2010年中考数学压轴题100题精选（71-80题）答案

【071】解：（1）由题意得 ，解得

∴此抛物线的解析式为       3分

（2）连结 、 .因为 的长度一定，所以 周长最小，就是使 最小. 点关于对称轴的对称点是 点， 与对称轴 的交点即为所求的点 .

（第24题图）

O

A

C

x

y

B

E

P

D

设直线 的表达式为

则   解得

∴此直线的表达式为 ……5分

把 代入得 ∴ 点的坐标为 ································ 6分

（3） 存在最大值······································································· 7分

理由：∵ 即

∴ ∴ 即

∴

方法一：

连结

=

= ·········································································· 8分

∵ ，∴当 时， ·································· 9分

方法二：

  =

= ··················································· 8分

∵ ，∴当 时， ·············································· 9分

【072】解：（1）① ， ， ，S_梯形OABC=12

②当 时，直角梯形OABC被直线 扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积      

（2） 存在 ，  

对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：

①       以点D为直角顶点 ，作 轴

设 . （图示阴影） ，在上面二图中分别可得到 点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）E点在0点与A点之间不可能；

② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得 点的生标为P（－ ，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.

③     以点P为直角顶点

同理在③二图中分别可得 点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），

E点在A点下方不可能.

综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

下面提供参考解法二：

以直角进行分类进行讨论（分三类）：

第一类如上解法⑴中所示图

，直线 的中垂线方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解得   ；

第二类如上解法②中所示图

，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解之得 ，

第三类如上解法③中所示图

，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 解得

（ 与 重合舍去）．

综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

事实上，我们可以得到更一般的结论：

如果得出 设 ，则P点的情形如下

直角分类情形

【073】(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．

∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴ ，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分

(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．

又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，

∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．

(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：

O

又易证四边形MONP是矩形，

∴OP＝  

【074】（1）解：由题意得 ，

点坐标为 ． 在 中， ，

点的坐标为 ．

设直线 的解析式为 ，由 过 两点，得

解得 直线 的解析式为： ．

（2）如图，设 平移 秒后到 处与 第一次外切于点 ，

与 轴相切于 点，连接 ．则

轴， ，

在 中， ．····························· 6分

， ，

（秒） 平移的时间为5秒．················································· 8分

【075】解：（1）对称轴是直线： ，

点A的坐标是（3，0）．················································ 2分

（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）

（2）如图11，连接AC、AD，过D作 于点M，

解法一：利用

∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1， ）、C（0， ），

∴AO＝3，MD=1．由 得 ∴  ···································· 3分

又∵ ∴由  得  

∴函数解析式为：    ···························································· 6分

解法二：利用以AD为直径的圆经过点C

∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1， ）、C（0， ），

∴ ， ， ∵

∴ …①   又∵ …②  ·································· 4分

由①、②得      ∴函数解析式为：  ························· 6分

（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则 ∥ ，并且 ＝ ．

   ∵ =4，∴ =4  ，由于对称为 ，∴点F的横坐标为5．····················· 7分

y

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧

抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是

平行四边形，此时点F坐标为（ ，12）．

当四边形BEAF是平行四边形时，

点F即为点D，此时点F的坐标为（1， ）．

综上所述，点F的坐标为（5，12），

（ ，12）或（1， ）．

【076】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

 又D（5，2），  ∴C（0，2），OC=2 .

 ∴     解得

 ∴抛物线的解析式为：  …… 4分

（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分

由y = 0，得 .   解得x₁=1，x₂=4. ∴A（4，0），B（1，0）. 

 ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.

把x=3代入 ，得 ，  ∴点E在抛物线上.

（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

  S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

  下面分两种情形： ①当S₁∶S₂ =1∶3时， ，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得 ，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6，由S₁=2，得 ，解得 ；

②当S₁∶S₂=3∶1时， ，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得 ，解得 ，综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）……… 14分

     法二：存在点P（a，0）. 记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂ = 3，此时S₁∶S₂不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则 ，解得 ，

∴ . 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1， .

下面分两种情形：①当S₁∶S₂ = 1∶3时， = 2；

∴4a－7 = 2，解得 ；……………………………………………… 12分

②当S₁∶S₂ = 3∶1时， ；   ∴4a－7 = 6，解得 ；

综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）………… 14分

[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出 或 两个答案，就给6分. ]

【077】解：（1）把B（0，6）代入 ，得 ＝6………………………1分

 把 ＝0代入 ，得 ＝8

∴点A的坐标为（8，0）…………… 3分

（2）在矩形OACB中，AC＝OB＝6，

BC＝OA＝8，∠C＝90°

∴AB＝

∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝90°

，∴ ∴ ∴

又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD

∴ ，即 ，∴

∵ ，∴   （ ）……………………………7分 （注：写成 不扣分）

②  ⊙Q是△OAB的内切圆 ，可设⊙Q的半径为r

∵ ,解得r=2.………………………………………8分

设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H

可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点 I、J ，过Q作QM⊥IJ于点M，连结IQ、QG， ∵QI＝2，        

  ∴  ∴ 在矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6

∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，由 ，得

∴点P的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分

当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………………………12分

综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。

【078】（1） ················································································ 2分

（2）∵ ，∴ 点的横坐标为 ，

①当 ，即 时， ，

∴ ．··········································································· 3分

②当 时， ，

∴ ．∴ ····································· 4分

当 ，即 时， ，

∴当 时， 有最大值 ．····································································· 6分

（3）由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴，则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 ．·········································································································· 7 分

L

法一：（i）当点 在线段 上， 在线段 上

（ 与 不重合）时，如图–1．

由对称性，得 ，

∴ ，

∴ ．···································· 8分

（ii）当点 在线段 的延长线上， 在线段 上时，如图–2，如图–3

∵ ，     ∴ ．   ··················· 9分

（iii）当点 与点 重合时，显然 ．

综合（i）（ii）（iii）， ．

y

L

法二：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴， 则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 ． ····························································································· 7 分

延长 与 交于点 ．

（i）如图–4，当点 在线段 上（ 与 不重合）时，

∵四边形 是正方形，       

∴四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰直角三角形．

∴ ．  

L

 ∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ．

  ∴ ． ··············································································· 8分

（ii）当点 与点 重合时，显然 ．        ································· 9分    

（iii） 在线段 的延长线上时，如图–5， 

∵ ，∠1=∠2

 ∴  

综合（i）（ii）（iii）， ．

∴在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形．   ······ 11分

23题图-4

法三：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又 轴，

 则 ，O两点关于直线 对称，所以 ，得 ．      ·················· 9分

连 ，∵ ， ， ，

∴ ，

．

∴ ，∴ ．···················································· 10分

∴在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形． ········ 11分

【079】解：（1）解 得

  ， ······························································· 1分

在 中，由勾股定理有 ，  

（2）∵点 在 轴上， ， ，

··································································· 1分

由已知可知D（6，4），设 当 时有

解得 ，同理 时， ·· 1分

在 中，

在 中， ， ，

（3）满足条件的点有四个， ·· 4分

说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评

C

当 运动到被 垂直平分时，四边形 是矩形，

即 时，四边形 是矩形，

秒时，四边形 是矩形．

C

（2） 当 时，

C

当 时

C

当 时，

············································ 10分