2010年05月25日(2010-05-25 11:12:44) 
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干净保障有序 自主促进和谐
——四年级《垂直》教学实录与体悟
当下，“有序、和谐”应该成为数学课堂的至高追求，教师语言、教学资源和教学预设的干净，是课堂教学有序的保障；学生语言、学生思维和动手活动的自主，是创造和谐课堂、高效课堂的必需。
《垂直》这一内容是学生在初步认识直线以后，首次接触直线与直线的位置关系。在同一平面内的两条直线可能相交，也可能不相交。不相交的两条直线互相平行。相交成直角的两条直线互相垂直，垂直是特殊位置的相交。本课时主要以理解“垂直”这种位置关系为重点，在理解的基础上，用各种方法画出互相垂直的直线，并通过这些活动，体会垂线的一些特性，了解一点历史，感受一种自豪，促进不断成长。
下面从《垂直》一课的教学实录出发，尝试阐述对“有序、和谐”课堂的追求与体悟。
一、“近”生活导入，显现熟知概念
1.对话拉近师生距离。
师：我是深圳的黄老师，你们是淮阴实小三年级几班的同学？
生：三（1）班。
师：咱们真是有缘，有机会一起上这节数学课。你说我应该是一位教数学的老师，还是一位帮助学生学数学的老师？
【悟：师生间第一句对话即勾起学生继续推进课堂的兴趣，“真是有缘”消除了师生初次见面的戒备，达到了温情沟通的目的。】
生：帮助学生学数学的老师。
师：是的，“帮助学生学数学的”，强调学习的过程靠同学们自己，教师起到的作用是组织、帮助和引路。
【悟：教师对“帮助学生学数学”这一观点的认同，不仅激发了学生学习的自主性，还进一步拉近了师生距离。】
师：既然大家都这么认为，这节课老师主要是给同学们带路，路靠大家自己走，好不好？
2.由学生之间的互助，引出“互相”的概念。
师：我在领路的过程中，想知道你们掌握的情况。如果你掌握得很好，请做这样的手势；如果还有点不太清楚，请做这样的动作；如果你完全没有学会，请这样。（手势略）
师：你的同伴要做这样的动作，你会怎么办？（师做出“没有学会”的手势。）
【悟：此问非常平实，却又是继续教学所必须的，也可以说是整节课的奠基。问题离学生如此之近，应算是教学预设的匠心独运。】
生：我会帮助他，学习的过程中就应该互相学习，互相帮助。
师：我们说到一个词语——“互相”，你理解吗？
（屏显：互相。）
师：“互相”是指两个对象之间彼此同等对待的关系。有点深奥，其实同学们常用——我们不是常说要 “互相学习”。怎么理解？
（屏显：互相学习。）
生：我跟你学习，你跟我学习。
师：“互相帮助”呢？
（屏显：互相帮助。）
生：我帮助你，你帮助我。
【悟：当整节课的奠基概念在教师的一问之下自然流露出后，再借助两个经常发生的“互相”事件让学生更深一步加以理解。】
二、“近”经验展开，突破核心概念
1.借助生活经验，直指核心概念。
师：接下来，你猜可能会看到互相什么？一起看——“互相垂直”，这里的互相垂直，是指什么和什么之间的同等对待呢？
（屏显：互相垂直。）
【悟：此问一抛，代表教师已经很干净利落地将研究视角从生活场景转向数学课堂，没有拖泥带水，没有所谓的情境创设，没有犹抱琵琶半遮面式地慢镜头进入，而是承接前一环节的两个“互相”事件直指核心概念，确保了教学时间的有效，教学内容的精炼和教学环节的有序。】
师：不是两个人，而是两条直线。
师：是“两条直线的位置关系”。
（屏显：两条直线的位置关系。）
师：此时此刻，我由衷地想表达，你们真的长大了，以前学的是图形的形状、大小，现在开始研究位置关系了！这是一个重要的起点。
师：怎么理解位置关系呢？这两位同学这样坐着，都面朝讲台，这是一种位置关系，如果这样相对坐着呢？又是一种位置关系。（请其中一位同学搬凳子坐到对面成两人相对而坐的位置关系。）
【悟：从今天起，学生开始真正接触图形中的位置关系。对位置关系的理解，是空间观念形成的起步，而教师借助两位学生的坐位形成的位置关系来先行认识“物”的位置关系，对于理解直线间的位置关系有积极的建构意义。】
2.借助模型操作，剖析核心概念。
师：两条直线的位置关系能理解吗？
师：到底哪种情况是互相垂直呢？注意看——
（屏显：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。）
师：请将你的理解告诉你的同桌，再四人小组交流一下。
师：我看到有的人用手势，有的人用两支笔，表示了。老师这里有个用两根木条做成的模型，我想请一位同学来给大家演示“互相垂直”。
【悟：借助木条做成的模型可以有效运用物化的操作联接抽象的直线所需的心智操作，可以让学生对新知生成看得到、抓得住、记得牢。】
师：你觉得老师的这个模型做得好不好？
生：好！
师：好在哪里？
生：已经相交了。
师：相交就是相互交叉了，两条直线一交叉就会出现几个角？
生：四个角。
师：哪四个？
（生数，如图：）
师：我是这样数的，你知道是为什么吗？
（师数，如图：）
生：老师是上、下两个角一起数，左、右两个角一起数的。因为上、下两个角相等，左、右两个角也相等。
师：是的，这是对角相等。你能用这个教具摆出一个互相垂直来吗？
（请一位学生演示，没有带三角尺）
师：这样可以吗？你怎么知道这里是直角？相交成直角不是靠眼睛看，要用这个三角板的直角去靠。
（请另一学生来帮忙验证相交的角是直角。）
【悟：学生第一次用实物来反映个体所理解的“互相垂直”这一概念，很真实，也很脆弱，这需要同学的互助，更需要教师的准确引领。】
三、“净”教具操作，深化内涵理解
师：他们的主要任务是什么？到底摆出几个直角？
师：只能这样摆吗？还可以怎样？
【悟：当学生用教具摆出一个“互相垂直”并得到全体同学的验证后，教师在保持互相垂直的情况下整体转动教具，让学生感知只要相交成的直角不变，就还是互相垂直。】
师：我们可以依照这时两根木条的位置画出两条互相垂直的直线。怎么能够画出来呢？
生：做记号，每根木条先点两个点，再相连就可以了。
师：我们可以先画出其中的一条直线，只要再点一个点也能画出另一条直线。
（师示范过直线外一点画已知直线的垂线的画法：
师：为了说明这两条直线相交成直角，也就是互相垂直，我们可以标上一个直角符号，这个符号标在哪里好呢？
【悟：当形成了互相垂直的位置关系后，需要有一个直角标志，如何标？这一问不仅是程序的持续推进，而且还强化了学生学习的自主性，突出了学生学习的主体地位。】
生：哪里都可以，因为四个角都是直角。
师：你们的意思就是说：当两条直线相交有一个角是直角时，其他三个角也一定都是直角。
师：用三角板的直角只摆了其中的一个位置，能确定其他三个角也是直角吗？
【悟：这一问是将核心概念的辨析推向前台，两条直线只有相交才会形成角，只有形成的角是直角才是“互相垂直”。而要想验证两条直线是否互相垂直时，得要把形成的四个角都用三角板去进行验证吗？显然不是，验证其中一个角即可得出结论，实际上前面在进行数两条直线相交形成角的个数时已经有所铺垫。】
四、“进”网状架构，强化认知水准
1.抽取关键词语，促进自主学习。
师：我想和同学们一起把重要的内容写在黑板上。写什么？
【悟：简洁、干净而真实的数学课堂。作为一堂包含几何概念的新授课，时刻关照学生的知识架构情况，是不得不必须警惕的。】
生1：“两条直线”—— 一条直线就谈不上“互相垂直了”。
生2：“相交”——相互交叉很重要，如果没有相互交叉就不能形成角了。
生3：“直角”——这个是关键。
【悟：学生能够提炼出“两条直线”、“相交”和“直角”这三个互相垂直的关键因素，说明新知建构已经基本成功，说明学生的理解是全面而且是有生命的，已经融入已有知识体系之中。】
师：用红色的笔圈一圈。怎么都圈了？是呀！我们学的数学的定义都是用最精炼的语言表述的，每一个字词都很重要。
（师板书：两条直线→相交→直角 互相垂直）
师：这一段的学习你学的怎样？示意给我！
【悟：教师分阶段照顾不同层次学生的学习情况，可见对促进全体学生的数学学习是有追求的，进而打造和谐课堂。】
2.故意错误发问，完善新知体系。
师：我们接着看——
（屏显：其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
这两条直线的交点叫做垂足。）
师：哪条线是垂线？
生：老师的这句问话就有问题，一条是另一条的垂线，怎么能直接说哪一条是垂线呢？
【悟：教师故意设置一个问题陷阱，学生没有顺势进入，而是及时发现，说明学生的思维始终处于积极的思考状态。】
师：老师应该怎么问才合适？
生：这是互相垂直的两条直线，它是哪条直线的垂线？（一学生上讲台指着黑板上的一条直线发问。）
师：可以用字母a和b来表示这两条直线。可以说直线a和直线b互为垂线。
师：垂足是什么？
生：是这个点，交点。（生指垂足处。）
师：就是这个？（画两条相交但不互相垂直的直线，指其交点。）
生：不是。必须要是互相垂直的两条直线的交点。
师：这一段的学习你学的怎样？示意给我看！
3.拓展变式练习，充分理解运用。
（1）寻找长方形中互相垂直的线。
师：大家都知道什么是互相垂直了，我要是给你看一个我们认识的图形，你能很快找到互相垂直的线段吗？你会怎么找呢？
师：这是一个长方形，要是让你找互相垂直的线段，你能找到几组？
（屏显：）
生：因为直线a和b相交成直角，a和b互相垂直；
a和b互相垂直，a是b的垂线，b是a的垂线。
师：同桌之间直接说一说谁和谁互相垂直。
【悟：让学生直接说出谁和谁互相垂直，是为了抓住新知的核心。若能准确辨别互相垂直的一组线段，那么谁是谁是谁的垂线，则是按固定格式表达即可。】
（2）寻找四边形中互相垂直的线。
师：你能找出互相垂直的线吗？
（屏显：）
生：可以直接找直角就行了。
生：b是c的垂线，c是b的垂线。
师：能找到几个垂足？有几组互相垂直的线？
【悟：这里的两个问题是互相关联的，实际上寻找垂足的个数就是找到了有几组互相垂直的线，这一个规律，也是一条捷径，为后续学习作好了铺垫。】
生：一个。只要根据垂足的个数就能确定互相垂直的两条直线一共有几组。
（3）寻找汉字中互相垂直的笔画相交的垂足。
师：大家都知道，我们中华民族的汉字，横平竖直，在有些字体中，有的字笔画就是互相垂直的，你猜猜看，老师会给你看到一个什么字？
（屏显：）
师：“垂”字中的交点、垂足与互相垂直的笔画。不如我们一起找垂足，有一个垂足就有一组互相垂直的线段，看谁找到的多！
生：一共有10个垂足，也就是有10组互相垂直的线段。
（屏显：）
【悟：教师从核心概念中关键词的提取，到基于概念内涵的有意错误发问，再到变式练习的精心设计和巧妙运用，无一不是落脚于将新知能够有机地固化于已有知识结构，寄希望于即时形成新的、正确的知识网络。】
五、“竞”学习延伸，提升数学品味
1.画垂直——体会角尺的绝对优势。
师：下面，老师将和同学们来一个垂线的比赛。比一比在相同的时间内，看谁对同一条直线画出的垂线多。（师生同画垂线进行比赛，教师运用角尺画垂线动作更快。）
（屏显：）
【悟：利用角尺画垂线方便、快捷的特点，设计一个教师用角尺、学生用三角尺画垂线的比赛，自然引出角尺，并对角尺作简单介绍，让学生体会一下古人已经在利用垂直的特性为生产、生活的方便而进行发明创造。】
2.听故事——感受“矩”的多种功能。
师：大家一定听过《大禹治水》的故事。大禹用开渠排水、疏通河道的办法，把洪水引到大海中去。他是中国历史上第一位成功地治理黄河水患的治水英雄。在大禹治水的过程中，相传他借助自己发明的原始测量工具——准、绳、规、矩。“矩”是古代画方形的用具。古人发明用“矩”离现在已有4000多年。
（屏显：大禹的图片及相关资料，此略。）
【悟：古人总结了“矩”的多种测绘功能，既可以定水平、测高、测深、测远，还可以画圆画方。一个结构简单的“矩”，由于使用时安放的位置不同，便能测定物体的高低远近及大小，它的广泛用途，体现了古代中国人民的无穷智慧。】
3.用垂直——学会跳远距离的测量方法。
师：有同学要问，学了垂直有什么用？当然有用，建房子时，墙和地面要互相垂直。
师：同学们参加过跳远比赛吗？你知道跳远比赛，怎么测量跳远成绩吗？
师：森林运动会小猴子参加跳远比赛，一起来看看。
（播放森林运动会的flash动画。）
师：该怎样测量跳远比赛的成绩呢？请同学们把想法画在纸上，全班分享。
师：从跳进沙坑的这个点到起跳线最近的距离是这条垂直线段的长吗？
师：建议同学们课后研究，可以在本子上先画一条直线，然后在线外画上一个点，通过测量、比较等办法，看看怎么画点到这条直线的距离最短。
（屏显：跳远距离的测量：身体与沙池接触的离起跳线最近的距离就是运动员的成绩。）
【悟：用小猴跳远这一情境的创设将全课推向高潮，并引发研究点到直线的最短距离的测量方法，最终得出跳远成绩的测量亦是如此。如果说前两个古人发明的垂直工具让学生感受到了自豪、震憾与鼓舞的话，那么对小猴跳远距离测量方法的研究则是又一次增强了学生学习的自主性、趣味性和研究性。教师在学习过程中三个小竞赛的设置，既延伸了本节课的学习范畴，又提升了数学学习的品味。】
六、回顾与反思
师：今天学习了垂线的数学知识，什么叫做互相垂直，还认识了角尺，知道了四千多年前大禹治水的时候就用到画垂直的工具，这些数学知识，哪部分的知识给你的影响最深？
生：（略）。
【总悟：本节课所致力要表达的，即是对“有序”与“和谐”的课堂教学追求。“有序”反映在课的目标指向明确，即抽取学生生活周边的实例，激活学生已有知识基础，学习“垂直”这一首次接触的位置关系；教学设计主线清晰，即先“近距离”生活导入，显现熟知概念“互相”，再“近距离”经验展开，突破核心概念“互相垂直”，其次“净用”教具操作，深化内涵理解，然后“进入”网状架构，强化认知水准，最后“竞赛式”学习延伸，提升数学学习品味；教学调控灵活到位，即教学语言精炼简洁，对学生问题前期理答必要充分，对学生问题后续追问及时恰当。整节课所呈现的师生教学事件均是干净利落的，没有生拉硬扯的“附属物”，这就保证了课堂的教学进程“有序”，学生思维“有序”。建构学习理论指出：“在对学习材料的解释和运用时，应重视教师与学生之间的协商，这并不等于说教师只给学生指出应该看到什么，更重要的在于其蕴含真正交流的过程，教师要考虑学生所作的解释。这种社会互动、数学解释和解答的讨论对学习非常重要。”课堂教学中的师生交流是否真实？是否流畅？是否基于教学实践？是否富于人文气息？都可以窥见课堂教学是否真正“和谐”。而本节课的“和谐”不仅体现在教学环节设计所兼顾的数学性与生活性，体现在师生互动（生生互动）的及时性与生成性，体现在教者对学生知识前测的准确性与全面性，体现在学生对“垂直”概念的理解与操作运用的融合性，体现在学生经历本课学习过程所积累的经验与思维品质的提升的同步性，更真切地体现在师生沟通的有效性与趣味性。英国著名哲学家罗素说：“数学，不但拥有真理，而且拥有至高的美。”如此，是否可以这样理解？课堂教学中的“有序”映衬了真理的存在，“和谐”才能成全至高的美的展现。】
（江苏省淮安市天明小学任建波 执笔整理）
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