长春真人丘处机:比例的意义和基本性质

小学数学总复习专题讲解及训练（六）

主要内容
比例的意义和基本性质

学习目标
1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。

考点分析
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。

典型例题
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
A                     B                   
C
                                         

（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这两个长方形的长有什么关系？宽呢？
（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
分析与解：（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。
把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:1，就是把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。
（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的 ，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。

例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形C。（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？
                 

分析与解：（1）按3:2的比将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的 ，那么图C的长为6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格。（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。

点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。

例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？

B
A                                   6厘米
3厘米
         8厘米             
4厘米
分析与解：（1）图A中长与宽的比是4:3；图B中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简后就是4:3。
（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。即
4:3 = 8:6或  =  ，都读作：4比3 等于 8比6。

例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（1） 5 ：6 和15 ：18       （2）  0.2 ：0.1 和 3 ：1
（3）   ：  和 1.2 ：0.8  （4） 6 ：2 和  ：
分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。
（1） 因为5 ：6 =  ，15 ：18 =  ，所以5 ：6 = 15 ：18。
（2） 因为0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1不能组成比例。
（3） 因为  ：  =  ， 1.2 ：0.8 =   ，所以  ：  = 1.2 ：0.8。
（4） 6 ：2 = 3，  ：  = 3，所以6 ：2 =   ： 。
点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。

例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？

分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。      3.6 ：3 = 4.8 ：4
（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。  3.6 ：4.8 = 3 ：4
（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。      3 ：3.6 = 4 ：4.8
介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：
3.6 ：3  =  4.8 ：4
内项
                       外项
观察题中的三个比例，你有什么发现？
3.6 ：3 = 4.8 ：4   3.6 ：4.8 = 3 ：4   3 ：3.6 = 4 ：4.8

（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（3）如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式  =  ，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。
（4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，
那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。
（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。

分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。
1.4 : 2 = 7 : 10                  1.4 : 7 = 2 : 10
10 : 2 = 7 : 1.4                  10 : 7 = 2 : 1.4
2 : 1.4 = 10 : 7                  2 : 10 = 1.4 : 7
7 : 1.4 = 10 : 2                  7 : 10 = 1.4 : 2

点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。

例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？

4厘米

5厘米

分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5 : 5 = 宽 : 4   或    12.5 : 宽 = 5 : 4

例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？

分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的性质来解答。
解：设宽是ⅹ厘米。
12.5 : 5 = ⅹ : 4 
 5ⅹ = 12.5 × 4   ┈┈ 根据比例的基本性质
5ⅹ = 50
ⅹ = 10
答：放大后图片的宽是10厘米。

点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。
同学们，你会解答     =    这个比例吗？试试看吧！
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模拟试题

1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（     ）厘米，宽是（    ）厘米，这张图片（    ）不变，大小（    ）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（    ）的比放大后，边长变为30厘米。
3、按2 : 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 : 3的比画出长方形缩小后的图形。

4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？
6∶10和9∶15　    20∶5和4∶1　     5∶1和6∶2
5、在2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与5.6∶14 能组成比例的一个比是(        )。
6、在比例里，两个（    ）的积和两个（     ）积相等。
7、如果A×3=B×5，那么A∶B= (      ) ∶ (         )。
8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：
           (     ) ∶ (    ) = (     ) ∶ (     )。
9、根据3×8 = 4×6写成的比例是（          ）、（          ）或（           ）。
10、甲数的25% 等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（   ）∶（   ）。

 
 
13、解比例
ⅹ∶3 = 78 ∶14          9x  = 4.50.8                 16 ∶ 25  = 12 ∶x

 34 ∶ x = 3∶12        38 ∶ x = 5％∶0.6         1.318 = x3.6
14、在一个比例里，两个外项的积是30，已知一个内项是10，另一个内项是（   ）。

参考答案：

1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（   4  ）厘米，宽是（  3  ）厘米，这张图片（  形状  ）不变，大小（  变了  ）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（  3 : 1  ）的比放大后，边长变为30厘米。
3、按2 : 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 : 3的比画出长方形缩小后的图形。
               

4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？
6∶10和9∶15　    20∶5和4∶1　     5∶1和6∶2
（1） 因为6 ：10 =  ，9 ：15 =  ，所以6 ：10 = 9 ：15。
（2） 因为20 ：5 = 4，4 ：1 = 4，所以20 ：5 = 4 ：1。
（3） 因为5 ：1 = 5，6 ：2 = 3，所以5 ：1 和 6 ：2不能组成比例。

5、在2∶5、12∶0.2、31∶15 三个比中，与5.6∶14 能组成比例的一个比是(2∶5 )。
6、在比例里，两个（  外项  ）的积和两个（  内项  ）积相等。
7、如果A×3=B×5，那么A∶B= (   5   ) ∶ (    3     )。
8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：
           ( 6 ) ∶ ( 24 )  =  ( 5 ) ∶ ( 20 )。 6×20 = 24×5 可组成8个比例
9、根据3×8 = 4×6写成的比例是（  3 ：4 = 6 ：8 ）、（ 3 ：6 = 4 ：8 ）或（   4 ：3 = 8 ：6  ）。可组成8个比例

10、甲数的25% 等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（  3 ）∶（ 1  ）。

 
解：设平行四边形的高是ⅹ厘米。
36 : 24 =  24 : ⅹ 
 36ⅹ = 24 × 24   ┈┈ 根据比例的基本性质
36ⅹ = 576
ⅹ = 16
答：平行四边形的高是16厘米。
 
解：设梯形的上底是ⅹ厘米，高是Y厘米。
18 : 27 =  10 : ⅹ        18 : 27 =  12 : Y
 18ⅹ = 27 × 10            18 Y = 27 × 12 
18ⅹ = 270                 18 Y = 324 
ⅹ = 15                     Y = 18
答：梯形的上底是15厘米，高是18厘米。
13、解比例
ⅹ∶3 = 78 ∶14          9x  = 4.50.8                 16 ∶ 25  = 12 ∶x
ⅹ =              ⅹ = 1.6                      ⅹ = 1.2
 34 ∶ x = 3∶12        38 ∶ x = 5％∶0.6         1.318 = x3.6
 ⅹ = 3                ⅹ = 4.5               ⅹ = 0.26

14、在一个比例里，两个外项的积是30，已知一个内项是10，另一个内项是（ 3  ）。