数学模型

　　数学模型（Mathematical Model）
　　是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

一、建立数学模型的要求：

　　1、真实完整。
　　1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；
　　2）必须具有代表性；
　　3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；
　　4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
　　2、简明实用。在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
　　3、适应变化。随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
　　根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。
　　数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
　　用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。
　　静态和动态模型 静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。
　　分布参数和集中参数模型 分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。
　　连续时间和离散时间模型 模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。
　　随机性和确定性模型 随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。
　　参数与非参数模型 用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
　　线性和非线性模型 线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。

二、数学模型的定义

　　现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
　　二．建立数学模型的方法和步骤
　　第一、 模型准备
　　首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 第二、 模型假设
　　根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
　　第三、 模型构成
　　根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
　　第四、模型求解
　　可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
　　第五、模型分析
　　对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不"。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
　　第六数学模型分类:
　　按模型的应用领域分类：
　　生物数学模型
　　医学数学模型
　　地质数学模型
　　数量经济学模型
　　数学社会学模型
　　数学物理学模型
　　按是否考虑随机因素分类：
　　确定性模型
　　随机性模型
　　按是否考虑模型的变化分类：
　　静态模型
　　动态模型
　　按应用离散方法或连续方法分类：
　　离散模型
　　连续模型
　　按建立模型的数学方法分类：
　　几何模型
　　微分方程模型
　　图论模型
　　规划论模型
　　马氏链模型
　　按人们对是物发展过程的了解程度分类：
　　白箱模型：
　　指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
　　灰箱模型：
　　指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。
　　黑箱模型：
　　指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。===================================

数学建模

什么是数学建模

　　数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
　　我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。
　　数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
　　数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
　　应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生 积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版软件等。

数学建模的几个过程

　　模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
　　模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
　　模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
　　模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
　　模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
　　模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
　　模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

全国大学生数学建模竞赛章程

　　（一九九七年十二月修订）
　　第一条 总则
　　全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是国家教委高教司和中国工业与
　　应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励
　　学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际
　　问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养
　　创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
　　第二条 竞赛内容
　　竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，
　　不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题
　　目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一
　　篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析
　　和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建
　　模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。
　　第三条 竞赛形式、规则和纪律
　　1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。
　　2．竞赛一般在每年9月末的三天内举行。
　　3．大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。研究生不得参加。每队可设一名指
　　导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参
　　赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理。
　　4．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，
　　但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
　　5．
　　工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛队员，参赛队在规定时间内完成答卷，
　　并准时交卷。
　　6 ．参赛院校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛
　　的规范性和公正性。
　　第四条 组织形式
　　1．竞赛由全国竞赛组织委员会主持，负责每年发动报名、拟定赛题、组织全国优秀
　　答卷的复审和评奖、印制获奖证书、举办全国颁奖仪式等。全国竞赛组委会每届
　　任期四年，其组成人员由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会负责确定。
　　2．竞赛分赛区组织进行。原则上一个省（自治区、直辖市）为一个赛区，每个赛区
　　应至少有6所院校的20个队参加（每所院校至多10个队）。邻近的省可以合并成立
　　一个赛区。每个赛区建立组织委员会，负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪
　　律和组织评阅答卷等工作。组委会成员由各省（自治区、直辖市）教委、工业与应
　　用数学学会的同志及有关人士组成（没有成立地方学会的，由各地教委与全国竞赛
　　组委会指定的院校协商确定），报全国竞赛组委会备案，并保持相对稳定。未成立
　　赛区的各省院校的参赛队可直接向全国竞赛组委会报名参赛。
　　3．设立组织工作优秀奖，表彰在竞赛组织工作中成绩优异或进步突出的赛区组委会，
　　以参赛（相对）校数和（绝对）队数、征题的数量和质量、无违纪现象、以及与
　　全国组委会的配合等为主要标准。
　　第五条 评奖办法
　　1．各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会，评选本赛区的一等、二等奖（也可增设三等奖），
　　获奖比例一般不超过三分之一，其余凡完成合格答卷者获得成功参赛奖。
　　2．各赛区组委会按规定的比例将本赛区的优秀答卷送全国竞赛组委会。全国竞赛组委
　　会聘请专家组成全国评委会，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一等、
　　二等奖，获奖比例为全国参赛队数的百分之十左右。
　　3．全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。竞赛成绩记入学生档案，对成绩优秀的参
　　赛学生，各院校在评优秀生、奖学金及报考（或免试直升）研究生时应予以适当考虑。
　　对指导教师的辛勤努力应予以表彰。
　　4．参赛队的指导教师一律不得参加本赛区及全国的评阅和决定获奖名次的工作。
　　5．对违反竞赛规则的参赛队，一经发现，取消参赛资格，成绩无效。对所在院校要予以
　　警告、通报，直至取消该校下一年度参赛资格。对违反评阅答卷和评奖工作规定的赛区，
　　全国竞赛组委会不承认其评奖结果。
　　6．设立异议期制度，具体内容见《全国大学生数学建模竞赛异议期制度的若干规定》。
　　第六条 经费
　　1．参赛队向各赛区组委会交纳报名费。
　　2．赛区组委会向全国组委会交纳一定数额的经费。
　　3．各级教育管理部门的资助。
　　4．社会各界的资助。