题的变化是什么？数量关系一致，只是题目内容运用的数学知识点不同.

　　你能运用你所学的有关数学内容，自编几道和倍、差倍数学题吗？

　　问题11.10、 11.11、 11. 12留给同学们自己去解答.

　　5.扩展情节

问题12.13 甲水池有水100立方米，乙水池有水20立方米.现在以每分钟15立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体积是甲池水的2倍，需抽多少分钟？

　　引导你思考：

　　(l)说出该题综合算式每步的意义：

　　［(100＋200)÷(2＋1)×2－20］÷15

　　

　　(2)根据综合算式的前三步，你知道该题的主要情节是什么？现叙述如下：

　　甲、乙两池水共120立方米.乙水池水的体积是甲池水的2倍，乙池有水多少立方米？

　　(3)现在你明白了该题的情节是怎样扩展的吗？

　　解答复杂的数学问题，关键应抓住基本情节.在此基础上，理清其情节的发展与变化.这样，你就不会在复杂问题面前束手无策了.

　　6.增加数量关系

　　今年爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄比小强多9倍，比爸爸大35岁.小强今年几岁？

分析 该题虽然含三数间的数量关系，但仍可以小强的年龄为1倍数.题中已告诉两数间相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄是小强的(9＋1)倍.那么可知，爷爷的年龄比爸爸多

　　［(9＋1)－5］倍.

　　请你列综合算式解答.

　　三个同学共挖了一条长20米的排水沟.乙同学再多挖1米，将是甲同学挖的长度的2倍，甲同学比丙同学少挖5米，三个同学各挖几米？

　　分析　据题意，乙、丙同学挖渠沟的米数都与甲有直接的数量关系，所以应以甲挖的米数作1倍数.那么，乙挖的米数加上1米就是甲的2倍；同理，丙挖的米数减去5米就与甲同样多.经转化，你能填写如下对应关系吗？

　　甲挖的米数？──( )倍，

　　乙挖的米数？──( )倍，

　　丙挖的米数？──( )倍，

　　三量之和( )──( )倍.

　　现在，你列式并解答该题没问题了吧？请试一试！

　　同学们，学会掌握“变换”与“对应”的数学思维方法，可以提高你们对数学问题的观察、分析能力.如能灵活选择，或综合运用其它的数学思维方法，那么，你一定会在浩渺繁纷的数学题海中，尽情地遨游.

练 习12

　　1.10元一张与5元一张的钱共175元，10元的张数是5元张数的3倍.求两种票面额的钱各有多少元？

　　2.有两根绳子，长的比短的长1倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那长的一根就比短的一根长两倍.问这两根绳子原来的长各是多少？

　　3.机床厂原有专用机床108台，普通机床60台，如果把专用机床数调整到普通机床的5倍，应将多少台普通机床改为专用机床？

　　4.甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人？

　　5.水果商店有5筐等重量的苹果，如果从每筐里取出30千克，5筐里剩下的苹果重量正好等于原来两筐苹果的重量.原来每个筐里苹果重多少千克？

　　6.甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数是丙数的3倍少2，求三数.

和差问题

 

问题11.1 ○＋△＝84，○－△＝48，○＝？△＝？

问题11.2 两质数之和是28、之差是6，这两质数各是多少？

问题11.3 某日，白天比黑夜长6小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？

　　请你分析一下，这三个题目中数量关系的共同特征是什么？(已知两个数的和与差，求这两个数.)

　　类似上述三道题的数学问题，称“和差问题”.

　　和差问题的基本数量关系式如下：

　　(和＋差)÷2＝大数

　　(和－差)÷2＝小数

　　你能独立解答问题11.1、11.2、11.3吗？

　　分析与解答和差问题的思路很多，现列举且分述如下：

　　题眼法.题眼，就是析题解题的关键处或突破口.分析题意时，抓题眼“两数和”及“两数差”.如果“和”或“差”未直接告诉，则应先予以确定并分清哪个是大数，哪个是小数，然后利用数量关系式便可求解.

问题11.4 分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为1，甲数比乙数

　　分析　该题求甲、乙两分数各是多少.据条件知，所求两分数之和为1、之差为1/3，乙数是小数，甲数是大数.运用数量关系式求解.

　　将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成(无重叠部分)一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？

分析与提示 该题求大、小梯形两纸板面积分别是多少.如果知其面积“差”与面积“和”，便可运用和差问题的数量关系式直接求解.据条件，面积和间接知道(即求长方形面积)，而面积差不易求，此思路暂时不通.

　　据条件又知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的“和”，即为长方形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽，由此，根据梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2的公式，可分别求出大、小两梯形纸板的面积.

　　至此，你能列式求解吗？

　　小李和小王共储蓄2000元，如果小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？

　　请思考：两人储蓄钱的和是2000元，储蓄钱的差是200元吗？

　　请自己列式解答问题11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各题.

　　有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？

　　分析 该题求两种面值的人民币各有多少张.已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？

　　再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？

　　我们可用“假设法”思考.假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17＝85(元)，比实际的49元多出85－49＝36(元).多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为：

　　

　　

　　根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数.

　　17－9＝8(张)

　　验算：1×9＋5×8＝49(元).

　　答：1元人民币9张，5元人民币8张.

　　也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法.

　　解法 2(49－1×17)÷(5－1)

　　你能说出解法1与解法2的综合算式每一步的意义是什么吗？

　　自己求出解法2的结果，且与解法1相对照，答案一样吗？

　　请你观察、比较、分析且归纳问题11.6与问题11.7的数量关系及其解答方法有什么异同？

　　问题11.6与问题11.7都属和差问题.

　　但问题11.6中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题11.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数)，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意)，将和差问题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.

　　100名师生参加植树，老师每人栽3棵，学生每2人栽1棵，总共植树100棵.问老师和学生各有多少人？

　　请你按问题11.7的解析法，解答本题.

　　提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植1÷2＝0.5棵)，

　　或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.

　　对较复杂的和差问题还可以用图解法，即把数学题的条件和问题用示意图表示出来，使其数量关系具体化、形象化，以帮助我们理解题意，找到合理的解题途径.

　　两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？

　　分析 这题的数量关系比较复杂，可先画线段图(图11－1)，使其数量关系明朗化.

　　

　　从图11－1可以看出，甲、乙两缸原有金鱼尾数相差5＋3＋2＝10(尾).用数量关系式表达为：

　　

　　现在知甲、乙两缸原有金鱼尾数之差，原题又告诉原两缸金鱼尾数之和，此时有如下求解方法：

　　

　　46—28＝18(尾).

　　答：甲缸原有金鱼18尾，乙缸原有28尾.

　　从图11－1也可以看出，甲缸放入5尾，乙缸取出2尾后，原两缸金鱼总尾数同时发生了变化，即为

　　46＋5—2＝49(尾).

　　原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数.此时又有另一种求解方法：

　　解法2

　　(1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数：

　　［(46＋5－2)－3］÷2＝23(尾).

　　(2)甲缸原有金鱼的尾数： 23－5＝18(尾).

　　(3)乙缸原有金鱼的尾数：23＋3＋2＝28(尾).

　　答：略.

　　请你再观察图11－1，自己寻找新的解法.

　　用144分米长的铁丝围成一个长方体框架(如图：11－2).一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，经顶点B、C，到达D.已知蚂蚁每分钟爬行6分米，经BC比AB多用1分钟，经CD比BC少用2分钟.这个长方体框架的长、宽、高各是多少分米？

　　

　　分析 已知蚂蚁每分钟爬行6分米.经BC比AB多用1分钟，可知BC比AB长6分米(6×1＝6)；经CD比BC少用2分钟，可知CD比BC短12分米(6×2＝12).

　　又知长方体框架棱长和为144分米，AB、BC、CD分别为长方体的长、宽、高.可知AB、BC、CD长度和为144÷4＝36(分米).

　　现以线段图表示AB、BC、CD长度间数量的关系.如图11－3.

　　由图11－3知AB、CD的长度均与 BC有直接联系.如以BC的长为标准，则：3条线段总长＋6＋12(分米)相当于BC的3倍.由此可求BC的长，AB、CD的长也将迎刃而解了.

　　

　　至此，你能列式求解了吗？

　　同学们，解析和差问题的思路还很多.解题时，应根据题意灵活选用较简捷的解析方法.

　　

练 习11

　　1.长方形操场的长与宽相差40米，某同学沿操场边跑了3圈，共1200米.这个操场的长和宽各是多少米？

　　2.某粮食仓库存大米和面粉共2000袋，现从仓库往粮店运粮，每天运时大米比面粉多30袋，10天以后，仓库所剩的大米和面粉的袋数相等.仓库原有大米和面粉各多少袋？

　　3.玲玲在邮电局买面值为40分和80分的纪念邮票共9张，付钱6元，她买的两种面值的邮票各是多少张？

　　4.实验小学五年级 4个班共200名学生，一班比二班多2人，二班比三班少4人，四班与一班人数同样多，四个班各有多少名学生？

　　5.两车站相距110千米，甲、乙两轿车分别从两站同时相向而行，经1小时可以相遇；如果同向而行，甲车经11小时可以追上乙车.两车每小时各行多少千米？

直线形的割补

　　在第五节，我们介绍了一些拼拼画画的知识.今天我们将专门介绍直线形的割、补技巧.

　　由于多边形是直线形的主体，许多数学家对多边形的割、补作了深入的研究.关于这一问题最辉煌的成果是当代伟大的数学家希尔伯特证明的如下奇妙定理：

　　定理 两个面积相等的多边形，可以将任意一个切开成有限的块数，然后拼成另一个.

　　这一定理告诉我们：任意一个多边形一定能拼成一个正多边形，但是定理并没有告诉如何去拼.寻找割、拼的方法就成为几何学中一个非常有趣的课题，引起了许多学者的兴趣.

　　有人认为.没告诉方法的定理价值一定不大，这是不公正的.在数学中，有两类非常重要的问题，它们是存在性问题和构造性问题.一般说来，一个事物或状态，若能指出它存在，问题就解决了一大半.至于能否构造出来只是个时间问题.例如，历史上著名的“三等分角的问题”(即只准用圆规和直尺把一个已知角三等分).开始许多人绞尽脑汁一想正面解决它，但都失败了.后来.有位聪明人证明了“用尺规三等分角是不可能的”(即状态不存在).人们才恍然大悟.原来，以往千百万人所作的全部努力都徒劳无功.以后再也不会有人在此问题上白费气力了.有了前面的定理作保证.我们把任意多边形拼成一个正多边形一定有希望成功，不会产生像三等分角那样的情况.这里足见解决存在性问题的重要性.

　　另外.把任意多边形先进行切割，然后再拼(构造)出正多边形的过程可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，从而提高数学思维能力和创造力.

　　这类问题不仅趣味性强，而且有相当的实用价值.例如工厂里下料(锯木板、割钢板等)，工艺美术的图案设计，土地划分乃至生活中切豆腐等都要用到割补知识.

问题10.1 某商业城有一皮货店，生意萧条.一天，店老板想出了一条妙计，他在店门前挂起两块光面朝外的皮(如图10-1)，并写着：“若哪位顾客能用三角毛皮补好另一块皮毛的洞，则可任选一件皮货，只收半价”.

　　

　　同学们：你能动动你聪明的大脑，使自己用较少的钱买件漂亮的皮大衣吗？

　　分析 图中三角形皮块与洞形状、大小都一样，但方向相反，若直接补上去则毛面朝外，显然不行.那么，要补好洞必须把三角形皮先割破，再重新拼接.

　　解 如图10-2，分别过三角形皮块和洞的顶端A和A’作底边的垂线AD、A＇D＇；分别连接D、D＇与另外两边的中点.即把原来的两个三角形各分成了两个三角形和一个四边形.然后把△1、△2平行移动到△1′、△2＇的位置.最后把四边形3旋转1800后，平行移动到四边形3＇的位置即补合.

　　

问题10.2 前进生产大队有一正方形的池塘，四角上有4棵大树(图10-3).在改革大潮中，他们要扩大池塘养鱼、植藕，计划将原塘扩大1倍，并要求扩建后的池塘仍呈正方形且不动树也不准将树淹在水中.这该怎么办？

　　

　　分析 初看来这个问题确实有些难.可是只要你开动脑筋，这个问题又是可以解决的.按如图10-4中的a＇b＇c＇d＇开拓池塘就能使池塘面积扩大1倍后仍保持正方形的形状，且大树也不必搬动.

　　可是你能证明扩大的正方形面积是原正方形的两倍吗？

　　

问题10.3 图10-5(1)所示的卡片上有两个长方形孔.只准切一刀就能拼成图10-5(2)的形状，你能办到吗？

　　

　　解 按图10-6(1)中虚线切开，然后把剪下的三角形在空中翻转1800(即翻一个面)，再接上去即得.见图10-6(2).

　　

　　如果你掌握了以上切拼的技巧(切成45°)，你就可以想出一些类似的拼图去变“小魔术”给小朋友看.

问题10.4 蓬莱小学的花园别具一格，它是一块如图10-7所示的梯形.花园中有四棵月桂树.云仙老师要把此花园分成四块给班上的四个组管理.

　　

　　她还要求四块的形状和大小都相同并要求每块保留一棵月桂树.

　　你说怎么分才好？

　　本题是希腊哲学家苏格拉底出的题.他并作了这样的提示：

　　“要把梯形分割。应设法找到梯形的相似形.要做到这一步，就需要深入地思考.这当然是一个涉及‘内在联系’的问题”.

　　请同学们根据苏格拉底的提示按要求把梯形分成四块.

问题10.5 有一块长24米、宽15米的长方形地毯.现要把它移到长20米、宽18米的新房里去.请找一种剪裁方法.使剪后的各块拼合后正好能铺满新房间的地面.为了使剪后的地毯尽量完整，一个十分自然的要求即是还要使裁剪的块数尽可能地少.

分析 地毯的面积为24×15=360(平方米).新房间面积为18×20=360(平方米).两者面积相等，但长、宽不等.因为24比20多4.18比15多3.这里我们自然想到要根据这多出的3和4在原地毯上画出30个3×4(平方米)的小长方形组成的长方形网，如图10-8(1)中虚线，再把最前(或最后)一列的五个小长方形割下来.补到上(或下)一排上去，即补成了图10-8(2)的形状.它正好铺满新房间的地面.

　　

　　但这样分割得割成6块才可拼成(为什么？).能否剪更少的块数而拼成18×20的长方形呢？如图10-8可见，图(1)比图(2)无非是宽了一小格(的长)和矮了一小格(的宽)，故自然产生了把长减短4米，并使高增加3米的想法.这并非难事.事实上把地毯按图10-8(1)中的实折线剪开成两块，然后把左边的一块先往上方平行移动3米，再往右边平行移动4米，即得图10-8(2).

　　由于一块不可能铺满新房间，故两块是块数最少的剪法.

问题10.6 小红的爸爸在街上卖边角布料的布摊上买回了一块三角形的绸布，小红的妈妈想用它来做窗帘(长方形).但为了不把布剪得太碎，她要求最多裁3块.妈妈不会画线，就把这任务交给了小红，请问小红应怎么画线才能达到要求？

　　分析 题中没说三角形的形状和大小，故我们应该用任意的△ABC来解决这一问题.

　　动手试验一番，并开动脑筋想一想就会发现：把三角形割、拼成长方形所采用的方法及割成最少块数的数目与三角形的形状有关.

　　下面仅解决△ABC为锐角三角形的情形.

　　可以用倒推法卿从结果入手分析，也叫分析法)来思考：假若按某种剪法分成的3块正好拼成了一个长方形，现在反过来寻求△ABC的一种切割方法.

　　

　　另外，要使剪的块数少，必须剪的刀数少.那么就要尽量让长方形的边多与三角形的边叠合.但三角形是锐角三角形，故最多只能有一边与长方形重合.如图10-9(1)，不妨设拼好的长方形以BC为一边长，则我们要设法把△AB＇C＇再分成两块补到△1和△2的位置上.由于△1、△2都是直角三角形，故△AB＇C′应分成两个直角三角形，这只要过它的一个顶点作对边的垂线即可.取A点作B′C＇的垂线AD.

　　此外，我们还要使分得的两个直角三角形AB＇D与ADC′分别与△1和△2全等才行.显然只要取B、C′厂分别为AB、AC的中点即满足要求.

　　解 对于锐角△ABC，如图10-9(2)，连接AB、AC的中点B＇、C＇，过A作B＇C＇的垂线AD.把△AB＇C＇分成直角△3和直角△4，然后将△3和△4分别绕B＇、C＇点向逆、顺时针方向旋转180°即得合乎要求的长方形.

　　显然，B＇C＇是△ABC中与BC平行的中位线.对于锐角三角形，还可取与AB或AC平行的中位线去解决，故按这种思路共有三种解法.

问题10.7 在问题10.6中：(1)若△ABC为直角三角形，按上述思路求解有几种解法？最少割成几块？(2)若△ABC为钝角三角形呢？(3)问题10.6除以上思路外还有没有新的思路和解法？

　　在直线形的割补中，把一个图形割开拼成正方形是非常重要的问题.这一问题不但内容最为丰富，而且有许多精彩的应用.

问题10.8 图10-10是一个空心的正方形，你能用剪刀将它分成四块，然后拼出一个实心的正方形吗？

　　

　　分析 初看起来这个题难以入手，但仔细一想，实心正方形一定有4个直角，我们要从空心正方形中割出它们.另外，切割时，显然应该沿着图10-10内小正方形的边沿切割.再试验几次，即可切成图10-11(1)的形状，然后再拼成图10-11(2)的形状即可.

　　注意：以上求解中用到“试验”一词.其实试验也是数学中一种非常有用的方法.

问题10.9 图10-12是边长分别为1、4、8的三个正方形方格网叠在一起组成的阶梯式图形.若只准按网线切割.问最少切成几块拼在一起后正好是一个正方形？

　　分析 因为12+42+8=81=92，所以无论分多少块，拼成后的正方形边长总是9.

　　

　　先退一步，暂不考虑最少分几块.只考虑能拼成正方形.因为边长为9的正方形可视为边长为8的正方形的下边和右边各镶一条(共17个)小正方形而得到.这样，一个最自然的想法是不动边长为8的正方形而把上面的17个小正方形分割成如图10-12中粗线所示的五块，再拼成图10-13的正方形，边长即为9.

　　

　　现在的问题是能否使块数更少？

　　由上述镶边拼法知道.所镶的两条边都是由两段接成的.能否不接而变成通长条呢？我们知道所镶的两条边可视为一个1×9长方形和一个1×8长方形.为了不接，可先在最高的那一列割下一个1×9长方形，再挨着割下一个1×8长方形分别镶到原边长为8的正方形下边和右边，发现中间缺了一个2×4的长方形块，而上面正好多了一个2×4长方形块，再割下来一个嵌入其内即得1个9×9的正方形.这样只分成了4块，减少了一块.但这是不是块数最少的分法呢？这要看所切的四块是否能“合并”.通过考察不难发现，那个互1×8长方形和2×4长方形是可以并在一起的，这样就只有3块了.

　　按图10-14(1)的粗线分割并拼成图10-14(2)即得.

　　

问题10.10 图10-15(1)中两个正方形的边长分别为a和b(b＞a).请将边长为b的正方形切成四块一样的图形，再与另一个正方形拼在一起组成一个大正方形.

　　

　　分析 拼成的大正方形的面积为a2+b2，设大正方形的边长为c，则c适合等式c2=a2+b2.又因为要把边长为b的正方形切分为四个全等图形，那么划线一定要经过此正方形的 中心.我们仍用“倒推法”思考.如因10－15(2)，假定过O的割线段EF就是拼成大正方形的边长，那么EF2＝a2＋b2，过F作FG垂直于AB，就有FG＝b.△EGF为直角三角形，

　　．这样就可确定EF.由于拼成的大正方形四个角应为直角，故将EF绕O旋转90°就可得到另一条割线.

　　解 如图 10－16(1)，我们在 AB上取一点 E，使AE＝1/2(b— a).过E和中心O画一条直线交CD于F，再过O作MN垂直于EF分别交AD、BC于M、N，则以EF、MN为两条割线可把边长为b的正方形分成全等的四块.按图10—16(2)进行拼合即得所求的大正方形.

　　

　　注意：若本题不要求分成全等的四块，你又怎样分析出割线来？此时，你能否想出更多的割拼方法？

　　在一个直角三角形中，人们喜欢把两个直角边分别叫勾和股，而把斜边称作弦.勾、股和弦之间有一个很重要的联系，就是：勾的平方加股的平方等于弦的平方.这就是著名的勾股定理.我国很早就发现了这一定理，在《周髀算经》这本古老的数学书中就有“勾三、股四、弦五”的记载.意思是说：在一个直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，那么斜边长一定是5，显然32＋42＝52.

　　由图10－17易见，若以勾、股、弦分别作三个正方形，那么两个小正方形的面积之和正好等于大正方形的面积.

　　

　　证明

　　勾股定理，即证明直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

　　分析　图10－17已经给了证明思路.事实上，可以先以a、b和c为边作三个正方形，然后只要用“问题10.10”所提供的方法(即割补法)把以a、b为边长的两个正方形切拼成一个大正方形，而这个大正方形的边长正好为c就证明了勾股定理.无疑地，这是割补法的一个非常精彩的应用.

练习10

　　1.图10－18中是一个底角为60°且上底与腰相等的等腰梯形.请你把它分割成全等的4个部分.

　　

　　2.有一个由36个小方格组成的正方形棋盘，如图10－19，里面放着黑、白子各4颗.现要把它分割成形状和大小都相同的四块，并使每块里都有一颗白子和一颗黑子.问应怎样分割？

　　3.老赵有一块长方形的木板.长2米5分米，宽1米6分米.如图10－20.他请木工王师傅给他做一个正方形的桌面.问王师傅怎么锯才能保证锯的块数最少？

　　4.把图10－21分成两块.然后拼成一个正方形，怎么分？怎么拼？

　　

　　5.图10－22是一块 90厘米×120厘米的长方形木板，正中间有一个10厘米×80厘米的长方形孔，想将它锯开后拼成一个正方形桌面.如何分块数最少？桌面面积为多少？

　　6.图10－23是一张十字形的塑料片，请剪两剪刀.然后再(1)拼成一个长方形；(2)拼成两个并列的正方形.

　　7.如何证明图10－24中正方形Ⅰ、Ⅱ的面积之和等于正方形Ⅲ的面积？

有 趣 的 数 阵

　　数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵可分为辐射型和封闭型两种.填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数.

问题9.1 把1～9九个数分别填入图9-1中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等.

　　

　　分析 从图9-1中可以看出，中间圆圈所填的数是四条直线上公用的，它是一个用了4次的数.因此，我们在思考时，应先把中间圆圈内的数填出来.怎样确定这个数呢？

　　设中间圆圈内的数为x，在计算四条直线上数的总和时，它多加了3次，又因为四条直线上的数的总和是4的倍数，所以

　　1+2+3+…+7+8+9+3x=45+3x

　　应能被4整除，这样x只能是1、5、9.

　　当中间圆圈填1时，每条直线上三个数的和是12；当中间圆圈填5时，每条直线上三个数的和是15；当中间圆圈填9时，每条直线上三个数的和是18.这样就可以正确地填出结果了.

　　解 适合题目要求的填法共有以下三种：

　　

问题9.2 图9-2是一个六角星，把1～12这12个数填在六角星的○内(每个数字只许用一次).现在已经填入了六个数，其它六个○内填什么数才能使每条边上四个数的和都相等？

　　

　　分析 图9-2中共有12个圆圈，每个圆圈都恰好有两条直线通过.因此，在计算六条直线上数的总和时，每个圆圈内的数都计算了两次.而(1+2+3+…+11+12)×2=156，所以每条直线上四个数的和应是156÷6=26.先填出图中A、B、C三个圆圈中的数，其余的三个圆圈内的数就不难填出了.

　　解 见图9-3.

问题9.3 在图9-4(1)中，同一个圆圈内四个数的和都是15.请在图(2)中的空白部分填上适当的数(2、3、5、7)，使每个圆圈内四个数的和仍然等于15.

　　

　　分析 根据圆圈已有的数字4、6和1.可以肯定中间空白部分填的数必然大于1而小于5.符合这个条件的只有2和3.如果中间数是2.那么4+1+2+7＜15，不符合题意.所以中间数应是3，这样就可以很快填出其它数了.

　　解 填法如图9-5.

问题9.4 把1～8这八个数分别填入图9-6中的八个○内，使每个圆圈上五个数的和都等于21.

　　分析 设两个圆交叉点上的两个○内各填的数是a、b，那么，在计算两个大圆周上10个数的和时，a和b都多加了一次，根据题目的要求，1+2+3+…+7+8+a+b=36+(a+b)除以2应是21，所以a+b=6.但在1～8这8个数中，只有1+5=6、2+4=6两种情况.如果中间两个○内分别填1和5，另外同一圆周上三个○内的数的和应是21-(1+5)=15.在2、3、4、6、7、8这六个数中三个数之和是15的只有2+6+7=15、3+4+8=15两种.如果中间两个○填2和4，其它的数可分为两组1、6、8和3、5、7.因此，可得出如上所述的四种填法.

　　

　　解 略.

问题9.5 用1～9这九个数字填入图9-7的○内.使三角形的每条边上四个数的和部等于17，或19、20、21、23.除上述数外，还可能等于其它数吗？

　　

　　分析 如果三角形每条边上四个数的和是17.那么三条边上的数字的和就是17×3=5l，但1+2+3+…+9=45、51-45=6，这是因为三个顶点上的数字都计算了两次，所以可以肯定.三个顶点的数的和是6.而和为6的三个数只能是1、2、3.各边上另两个数的填法就不难推算了.

　　至于和为19、20、21、23的填法与上述和为17的分析方法相类似，请同学自己完成.

　　另：除17、19、20、21、23以外，要使三角形每条边上四个数的和都相等，不能有其它数.

　　解 略

问题9.6 请你在图9-8的4×4方格中填上适当的数字，使图中每条直线上的四个数字之和都相等.

　　

　　分析 要使图中每条直线上的四个数字之和都相等，那么每一行、每一列及两对角线上的四个数字只能是1、9、8、3，并且每一个数字在同一直线上只能出现一次.根据这一特点，可以采取尝试推导法，逐步填出图中各空格上的数.

　　如图9-8(2)，A格中只能填8或3，若A格填8，则B格只能填3或9，尝试B格只能填3，这样C格必须填9，D格只能填1，E、F两格应分别填8、1.至此，剩下的空格便可顺利填出了.

　　

　　如果A格中填3，仿上采用尝试推导法，也可得到另一填法(略).

　　解 符合条件的一种填法如图9-9.

练 习 9

　　1.把1～6六个数字分别填入图9-10中的六个○内，使每条边上三个○内数字和相等.

　　

　　2.将1～8八个数分别填入图9-11中的八个空格中，使图中四边正好组成加、减、乘、除四种运算.

　　3.把2～10这九个数分别填入图9-12中的圆圈内，使每条线段上三个数的和都是15.

　　

　　4.把1～12这十二个数分别填入图9-13中，使每一行、每一列四个数的和都是26，四个正方形、四个△和四个○内的数字之和也都等于26.

　　

　　5.将1～8这八个数填入图9-14中的八个顶点处的○内，使每个面上的四个○内的数字之和都等于18.

　　6.试将1～9这九个数字分别填入图9-5中的九个小三角形内.使每条边上的五个小三角形内所填的数之和都相等，问这个和的最小值是多少？最大值是多少？