中财网四氟乙烯 合成工艺:认识图形世界 发展空间观念
来源：百度文库 编辑：中财网 时间：2024/04/29 14:11:18
认识图形世界
发展空间观念
提升数学思考
——[图形的认识、测量]备课解读与难点透视
张齐华
一、变化的背后及其因由。
在原来的《大纲》中，“图形的认识、测量”属“几何初步知识”领域。之所以将原先的“几何初步知识”调整为“空间与图形”，其实是价值取向之变化。
1，科学体系对儿童经验的适度妥协——学习内容的重新定位。
从几何发展的历史来看，人们对几何图形的认识是首先根据生产生活实践经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。尤其是小学生的思维正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的认识相当于人类早期认识几何的阶段。因此，我们不应该、也不需要让小学生过早接触纯学术性的几何系统知识，倒不妨引导小学生借助他们身边直观、可感的空间世界，借助他们原先储备的经验积累，主动地关注、认识周围的图形世界，在大量的操作和思考活动中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念。
2，知识、技能、方法、思想和观念——学习目标的理性重建。
“认识图形，掌握它们的特征及周长、面积与体积的计算规则，进而运用它们解决问题”，这些曾是“几何初步知识”领域重要甚至唯一的教学目标。如今当数学学习对于人的发展的价值再一次被重新认识和界定时，我们是否可以做出这样的判断：仅仅掌握一定的几何知识、形成相关的解题技能，已远远无法满足个体对于数学学习的价值期待。
笔者十分赞同课程标准中的提法：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法……它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”，“教师应……帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。而思想、方法大量存在于“图形的认识、测量”之中，只是由于知识、技能的目标相对比较显性，思想、方法及观念等目标相对隐性罢了。举例来说，“认识图形”本质上是一个概念的建立过程。试想，倘若离开“观察、辨别、比较、抽象、概括”等很必要的数学方法的介入，学习个体如何才能从具体、直观的生活场景或现象中抽取相应的数学概念，从而在相对抽象的层面上达到对几何图形的真正认识和把握？当然，能否在具体的教学情境中把数学思想与方法从具体教学内容中解析出来，进而内化为学生的数学素养，尚需进一步研究。
至于空间观念，它是在空间知觉的基础上形成的，具体表现为“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”。概括地说，它是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。表象是由感知到概念间的“阶梯”，具有直觉性和概括性。由于空间观念的积累，可以逐步形成空间想象力，这将为目前和以后的学习奠定必要的基础。再者，小学生能否清晰地掌握图形的特征，能否正确计算物体的面积、体积，很大程度上也决定于空间观念的积累。有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面这样的几何概念。由此可见，相对于“几何知识”的习得而言，空间观念的发展意义更为重大。
3，参与、体验、实践——学习方式的再度厘定。
如前所言，学生在小学阶段学习的应该属于直观几何。学习直观几何，就得采用儿童喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视听觉、触觉、运动觉等协同起来，强有力地促进活动的内化，从而掌握图形特征，形成空间观念。抽象思维、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于小学生实际的思维水平及认识能力，动手操作、实践探索似乎更适应学生“空间与图形”领域的学习。正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。
二、梳理教材的脉络与结构。
由于小学生空间观念的形成要经历一个长期、反复的过程，因而各版本的新课程实验教材十分注意把“空间与图形”的知识有层次、有坡度地分配到各个学段中。编排时，既强调知识本身内在的纵向联系，又关注数与形的横向沟通与联系，做到相互为用，尤其是充分考虑了小学生空间观念形成的认识规律。比如，按点、线、面、体系统几何应先学平面图形，再学立体图形。但是考虑到人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究；客观世界最常见的是各种形状的物体，“面”是附着于“体”上的，儿童首先看到的是一个个物体，在整体感知“体”的基础上，来研究“面”，才能建立“形”的概念，所以先认识“体”后认识“形”能降低认知难度，有利于学生学习。因此教材在编排这些内容时，没有受“空间与图形”内在逻辑结构的制约，而是采取了“体—形—体”的混合螺旋编排结构，即先直观立体图形，然后借助立体图形初步认识平面图形，在学生较深入认识平面图形特征后，再安排立体图形的特征探索及求积计算。
数学知识的逻辑性强，“空间与图形”领域中的每一知识点都不是独立存在的。它们或前有关涉，或后有呼应，或二者兼而有之。新知往往能在旧知基础上找到生长点，同时又构成后续新知的生长点。以苏教版三年级“认识长方形和正方形”为例，之前学生已在一年级（下）“认识图形”单元中初步认识了长方形和正方形，在二年级（上）“量长度”和二年级（下）“分米和毫米”两个单元中已练习过量长方形各条边的长度和量正方形的边长是多少，在二年级（下）认识了角，知道长方形和正方形都有四个直角。而刚刚形成的认识又成为后续内容“长方形、正方形的面积“的生长点，进而又成为其他平面图形面积计算新的基点。就这样，新旧知识彼此呼应、相互关联，纺织成了系统的数学知识结构。教师在备课、教学时，对此应有深刻的认识与把握。
鉴于小学生思维的形象、直观性，加这一维空间比二维、三维空间更抽象，曲线（曲面）图形比直线图形更难以把握，且化曲为直、极限等数学思想又较难把握，因而在图形的认识与测量中，对于直线以及直线之间的位置关系，射线以及射线组成的角，圆、圆柱及圆锥的相关知识等，学生认识起来颇有困难，是教学难点。
三、解读学生的背景与现实。
我们生活在一个由形、体构成的现实世界里，学生每天都在和图形接触，日常生活中积累下的对图形世界的感知、表象和思考构成了学生丰富的经验背景，成为他们认识“空间与图形”的重要物质基础。同时，学前教育期的儿童偏爱操作性活动，比如搭积木、折纸等，由此积累下的丰富活动经验以及初步形成的空间观念构成了他们学习数学的重要方法基础。
但也不得不承认，学生的有些经验无论是从其生成方式还是储备形式看，都是模糊的、直觉的、多义的，系统化程度不高，甚至有的还会对系统的数学学习产生负迁移，干扰学生对数学知识的准确建构。因而，它们只是构成了学生的“可能基础”，要想真正将其转化为系统的认识，并在认识过程中发展学生的数学思考与空间观念，经验的唤醒与重组、活动的组织与开展、教学的引导与建构、学生的探究及内化等就显得尤为重要。
四、建构课堂的实践及其思考。
以下是从实践层面对“空间与图形”领域课堂现场的勾画，总体分“认识图形”、“观察物体”、“计量单位”和“图形测量”四大板块，前两块隶属于“图形的认识”，后两块隶属于“图形的测量”内容。
1，认识图形。
认识图形，重要的是图形的分类和图形本质特征的把握以及在认识图形的过程中发展数学思考，提升空间观念。因而在情境中认知图形，在探索中建构特征，在活动中发展观念应该是本板块内容教学的重要策略。
（1）情境是必要的，但须适宜。
创设情境是必要的。关键问题是我们为何需要情境？需要怎样的情境？需要怎样的情境？该如何运用情境？这些问题需要我们深入思考。
人的学习带有情境认知的特点。适宜情境的营造，一方面为后续学习提供可资利用的学习素材，只是有些素材直接呈现，而有些素材则隐含在复杂的真生活情境中，需要学生从背景中予以剥离；另一方面，由于情境所提供的素质带有典型性，与学生经验储备中既有的素材有着内在的结构、要素的相关性和一致性，因而又起到了唤醒、联想及触类旁通的作用，唤醒的更多素材又构成了学生认知图形的更为广阔的经验背景。
生活情境未必是数学情境的全部，但其重要性不可忽视。如教学射线，由于学生认知基础是线段，如果众线段这一“旧知”通过数学推理、类比来认识射线这一“新知”，未尝不可，但形式化味道浓，不易为小学生所真切感受与理解。因而多个版本教材都选择了从具体现实情境引入，借助具体的生活现象与画面唤醒学生的经验，进而把握图形的特征。
如苏教版教材从有趣的现象引出射线。主题情境图呈现了一幅美丽的夜景图片，其中最突出的是一束束绚丽的光线，每束光线都从地面上的某一点射向天空，射得很远，看不到尽头。生动现实的画面传递着这样一种信息：这一束束光线一端在地面，另一端无限延伸。学生在形象材料的支持下，首次感知时就对射线的特征有了鲜明、准确的把握。
（2）自主建构，还需有效引领。
探索是学习个体携自身原有经验及方法背景参与新知学习和研究的过程。如何有效唤醒学生原有的经验储备，如何引导学生主动参与探索活动，如何将探索获得的经验与结论进一步抽象概括并提炼为数学认识与方法，这些问题值得探讨。这里，我们以“认识长方形、正方形”一课作具体阐释。
结合情境，学生对长方形、正方形有了初步的感知后，教师展开如下教学。
第一层次：游戏中初步感悟。
师：（出示一个黑色袋子）老师在这个袋子里装了一些长方形、正方形以及其他平面图形，你能从中摸出一个长方形吗？
学生跃跃欲试，并有几个学生上来试着摸长方形，且都准确地摸出了长方形。
师：你们为什么不摸出这个图形（出示三角形）？
生：因为长方形有四条边，但摸的时候，我感觉它只有三条边，所以我没摸出来。
师：这个图形四条边（出示平等四边形），你们为什么不摸出来？
生：可它的角不是直角呀，长方形的角是直角。
师：这个图形（出示直角梯形）不也是四条边，并且有直角吗？
生：（激动地）不对，长方形四个角都是直角，但它只有两个直角。
师：这个图形四条边，四个角也都是直角，你们又为什么不摸出来呢？
生：这不是长方形，这是正方形。
生：正方形是四条边都相等，长方形的这两条边却不等。
师：当然，长方形和正方形的关系很特殊，以后我们还将继续学习。那么通过刚才的学习，你觉得长方形和正方形各有哪些特点呢？
生：我觉得长方形有四条边，四个角都是直角。
生：我觉得长方形对面的两条边长度一样。
生：我觉得正方形四条边都相等，四个角都是直角。
……
第二层次：活动中二度建构。
师：通过摸图形的游戏，同学们对长方形、正方形已经形成初步的认识。但情况是不是和你们讲的完全一样呢？下面，请大家结合手中的学习材料（长方形和正方形纸、直尺、剪刀等），动手量一量、折一折、比一比，再来深入研究一下长方形、正方形的特点。
学生有的折，有的量，有的比，纷纷投入研究活动，并在动手操作和合作交流中自主建构了长方形、正方形的特征。教师则及时引导学生将视角聚焦至图形的特征及相关的操作过程中来，以使学生的交流更有针对性，更有效。
上述案例“摸图形“因其颇具挑战性，引发了学生参与的热情，师生的对话与反问则有效唤醒了学生原有的对长方形、正方形的模糊经验，进而在对比中进一步澄清认识，初步建构长方形、正方形的特征。游戏活动后安排的二度探索意义更大，动手操作、合作交流的过程，正好将学生原先获得的模糊经验进一步明晰化、准确化、系统化，从而真正将活动经验转化为有效的数学知识，并在过程中提升思考，获得发展。
当然，有些“规定性知识”，该告诉的不妨直接告诉。只是以怎样的方式“告诉”，却是一门艺术。如教学长方体的长、宽、高这一知识，是简单结合三视图告知它们的名称还是采用别的方式？下面这位教师的处理颇具创意，尤其对发展学生的空间观念收效甚佳。
首先，教师出示长方体的透视图（如下，12条棱全部能看清）。
师：如果请你擦掉其中的一条棱，你还能想象出这个长方体的大小吗？
学生擦掉其中的一条棱，结果发现，同样能想象出长方体的大小。
师：如果再让你擦掉一些棱，想一想，至少要剩下哪几条棱，才能保证我们可以想象出长方体的大小？先想一想，再动手试一试。
学生展开想象，随后动手尝试。结果多数学生留下三条线段。
师：根据这三条棱，你真的能想象出长方体的大小？
生：能！
在此基础上，教师水到渠成地告诉这三条棱的名称：长、宽、高。
尽管还是告诉，但此时的告诉已不是简单意义上的“告诉”。学生在教师精心组织的数学活动中，边观察、边操作、边想象，多种感官协同作用，此时的“长、宽、高”已不是简单意义上的长方体的各部分名称，它们对于长方体大小的决定作用，它们的不可或缺性都化作了学生的深刻思考。由此原本人为规定的数学知识，在学生的自主参与和建构中获得了更为鲜活的意义，使想象力、观察与分析能力及空间观念等都在活动中得以有效发展。
（3）设计多样的活动，促进多元的发展。
获得结论后及时安排丰富、多层次的数学活动，可使学生探索而获得的结论、特征、方法更为深刻，进而内化为一种稳定、清晰的知识结构，成为数学素养的重要组成部分，有效地发展学生的空间观念。
如“认识长方形、正方形”一课，认识长方形、正方形的特征后，苏教版教材安排了“在钉子板上围长方形和正方形”、“用两副同样的三角尺拼长方形和正方形”、“用长方形剪一个正方形”、“在方格纸上画规定的长方形或正方形”等，不同层次的活动有不同的教学意义和价值，其内涵的数学思考也不尽相同，教师应细心领悟，精心组织。
再如“圆的认识”一课（江苏 贲友林），教师设计如下练习，虽质实无华，却内涵丰富。
教师出示如下连线题。
r=4米 自行车轮胎
d=2.4厘米 茶杯口
r=35厘米 手表表面
d=0.8分米 花坛]
连线的过程，正是学生展开想象的过程。他们需不断“调度”头脑中原有的长度单位的表象，并结合“r”、“d”及各个数的实际意义展开想象，并最终准确地将数据与物品连在一起，数形结合的思想、空间观念的发展在这里得到很好的体现。然而，下面的设计更有意思。
师：手表的表面一定是圆的吗？
生：有些手表的表面是正方形、长方形或其他图形的。
教师出示一些手表，表面是各种各样的图形。
师：看来手表表面形状多样，不一定是圆形的，但是任何形状的手表，只要善于观察，我们一定能找到圆形，你相信吗？
生：我发现了！时针、分针或秒针转动一圈，针尖正好经过一个圆形。
师：手表表面不一定是圆形，但车轮能不能不是圆形？
生：不能，如果车轮是其他形状的话，那它就不能平稳地滚动了。
师：那车轴应该装哪儿呢？（圆心）你能用火柴棒做车轴，用圆形纸版做车轮，试着滚一滚，感受一下吗？
如果车轴装在其他位置，或者选用其他形状的纸片做车轮，情况会怎样呢？
学生动手操作、体验，进一步感受圆形车轮的必要性。
师：但是，车轮真的必须是圆形的吗？（教师拿出一本《十万个为什么》，翻到“车轮一定是圆的吗”这一节）在这本书中会发现有些特殊的车轮就不是圆形的，它还告诉我们更为奇妙的知识，感兴趣的同学课后不妨找来看一看。
从教学效果看，教师的拓展很有价值。“手表表面”的探讨，不仅仅在于拓展知识面，更让学生从指针的运动中“看”出了“无形的圆”，“到定点距离等于定长的点的轨迹”的意识在这里得到渗透，空间想象能力的培养也巧妙得不留痕迹。“车轮一定是圆的吗？”，问题的思考与解决恰恰是对圆的特征的一次灵活应用，资料的展示及悬念的设置，更是让学生对圆平添了几分兴趣，增进了学生数学学习的积极情感。
2，观察物体。
“观察物体”作为新增内容，课程标准对于其教学目标的定位是：“能辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”（第一学段）；“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”（第二学段）。应该说，学生对此已有一定的经验基础，尤其表现在对于单个物体的观察上。问题在于，学生已有的生活经验如何进一步提炼为数学知识与数学思考；如何引导学生对较复杂的物体展开观察，并形成良好的观察习惯，习得科学的观察方法，积累丰富的活动经验，进而提升学生的想象和空间思考能力。
（1）准确对待学生已有的经验。
在不忽视学生生活经验的同时，我们也不必对其经验背景作过高估计。首先，日常生活中所获得的经验，由于观察时的无意识和缺乏相应的指导，因而呈现出一种模糊性、潜伏性。其次，对多个物体或由多个物体组成的整体的观察、推理等较难进入学前儿童的认识视野，这构成了他们经验世界的空白点。此外，第一、二学段“观察物体”已不局限于“从某一面观察物体，描述所看到的形状”这一基本层面，“从某一面观察物体，想象从其他几个面观察可能看到的形状”、“根据观察到的形状，反推观察者的观察角度”等更高的学习要求，对于学生的数学思考、空间推理、空间想象能力等提出了更高的挑战。
（2）仅仅引导学生经验观察是不够的。
对于像“观察物体”这类数学活动，学生喜欢，也乐于参与。但乐于参与并不意味着一定能获得发展。尤其是这里的“乐于”并不仅仅表现在乐于观察、乐于交流，还需要乐于想象、乐于推理、乐于反思。否则活动往往流于形式，而真正的数学思考与空间观察未必能得到发展。这里，我们不妨结合苏教版二年级（上）“观察物体”一课（深圳 张裕）的教学片段作一具体解读。
张老师引导每组四名学生分别坐在观察物（维尼熊）的前后左右四个角度，并组织学生通过以下多层次的活动观察维尼熊，体验不同角度看到的物体形状不同。
●在自己座位上观察。
师：小朋友们面对着小熊坐好，仔细观察，头不要偏，你看到了它的什么？
学生根据要求认真观察，随后在组里展开交流。
生：我在小熊的前面，我看到了它的鼻子。
师：在小熊的前面，除了看到它的鼻子，还能看到什么？
生：我还能看到它的两只小眼睛、两只耳朵、可爱的小肚皮和它的两只脚。
师：这下，你观察的东西就全面了。而且你还注意了从上往下的顺序进行观察，是这样吗？（生：是）真好！
生：我坐在小熊的左边，看到了它的左鼻孔、左耳朵、左手、左腿。
……
师：同学们观察得真仔细，说得很准确。
●交换位置再观察。
师：刚才你们在自己的座位上观察了可爱的维尼熊，现在咱们换换位置再观察，好吗？小熊前面和后面的同学换换位，左面和右面的同学换一换。不过，交换位置之前请同学们默默地猜一猜，交换以后你观察到的样子和刚才会一样吗？
可能会是怎样的呢？
学生静静地思考、想象，随后按要求换位观察。
师：坐在维尼熊前面和后面的同学，现在的位置看到的熊和你刚才看到的一样吗？
生：不一样。前面能看到鼻子、眼睛，从后面看不到。
生：虽然都能看到耳朵，但前面看到的是耳朵正面，后面看到的是背面。
师：这和你一开始猜的一样吗？（生：一样）看来，从前面和后面看小熊是不一样的。那么从左边和右边看维尼熊一样吗？
生：是一样的，都能看到小鼻孔、一只耳朵、一只手和一条腿。
生：我反对！一开始我也以为一样，但仔细观察后，我发现不一样。从左边看，小熊的鼻子朝左边，从右边看，小熊的鼻子却朝右边。
学生再次左右两边观察，并在组内讨论，最后达成共识：从维尼熊左右两边看到的的确不一样。
师：的确，从维尼熊左边和右边观察到的样子很像，但是只要认真观察，我们还是能看出它们的区别。瞧，认真观察多重要呀！
●从前面左右观察小熊。
师：坐在自己的位置上只能看到小熊的一个面，要是每个人都想看到小熊的前后左右四个面，有什么好办法吗？
生：我们可以围着小熊转一圈呀。（边说边演示。）
生：人走一圈太麻烦了。可以让小熊转一圈，我们在座位上也能看到它的前后左右。
师：是吗？能做给我们看看吗？（生演示维尼小熊转一圈）
师：这个方法怎么样？
生：也很好。只是转得要慢一些，让我们每个人都看清楚。
师：看来，两种方法都不错。小组内商量一下，选择一种方法，在组长的带领下开始观察。
师：同学们从前后左右再次观察小熊，你们看到的一样吗？（生：不一样。）为什么？
生：因为观察的角度不同，所以看到的就不一样了。
●给维尼熊拍照。
师：听课的老师也想看清楚维尼熊的四个面，我们用相机把它拍下来，给全体老师看。
学生拍照，教师每出示一张照片，引导全体学生思考：这可能是谁拍的？为什么？
生：这是我拍的，我站在小熊的前面。
生：我站在小熊的右边拍的。
师：为什么拍的都是小熊，拍出的小熊的模样却不一样呢？
生：因为观察的角度不同，拍到的也就不一样了。
撷取的只是一个片段，但透过片段，我们不难发现，看似“简单”的内容，在张老师的精心组织和引导下生发了许多新的要素。首先是观察方法的引导。无序的观察无法提升学生的观察能力，更谈不上空间观念的培养了。张老师在这里做了很好的引导，比如引导学生“仔细观察，头不要偏”，这是观察方法与习惯的指导。再比如引导学生“全面观察”，尤其对学生中自然生成的“有序观察”给予充分肯定，此时的“细处理”恰恰是为了将来的“粗放手”，磨刀不误砍柴工。其次是多维度活动的整体推进。仅有观察是不够的，唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机融合，观察能力才能得以培养，学生的空间观念才能得以有效生成。上述案例中，教师边引导学生观察，边引导学生“猜一猜”、“先想象一下”，进而思考“为什么……”等，有时是学生观察前猜测、观察后验证，有时是学生遇到矛盾冲突再观察，调整自己的认识，等等。丰富、多维度的活动交织在一起，各种感官协同作用，并最终内化为知识结构和认识能力，转化为数学素养。
当然，不同的观察内容，其要求和方法也不尽相同。但通过引导学生有序进行观察，并将想象、推理、思考、表达交织于观察活动当中，进而积累经验、形成空间表象，获得换位空间知觉印象，最终通过反馈与矫正发展空间观念，应该是“观察物体”这一内容的共同要求。
3，度量单位。
这是传统的教学内容。“空间与图形”领域的度量单位主要包括常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位等。以往的教学实践已积累了不少的成功经验。此内容的教学重点是：如何激发学生感悟度量单位产生的需要，进而以有意义接受或“类比创造”的方式建构度量单位，并在多样化的数学活动中进一步丰富度量单位的表象，深化体验，提升空间观念。
（1）激发学生感悟度量单位产生的需要。
所谓“掐去两头烧中段”，其中之意是指学生不理解新知为何要学习，它得产生的源头在哪里。学生往往“知其然”，但“不知其所以然”。这无论从知识建构本身，还是从数学思考的培养上看，都不可取。
度量单位的学习，通常源自这样一种需要，即解决新的问题时，原有的度量单位无法满足需求，需要一种新的度量单位介入。教师应通过创设新的问题情境，激活学生的认知冲突，激发他们主动接受，产生“创造”新的度量单位的愿望。如果这一类度量单位首次接触，可以采用“比较情境”，如比较两个图形的大小，通过观察或重叠无法直接比较大小，迫使学生想办法通过用同样大小的单位图形摆一摆，再根据单位图形的个数多少来判断。当然，如果用不同大小的单位图形摆，结果会更复杂，但其中蕴含一些数学思考及思想方法，同样值得考虑。如果前面已经接触过此类面积单位，则可创设“度量情境”。如学习了立方厘米后，教师可引导学生借用体积单位1立方厘米的小方块度量电视机包装箱的体积，面对新的情境，学生在经历尝试或思考后，自然会感悟到原有体积单位的“不适用性”，从而萌生“创造”一个新的体积单位的愿望，使数学学习成为学生内在生成的主动诉求。
（2）有意义接受与“类比创造”相结合。
我们以往比较关注学生对度量单位的有意义接受；现在我们更在意学生能否自己主动创造一个新的度量单位。事实上，二者同样重要，只是适宜于不同情况罢了。倘若首次接受面积度量问题，对小学生而言面积概念相对抽象，要使他们自己创造出新的面积单位有一定困难，且价值不大，通过引导学生观察模型、自学教材等方法进行有意义接受学习未尝不可。至于学生已经有了同类度量单位的基础，再遇到新的问题，需要有新的度量单位介入，教师引导学生借助已有经验及知识背景进行“创造”，也不失为一种可行之举。这里结合“面积单位”一课教学，作一阐释。
师：我们先来学习一个面积单位，叫做平方厘米。什么是1平方厘米呢？
生：（通过看书）边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。
师：（出示平方厘米的模型）请同学们仔细观察平方厘米这个面积单位，它是什么形状，有多大？看清楚了就把眼睛闭起来，在脑子里回想1平方厘米的面积是多大的正方形？在脑子里留下了平方厘米的样子吗？现在请把信封里的所有的平面图形拿出来（课前发给一人一份），把1平方厘米从里面挑出来。
……
师：（故意）请大家用平方厘米测量一下课桌上表面（学生使用的是单人桌）的面积。（学生度量，面有难色）这样量，大家感到怎么样？
生：这样量太慢了。用平方厘米这个面积单位度量课桌上表面面积太小了。
师：那么怎么办呢？
生：我想有没有大一点的面积单位呢？
师：真会想问题！这大一点的面积单位，就请大家来创造一下，叫什么呢？
生：叫平方分米。
生：叫平方米。
师：你能根据平方厘米的意义，想一想什么是1平方分米，什么是1平方米吗？
生：我想，边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米；边长是1分米的正方形，面积就是1平方分米；那么边长是1米的正方形，面积就是1平方米。
师：你们能用手比划一下1平方分米的面积大约有多大？1平方米呢？
学生比划，教师出示平方分米和平方米的模型让学生观察、对照，直至形成清晰表象。
从上可知，教学平方厘米这一度量单位时，教师没有引导学生进行所谓的“创造”，而是引导学生通过看书、观察、闭眼等活动进行学习，这恰恰是基于对学生认知起点的精准把握，也是教学有效性的体现。在学生掌握了平方厘米，且对什么是面积单位、面积单位通常可以用怎样的图形作“表征”后，再通过创设适宜情境，激发冲突，并自然而然通过类比迁移进行联想与“创造”，可谓恰到好处。既掌握了知识，又发展了思维，培养了学生的空间观念及创造能力。
（3）丰富度量单位的表象及体验。
能否准确建立度量单位的表象，在新的问题情境中能否使学生自觉唤醒，促进问题的解决，在教学中显得尤为重要。如何建立表象？关键是强化感知与体验。感知是体验的前提，体验是感知的深化。教学时应通过创设的多种活动，引导学生在“摸一摸、看一看、掂一掂、比一比、猜一猜、想一想、估一估”的过程中，调动各种感官，从各个角度丰富对度量单位的认识，从而形成鲜明的表象，促进学生对度量单位的理解与建构。比如“升和毫升”一课“浙江 谢作长），谢老师为了深化学生对这两个度量单位的体验，创设了各种有价值的数学活动。
●建立毫升的观念。
①玩一玩1升的水。
a、猜：刚才两杯饮料相差10毫升，请大家猜一猜1毫升水有多少？
b、玩：用针管吸1毫升的水，放在手心里玩一玩。
c、数：1毫升水会有多少滴？
②玩一玩10毫升的水：用针管吸10毫升的水挤入杯中，与1毫升比一比，你有什么发现？
③玩一玩100毫升的水：用针管吸100毫升水大概在水杯什么位置，然后小组成员盛水轮流倒入量杯量一量，看谁最接近100毫升。
●建立升的观念。
①玩一玩1升的水。
a、猜：如果10个小组都把这100毫升的水倒在一起，就是多少毫升呢？讲台上几个空瓶哪个能盛得下？
b、验证：10位组长按顺序倒入一个空瓶中，结果显示刚好能盛1000毫升，提示：1000毫升正好是1升。
②玩一玩2升的水：（举起2升的空瓶）这空瓶可以盛多少水？
学生猜测，教师倒水验证，并显示标签证实。
③猜一猜几升的水：出示几只大小不等的空瓶，猜一猜，每只瓶各能盛多少升的水。学生估计后，教师倒水验证。
活动过程中，有观察、有操作、有猜测、有验证，“放在手心玩一玩”“挤入杯中比一比”“倒入量杯量一量”……正是在这些富有实效、充满情境的活动中，学生不断地与新的度量单位“亲密接触”，尤其是，刚刚获得的表象又在猜想、验证的过程中不断予以调整、矫正，直到被深刻建构，并在体验中内化为稳定的心理表象。
至于度量单位之间的进率，教师可以在引导学生获得清晰表象后，借助必要的数学推理实现理解与建构，并在一定练习的基础上形成技能。
4．图形测量
教材根据小学生的思维能力及数学知识本身的逻辑结构，从一维、二维到三维的顺序依次安排了测量长度、度量角、测量面积和测量体积，并安排了平面图形的周长、面积与立体图形的表面积及体积等相关内容。图形测量在传统教材中扮演重要角色，是过去“几何初步知识”的核心内容。今天，虽然它在“空间与图形”领域的比重有所下调，但其重要性仍不可小觑。一方面，对于小学生而言，探索长度、面积及体积的计算方法蕴含太多的数学思考及解决问题策略，而相应实际问题的解决，又可以很好地培养学生的数学思维能力及问题解决能力。另一方面，作为一种重要技能，小学生理应掌握必要的“求积计算”及测量能力，这是他们数学素养的重要组成部分。
具体教学，我们可以大致遵循“探索中初建模型——应用中提升思考”的整体教学思路。
⑴在探索过程中初步建立数学模型。
数学模型的建立依赖于探索活动。同样的探索活动，探索材料不同、活动组织不同，学生所生成的对模型的理解程度及意义建构也会有所不同。下面，仅以“长方形、正方形面积计算”为例，作一具体解读。
案例一：
教师为学生提供如下材料：
透明方格纸、1平方厘米正方形纸块、尺子和一张印有六个图形的纸。
●教师呈现探索材料。
师：请自己选择材料和工具，想办法求出六个图形的面积，并把数据记录下来。
1号图：长5宽3 2号图：长4宽2
3号图：正方形边长2 4号图：正方形边长3
5号图：长4宽1 6号图：长6宽4
（长度单位：厘米）
●学生展开探索活动，然后小组交流。
第1组：我们组用透明的方格纸盖在2号图形上，发现2号图形里面一排正好有4格，有这样的2排，所以它的面积是8平方厘米。接着，我们又把透明方格纸盖在6号图形上，用同样的方法发现6号图形的面积是24平方厘米。
第2组：我们用小正方形摆在第1个图形上，横着摆一排5个，摆了这样的3排，一共摆了15个小正方形，面积是15平方厘米。
(补充：我们也是摆小方格的，我们一排摆5个，竖着又摆了2个，也能一下子看出一共要15个小方格，它的面积就是15平方厘米。)
师：（指图1）瞧，原来只摆7个，也能一下子看出它的面积!
第3组：我们用尺子在图1上画格子，长是5厘米，我们每排就画5格，宽是3厘米，我们就画3排，一共是15个小正方形，面积就是15平方厘米。
师：刚才用透明小方格去盖，用尺子画格子、用小正方形去摆，知道了这些图形的面积。比较这些方法，它们有什么相同的地方？
生：都是数方格的。
生：都需要知道一排有几格，有这样的几排。
师：长是几，就是有几个这样的面积单位，宽是几，就有几排这样的面积单位，长方形面积就是含有面积单位的个数。看来，长方形的面积和什么有关？又有什么关系？你能结合操作中的数据，说说它们之间有什么关系？
生：长方形面积等于长乘宽。
……
多元化探索素材的提供，打开了学生探索、研究的切入口与思路，他们有的数、有的摆、有的量、有的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，教师及时组织求同比较，在横向沟通中实现算法的共享，同时又使不同算法之间的本质意义在交流与比较中得到提炼和升华。
案例二：
教师为学生提供8个1平方厘米的小正方形，并先后依次出示如下四个长方形，引导学生借助手中的8个小正方形，通过摆一摆得出长方形的面积。
1号图：长4宽2 2号图：长6宽3
3号图：长8宽3 4号图：长12宽10
1号图形：学生很快通过摆一摆，得出它的面积是8平方厘米。
2号图形：学生先觉得小正方形不够，但通过积极思考后，他们想出“只摆1排和1列”，同样顺利解决问题。
3号图形：学生再度遇到问题，8个小正方形只够摆一排，怎么办？以上一问题解决策略的启发下，他们想出“摆完1排8个后，从中借3个再摆成1列”，从而同样巧妙解决问题。
4号图形：8个小正方形无论是摆1排还是1列都不够，怎么办？最终通过积极思考，他们从实物操作中摆脱出来，借助“想一想”，完成问题的解决。
四个问题恰好是四个不同层次，每一个层次的推进，都在无声地“导引”学生将思维从实物操作向表象操作，进而向算法操作过渡，从而在探索活动中真正完成对算法的意义建构。
两个案例的呈现，恰恰表明，求积公式的探索可以多元化。但是，题材的优化选择与组织，教师的恰当介入与指导，多种算法之间的沟通、比较与提升十分必要。唯有如此，好、更具一般意义的、相对抽象的算法才能为更多学生所理解与建构。
⑵在解释与应用中深化认识，提升数学思考
建立模型后，一个重要的环节是模型的应用与提升。必要的技能练习与复杂问题的解决在其中扮演重要角色。不必过分关注情境的现实意义，倒是数学思考的内涵值得我们仔细琢磨。比如，“角的度量”一课(江苏赵兆斌)，赵老师在练习阶段的设计相当有意思。
1．断了一角的三角形玉佩，如何测量断角的度数？
2．用量角器如何测量一个边很短的角？
3．猜一猜，下面的角可能是多少度？
(1)角的一条边指向右边的20度、30度、50度，另一边不给出。学生猜测20度、30度、50度后，教师出示另一边正对着零刻度线，学生成功通过。
(2)角的一条边指着60度，另一条边暂不给。学生猜测60度后，教师出示另一条边(指向反方向)，学生连呼上当。
(3)角的一条边指着70度，另一条边暂不给。学生冷静猜测：这个角可能是70度，也可能是110度。教师出示：角的另一条边不是指向零度刻度线。学生再呼上当。
(4)角的一条边指着80度，另一边暂不给。学生抢着回答：如果另一条边对着零刻度，这个角是80度或100度。如果另一边没对着零刻度，则无法知道角的度数。教师出示另一边，正对着30度刻度线。学生先是直呼“无法测量”，继而纷纷举手，“应该是50度”……
没有复杂、现实的问题情境，但每一个问题的设计都蕴含着丰富的思考内涵，且直指本课所学新知：如何准确地用度量器测量角的度数。学生在一波三折的思维波澜中不断经历着认知的结构的失衡与平衡，“角的度量”的认知难点被成功突破，思维能力也在解决问题的过程中不断得以提升。
此外，理解并建构了计算公式后，教师应营造有价值的问题情境，引导学生在解决问题的过程中既巩固计算公式、形成技能，又提升数学思考。问题情境的设置既要体现针对性，更要体现思考性、综合性。如“长方形、正方形的面积”一课，重庆郭莉老师的下述问题设计就很好。
问题情境：(主席台背景图)每个小正方形边长是2米，如何计算背景图的面积。
解决这一问题的过程，恰恰是学生最大限度地调用本课所学知识，并灵活予以综合应用的过程。
有些学生想到：根据正方形连长，算出长方形的长与宽，再求长方形的面积。
有些学生想到：先求出正方形的面积，再看看长方形中能有几个这样的正方形，从而间接解决问题。
其中，既有长方形、正方形面积公式的应用，又有长方形、正方形面积关系的呈现，而与此同时，平移的操作方法，空间想像能力及转化的数学思想等都在此得到很好的蕴伏与渗透。
“图形与变换”的备课与教学
曹培英
一、引进的背景。
为什么要在中小学引进图形与变换的内容？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。
我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上写成的不配名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧氏几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，从数学的视角欧氏几何提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，并且应用广泛，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实暴露出一些问题。例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大，等等。这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、解决。怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？
一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度，等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。
另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（KIein,1849～1925）在爱尔兰根大学做了现在大家叫做《爱尔兰根纲领》的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。《爱尔兰根纲领》公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。这一观点对基础教育数学课程中几何教学的改革也产生影响。
按照克莱茵的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在（相似比为1除外）。于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。
从国际数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说集合与对应的思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。
从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的开头具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。
从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换可以引出无数美妙和图案，使数学更生动地与现实世界联系起来，从而诱发学生主动探索奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。
总之，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。
当然，充分肯定引进图形与变换这部分内容的作用，并不是说它比其他内容更重要，更不能认为它可以代替其他内容的学习。我认为，这主要是因为学生只学习传统几何内容不能适应时代要求，而作出的必要补充。
二、概念的理解。
以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性。图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。中等师范学校的数学课程大多也这样处理。教师在职进修大专学历的数学通常直接从空间解析几何或数学分析切入。所以有关平面图形平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。
通俗地讲，所谓平移就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合学生的认知水平，但对教师来说绝对是不够的。请看一个案例。
在一堂教学“平移与旋转”的公开课上，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执著地要求发言，他说：我坐过摩天轮，我坐在上面始终是头朝上、脚朝下，所以我认为是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与坐舱的运动不是平移，也有少数认为是平移。是否是旋转呢？同样也有两种意见。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。
这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。
1，什么是变换？
一般地说，所谓变换是指某上集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点都对应于该平面内某个新图形的一个点，且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。
几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。
能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。
能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。
在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。
2，什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？
先说平移与旋转。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。
如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。
现在我们可以回答前面的摩天轮座舱问题了。摩天轮在旋转，但上面的座舱及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座舱上下问中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。
那么座舱及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座舱下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。
明明摩天轮在旋转，而座舱与里面的人却不是在旋转，而是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座舱顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座舱也在逆时针细微地转动，从而使座舱与里面的人始终保持向上的方向，并且座舱与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。
再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学上它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等，都不在我们讨论的范围之内。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。
如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。
构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如图3）；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如图4）。
成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。
我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕（所在直线）叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。
在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。要是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去把平移与旋转放在解析几何论，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用格纸，也是这个道理。
3，平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？
首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下：
（1）当两条对称轴平等时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称同之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互平行）相当于一次平移。
（2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。
上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或围转的效果。
例如图5中“带烟囱的房子”经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图6中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。
此外，上面两条结论反过来同样成立。即一次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。
在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图7的四叶图案，其中的每一片叶，即可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。
认识三种全等变换之间的联系，也有助于我们理解在数学中研究图形变换的关注点，主要在于变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系。
三、目标的把握。
无论是第一学段还是第二学段，《数学课程标准（实验稿）》都不要求对三种变换做出一般化的描述，更不要求给出定义。
从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，教学目标可概括为：积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”、“会画图”。离定性地认识、定量地研究还有一定距离。
因此，学习的主要方式是结合实例，通过观察与动手操作，如折纸、画图等活动来进行。而且还规定了画图的行为条件“在方格纸上”。这是数学的需要（提供参照系），自然也是降低学习难度的需要。
仔细分析不难看出，两个阶段的学习目标，呈现螺旋上升的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。同时还要求初步体会图形的相似。
两个阶段学习目标的递进又是细微的。有些光靠课程目标简练语言的描述还显不够。以画轴对称图形为例，第一学段“画出简单图形的轴对称图形”与第二学段“画出一个图形的轴对称图形”有什么区别呢？考虑到小学以认识轴对称图形为主，关于直线对称的两个图形可以出现，但一般不要求学生画。所以，我们可以理解为，前者要求画出的图形比较简单；后者可以是一个有所组合的图形。
更进一步，就是灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。实现这一目标需要学生综合运用有关知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。由于设计图案的过程是开放的，不同的学生可以有不同的设计、不同的表现。因此这又是一个具有弹性的、能够体现学生学习与个性差异的目标。
四、教材的梳理。
1，对称现象和轴对称图形的感知。
过去的小学数学教材，尽管也有轴对称图形，但一般安排在高年级出现，并局限于轴对称图形的认识。现在则加强了观察生活中的对称现象以及画轴对称图形的内容。有的教材还增加了初步感知镜面对称的内容，使对称现象的认识，从一开始就显得更加丰富、充实。
在第一学段，教材一般都会给出各种生活中常见的对称物体让学生观察，引导学生从对称的视角去重新认识平时经常看到的物体；然后再通过折纸、剪纸等活动，引出轴对称图形。有的教材由折痕引出“对称轴”的概念，但不出轴对称图形的概念（如人教版二年级上），也有的教材两个名词都出现（如北师大版三年级下）。各套教材的共同点就是提供了现实生活中比较常见的一些物体、一些图形、一些交通标志及英语字母，或者一些国家的国旗，让学生观察、判断。提供这些素材的意图，一是激发学生的学习兴趣，体验轴对称图形的多样性及其应用的广泛性，只要注意观察，经常能看到；二是丰富学生的社会知识；三是体验对称美，体会生活中为什么会有大量的对称物体、对称图案，培养对数学的情感。
镜面对称同样是日常生活中的常见现象。在儿童生活里（如照镜子），在童话故事里（如猴子捞月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在语文课文里（如水平如镜），都不乏这种现象的实例。这方面的很多实例还很容易引起学生的兴趣和探究的欲望。因此，在第一学段就引入镜面对称，具有一定的认知基础。然而，镜面对称与轴对称既有联系，又有区别。它们的联系在于两者都改变图形的方向，如左右互换。区别在于镜面对称严格地说是一种物体或图形关于某个平面的对称，而不是关于一条直线的对称。上面提到的照镜子，是相对于竖直平面的对称；水面倒影是相对于水平面的对称，这是两种特殊的也是最常见的镜面对称。如果在纸上画一个图形，旁边竖一面镜子，则随着镜子摆放位置、角度的变化，图形（镜面对称的“像”）的变化非常多样，对学生来说可谓变幻莫测。所以，一般只是让学生在照镜子的活动中，通过比较镜子内外人与像的位置关系，初步感受镜面对称的特点。至于“镜面对称”、“平面对称”等名词以及镜面对称的性质，教材通常都不会涉及。
2，轴对称图形的初步认识。
第二学段关于轴对称图形的初步认识，主要内容一是从折纸或观察入手，找到并画出一个图形的对称轴；二是借助方格纸观察并发现轴对称图形的特征，如对应点到对称轴的距离相等，进而根据这个特征，学习在方格纸上画出轴对称图形的另一半，也就是先根据对应点到对称轴的距离，确定图形另一半的顶点，再把对称图形画完整。显然，画出轴对称图形的关键在于掌握对应点的规律。下面两道例题，具有紧密的内在联系。
前例是后例的基础，例②所要画的图形实际上是一个组合图形，比第一学段的简单图形稍复杂一些。
3，平移、旋转现象的感知。
平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。所以第一学段的教材在首次介绍这两种现象时，都会注意结合学生的生活经验，列举一些学生比较熟悉的事物，如火车车厢、电梯间的运动和螺旋桨、钟摆的运动，等等，唤起学生的联想，使他们重新审视生活里某些常见现象哪些是平移、哪些是旋转。在结合实例初步感知平移和旋转的基础上，体会他们的不同特点，进而学习在方格纸上把简单的图形沿水平方向或竖直方向平移几格。这就达到了本学段的学习目标。
这部分教材的特点是，既不给平移和旋转下定义，也不用语言描述，只要求学生获得物体平移、旋转的感性认识，初步体会生活中的平移现象和旋转现象是很普遍的。
为了提高学生的学习兴趣，让学生在玩中获得感悟，有的教材还运用运动变化原理设计了一些新颖、有趣的“学具”。例如，下面的“拉一拉”、“转一转”，巧妙地蕴含了平移、旋转的特点。
4，平移、旋转的初步认识。
第二学段的教材中，有关平移的初步认识大多没有多少新的内容。因为依据课程标准，学生在第一学段已经学习了利用方格纸沿水平方向或垂直方向平移简单图形。第二学段在方格纸上平移图形也只能沿这两个方向，至多把两个方向的平移综合起来，如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。学生有了平移的初步认识，再来学习画平行线就比较方便了。所以有的教材安排了引导学生用平移方法画平行线的内容。这样安排可以发挥学习的正迁移作用。
第二学段有关旋转的初步认识，除了继续联系现实情境让学生进一步体验图形旋转的特点外，主要是学习在方格纸上将图形旋转90°。通常教材的编排是先通过实际情境使学生认识顺时针旋转和逆时针旋转，然后教学怎样在方格纸上把一个简单的图形旋转90°，让学生在动手的过程中体验旋转的方法。
各套教材都会安排的一个课题就是欣赏与设计图案。通常先让学生欣赏一些漂亮的图案，并思考图案的形成，即这些图案是经过怎样的平移、旋转或翻转得到的。然后启发学生尝试用平移、旋转或轴对称的方法做出一些简单的图案。在此基础上，放手让学生灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案。教学实践表明，这是一个数学应用与审美、手工融为一体的学习课题，也是一个能够培养学生的创新精神与初中能力结合起来的载体。在小学数学学科中，这样的有效载体为数不多，应当充分用好。
五、教学的策略。
1，注意选取生活中较为典型的例子，让学生感知对称、平移、旋转现象。
我们知道，数学新课程的主要改革趋势之一就是加强数学与儿童生活的联系，关注数学的抽象与数学的应用。因此教学图形变换时大家都想到了联系现实生活，由观察实例切入教学。这一教学策略，符合儿童的思维特点和这部分内容的教学定位。儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形变换这样的抽象概念来说尤其需要。小学阶段关于图形变换的教学定位在于积累感性体验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。
从近几年教学实践看，需要注意实例选取与活动设计的典型性。
以平移和旋转为例，生活中有许多物体的运动可以看作平移或旋转。学生在生活中也或多或少接触过平移、旋转现象，这是他们已有的认识基础。但是生活中的平移或旋转现象并不都是数学意义上的平移或旋转。如果选来让学生观察的例子不够典型，就容易屏蔽概念的本质，有时还可能产生歧义，不利于学生形成正确表象。我们来分析下面三种不同的教学活动设计。
活动一：请学生表演健美操的走步与转身动作，作为平移、旋转的观察例子，一人表演，众人观察。
活动二：让学生自己用各种动作表示平移、旋转，同桌互相表演，再全班交流。
活动三：让学生用铅笔头表示交流工具在方格纸上平移或旋转。
以上三种活动都富有童趣，都能激发学生学习热情，后两种活动还做到了人人参与。差异表现在：
实施“活动一”时，学生对健美操走步时的跳跃现象产生了质疑。争论后形成的共识是走步才是平移，但实质上跳跃与走步在这里并没有本质上的区别。
实施“活动二”时，学生大多数能够自觉区分移动与转动，但平移与旋转的要素显示不明显，不少学生以为旋转就是转圈。
实施“活动三”时，平移与旋转的要点反映得比较清楚。特别是旋转，经过讨论，学生在教师指点下得到了以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点）进行旋转。
因此，从尽可能地接近数学概念的本质来看，“活动三”更具有数学的典型意义，它有利于我们避开干扰，把学生的注意力集中到平移与旋转变换的数学意义上来。
同样，当我们采用图片来揭示平移、旋转时，也应该尽可能地关注实例的典型性。例如，下面的两幅插图看似相同，实际上却是有区别的。转动老式的水龙头（如图13），其运动是旋转与平移的合成。只要打开水龙头就能发现一圈圈的螺纹。而新式的水龙头是转动阀门，更接近于单纯的旋转，虽说小学生一般发现不了旋转与螺旋的区别，但为了确保教学的科学性，避免给进一步学习造成误导，还是尽可能注意为好。
此外，还有必要因地制宜选择一些当地特有的平移、旋转现象作为补充的实例，使之更贴近本校学生生活中的所见所闻。农村地区的教师，尤其应当注意这一点。
2，注意适当简化、抽象对称、平移、旋转的实例，引导学生感悟它们的数学意义。
在让学生观察生活中的对称、平移、旋转现象时，要注意引导他们对观察对象加以适当的简化、抽象，忽略一些无关紧要的细节，着重从图形变换的角度去观察、思考。
例如，观察对称现象时常常使用天安门、蝴蝶等照片。就实物而言，它们除了关于直线对称，还有其他的对称。因此有必要把它们简化、抽象成图案（平面图形），再来对折、研究。这样既有助于学生感知轴对称图形的特点，也有利于培养学生的数学抽象概括能力。其实，对事物的简化与抽象也是数学建模的第一步，它与数学课改所强调的适度非形式化，是不矛盾的。
类似地，学生观察生活中的平移、旋转现象时，应当引导他们着眼于整体，不被一些细节所纠缠。例如，火车在一段笔直的轨道上行驶，舍去车轮滚动的细节，只看火车车厢的运动，就可以看作平移。又如前面讨论的摩天轮的运动，如果不去考虑座舱，或者把座舱看成一个点，那么毫无疑义摩天轮在旋转。可见，舍去一些与研究主题无关的非本质属性，既是一种能力的培养，也是一种避免无谓纠缠的教学策略。
作为教师还应当理解，物体的运动可以从物理学的角度去观察，考虑它的速度、加速度和位移；也可以从数学的角度去观察，研究运动前后物体的形状、大小有没有改变，位置关系发生了什么变化。数学与物理有着许多天然的联系，如前面分析的摩天论座舱的运动，在物理学中称为“平动”。我们有意识地、不露痕迹地引导学生透过物理运动的现象去观察、研究它的数学意义。从目前的教学实践来看，较为普通的现象是讨论来讨论去只涉及物体的运动，却只字不提运动前后物体的形状、大小不变。这是有失偏颇的。如前所述，平移与旋转都是全等变换，它们共同的实质就是不改变图形的形状与大小。这一特征只要教师稍加提醒，一般学生都能感悟。
3，借助操作活动帮助学生形成初步表象。
加强学生的操作活动，也是提高图形变换教学成效的一个重要策略。这一教学策略“迎合”小学生好动的年龄特征，把“好动”引导到数学学习上来。同时它又切合了教学内容的特点，因为小学生主要是从运动角度去认识平移与旋转的。
教学中除了用好教材提供的一系列活动，如折纸、剪纸，拉一拉、转一转、拼一拼等之外，教师还可以根据学生的特点，自行设计一些活动。例如，让学生用橡皮表示小乌龟，在课桌上按指令移动，体验平移的特点。又如，让学生站立并伸直右臂，向左、右转，获得逆时针旋转90°、顺时针旋转90°的切身感受。再比如，让学生自照镜子，通过观察镜子内外的人的位置的关系感悟镜面对称的特点。知道照镜子时，镜子内外的人上下、前后位置不会发生改变，而左右位置发生了对换。
4，指导学生探索在方格纸上画轴对称图形，或平移、旋转图形的方法。
在方格纸上画图，是一种特殊的操作活动，它在图形变换初步认识的教学过程中，具有不可或缺的作用。因为学会画图是学生必须达成的学习目标，同时它又是反映学生是否理解有关概念，掌握有关特征的现象形式与检测手段。
在方格纸上画出一个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形，对小学生来说，是初学时的一个难点。它不同于剪纸，只要对折剪，剪出来的图形必定成轴对称。它要求学生根据图形已知的一半来确定另一半，有的学生会感到困难。
教学时，可以先让学生观察方格纸上的轴对称图形，分析每一组对应点与对称轴的关系，找出规律后，再独立尝试把图画完整。观察表明，有些学生能依据对应点的规律来画，有的则根据图形的对称性，试图一笔一笔画出来。在画的过程中，有的能够发现关键是确定每一笔的两个端点，也会有学生只顾画而忘了思考。课堂上可以通过交流，让他们总结画轴对称图形的经验，得出较为合理的步骤：先定各顶点→再连线成形。
学生基础好较好的班级，也可以先放手让学生独立尝试画出图形的另一半；然后在交流画图经验、体会的过程中，引导学生说出每一组对应的点与对称轴之间的关系，总结出规律性的认识。
学习在方格纸上画平移后的图形时，平移的方向一般学生都比较容易掌握，平移的距离则常有同学出错。针对这一难点，可以通过比较，使学生理解平移几格的含义。如图16，三角形向右平移了3格，还是平移了7格？通过辨析，使学生明确，平移了几格不是看两个图形之间空了几格，而是看对应点或对应线段移动了几格。
也有教师采用了创设情境、激趣设疑的方法展开教学。
师：这是一条小船（如图17），船头停着一只红鸟，船尾停着一只蓝鸟。小船开动了，它是在做什么运动？
生：（齐）平移。
师：对，是平移。这时两只鸟发生了争吵，红鸟说我在船头，我经过的路长一点。蓝鸟说，不对，不对，我在船尾，我经过的路比你长。请同学们讨论一下，两只小鸟说的对吗？怎样才能说肥它们停止争吵。
讨论后进行了交流。
生1：两只鸟经过的路一样长。我可以数给小鸟看，红鸟移动了8格，蓝鸟也移动了8格。
生2：我可以告诉小鸟，船头平移了8格，船尾也平移了8格。所以它们经过的路一样长。
师：如果小鸟停在船上的其他地方，平移了几格呢？
生3：也是8格。
师：请同桌两人互相点一点，假设小鸟停在那里，数一数，平移了几格。
最后，师生共同总结出：平移时，图形上每个点移动的格数都相同。
在此基础上，画出平移后的图形就比较容易了。可以让学生自己尝试，然后交流总结：先按要求平移图形的各个顶点，再连线成形。
第二学段，教学在方格纸上画旋转90°的图形时，可以先让学生用学具，比如三角形，放在方格纸上，按要求转一转，再画下来（如图18）；然后讨论三角形上的两条边转动到了哪里，由此逐步引出画图步骤（如图19）。
之所以先“转”再“画”，是由于动手旋转学具比画图容易。学生通过操作，看清楚了旋转后图形的位置，再讨论怎样画，就比较容易找到画图的方法。
5，引导学生验证关于轴对称图形的直观判断。
让小学生从一组平面图形或图案中找出轴对称图形时，他们基本上都是凭直观作出判断。这当然是允许的，因为有概念依据的直观判断能力应该加以培养。但也有必要引导学生对自己的判断作出验证。为了便于验证，教师课前应做好充分准备，把一些容易引起争议的图形或图案画在纸上剪下来备用。验证时学生可以采用折纸的方法，也可以采用尺量的方法，看看对应点到对称轴的距离是否相等。这样，有利于学生从不同角度体会轴对称图形的特征，也有利于把学生的思维逐步引向深入。
学生陈述自己的验证结果时，教师不必强求他们合乎逻辑地说明验证的过程，但应注意倾听，及时纠正他们不合逻辑的地方，使学生初步感受数学的严谨性。比如，可以凭一组对应点到对称轴的距离不相等，判定这个图形不是轴对称图形；但不能只凭一组对应点到对称轴的距离相等，就判定这个图形是轴对称图形。又如，只要找到一条对称轴就能确定这是一个轴对称图形，但不能因为对折一次两边不重合，就断定它不是轴对称图形，应该多进行几次不同的对折，确信不存在对称轴了再下结论。
6，准确把握教学目标。
图形的变换从概念到性质再到应用，内容本身有很大的发展空间。教师必须注意把握教学目标的适切性。前面，我们把这部分内容的学习目标，从可操作、可测量的角度概括为两个外显的学习行为“能识别”与“会画图”。这里“能识别”的范围，是指简单的轴对称图形和典型的、常见的平移、旋转现象；“会画图”的限制条件，一是利用方格纸，二是简单的图形，三是两个特殊方向上的平移和90°的旋转。控制在这样的范围内，一般学生经过努力都能达到要求。
更具体地，教师在确定各课时的教学目标时，除了依据课程标准，从整体上把握教学目标的“度”之外，还应参照课本、教学参考书中的单元教学目标，准确把握本学段的教学重点，并从本班学生的实际情况出发，把教学目标定在学生的最近发展区内。否则，容易加重学生的学习负担，欲速则不达。
“图形与位置”的备课与教学
曹培英
一、怎样把握“图形与位置”的学习目标。
有关图形与位置的内容分布于两个学段，梳理其学习目标，可以归纳为两个方面。
其一，确定物体的相对位置。包括物体相对于观察者的位置、物体与物体的相互位置以及物体在其一参照系下的位置。这方面，第一学段的重点是让学生在具体情境中学会观察、描述物体的相对位置。第二学段要求学生用数对表示位置或根据数对借助方格纸确定位置。有必要指出：这里的数对，应理解为两个数组成的有序数对，旨在渗透平面直角坐标的思想方法，为第三学段学习平面直角坐标系作好铺垫，而不是正式教学平面直角坐标，也不宜拓展为由三个数组成的表示三维空间位置的数对。
其二，辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。这方面，第一学段的重点在于认识方向，会用方位词描述物体所在方向。“会看简单的路线图”只要求指出每次行进的方向。第二学段则要求用方向和距离两个要素描述或确定物体的位置，进而运用方向和距离画出路线图，并根据比例尺和图上距离求出实际距离，或者根据比例尺和实际距离求出图上距离。
对照原来的《小学数学教学大纲》可发现，在上述目标中除了第二学段有关比例尺的那一条之外，其他都是本次课改引进的内容。
仔细分析这些新增内容，对教师来说暂时还缺少教学经验，但对大多数学生来讲学习困难并不大。因为其中需要理解的知识性内容所占比重较小，主要是建立方位词的使用和图示方式、方法，比重较大的是操作性技能。但若偏离“初步认识”的整体定位，随意拔高要求，则无论是数数对表示位置，还是用方向和距离确定位置，都很容易构成超出多数学生认知水平的难题。就边“左右”也可能令学生捉摸不透。例如：
老大爷是左手举着鸟笼，还是右手举着鸟笼？
因为“被观察的是人”，所以应以老大爷为标准，答案是老大爷的左手举着鸟笼。
小男孩的左边有几个足球？
有两种意见，一种意见认为它和问题一相同，答案是小男孩的左边有4个足球。另一种意见认为它与问题一有区别，不是问人的左手拿着什么，所以应该有两种答案，即以观察者为标准，小男孩的左边有3个足球；以小男孩为标准，则他的左边有4个足球。
问题三：
小白兔的左边有几个萝卜？
同样有两种意见。一种认为小白兔是动物，应以观察者为标准；反对者认为，新课程要求教师关注儿童文化，在很多小学生看来，小白兔是他们的伙伴、朋友，难道我们不允许儿童对小动物“拟人化”吗？
这种钻牛角尖的题目令教师自己也“左右为难”了。
其实，对于左右的相对性，只要能够正确分辨他对面的人哪一只手是左手或右手，并能据此判断对面人的左边、右边就足够了。这对一年级学生来说并不困难。如果有个别学生不能每次都正确辨别自己和对面人的左右方位，也不必大惊小怪。因为儿童的发展有快有慢，并不是每个7岁儿童都能达到掌握左右的相对性这一概念水平。让儿童自己的发展去解决左右概念的发展问题，也不失为一种可以选择的策略。因为左右概念发展的迟缓，对小学二、三年级的数学学习影响并不大。
至于联系生活实际的应用，一个难度比较适当而又富有现实教育意义的情境就是“上下楼梯靠右行”。比如，人民教育出版社与江苏教育出版社的数学实验教材中都有这一内容。
在这个情境中，既有自己的左与右，又有对面同学的左与右，是综合性的应用练习，其辨别难度较大。但由于学生有一定的学校生活经验，所以多数学生能够理解。
从教学上下、前后、左右的目的看，主要是为了通过发展学生的方位知觉来帮助学生认知物体的相对位置（如同学上下楼梯时的相对位置），并逐步形成空间观念。因此，没有必要引入判断标准由人到物的转换训练以及被观察物是否具有“生命”的辨析，也不宜在这里展开多种答案的讨论。因为儿童建立左右概念，不需要去区分被观察物是否具有生命，去经历“智力磨刀石”式的思辨性讨论。这类讨论用到了左右的概念，但却不是建立左右概念本身所需要的。
二、怎样把握“图形与位置”的教学内容。
1，物体相对位置的教学内容。
为使小学生认识三维空间，比较恰当的起点恐怕莫过于用上下、前后、左右来描述物体的相对位置了。因为相对于东、南、西、北来说，方位词上下、前后、左右在儿童生活中出现得更早，使用频率也要高得多。
研究表明，儿童最早分辨出的是垂直轴上边的方向，儿童对垂直轴下边方向的区分以及对水平面两对方向（前和后，左和右）的区分则要晚些，其中尤以对左、右的区分更显困难。儿童在6岁时就能完全正确地辨别“上、下”、“前、后”，但对“左、右”的辨别尚未发展完善。在此过程中，儿童首先以自身为中心，把不同的方位与自己身体的一定部位相对应，建立起联系，如：上边是头，下边是脚，前面是脸，后面是背，右面是右手，左面是左手；然后才能逐步过渡到以别人为标准辨别前后、左右。
一般儿童对空间方位的表征有三种递进发展的形式：一是“自我中心的表征”，即用主体自身与目标物之间的位置关系来标明目标物的具体位置。如儿童背靠着物体，说物体在他的后面。二是“自然标志的表征”，即用环境中的其他物体与目标物之间的关系来标明目标物的具体位置。如茶几在沙发的前面。三是“去自我中心的表征”，即利用一些抽象的形式来描述目标物的位置。如用有序数对来描述目标物的位置。
以心理学的研究为依据，教材总是按照儿童认识空间方位的难易程度来编排教育顺序：“上、下”→“前、后”→“左、右”。同时，教材对于“上、下”、“前、后”的认识，通常尽量放手让学生独立辨别，对“左、右”的认识，则相对引导得多一些，并且总是从学生自身的左右过渡到对方的左右。换句话说，教学的重点和难点都在“左、右”。
关于用两个数确定“位置”的教学内容，多数教材在第一学段就已开始引入。这时的处理方式只是结合生活实际，让学生从两个维度，用两个“第几”来描述一个物体的位置，暂不要求用数对来描述。如“我的座位是第3组第2个”，不要求用（3，2）来确定“我”在教室里的位置。
在此基础上，到第二学段再抽象出数对，学习用数对来描述物体在一个平面中的位置，并学习在方格纸上用数对来寻找、确定位置。这时，数对的认识与折线统计图定点、描点的学习，可以起到相互促进、相得益彰的教学效果。
从数学的角度思考，上下、前后、左右这三组位置关系所确定的方向，与构成立体空间的三个维度（即空间直角坐标系中的x轴、y轴、z轴）恰好对应。反过来，也可以认为空间直角坐标系就是上下、前后、左右的数学抽象。同样，从第一学段用两个“第几”来描述一个物体的位置，再到第三学段建立平面直角坐标系，正好构成一个较为完整的、螺旋上升的数学抽象过程。因此，在小学让学生掌握这些方位词的含义和相对性，对于他们初步感受抽象的立体空间，对于中学阶段学习平面的、空间的直角坐标系，有着隐性的后期效应。
如果从数学知识的逻辑顺序来讲，应该先建立平面直角坐标系，再讨论空间直角坐标系。然而，在小学却先讲上下、前后、左右，再学用两个“第几”描述位置，似乎颠倒了。这是为什么呢？原来，儿童最初的观察，看到的都是三维空间里的立体物品，随着知觉选择性的发展，才能将目光集中到物体外表的某个面上，进一步的发展又注意到了两个面相交的地方有一条“边”。这与几何学中，“点→线→面→体”的顺序恰巧相反。类似地，儿童开始区分上下、前后、左右的空间位置，也比他们在生活中感悟需要用两个“第几”来描述物体的平面位置要早得多。这里我们看到了一个协调数学知识逻辑顺序与儿童认知顺序的典型个案。
2，方向和路线图的教学内容。
在第一学段引导学生辨认方向，有两方面的认识基础。首先是儿童的生活经验。无论是生活在城市还是农村，儿童从小就知道太阳从东方升起，在西方落下。随着活动范围的扩大，儿童在日常生活中对东、南、西、北等方向的认识也逐步积累了一些感性经验。其次是关于上下、前后、左右的学习。尽管这些方位词与东、南、西、北等方位词属于两套方向系统，前者涉及三维，以自我为中心；后者只涉及二维，以地球为中心。但上下、前后、左右的正确使用，毕竟有助于发展学生的空间知觉和方向意识，从而也能为辨认东、南、西、北等方向和正确使用新学的方位词提供一定的学习基础。
有关水平面上八个方向的认识，教材一般分为两个层次。第一层次行认识东、南、西、北；第二层次再引进东北、西北、东南和西南。在第一层次中，首先引导学生从自身的方位出发，来认识东、西、南、北方向，知道东、西是两个相对的方向，南、北是两个相对的方向，进一步了解东、南、西、北这四个方向之间的关系，并形成辨认的技能。然后再把这些方位和平面示意图或地图的方位联系起来，让学生认识上北、下南、左西、右东的规定。下面是比较典型的一个教材设计的实例（见人民教育出发社《数学》四下），从中我们不难领悟由真实的现场情境抽象出平面示意图的大致教学脉络。
然后，教材通过呈现诸如街区图、导游图等平面示意图，创设“问路”之类的情境，让学生学习根据给定的一个方向辨认其余三个方向或七个方向，并描述行走的路线。这就将形成辨认图上方向的技能与学会看简单路线图的练习有机结合在一起了。
第二学段进一步引入用方向和距离确定物体的位置。这时，学生不仅能够根据东、南、西、北等八个方向描述物体的位置，而且在运用第几行、第几列等方式描述物体位置的学习过程中，已经初步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。在此基础上，学习怎样通过方向和距离这两个条件确定物体的位置，仍然具有一定的难度。因为这两个条件不像数对那样都有序数，它们一个是角度，一个是距离，其中角度的规定，又比较复杂。目前的几套教材，都避开了测量学中的“方位角”，而采用比较直观的方式确定方向的角度。
按照方位角的定义，从某点的指北方向起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。利用方位角便于计算；但对小学生来说，不够直观，测量时比较麻烦。比如方位角是210°（如图10），它的位置可以更加直观地说成南偏西30°（如图11），用量角器测量时只能量它的邻角（如图12），或者量它的邻补角（如图13），再计算出方位角。
目前的教材采用图11的方式确定方向的角度，比较直观。但随之而来的问题是，“南偏西30°”也可以说成是“西偏南60°”。对此，有的教材建议教师，出现两种答案时，“应告诉学生在生活中一般我们先说与离得较近（夹角较小）的方位”。仍以图11为例，一般说成“南偏西30°”。
有了这样的约定，学生确定某一方向的角度时，需要先看清物体所在方向线与东、南、西、北的哪个方向线靠得较近，然后再用量角器量出角度。类似地根据路线图描述行走方向时，同样需要先做出正确判断，再据此度量与陈述。
从数学的角度来看，用方向和距离确定位置，渗透了平面极坐标的思想。在极坐标系中，用两个坐标参数（r，
）也可以表示平面上任意一点（如图14）。
有关比例尺的内容，主要是比例尺的含义及其表现形式（数值比例尺与线段比例尺），按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。这些内容以前的小学数学教材中也有。改进之处主要是更加重视现实情境中的应用，更加关注问题解决策略的多样化。例如，看地图求两地的实际距离，不一定非要根据给定的比例尺和图上距离列出方程或算式求解，也可以用圆规和尺量出图上距离，利用图注的线段比例尺直接换算成实际距离。
在小学学习比例尺，了解图形的缩小与放大，改变了图形的大小，但不改变图形的形状，对于以后认识图形的相似，探索相似图形的性质，具有一定的铺垫作用。
以上，为了方便叙述，把“图形与位置”的教学内容分成“相对位置”、“方向与路线图”两部分分别讨论。事实上，位置与方向既有区别，又有联系。无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。例如，“我在你的东边”，“向东走”，前者表示相对位置，后者表示方向。此外，描述路线时，物体的位移，沿着道路前进可以看作平移，到某地点拐弯则相当于旋转。这又是“位置”与“变换”的内在联系。教师理解这些联系有助于全面把握教材，同时也是恰当应对学生质疑的一种必要储备。
三、怎样增强“图形与位置”的教学效果。
1，依据儿童认知空间方位的特点进行教学。
以左、右的教学为例。心理学的实验研究表示，儿童辨别左、右的依据主要是手（优势手即右手）。因此教学时，可以从举右手开始，让学生说明左、右手的习惯性分工，将左、右与自己的左、右手对应起来，以建立左、右的标准。初学时学生即使发生错误，也可以提醒他们联系左手和右手加以纠正。请看一年级下学期教学左、右的课例。
（1）导入新课，激发学生的学习兴趣。
师：今天这节课我们一起来做游戏，在游戏中学习新的本领，你们愿意吗？愿意的请举手。
（有的举左手，有的举右手。）
师：举着别放下。现在谁能告诉我你举的是左手还是右手？
生：我举的是右手。
师：那另外一只手是左手还是右手呢？
生：左手。
师：对，我们都有两只手，左手和右手。大家说说看，我们在生活中常用右手做哪些事情？
生：……
师：我们大部分小朋友都习惯右手做事。但是有一些小朋友是左撇子，习惯用左手做事。我们的左手和右手是一对好朋友，配合起来力量可大了。大家找一找，我们的身体上还有这样分左和右的好朋友吗？
生：……
师：我们身体上像左手、右手这样的好朋友可真不少呀！这节课就来认识左、右。（板书“左与右”。）
（2）巩固对自身左与右的认识。
师：你是怎么记住左和右的？
生：……
师：我们来运用左和右做个机器人游戏，我是遥控器，你们是机器人，我发出指令，比一比哪组机器人的动作做得又对、又快、又整齐。机器人准备好了吗？
伸出左手摆一摆；
跺跺你的右脚1，2，3。
师：现在遥控器要提高难度啦，听清楚。
左手拍左肩（做错的小朋友纠正）……
（3）感知身边的左与右。
师：自己身体上的左和右都清楚了。你身边的左和右分得清吗？我们来看这个同学（拿出小女孩的头像贴在黑板上），她坐的方向和你们一样吗？
生：一样。
师：那么她的左和右在哪里呢，谁来贴贴看？
（请学生贴出左、右两字）
师：第二个游戏“找邻居”，请你们找出自己左边和右边的邻居。同桌两人互相说说。
（同桌两个学生互说、互评。）
师：我们来听听几位小朋友找的邻居对不对。
（学生汇报。）
师：每位同学都找到了自己的邻居，在以后共处的日子里，邻居之间可要相互团结、相互帮助。
（4）理解左右的相对性。
师：自己身边的左和右也分清楚了。那么左和右还有什么小秘密，你们想知道吗？现在我请一个小朋友上来。
（请一位同学上讲台，背对大家举起右手。下面的同学也举起右手。）
师：她现在和你们方向一样吗？
生：一样。
师：我们请她向后转。现在她和你们怎么样？
生：现在她和我们是面对面。
师：那么她的左和右呢？
师：哦，你们发现了什么？她的左与右和刚才的左与右有什么不一样？
生：左和右相反了。
师：（拿出另一个头像与左、右两字）谁来贴贴看。
师：对呀。面对面的情况下，左和右相反了。
师：现在我们请她做一些动作，你们说说她的动作是怎样做的。
（分别是：左手摸左耳；右手摸左边的辫子；右手碰左边的膝盖。）
师：你们说得很对。有什么好方法可以说得又快又准确？
生：我只要看。我看到的左就是她的右。
师：为什么？
生：因为我们面对面，左和右相反了。
师：你们真棒，一下子就发现了这个小秘密。
（5）巩固左右的相对性的练习。
师：下面我们就利用这个小秘密，再做一个机器人游戏。请全体起立，第一、第三行同学向后转。
现在前后两个同学都面对面了。听清楚指令：
用你的右手碰对方的右肩……
师：大部分同学都做对了，个别小朋友开始时反应有点慢，别着急，看看你的右手，想想他的右手在哪里，就能做对了。
（6）左右在生活中的应用。
①由学生举例说说左右在生活中的应用。
师：其实生活中有很多事情要用到左和右的。请小朋友们说说看，我们生活中哪些事情是按照左、右规则的呢？
生1：吃饭的时候用右手。
生2：写字的时候是先左后右。
师：对呀，我们写算式的时候也是从左往右写的。（课件演示算式书写过程：3＋2=5）还有吗？
知：我们读书的时候也是从左往右一个一个字读的。
②上下楼梯该靠哪边走？
师：真不错。我们生活中很多事情都要分清左右。请大家看这样一幅图。（课件演示：小朋友上下楼梯图）我们上下楼梯的时候该靠自己的哪边走呢？请你们讨论一下。
生：我们上下楼梯该靠右边走。
师：为什么呢？
生：因为不靠右边，如果一个人上楼靠右，另一个人下楼靠左，他们会撞的。
……
师：非常好。为了安全，避免碰撞，我们小朋友以后走楼梯的时候该靠自己的右边走。大家要遵守上下楼梯的规则。
（7）左右在数学中的应用。
①连加减的运算顺序。
师：那么左和右在数学中还有哪些应用呢？我们一起来看看。
8＋2＋3= 10－4＋5=
同桌两人互相说一说计算的过程和顺序。
师：你们是按照怎样的顺序算的？
生：从左到右。
师：这是什么？（在黑板上贴出数轴）我把1贴在这里，2该贴在1的哪边？
生：贴在1的右边。
师：3呢？4和5谁来再贴一贴。看来越往右的数越怎么样？
生：越大。
师：以后我们还会发现很多与左右有关的规律。
综观上述课例的教学过程：认识自身的左右→巩固练习（“机器人”游戏1）→认识身边的左右→巩固练习（找“邻居”游戏）→认识左右相对性→巩固练习（“机器人”游戏2）→了解左右的应用（生活中的应用→数学中的应用）。
整个过程脉络清晰，引领学生逐步提升左右概念的概括性和灵活性。在联系实际方面，又初步揭示了左右在数学中的应用，而不是整节课除了伸手、抬腿直至“韵律操”，没有一点数学味。
同样，教学东、南、西、北时，也应根据学生的认知特点，引导他们利用自身的方位来形成辨认东、南、西、北这四个方向的技能。例如，把学生带到操场上，让他们说一说早晨的太阳在什么方向。让学生面向东站好，告诉他们背对着的方向是西；再让学生伸开两臂，左手指的方向是北，右手指的方向是南。从而利用学生已有的前、后、左、右的方位知识与东、南、西、北建立起联系，帮助他们认识这四个方向。然后，结合学校的具体情况，让学生说出校园内的四个方向各有什么建筑物，使学生进一步熟悉东、南、西、北这四个方向，并能用这些词语描述建筑物所在的位置。
2，创设丰富的生活和活动情境开展教学。
图形与位置这部分内容与小学生的实际生活具有天然的联系。利用这一联系让学生在感兴趣的情境中进行学习，有利于唤起学生已有的常识和经验，提高感知的效果。
例如，在第一学段教学用两个序数表示位置，可以通过一系列的活动开展教学。
（1）让教室里第一行的同学起立，老师想请第2个同学回答问题，他是谁呢？（感受约定方向的必要性。）
（2）出示教室情境图：这是×年×班的同学们。看！他们坐得多整齐呀。班上来了一位新同学，他坐在你们的左边数起第3个座位上，他是哪个呢？为什么不能确定？（感悟只用一个第几还不能确定座位，引入两个第几。）
（3）介绍自己的座位——第几行第几个。（巩固）
（4）书架上找书——第几层第几本。（应用）
（5）居民楼找房间——第几单元几零几。（应用的拓展，序号和编号。）
（6）电影院找座位——第几排第几座。（涉及单、双号。）
又如，在第二学段教学比例尺，不妨先提出一个有趣的问题：一只蚂蚁从上海爬到北京，只用了10秒，这是怎么回事呢？由此引出中国地图。让学生观察：什么变了？什么没变？进而让学生讨论，怎样缩小才能使图形的形状不变？然后让学生尝试把长10米、宽7米的教室地面画在纸上，并完成下表。
在此基础上，概括比例尺的含义就“水到渠成”了。接下去可以小组为单位，分别研究各种城市地图、公园导游图、房屋平面图、仪器零件设计图等，通过交流，让学生凭借实例理解线段比例尺与数值比例尺、缩小比例尺与放大比例尺的异同。
教学实践表明，借助适当的情境与活动，揭示数学知识的实际背景遭到现实原型，鲜活、生动，能给学生留下深刻的印象，有利于所学知识的建构。
3，加强教学的针对性，突破学习难点。
学生在学习和掌握这部分内容的过程中，常会出现一些困难。这些困难往往与学习的难点有关。教师应当分析产生困难的原因：是技能问题还是认知问题，进而“对症下药”。例如，测量表示方向的角度，常有学生感到无从下手。以下面的问题为例：
星期日欢欢和乐乐约定去图书馆，他们各自从家出发，到学校会合，再一起去图书馆。请你根据下面的图示（图17）量一量，并说出他们所走的方向和路程。
这里，学生的主要困惑在于怎样量角，其原因除了量角器的使用不熟练之外，更主要的问题是不明确操作的步骤和不清楚该量哪个角。
对此，教师可以边示范边让学生跟着做：①找到欢欢家，在表示出发点的位置上用虚线画“十”字；②看仔细哪个角更小，标上记号；③用量角器量出这个角的度数。经过反馈，剩下的两个角就可以让学生自己完成，教师巡视辅导个别还有困难的学生。
在教学过程中，为了促进学生思考、理解，教师还应当有意识地寻找教学契机，启发学生质疑问难，或者针对学生的疑惑提出问题让学生讨论。例如：为什么平面图上要规定上北、下南、左西、右东？比例尺是一把“尺”吗？
必要时，还可以设计一些对比练习让学生辨析。例如：
（1）从一个点出发，画出“东偏北30°”与“北偏东30°”的方向线，比较它们的异同。
（2）在方格纸上描出数对（3，2）与（2，3）所表示的点，说说它们的区别。
（3）把线段比例尺（下图）改写成数值比例尺是（ ），它表示把实际距离缩小到它的（ ）分之一。
“所有的判断都是统计学”
——“统计与概率”备课与教学难点解析
北京 华应龙 施银燕
当今世界上最伟大的统计学家之一C.R.劳先生在他的统计学哲理论著《统计与真理——怎样运用偶然性》中指出：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”诚哉斯言，我们关于新课程小学数学统计与概率教学的判断，就是建立在我们的统计基础之上——阅读的统计、实践的统计、思考的统计。
一、统计与概率，小学数学的三分之一？
原来我国小学数学教材中只有统计而没有概率，并且只占很小篇幅，可以说都属于古典统计学范畴。一方面，可能与我国传统文化重整合轻分析，重人伦轻自然，重义轻利，重道轻器有关；另一方面，在计划经济时期人们遇到的更多的是确定的对象，没有感受到统计与概率的必需。
而在《标准》中，“统计与概率”与历来数学教学中重量级内容“数与代数”、“空间与图”三分天下（实践与综合应用并不是独立的教学内容），受到了前所未有的重视。
首先，在以信息和技术为基础的社会里，人们面临着更多的机会和选择，而数据则日益成为一种重要的信息。“生活已经无于数学课程将统计推到了学生的面前”，报刊中大数、百分数、图形图表出现的比例越来越高便是明证。图表本是统计的一部分，自不必说。许多大数、百分数本身也是统计或推断的结果，可以说他们的背后还是统计与概率。
学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公民基本素养的一部分，如威尔斯所预见的那样：“就像读和写的能力一样，将来有一天统计的思维方法会成为效率公民的必备能力。”统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法，已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。在小学进行统计与概率的教学，可以让学生逐步形成统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。
其次，在学习统计与概率的过程中会涉及解决问题、计算、推理以及整数、小数、分数、百分数、图形等许多数学知识。实际上学统计与概率的同时又复习、运用了过去的旧知识，发展了学生解决问题的能力。
最后，以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有别于讲究因果关系的逻辑思维。数学家阿蒂亚曾经说过：“代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑，概率是无序的逻辑。”不少研究表明，如果学生缺乏对随机现代的体验，往往很难建立这一观念。所以有必要在学生系统地进行理论知识的学习之前，在小学里积累丰富的对随机现象的经验。
二、是“统计与概率”，还是“统计＋概率”？
尽管小学数学把统计与概率放在了一起，但是我们往往还是认为二者不太沾边：小学教材中关于这部分的内容，我们都能清晰地把它归为统计或归为概率。的确，在统计学的诞生之初，与概率无甚关联。
统计学是“关于收集和分析数据的科学和艺术”（《大不列颠百科全书》），是一门“对数据进行收集、分类、分析和解释的科学”（《兰登书屋大辞典》）。两部国际权威辞典对统计学的看法有相似之处，那就是强调数据，强调对数据的收集、整理、分析及解释。
统计学最初来源于国情普查。国家管理中需要收集和分析各种数据，比如对人口、土地、国民收入、各种税收的统计等。
14世纪左右，随着航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同航海路线出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断。渐渐人们发现，统计资料中的各种数据大多是偶然现象的反映。于是到了19世纪末20世纪初，概率论的有关知识被引入统计学，构建了现代统计学。与古典统计学相比，二者都是对于数据的收集和分析，但内涵有了显著的变化：本质的区别是后者进行分析的基础是“不确定性”，即“随机”。
至于概率论，大家都知道它的“出生”就和赌博有关。但概率论的真正出现源于17世纪一次未完成的赌博，双方为最终赌金的分配争执不休，于是写信向当时法国最具权威的数学家帕斯卡请教，这个问题随后吸引了包括帕斯卡、费马、惠更斯等众多数学家的思考和讨论，讨论的结果，惠更斯把它写成一本书《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。由此一个崭新的数学分支——概率论登上了历史舞台。后来概率在社会学、生物学、物理学和化学等许多领域发挥着十分重要的作用。
概率论是分析随机现象的一个数学分支。概率是表示特殊结果在单个场合出现的可能性的数（《大不列颠百科全书》国际中文版）。概率论是数学、统计学术语，是分析、说明有关有确定现象发生可能性的学科（《兰登书屋大辞典》）。
统计与概率是密不可分的。一方面，概率论是现代统计学的根据：因为统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率；另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。已故中科院院士、中国统计学会副会长陈希孺先生指出：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。分析着重在数量化，而随机性的数量化，是通过概率表现出来，由此可以看出统计学与概率论的密切关系……大体上说，二者的关系是：概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。”
小学生学习统计与概率的过程，与统计与概率的历史发展是一致的。一开始，统计的对象更多的是确定性的（或者说学习内容是与概率没多大关系的古典统计学），例如，北师大版教材第一册“统计”中，统计的对象是全班每个同学最喜欢吃的水果，它们在数量上是确定的。利用统计对象的确定性教学统计表，不仅充分考虑了一年级学生的学习能力，而且有利于学生更好地学习简单统计表。
随着学习的深入，统计对象更多地具有随机性。例如，“估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋？通过实际调查验证你的估计。”在该统计活动中，统计对象塑料袋的总数非常大，统计起来既浪费时间，又浪费人力和物力。此时，就可以渗透抽样统计的方法，帮助学生自己选择统计对象。这里，统计对象可以是全班同学家庭的某些天丢弃塑料袋的个数，或部分同学家庭的某个月丢弃塑料袋的个数。
随着学生相关知识的增多，统计与概率越来越密不可分。例如，《标准》第29页例7，“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。”这样的教学是建立在随机现象的基础上的，要求学生能够用统计的方法收集有关两队以往比赛胜负的资料，进行有效的整理分析，推断下场比赛的胜负。
三、统计=计算＋制图制表？
在计算机尚未普及的年代，统计被演绎成繁杂的计算和枯燥的制图制表。在信息技术日益发达的今天，计算、画图等工作不应该再占据学生过多的时间，事实是它们也远非统计教学的核心。小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念。统计观念体现在以下几个方面：认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，作出决策；能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。我们以为：对于小学教师而言，理解什么是“统计”，了解统计的发展历史，了解不同统计的作用，明确小学阶段的统计学是描述性统计等非常重要。
观念的形成需要人们亲身的经历。建立统计观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要做这些。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问做这些的意义。
首先，关于收集数据。我们发现，教师往往把重点放在收集数据的具体细枝末节的方法上，比如：多样化的符号表达，画“正”字记录等等。当然，这些对初学统计的小学生而言不容忽视。但我们认为，首要的一个问题是应该收集什么样的数据？显然，是能够客观反映背景的“好”数据。这是决定统计成败的关键。获得“好”的数据，一是要尽可能多地利用对实际背景已有的经验。比如要预测某一天的天气情况，我们可以收集历史上相应的天气的数据。以下两种方法哪种更恰当呢？一、收集近三十年该日期的天气情况；二、收集近三十年来相似卫星云图的天气情况。根据我们的经验，“天气情况与卫星云图有很大的相关”，我们就会选择一者。二是采用简单的方法。简单的方法往往可以节省很多统计成本。这方面有一个很经典的统计案例：1997年香港回归，民心民意到底如何？只收集一项数据的调查（回归前后市民关于“你是哪里人”答案的比较）就很好地回答了这个问题。简单需要把握纷繁复杂的现象背后的本质，这一切依赖数学化。
其次，关于数据整理。统计图表的格式和绘制规则是必不可少的，但绝对不是整理数据的全部：计算机的广泛使用，让统计教学的重心转移，即数据整理后首先需要面对的是选择什么样的方式呈现？这就需要学生通过观察、比较、讨论等活动对各种统计图表的特点有一个明确的认识。
再次，关于数据描述。主要包括集中趋势的描述和离中趋势的描述两部分。小学阶段只涉及前者。集中趋势，就是指整体水平，一般用平均数来表示，有时也用众数、中位数等描述。这里，需要强调平均数的统计意义。首先，它是一组数据的代表数值，可以用来说明这组数据的整体水平或典型情况；其次，它可用来进行数据之间的比较。教学时要重视学生对平均数意义、特点的把握，注重对其统计含义的理解。学生往往因为对平均数和通常的“平均分”分辨不清，不理解平均数的假设性，误以为真正的移多补少。导致学生常常有这样的困惑：“平均每户3.1人，人数怎么会有小数呢？”“足球比赛比分是2：4，平均每队的进球数是3，两队是对抗性的，怎么可以平均呢？”
最后，关于数据分析。信息时代生活中充斥着各种数据，经过形象化处理得到的统计图表，给人们带来了很大的视觉冲击，所谓的“读图时代”便源于此。为了能在这个“读图时代”更好地生存，就必须能从大量的“图”中获取有用的信息，作出独立的分析，并理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据，对数据的来源、收集方法、呈现方式、由此得出的结论进行合理的质疑。
下面摘录的是石雪纳老师教学“简单的数据整理和统计表”一课的片段，我们一起感受统计的全过程。
师：刚才大家交流了生活中的统计表。现在有这么一件事：小明的奶奶有一天来到学校，反映作业负担太重，说孩子前一天写作业整整用了90分钟。校长听后请奶奶先回去，并跟奶奶说，明天我会给您一个满意的答复。同学们，你要是校长，接下来你会做些什么呢？
生1：我要是校长，我会去问老师是否昨天留的作业太多了。
生2：你问了老师肯定说不多，我想应该让老师把昨天的作业做一遍，看看是不是要很长时间。
生3：那不行，你想啊，老师是大人，而小明是学生。大人知识那么多，做题肯定比小孩熟练，时间一定短呀。不能这样比！
生2：哎——，你说的对呀，那我们就找一个学生来做。
生4：那万一你找的这个学生也很慢呢？或者他是班里作业最快的学生，怎么比呀？
生2：那——，我们多找几个人不就行啦？
生4：这还差不多！
师：看来大家的最终意见是要把小明的作业时间和别的同学比较一下，对吗？我这里就有一张全班同学作业时间的记载表，来看看。
师：校长拿着这个表格就想了：这么多数，奶奶的眼睛不都看花了？需要整理一下。你觉得该以多长时间为一段进行统计呢？
生1：我看按照时间长短进行排列就能看出来全班作业时间的情况，不用分时间段。
师：这方法可以，但是为了奶奶看得更清楚，我们是不是可以分段来统计呢？
生2：对，我看30分钟一段就行。
生3：10分钟一段也行吧。
生4：15分钟一段也行！
师：大家说的都可以，一般在时间间隔比较短的时候我们采用15分或30分一段。
投影出示：
师：这张纸上有两个不同时间段的统计表，各组也有。一会儿小组选择其中一个进行统计就可以了。下面咱们小组比一比，看哪个组最先做好统计。
（小组合作完成表格）
师：哪个小组说说你们是怎么统计的？
生1：我们组选择的是第一个表格，大家分工合作，一个人负责统计15分以内和61分以上的，因为这两个时间段人比较少，少一个人负责就够了；一个人负责统计16～30分的；一个负责统计31～45分的；一个负责统计46～60分的。最后大家再汇总，填写到表格里。
生2：我们统计的结果是15分以内1人，16～30分有34人，31～45分有7人，46～60有2人，61分以上有1人。（师板书结果。）
生3：其他小组对我们的汇报有什么补充吗？
生4：我们小组也统计的是第一个表，结果和你们一样，方法不同，我们是按照原来表中的学号分工，每人负责统计12个学号的，然后再汇总。
生3：你们的方法也挺好的。其他组呢？
生5：我们组统计的是第二张表格，我们的方法是一个人读数据，另外3人每人统计一个时间段，最后的结果是30分以内有35人，31～60分有9人，61分以上有1人。（师在生说的同时板书出结果）
生3：因为你们选择的表只要3个人统计，所以你们分配另一个人来读表格数据，很合理。你们的分工很好。
生6：我有一个发现，其实虽然两张表格分的时间段不同，结果不同，但如果当两张表都统计正确时，第二张表的结果其实就是对第一张表的一次验证。第一张表前两个时间段人数的和应该是第二张表的第一个时间段人数；第一张表第三、四时间段的人数和应该是第二张表的第二个时间段人数；两张表的最后一个时间段人数是一样的。
师：你说的对，也就是按不同时间段统计会有不同结果，但不同结果之间也有内在联系，对吗？
生6：是这样。
师：刚才大家交流得太精彩了！那么现在你作为校长拿着这个统计结果要对奶奶说些什么呢？
生1（姓王）：我要对奶奶说，您看表格能看出来，您家孙子做作业的时间最长，60分以上就他一个，别人都在60分以下，说明是他自己可能边做边玩不用心，您应该教育他。
师：嗯，王校长是这么看的，其他校长呢？
生2：我会对奶奶说，您看表格就知道，全班那么多人都在30分之内做完作业，而您孙子时间最长，说明问题不在老师身上，在您孙子自己不会抓紧时间。
师：说的也有道理！那能否结合统计的具体数据来说服奶奶呢？
生3：我会这样对奶奶说，您看，15分（手指第一个表格统计结果）以内1人，人很少；16～30分有34人，这个时间段人最多；31～45分有7人，人数第二多，但比起16～30分人就少多了；46～60分有2人，61分以上的有1人，这些人数都不多。这个结果就说明老师留的作业是比较适合大多数学生的作业时间的，奶奶应该考虑是自己还应子的问题了。
……
师：大家刚才说的都挺有道理。可以，我倒觉得小明也许就是个好孩子呢？你们说有没有这种可能？
生：（有的学生皱起眉头，有的学生忽然兴奋起来，脱口而出）有可能的！
生1：有这种可能。也许小明是为了把字写得漂亮些，就慢了点。
生2：还有可能是他做题过程中发现了自己不会做的题，没问别人自己想，终于用了很长时间想出来了。这可是很认真的学习态度，还值得我们学习呢！
生3：还有可能小明特别善于思考，做完了一道题，又回头去想有没有其他解法，是个能一题多解的好孩子。
师：说得真好！看来我们不能只看到时间很长，关键是得看他在这段时间里干了些什么，对吧？
我们通过统计进行分析（板书：分析），能把事情处理得更好！你看，整理后的表格比原始数据更能说明问题吧？看来，统计的作用还真大呀！
关于统计，最基础的知识是比较、排列和分类。有研究表明，学生对活动对象的熟悉程度将影响到学生比较、排列和分类的进行。这节课石老师就为学生进行比较、排列和分类提供了亲切熟悉的统计对象，让学生经历了对学习生活中作业时间统计的全过程，在这个过程中，学生的统计分析显出了精彩。
重视统计过程的体验是课程标准中重要的指导思想，也是新标准与原大纲较大的区别所在。“小明奶奶”一题，让学生分时间段整理同学们的作业时间是教学的难点。时间段怎么划分，答案自是多样。教师让全班学生自主选择15分段或者30分段统计，学生从而体验统计结果在统一标准下的一致性，不同标准下的多样化。
数据统计的全过程有数据收集、数据整理、统计制表、分析数据、得出结论五个环节，其中分析数据是重要环节，也是课程标准强调的内容。在“小明奶奶”一题中，教师引导学生尝试分析“小明为什么做作业的时间那么长？”学生的分析是推己及人、丰富多彩的，并且符合孩子的心理。当教师提出另一视角，培养孩子辩证思维时，孩子分析也很有见地。设计这样的分析，我们认为是统计教学中必不可少的环节，是培养学生的数据意识的平台；通过数据分析后再下结论，也是理性精神培育的良好载体。
统计知识的教学不是一个个知识点的授受，也不是一种种技能的训练，重要的是一种意识、一种思想的滋润。所以说，统计并不是“计算＋制图制表”，建立统计观念是统计教学中最重要的。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”
四、学生凭借经验就能判断，还需要做实验吗？
按照弗赖登塔尔的观点，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和生活现实，在将要传授的知识和学生已经在现实世界中积累的或是已经学过的知识之间建立起紧密的联系。概率进入小学还是首次，学生在没有接受正规“可能性”教学之前，他们是怎么看待、认识、理解可能性的？笔者对小学一、三、四年级202名学生作了一个小型的问卷调查。（篇幅有限，简单介绍结论。）
1，可能与一定。
没有受过学校教育的大部分6岁儿童（一年级）能区分可能事件、不可能事件和必然事件：87%的一年级学生对“从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸出一个球”的选择回答是“可能是黄球”。而三四年级则有96%的学生选择了正确的答案。
“87%”和“96%”似乎说明了年龄的增长对学生对不确定现象的认识没有多少影响，但是同样回答“可能”，对可能事件的理解却可能有着天壤之别。
2，可能性的大小。
超过六成的6岁儿童能定性比较可能性的大小：64%的一年级学生面对上面这个情境选择了摸到黄球的可能性大。而三四年级对这一问题回答的正确率达到了97%。
在没有学习用分数表示可能性的大小之前，近一半的9-10岁儿童能对可能性的大小进行量化比较——“好消息！摸到※（笑脸）有大奖！你选择在哪个盒子里摸？”四个选项：①2个笑脸，4个哭脸；②20个笑脸，40个哭脸；③2个笑脸，2个哭脸；④10个笑脸，8个哭脸，8个没有表情的脸。47%的四年级学生正确选择了③。
学生确实在正确学习概率之前就已经具备一定的经验了，在面临简单的可能事件时凭经验就能判断，那还需要做实验吗？例如，盒内有9个白球、1个黄球，这些球除颜色外完全相同。让学生说出摸到哪种颜色球的可能性大？学生凭经验完全能判断出摸到白球的可能性大，还要进行实验吗？
第一，学生学习概率的一个重要目标是体会随机现实的特点，即：在相同的条件下重复同样的实验，其实验结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。为了达到这一目标，概率实验是不可或缺的。
第二，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出的，实验是获取概率的更一般的方法。陈希孺先生指出：“一事件出现的可能性大小，应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”
第三，概率实验可以帮助学生澄清一些误解。
“可能、一定、不可能”是各个版本新课标教材中都有的教学内容，下面是笔者的教学片段，可以帮助说明概率实验的价值。
组织小组活动：
盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个。摸之前先猜一猜，你会摸到什么球？每次你都猜对了吗？
活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学？（全班有三人举手。）
师：为什么我们那么多的同学都没有猜对呢？
（此时，三个猜对的同学急于向大家介绍方法。）
生1：黄球和白球摸在手里的感觉不一样。
师：（饶有兴趣地）真的吗？让我们见识一下。
生1：（摸一个球）黄色！
（拿出后是白色。生1低头坐了下去。）
师：怎么不试了？
生1：没有信心了。
师：怎么就没有信心了？
生1：摸在手里分辨不出来。
生2：我有一个办法，如果第一个摸出来的是黄球，把这个黄球放回盒子，放在哪个角落第二次还从那里摸，一定还是黄球。
生3：（反驳）放回去要摇一摇，你这么做就不遵守规则了。
生4：如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球。
师：你刚才就是这样猜的，结果全对了？
生4连连点头。
师：（半信半疑地）还有这个规律？摸一个！
（生4摸出一个白球，放回。）
生4：第二次一定是黄球。
（第二次生4果真摸出一个黄球。）
师：看来，下一次……
生4：第三次该是白球了！
（第三次生4摸出一个黄球。）
师：这个规律还成立吗？
学生们直摇头。
师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么？
生：盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球。
如果你的周围近来有几对夫妇离异，那么在事实并未改变的情况下，会使你片面地相信夫妇离异的频率在上升。有些事件哪怕只发生一次，只要它发生在自己面前，就会加深对它的印象。我们往往不太会相信，在我们面前发生的事件会只发生了这么一次，而相信它在更广的范围里也会发生。福尔克（Falk）在《可信巧合与不可信巧合的判断》中指出：“自认为有意义的巧合比自认为无意义的巧合更使人感兴趣，自己经历的巧合比别人经历的巧合更引起重视。”
随机性是可能性教学中的一个基本观念，它包括两个方面：（1）单一事件的不确定性和不可预见性；（2）事件在经历数次重复实验中表现出规律性。前者看似简单，但对只接触确定性数学的低年级学生而言并不简单。教者特别关注学生可能的潜在的错误直觉，让学生充分积累对不确定性的直观感受，把功夫下在了学生随机观念的建立上，把住了可能性教学的脉。
要用一个正确的概念来代替一个错误，用第二直觉来代替第一直觉，用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的，信念和概念的改变是缓慢的。李俊等学者的研究都显示，学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了，在学概率期间还有可能产生新的错误概念，学习结束之后可能还存在某些错误概念，即便教学是基于对错误概念了解之上，某些错误概念还是顽固得难以消除。概率说理有一个特殊问题，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突，如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此教师就该创造情景，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正或改正自己对概率的认识。实验不仅要做，而且要多次做。
五、学生在实验中是“操作工”还是“探究者”？
不管是教学统计，还是教学概率，往往需要做实验。那么实验的主体是谁？学生在其中该充当怎样的角色呢？
在有关“可能性的大小”课堂里我们常常看到这样的场景——
师：（出示一个盒子）盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球？
（学生略做思考后猜测。）
师：好，下面就请你们分小组摸球，记录自己摸球的结果，并与小组内的同学交流摸球的情况。
（各小组摸球、统计、讨论，教师巡视。）
师：谁愿意代表本组汇报一下小组交流的情况？
（各小组汇报。）
师：摸出白球的次数多，说明摸出白球的可能性——（生齐答：大）；反过来说，摸出黄球的次数少，说明摸出黄球的可能性——（生齐答：小）。
师：这个游戏告诉我们，虽然事件的发生是不能确定的，但是可能性是有大有小的。
下面，我们再来分享牛献礼老师提供的同样课题的相关片段——
师：（出示盒子）同学们，这个盒子里放有白色和黄色的球共9个。不过两种球的个数是不相等的，如果不打开盒子看，你们有办法知道哪种颜色的球多吗？
生：可以猜。
师：猜，是一种方法。那你猜是哪种颜色的球多一些？
生：我猜是白球多一些。
生：我猜是黄球多一些。可到底是哪种颜色的球多，我们还是不能确定，这样瞎猜，即使猜对了也只能说明运气好。
生：（迟疑地）老师，我有个办法，能不能用在二年级时摸球的方法，每次摸出一个球看看颜色，然后放回去再摸。多摸几次，最后看摸出哪种颜色的球多，就说明盒子里这种颜色的球多。
师：大家明白他的意思吗？谁能再解释一下。
生：他的意思是从摸球的次数中判断哪种颜色的球多。摸出的次数多，就说明这种颜色球的个数多。
师：你们认为这个办法行吗？
生：（齐）行。
师：好，下面就来做这个实验。
（出示活动要求：每人每次摸出一个球，记录员记录结果；把球放进盒子，摇一摇，下一位同学继续摸，每组共摸20次。）
生：我们组认为盒子里的白球多。因为我们摸了20次，白球出现了15次，黄球只出现了5次。
生：我们组摸了20次，白球出现了17次，黄球只出现了3次。我们也认为白球多。
师：从摸出球的次数，我们推断出盒子里的白球可能多一些。我们的推断是否正确，最终还得——
生：把盒子打开看看。
（各组打开盒子，发现白球有8个、黄球1个。学生们欢呼雀跃。）
师：如果把这几个球放回去再摸一次，会摸到什么球？
生：可能是白球，也可能是黄球。
师：会不会一定是白球。
生：不会，因为盒子里既有白球也有黄球，所以摸出来的也可能是黄球。
生：盒子里白球多，黄球，摸出白球的可能性大，摸出黄球的可能性小。但是可能性再小也是有可能的啊。所以摸出的不一定全是白球。
师：说得真好！那么，同学们，通过刚才的摸球游戏，你们对“可能性”有了哪些新的认识？
……
两种教法在形式上很相似，都是通过“摸球”让学生感受事情发生的确定性与随机性。但仔细分析会发现两者之间有着本质的区别。
前一种教法，教师的目的是要让学生“感受不确定性”、“感受可能性的大小”，但学生并不清楚。这时，学生的活动只是在按老师的要求进行，只是在执行老师的一个个指令，而不是一种真正自觉的行为。这样的实验缺乏主动性、探究性，思维含量不高。另外，从课堂实践来看，教师先告诉学生盒子里放着9个白球和1个黄球，再让学生猜测摸出哪种球的可能性大，学生几乎异口同声地说“摸到白球的可能性大”，说明相对学生已有的经验和知识来说，这一问题思维含量不足，缺乏“挑战性”，不能有效激发学生探究的欲望。那么接下来的明知最终结果的实验活动还有多大意义？学生经历一番“摸球”后会思考哪些有深度的数学问题呢？
动手实践、主动探索是《标准》积极倡导的一种学习方式。但是，动手实践、主动探索绝不能简单地等同于“动手活动”。二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。
牛献礼老师的教法中，学生先对解决问题的方法达成了共识：用摸球的方法进行判断，哪种颜色的球摸出的次数多，说明这种颜色的球的个数可能就多。此时的动手实验目的明确，自然成为学生的自觉行为。在这一过程中，学生思考着解决问题的办法，不断提出新的想法，并通过动手实践探索问题的答案，最后打开盒子进行了验证。学生不仅感知了不确定性和可能性的大小，而且在探索活动中学习到了科学探究的方法，发展了合情推理的能力。
针对学生常常根据自己的经验和直觉来判断事情的发生与否，以为“不太可能就是不可能，很有可能就是必然”，将可能发生与必然发生混淆起来这种普遍存在的错误，教师在学生已经获得结果的情况下，进一步引导学生思考：“如果把这几个球放回去，再摸一次，会摸到什么球？”“会不会一定是白球？”促使学生深入理解“可能性”的含诡义，并进一步理解事情发生的确定性与随机性。可见，牛老师设置认知冲突、预留思维空间，更多的是在引导学生自主进行思维活动，很好地体现了“数学教学是数学思维活动的教学”的思想。
让学生在活动中积累体验很重要，而活动前、活动中、活动后的思考更重要。潘小明老师就非常注重活动前后的思考，请看他在教学“用分数表示可能性大小”一课中的片段——
出示游戏规则：
一个纸袋里，有6个分别标有1，2，3，4，5，6的球。甲乙两人轮流从中摸球，每次摸1个，摸后放回。球上的数大于3，甲得1分；球上的数小于3，乙得1分；球上的数等于3，谁都不得分。各摸10次，谁的得分高谁获胜。
如果让你参加这个游戏，你准备当甲，还是当乙，还是随便安排？
全班学生用手势表示了自己的意见之后，潘老师发现学生的想法不尽一致，就开始组织学生各自陈述自己的理由，小组内交流。他并没有像有些老师那样，急于让学生通过摸球来验证可能性的大小。
小组内交流之后，潘老师先询问：有没有谁在讨论之后，改变了自己原来的想法？
一个学生说：“我原来是选择随便安排的，但现在我认为当甲赢的可能性更大。因为甲赢的情况有3种，而乙赢的情况只有2种。”
从这位学生的发言中可以看出，这样的实验前的思考是有价值的、有效的。
六、是直面学生的错误认识，还是回避它？
我们的学生并不是头脑空空地等着从我们教师口头得到概率的正确理论。在正式教学之前，学生对概率统计已经有了他们自己心中固有的直观判断、偏见和观念。教师需要了解学生潜在的错误观念。在学习概率的过程中，教师不仅要关注学生是否动了、做了，更要关注学生是否想了、说了；不仅要关注学生是否想了、说了，更要关注学生想了什么、说了什么，关于发掘学生话语背后的潜台词，再通过动手实验或讨论，逐步消除错误的观念，帮助学生建立正确的概率直觉。
学生常见的错误直觉：
1，确定性思维。
对随机事件的不确定性认识不够，以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果，一年级学生中这种情况最多，少数学过可能性的三四年级学生也存在这个问题。
例如：抛一枚硬币，第一次是正而，认为第二次“必然还是正面”的，一年级17%，三年级2%，或者“第二次一定是反面的”，一年级6%，三年级4%，四年级2%。
把可能性比较大的等同于必然事件，认为很有可能就是必然；可能性比较小的等同于不可能事件，认为不太可能就是不可能。如从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸1个球，认为“一定摸出黄球”的一年级有8%，三四年级有1%；“不可能摸出白球”的一年级有11%，三四年级有3%。
还有部分学生把可能性较小事件发生的原因归结为没有努力、缺少信心等。
2，等可能性偏见。
认为一件事情有几种结果，那么这几种结果出现的可能性是相等的。如：同时抛两枚同样的硬币，结果：认为两个都是正面朝上，两个都是反面朝上，一个正面朝上、一个反面朝上，这三种情况出现的可能性一样。（27%，因为各个年级差异不大，故没有分别统计。）
3，预言结果。
即预言每次实验的结果，将可能性估计建立在因果的联系上。如“从一个装有3个黄球和1个白球的盒子里摸出1个球，结果会怎样？”“摸到黄球，就一定是黄球；摸到白球，就一定不是黄球”（一年级一女生）。“去商场抽奖，中奖了，中奖的可能性是1；没中奖，中奖的可能性就是0”（五年级一男生）。
综上所述，没有经过正式教学的学生，在生活中也已经积累了一些关于随机现象的经验，对可能、一定能加以区别，部分学生对可能性的大小也有所体验。但也存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的认识。
关于概率，学生乃至成人还有相当多的认识误区，正如兰德威尔(Landewehr)指出的：“人们不适当地认为在‘真实世界’内的一切都是确定的；人们无根据地相信小样本；人们在日常生活中无根据地把问题归结为平均数来解决……”
《游戏公平》是北师大版第八册的教学内容。这节课一个很重要的教学目标是让学生“初步体验事件发生的等可能性”。在此之前，学生在第一学段，已经知道了“可能”与“一定”，并通过摸球等活动，初步体验了可能性是有大小的。对学生而言，从“可能性有大小”到“可能性相等”在认识上是一个飞跃：正因为有“可能性相等”，可能性才可以用分数表示，从而实现可能性从定性到定量的过渡。
但体验“可能性相等”对于长期习惯于确定性思维的学生来说，是何等的艰难！他们很自然拥有大量貌似正确实际错误的想法法影响了这一目标的实现。教师们发现，不做实验、不分析，学生似乎理解得很顺利：“抛硬币，正反面向上的可能性相等”、“掷色子，每个数字的机会是一样的”；做了实验之后，却是另一番景象：越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力，于是教师便想尽一切办法，选择相等的或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。更有甚者，干脆选择回避：不做说不清道不明的抛硬币实验，改做更容易驾驶的可能性有大小的实验；更极端的索性不做实验。笔者以为，大量重复实验本身，可以让学生充分体验到随机事件的“不确定性”，而实验之后对数据的分析，才能让学生体验随机事件的另一特点“偶然中的必然”。要想体验“可能性相等”的丰富内涵，实验是无可替代的。所以在一开始设计这一课时，首先决定的是：不仅要抛硬币，还要舍得花时间以保证一定的次数。
初步确定的方案如下：由足球比赛裁判抛硬币挑边引入，提出问题：为什么用抛硬币来决定？由此讨论抛硬币的公平性。然后学生进行抛硬币实验，收集较少次实验和大量实验的数据进行对比，再提供几位数学家抛硬币的结果来对比。
尽管有了充分的思想准备，试讲时学生的种种问题还是让笔者措手不及。“不同的硬币抛出的结果是不同的”，“和你抛时旋转的力度有关”，甚至在铁证如山的皮尔逊24000次抛硬币的结果面前，学生仍坚持“我承认抛很多次是很公平的，但是裁判只抛一次，可能性就是不相等的，是不公平的”。面对学生的质疑，教者再次陷入了沉思：五花八门的说法，只基于一个同样的原因——学生没有理解“可能性”这一概念，同时说明构建“可能性”的概念非常困难。与其被动招架，不如主动出击！教师不再害怕、回避学生各种真实的想法，孤身一人搜寻证据以说服半信半疑的学生“可能性相等”，而是反其道行之，把所有的潜在的矛盾错误都揭示出来让学生想方设法来说服大家，让学生经历“可能性”这一概念的形成过程，而非教师强加给学生。正如科诺尔德（Konold）的许多研究都提到，要向人们清楚地解释一个随机概念，还不如让他们直接面对一个错误概念。
调整思路之后，就有了下面的片段——
师：有一个蛋糕，两个人吃。怎么分公平？
生：平均分，每人分得一样多。
师：现在把蛋糕换成球赛门票，有两个人都特别想看，怎么安排比较公平？
生1：（半开玩笑地）从中间撕开，撕成两半。
（学生大笑）
生2：可以玩石头、剪子、布，谁赢了谁去。
生3：还可以抽签，或者掷色子、抛硬币。
从分蛋糕到分球赛门票，抛硬币这一方案是学生为解决实际问题自然想出的，相比而言裁判抛硬币要显得生研许多；更为重要的是，一开始就让学生在对两种公平——结果相等的绝对的公平和可能性相等的机会的公平的对比中更好地理解把握后者。
师：同学们想出了多种办法。我们先来讨论一下抛硬币这个办法。
（师请两位学生模拟甲和乙，商定抛到正面甲去，抛到反面乙去。抛一次，结果反面朝上。甲指指乙，示意乙赢了。）
师：现在，你们觉得抛硬币这个规则公平吗？
（大多数学生说：公平。）
乙：（小声地）好像不太公平。
（师好奇地示意乙说下去。乙不语。）
师：自己去了，好朋友没去成，有点不安。是吗？（乙点头）
师：我来采访一下甲同学，他去看球赛了，你呆在家里，你觉得抛硬币这个规则公平吗？
甲：公平。因为这个规则是我们事先商量好的，所以最后到底谁去谁也不知道。
生1：我也觉得这个规则是公平的，因为硬币正面和反而都是一个，要是有一个正面两个反面那就不公平了。
生2：我觉得正面和反面向上的机会都是50%，所以是公平的。
生3：你看，正面和反面都是圆形的，大小也一样，所以当然是公平的。
学生此时看起来明白得很，个别学生甚至还说到了50%这个没学过的数，但是明白表达的背后不一定是十分明白的思维——
师：我同意大家的观点。抛硬币是不是公平，不是看结果，而是要看机会。也就是看可能性是不是相等。可分析毕竟是分析，有什么事实能说明正反面向上的可能性相等呢？
生1：我觉得刚才抛一次不能说明问题，抛两次，应该一次正面，一次反面。
生2：我觉得抛两次很可能还是全部正面或者全部反面朝上的，应该抛五六次。（生点头）
师：行，就照大家的想法，咱们试着先抛10次。
（生实验之后汇报结果：正5，反5；正3，反7；正4，反6；正7，反3；正6，反4；正8，反2。等等）
师：同学们坚持说正反面可能性相等，可从大家实验的结果看，除了正5反5之外，我看到的都是不相等！正8反2呢，相差得也太多了，8可是2的4倍呢！凭什么你还能说可能性相等呢？
生1：（抛出正5反5的学生）我觉得他们一定是硬币没放正。你看，我让硬币正面在上面，然后我抛得很低，落下来保证是正面向上。
师：（对抛出正反面不相等的学生）你们是这样抛的吗？
生（众）：没有，我们是按规则抛的。
生2：我觉得用1元的硬币抛比较公平，他（指同桌）抛的是1元的硬币，正面和反面次数都相等；而我用5角的抛，结果正8反2，那是因为5角的正面花纹多，所以正面重，容易正面朝上。
（对生2“头头是道”的分析，不少学生点头表示赞同。）
师：挺有意思的一个发现！是不是其他抛1元、5角硬币的同学都有同样的结果？
几个学生表示反对。
相同的原因就会有相同的结果，不同的结果背后一定有不同的原因。学生在试图解释抛币实验结果时，用的就是这样严密而又简单的确定性的逻辑思维！怎样让学生自己发现这些潜在的错误认识？办法只有一个：以子之矛攻子之盾，学生用一部分事实否定这些结论！让孩子们从“明白”走向“糊涂”，由“振振有词”到“无言以对”是必需的阶段！
生3：我觉得可能性是相等的，因为大多数还是差不多的，只有个别同学抛到正8反2。
生4：因为每一次抛到的是正面还是反面是说不准的，所以碰巧就会有正8反2的情况。
生5：我觉得就是相等的。就算你抛了10次，次数相差得很多，但是只要你抛下去，总有相等的时候！
师：（套用生5的话）那我也可以说：我觉得是不相等的！但是只要你抛下去，总有不相等的时候！
生笑。
生6：有的是正面多，有的是反面多，总的来说是差不多的。
生7：（激动地）这么多次的抛币结果放在一起看，有正7反3，就有正3反7；有正4反6就是正6反4；平均一下，正反面都是5次。
师：是啊，1个同学抛10次的结果，不能代表总体情况。“把这么多次的抛币结果放在一起看”是个好方法！可这些数据真像你说的那么对称吗？
学生煞费苦心地寻找绝对的次数的相等！当他们意识到这样的寻找只是徒劳之际，正是柳暗花明之时！
生8：我给你纠正一下，平均一下，正面比5次多一点。你看，有正8反2，却没有正2反8！
生9：还有一种办法，我们也可以把这些数据都加起来，就会发现正面一共是33次，反面一共27次，是差不多的。
师：次数多了，一定有这个规律吗？
（第二次抛硬币，4人小组合作，共抛100次。）
根据学生实验的结果，制作出如下统计图。
师：观察这两个图，你有什么发现？
生1：我发现，正反面的次数都在一半上下，也就是说都在一半上下摆动。
生2：但是抛10次的，摆动的幅度很大，而抛100次，摆动的幅度就很小了。
生3：抛100次的，正反面的次数都很接近50！
师：很了不起的发现！同学们发现了吗？
（另请一位学生指图说他的发现。）
师：要是我们抛的次数更多，结果会怎样呢？
生：正反面的次数会更接近！
师提供部分历史上著名的数学家抛硬币实验的结果：
蒲 丰 4040 正面：2048 反面：1992
费 勒 10000 正面：4979 反面：5021
皮尔逊 24000 正面：12012 反面：11988
学生惊叹：“哇，这么大！”
师：看着这个数据，你有什么想法？
生1：我特别佩服这些数学家，他们真有耐心！
生2：我发现抛得特别多，正反面次数果然非常接近！
生3：可是我有个问题：正面2048次，反面1992次，相差56次呢！不是比刚才抛10次，抛100次的差得更多了吗？
师：（故作不解地）是啊，相差得反而更多了？
生4：刚才只抛10次，100次，相差的当然会少，现在抛的次数多了，相差的自然就多了。
生5：尽管相差50多次，但那是几千次中的50次，所以其实差异是很小的。
生6：你看，费勒、皮尔逊抛了上万次，也只相差几十次。其实这个差异就更小了！
师：同学们对数的感觉真好！想象一下，把数学家的这些结果画成统计图，会是什么样的？
生：正反面的条形和中间一半的红线会非常接近！
出示统计图：
数学家抛硬币实验结果统计图
生感叹。
生1：（情不自禁地）几乎看不出来了！
师：看不出什么了？
生1：和中间那条红线都要重合了，几乎都是一半了！
生2：比我想象的还要接近！
教师不似通常所做的只进行一次数据汇总便得出结论（这种简单的推断本身也与概率思维相悖），而是借助直观的统计图，让学生一再比较、体验从10次到100次再到成千上万次的变化。学生恍然大悟：相等，原来就存在于不断逼近一半的过程之中！
师：同学们，皮尔逊抛了24000次。如果他再抛一次，第24001次会是什么结果呢？
生1：不一定。可能是正面，也可能是反面。
生2：我补充：不但正面反面都有可能，而且正面和反面的可能性相等。
由上万次又回到“这一次”，实现了大量重复实验的“频率”向一次实验的“概率”的回归。
师：请判断对错。抛两次硬币，一定一次正面向上，一次反面向上。
生：错！只抛两次，会有偶然性。
师：抛10000次，一定500次正面向上，500次反面向上。
生：错！
师：抛得次数很多，怎么也不对呢？
生1：不一定正好正反面次数完全一样的。
生2：正面向上的次数会在500左右，很接近500。
师：通过刚才的抛硬币，你能得出什么结论？
……
概率是一个既难教又难学的内容，因为概率有其固有的思想方法，有别于讲究因果关系的逻辑思维和确定性思维。要真正了解学生的思维，不仅要知道学生的观点，而且要知道他们是如何思考达到这个观点的。
笔者切身感受到要有效地教学概率和统计，就要增强教师的知识背景，增加概率统计的概念，正视学生和教师关于概率统计的观念。就使这节《游戏公平》来说，当教者明白了陈希孺先生“概率就是当实验次数无限增大时频率的极限”的话语时，教学的勇气就增添了许多。C.R.劳先生指出：“对统计学的一知半解常常造成不必要的上当受编，对统计学的一概排斥往往造成不必要的愚昧无知。”
是一个领域，更是一种数学教育价值观
——“实践与综合应用”备课解读与难点透视
浙江 斯苗儿
“实践与综合应用”是数学新课程设置的新领域。正因为是一个全新的领域，可以借鉴的经验和模式较少，也就成了课程实施的难点，也因此出现了一些实践上的偏差：由于目标不明，有的把实践与综合应用课上成了缺乏学科个性的简单游戏活动课、手工劳动课，甚至是说话训练课，有的上成了单元复习课或综合练习课；由于材料缺乏或教材的内容与当地实际不符合，教学出现了很大的随意性，一些教师就连课都不上了，认为反正不是考试或考查的内容……这说明有不少具体问题需要进一步澄清，如：目标如何定位？素材从何而来？与传统的数学活动课、复习整理课等相关的领域究竟有怎样的关系？……笔者试图通过进一步研读《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）及相应的实验教材，对实践与综合应用的教学目标、教学内容进行一些分析和梳理，结合一些教师的实践，对这一领域的教学做初步的探讨和思考，以期抛砖引 玉。
一、课程目标与定位。
1.与综合实践活动的关系如何？
“实践与综合应用”的设置不是数学课程单独一个学科的考虑，而是新课程体系中结构性变革在数学课程中的体现。《基础教育课程改革纲要（试行）》要求“从小学至高中设置综合实践活动并作为必修课程，其内容包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育”，强调学校课程计划分别以“综合型”和“分科型”两种方式呈现出来。综合实践活动作为高度整合的综合课程，在“综合型”和“分科型”课程计划中都占有一席之地。如此看来，小学数学课程中设置“实践与综合应用”就顺理成章了。
值得我们注意的是，“综合实践活动”是我国新的基础教育课程体系中设置的与学科课程并列的必修课程，每周平均3课时。与作为数学学科中的“实践与综合应用”领域之间，既有紧密的联系，又有各自的相对独立性。两者在目标指向上都强调学生创新意识和实践能力的培养，在内容选择上都强调“综合”。“实践与综合应用”的“综合”也包含了两方面的含义，一是指数学自身各部分知识之间的融会贯通；二是指打破学科界限，与其他学科知识的沟通和融合，但作为数学学科的一个领域，无论是哪一方面的“综合”都不会放弃也不应放弃“数学味”。而“综合实践活动”则是一种与各学科课程领域有着本质区别的新的课程领域，没有统一的教材，其具体内容是跨学科的，自成体系，具有高度的综合性和自主性，要求每一所学校根据实际充分发挥其创造性而确定，国家不会也不应当像对待学科那样规定综合实践活动的具体内容*。
2．与数学学科发展的关系如何？
把数学实践活动作为数学教学内容的重要组成部分，并非《标准》首次提出。教育部在2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》在培养创新意识、实践能力思想的指导下，就提出了“结合有关教学内容和学生生活实际，每学期至少安排一次数学实践活动”的要求，并明确规定了每个年级的教学内容和教学要求，与之相应的教材也编入了实践活动的内容。《标准》在此基础上更加突出了数学实践活动，并把它作为一个新的领域。我理解，目的是借助实践与综合应用，使几何、代数和统计与概率之间的融合成为可能，进一步沟通生活数学与课堂数学的联系，培养学生综合应用知识解决问题的能力。
3、基本要求是什么？
《标准》对这部分内容的总体要求是：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。《标准》同时阐明了不同学段的不同要求。从这些要求不难看出，尽管《标准》将“实践与综合应用”作为一个独立的领域，与其他三大领域并列，但并不是在数学知识之外增加新的知识，而是更加强调数学知识的整体性、现实性和应用性，注意数学的现实背景以及与其他学科之间的联系。且在每一个学段都有不同的要求，在第一学段要求以“实践活动”为主题，考虑到这一阶段学生以形象思维为主的思维层次，储备的数学知识还比较零碎和初步，已有的生活经验不够丰富，就强调“实践”，强调数学与日常生活的联系，重在培养学生对数学的兴趣，所以从内容的选择上更多涉及的是三大领域各自内部的联系；第二学段要求以“综合应用”为主题，考虑到学生经过第一阶段的学习，已有了一定的数学知识和解决简单问题的经验，也有了一定的逻辑思维能力，因此在继续强调实践与经验的基础上，增强了“综合应用”的要求，在内容的安排上，开始涉及领域之间的联系与综合，甚至跨学科之间的沟通与融合。
二、常见的误解与必要的澄清。
实践与综合应用不同于一般的数学课外活动。两者有相同之处，如都可以延伸到课外，都需要运用数学知识等，最大的区别在于：数学课外活动的随意性比较强，学生一般可以自愿参加活动，目的在于培养学生对数学学习的兴趣；而“实践与综合运用”有明确的教学要求，虽然可以向课外延伸，但更多的是与课堂教学相融合，要求人人参与，让不同的学生获得不同的体验和发展。
实践与综合应用也不同于复习整理课。虽然两者都有梳理和沟通的功能，但复习整理课只局限于在某一领域的知识范围内进行梳理和沟通，往往把查漏补缺、整理知识作为重点，目的是理清知识的脉络，把零散的知识串联起来，使其“竖”成线，“横”成块；而“实践与综合应用”不仅要梳理某一领域的知识，而且要沟通各个领域之间的联系，甚至与其他学科之间的联系，目的是发展学生综合应用知识解决问题的能力。
实践与综合应用更不是传统意义上应用题教学的代名词。传统的应用题虽然也提到要联系实际，但主要是作为帮助学生理解数学知识的一种手段，选题的范围狭小，呈现的大多是没有多余条件、答案唯一的问题，往往缺乏挑战性；传统的应用题也提到要培养学生解决简单问题的能力，但主要看能否解答书上的问题。教学中更多关注的是学生的解题能力，学生的解题过程很大程度上成了“理解数量关系→搜寻记忆的图式→运用对应图式作解答”的一个过程；而“实践与综合应用”强调实践和经验，本质上是一种解决问题的活动，呈现的问题具有开放性和挑战性，学生没有现成的模式可以套用，在问题解决的过程中，不能依靠简单的模仿和记忆，而是需要积极思考，不断对信息进行加工和处理，从而使学生的思维水平得到提高、综合应用能力得到发展。
三、教学内容与特点与其他三个领域相比，《标准》对“实践与综合应用”只给出原则性要求，并没有具体规定在数学课程的哪一个环节设置哪些内容，对教师来说显得抽象和笼统。相应各套实验教材的编者们根据自己对《标准》的理解，编写了具体的内容。因此，要顺利把握这一部分的教学，不妨先从梳理教材开始，寻求素材的来源与线索。下面是两套教材（北师大版和人教版）所呈现的专题情况。
表一*
册次
北师大版教材
人教版教材
专题名称
涉及知识点（领域）
专题名称
涉及知识点（领域）
一上
大家来锻炼
数的认识，加减法，比较高矮
数学乐园
数的认识，组成，实物统计图
迎新年
数的认识，加减法，物体的形
状等。
我们的校园
数与计算，直观统计图
二上
节日广场
用乘法解决问题，三视图等。
我长高了
测量、统计
月球旅游
经过时间的计算，用加减乘除
解决问题，方向与位置等。
看一看 摆一摆
图形的认识、观察物体
人类的好朋友
用表内乘除法解决问题，
统计表，三视图等。
三上
搭配中的学问
组合
填一填 说一说
时间的认识及计算
交通与数学
周长、乘除法计算，搭配方法等
掷一掷
组合，可能性及其大小
时间与数学
集合思想，统筹思想
生活中的推理
简单推理
四上
走进大自然
认识更大的数，线与角
1亿有多大
数的认识，空间观念
走进网络
数的认识，统计图，
用乘除法解决问题。
你寄过贺卡吗
统计（涉及环保知识）
五上
数学与交通
用已学的知识和策略解决
旅游费用问题。
量一量 找规律
测量，统计，方程
尝试与猜测
鸡兔同笼问题，点阵中的规律
铺一铺
密铺、面积
数学与生活
分数的意义，可能性，面积计算
从上表可以看出，两套教材的相关专题都呈现出以下特点
1． 密切联系生活。
实践与综合应用的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系。教材都力求从学生熟悉的生活事例中寻找和确定实践与综合应用的专题。
2．综合应用知识。
实践与综合应用尽管在《标准》里表现为一个独立的领域，但活动的开展必须建立在其他三个领域的基础之上，所以教材往往在部分单元的后面安排专题，为学生提供一个实际背景，设计一些既与日常生活联系比较紧密，又能综合应用数学知识的数学问题。
3．素材来源广泛。
从上表来看，涉及的知识点范围比较广，可以分为以下三个层次：一是问题情境相对简单，只涉及单个领域，数学知识也相对单一。二是问题情境相对复杂，需要横跨领域运用几部分知识解决问题。三是问题情境综合性较强，还涉及其他学科的知识，如“填一填，说一说”（人教版三年级上册）要求学生与同伴交流自己的作息时间、调查完成家庭作业的时间和睡眠时间等，这些问题只要运用时间的计算和初步的统计知识就能解决，但要讨论“小学生睡多长时间才算充足”的问题，仅仅依靠数学知识是无法解决的，所以教材给出了查阅书籍和上网查询的方式，以逐步培养学生从不同渠道获取信息的意识和能力。四、典型案例的解读与课堂实施策略的思考。
由于实践与综合应用是一个崭新的领域，在课堂实施层面积累的经验相对来说比较少，还处于摸索阶段。这里仅借助“掷一掷”的教学*（人教版实验教材三上年级），从课时目标的拟订、内容的确定、方法的选择和活动效果的评价等方面做一个初步的探讨。
（一）教学过程。
1．确定活动。
（教师事先给每位学生准备了一颗骰子，骰子的六个面分别标有1-6六个数。） 师：同学们都看到了，今天每个人的桌子上都放了一颗骰子。骰子的上面有些什么数？如果同时掷两个骰子，朝上的两个面上的数加起来可能是多少？（按学生所答，形成板书：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12）
师：有可能是1吗？
生：不可能。
师：为什么？
生：最起码是2。
师：那有可能是13吗？
生；不可能，因为最大只能是12。
师；通过刚才的讨论大家已经公认了：同时掷两个骰子，朝上的两个面上的数加起来可能是：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
2． 师生比赛——第一次探索实践。
师：老师想和同学们来做个“掷一掷”的比赛。比赛规则是这样的（边说边出示课件）：拿两个骰子，掷一下，看朝上两个面掷出的数，如果和是5，6，7，8，9，就是老师赢；如果是其他的数，就是同学们赢。
生：好。
（学生们非常兴奋，认为自己有6个数，老师只有5个数，肯定是自己赢。）
接着教师和一名学生比赛，两人各掷一个骰子，再邀请一名学生上来统计掷出的两个数的和的情况。游戏结束，观察统计结果。
师：谁赢得多？
学生观察黑板得出：5，6，7，8，9这一组数出现的次数多，老师赢了。
（学生们很不服气，许多学生在小声嘀咕，觉得是老师的运气好。）
3．同桌游戏，再次验证——第二次探索实践。
师：想知道老师为什么选择5-9这一组数吗？你们同桌之间也来玩玩这个游戏，边玩边思考：为什么选择5-9这一组数赢的可能性大？
接着教师出示以下统计表：
发展空间观念
提升数学思考
——[图形的认识、测量]备课解读与难点透视
张齐华
一、变化的背后及其因由。
在原来的《大纲》中，“图形的认识、测量”属“几何初步知识”领域。之所以将原先的“几何初步知识”调整为“空间与图形”，其实是价值取向之变化。
1，科学体系对儿童经验的适度妥协——学习内容的重新定位。
从几何发展的历史来看，人们对几何图形的认识是首先根据生产生活实践经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。尤其是小学生的思维正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的认识相当于人类早期认识几何的阶段。因此，我们不应该、也不需要让小学生过早接触纯学术性的几何系统知识，倒不妨引导小学生借助他们身边直观、可感的空间世界，借助他们原先储备的经验积累，主动地关注、认识周围的图形世界，在大量的操作和思考活动中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念。
2，知识、技能、方法、思想和观念——学习目标的理性重建。
“认识图形，掌握它们的特征及周长、面积与体积的计算规则，进而运用它们解决问题”，这些曾是“几何初步知识”领域重要甚至唯一的教学目标。如今当数学学习对于人的发展的价值再一次被重新认识和界定时，我们是否可以做出这样的判断：仅仅掌握一定的几何知识、形成相关的解题技能，已远远无法满足个体对于数学学习的价值期待。
笔者十分赞同课程标准中的提法：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法……它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”，“教师应……帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。而思想、方法大量存在于“图形的认识、测量”之中，只是由于知识、技能的目标相对比较显性，思想、方法及观念等目标相对隐性罢了。举例来说，“认识图形”本质上是一个概念的建立过程。试想，倘若离开“观察、辨别、比较、抽象、概括”等很必要的数学方法的介入，学习个体如何才能从具体、直观的生活场景或现象中抽取相应的数学概念，从而在相对抽象的层面上达到对几何图形的真正认识和把握？当然，能否在具体的教学情境中把数学思想与方法从具体教学内容中解析出来，进而内化为学生的数学素养，尚需进一步研究。
至于空间观念，它是在空间知觉的基础上形成的，具体表现为“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考”。概括地说，它是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。表象是由感知到概念间的“阶梯”，具有直觉性和概括性。由于空间观念的积累，可以逐步形成空间想象力，这将为目前和以后的学习奠定必要的基础。再者，小学生能否清晰地掌握图形的特征，能否正确计算物体的面积、体积，很大程度上也决定于空间观念的积累。有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面这样的几何概念。由此可见，相对于“几何知识”的习得而言，空间观念的发展意义更为重大。
3，参与、体验、实践——学习方式的再度厘定。
如前所言，学生在小学阶段学习的应该属于直观几何。学习直观几何，就得采用儿童喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视听觉、触觉、运动觉等协同起来，强有力地促进活动的内化，从而掌握图形特征，形成空间观念。抽象思维、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于小学生实际的思维水平及认识能力，动手操作、实践探索似乎更适应学生“空间与图形”领域的学习。正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。
二、梳理教材的脉络与结构。
由于小学生空间观念的形成要经历一个长期、反复的过程，因而各版本的新课程实验教材十分注意把“空间与图形”的知识有层次、有坡度地分配到各个学段中。编排时，既强调知识本身内在的纵向联系，又关注数与形的横向沟通与联系，做到相互为用，尤其是充分考虑了小学生空间观念形成的认识规律。比如，按点、线、面、体系统几何应先学平面图形，再学立体图形。但是考虑到人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究；客观世界最常见的是各种形状的物体，“面”是附着于“体”上的，儿童首先看到的是一个个物体，在整体感知“体”的基础上，来研究“面”，才能建立“形”的概念，所以先认识“体”后认识“形”能降低认知难度，有利于学生学习。因此教材在编排这些内容时，没有受“空间与图形”内在逻辑结构的制约，而是采取了“体—形—体”的混合螺旋编排结构，即先直观立体图形，然后借助立体图形初步认识平面图形，在学生较深入认识平面图形特征后，再安排立体图形的特征探索及求积计算。
数学知识的逻辑性强，“空间与图形”领域中的每一知识点都不是独立存在的。它们或前有关涉，或后有呼应，或二者兼而有之。新知往往能在旧知基础上找到生长点，同时又构成后续新知的生长点。以苏教版三年级“认识长方形和正方形”为例，之前学生已在一年级（下）“认识图形”单元中初步认识了长方形和正方形，在二年级（上）“量长度”和二年级（下）“分米和毫米”两个单元中已练习过量长方形各条边的长度和量正方形的边长是多少，在二年级（下）认识了角，知道长方形和正方形都有四个直角。而刚刚形成的认识又成为后续内容“长方形、正方形的面积“的生长点，进而又成为其他平面图形面积计算新的基点。就这样，新旧知识彼此呼应、相互关联，纺织成了系统的数学知识结构。教师在备课、教学时，对此应有深刻的认识与把握。
鉴于小学生思维的形象、直观性，加这一维空间比二维、三维空间更抽象，曲线（曲面）图形比直线图形更难以把握，且化曲为直、极限等数学思想又较难把握，因而在图形的认识与测量中，对于直线以及直线之间的位置关系，射线以及射线组成的角，圆、圆柱及圆锥的相关知识等，学生认识起来颇有困难，是教学难点。
三、解读学生的背景与现实。
我们生活在一个由形、体构成的现实世界里，学生每天都在和图形接触，日常生活中积累下的对图形世界的感知、表象和思考构成了学生丰富的经验背景，成为他们认识“空间与图形”的重要物质基础。同时，学前教育期的儿童偏爱操作性活动，比如搭积木、折纸等，由此积累下的丰富活动经验以及初步形成的空间观念构成了他们学习数学的重要方法基础。
但也不得不承认，学生的有些经验无论是从其生成方式还是储备形式看，都是模糊的、直觉的、多义的，系统化程度不高，甚至有的还会对系统的数学学习产生负迁移，干扰学生对数学知识的准确建构。因而，它们只是构成了学生的“可能基础”，要想真正将其转化为系统的认识，并在认识过程中发展学生的数学思考与空间观念，经验的唤醒与重组、活动的组织与开展、教学的引导与建构、学生的探究及内化等就显得尤为重要。
四、建构课堂的实践及其思考。
以下是从实践层面对“空间与图形”领域课堂现场的勾画，总体分“认识图形”、“观察物体”、“计量单位”和“图形测量”四大板块，前两块隶属于“图形的认识”，后两块隶属于“图形的测量”内容。
1，认识图形。
认识图形，重要的是图形的分类和图形本质特征的把握以及在认识图形的过程中发展数学思考，提升空间观念。因而在情境中认知图形，在探索中建构特征，在活动中发展观念应该是本板块内容教学的重要策略。
（1）情境是必要的，但须适宜。
创设情境是必要的。关键问题是我们为何需要情境？需要怎样的情境？需要怎样的情境？该如何运用情境？这些问题需要我们深入思考。
人的学习带有情境认知的特点。适宜情境的营造，一方面为后续学习提供可资利用的学习素材，只是有些素材直接呈现，而有些素材则隐含在复杂的真生活情境中，需要学生从背景中予以剥离；另一方面，由于情境所提供的素质带有典型性，与学生经验储备中既有的素材有着内在的结构、要素的相关性和一致性，因而又起到了唤醒、联想及触类旁通的作用，唤醒的更多素材又构成了学生认知图形的更为广阔的经验背景。
生活情境未必是数学情境的全部，但其重要性不可忽视。如教学射线，由于学生认知基础是线段，如果众线段这一“旧知”通过数学推理、类比来认识射线这一“新知”，未尝不可，但形式化味道浓，不易为小学生所真切感受与理解。因而多个版本教材都选择了从具体现实情境引入，借助具体的生活现象与画面唤醒学生的经验，进而把握图形的特征。
如苏教版教材从有趣的现象引出射线。主题情境图呈现了一幅美丽的夜景图片，其中最突出的是一束束绚丽的光线，每束光线都从地面上的某一点射向天空，射得很远，看不到尽头。生动现实的画面传递着这样一种信息：这一束束光线一端在地面，另一端无限延伸。学生在形象材料的支持下，首次感知时就对射线的特征有了鲜明、准确的把握。
（2）自主建构，还需有效引领。
探索是学习个体携自身原有经验及方法背景参与新知学习和研究的过程。如何有效唤醒学生原有的经验储备，如何引导学生主动参与探索活动，如何将探索获得的经验与结论进一步抽象概括并提炼为数学认识与方法，这些问题值得探讨。这里，我们以“认识长方形、正方形”一课作具体阐释。
结合情境，学生对长方形、正方形有了初步的感知后，教师展开如下教学。
第一层次：游戏中初步感悟。
师：（出示一个黑色袋子）老师在这个袋子里装了一些长方形、正方形以及其他平面图形，你能从中摸出一个长方形吗？
学生跃跃欲试，并有几个学生上来试着摸长方形，且都准确地摸出了长方形。
师：你们为什么不摸出这个图形（出示三角形）？
生：因为长方形有四条边，但摸的时候，我感觉它只有三条边，所以我没摸出来。
师：这个图形四条边（出示平等四边形），你们为什么不摸出来？
生：可它的角不是直角呀，长方形的角是直角。
师：这个图形（出示直角梯形）不也是四条边，并且有直角吗？
生：（激动地）不对，长方形四个角都是直角，但它只有两个直角。
师：这个图形四条边，四个角也都是直角，你们又为什么不摸出来呢？
生：这不是长方形，这是正方形。
生：正方形是四条边都相等，长方形的这两条边却不等。
师：当然，长方形和正方形的关系很特殊，以后我们还将继续学习。那么通过刚才的学习，你觉得长方形和正方形各有哪些特点呢？
生：我觉得长方形有四条边，四个角都是直角。
生：我觉得长方形对面的两条边长度一样。
生：我觉得正方形四条边都相等，四个角都是直角。
……
第二层次：活动中二度建构。
师：通过摸图形的游戏，同学们对长方形、正方形已经形成初步的认识。但情况是不是和你们讲的完全一样呢？下面，请大家结合手中的学习材料（长方形和正方形纸、直尺、剪刀等），动手量一量、折一折、比一比，再来深入研究一下长方形、正方形的特点。
学生有的折，有的量，有的比，纷纷投入研究活动，并在动手操作和合作交流中自主建构了长方形、正方形的特征。教师则及时引导学生将视角聚焦至图形的特征及相关的操作过程中来，以使学生的交流更有针对性，更有效。
上述案例“摸图形“因其颇具挑战性，引发了学生参与的热情，师生的对话与反问则有效唤醒了学生原有的对长方形、正方形的模糊经验，进而在对比中进一步澄清认识，初步建构长方形、正方形的特征。游戏活动后安排的二度探索意义更大，动手操作、合作交流的过程，正好将学生原先获得的模糊经验进一步明晰化、准确化、系统化，从而真正将活动经验转化为有效的数学知识，并在过程中提升思考，获得发展。
当然，有些“规定性知识”，该告诉的不妨直接告诉。只是以怎样的方式“告诉”，却是一门艺术。如教学长方体的长、宽、高这一知识，是简单结合三视图告知它们的名称还是采用别的方式？下面这位教师的处理颇具创意，尤其对发展学生的空间观念收效甚佳。
首先，教师出示长方体的透视图（如下，12条棱全部能看清）。
师：如果请你擦掉其中的一条棱，你还能想象出这个长方体的大小吗？
学生擦掉其中的一条棱，结果发现，同样能想象出长方体的大小。
师：如果再让你擦掉一些棱，想一想，至少要剩下哪几条棱，才能保证我们可以想象出长方体的大小？先想一想，再动手试一试。
学生展开想象，随后动手尝试。结果多数学生留下三条线段。
师：根据这三条棱，你真的能想象出长方体的大小？
生：能！
在此基础上，教师水到渠成地告诉这三条棱的名称：长、宽、高。
尽管还是告诉，但此时的告诉已不是简单意义上的“告诉”。学生在教师精心组织的数学活动中，边观察、边操作、边想象，多种感官协同作用，此时的“长、宽、高”已不是简单意义上的长方体的各部分名称，它们对于长方体大小的决定作用，它们的不可或缺性都化作了学生的深刻思考。由此原本人为规定的数学知识，在学生的自主参与和建构中获得了更为鲜活的意义，使想象力、观察与分析能力及空间观念等都在活动中得以有效发展。
（3）设计多样的活动，促进多元的发展。
获得结论后及时安排丰富、多层次的数学活动，可使学生探索而获得的结论、特征、方法更为深刻，进而内化为一种稳定、清晰的知识结构，成为数学素养的重要组成部分，有效地发展学生的空间观念。
如“认识长方形、正方形”一课，认识长方形、正方形的特征后，苏教版教材安排了“在钉子板上围长方形和正方形”、“用两副同样的三角尺拼长方形和正方形”、“用长方形剪一个正方形”、“在方格纸上画规定的长方形或正方形”等，不同层次的活动有不同的教学意义和价值，其内涵的数学思考也不尽相同，教师应细心领悟，精心组织。
再如“圆的认识”一课（江苏 贲友林），教师设计如下练习，虽质实无华，却内涵丰富。
教师出示如下连线题。
r=4米 自行车轮胎
d=2.4厘米 茶杯口
r=35厘米 手表表面
d=0.8分米 花坛]
连线的过程，正是学生展开想象的过程。他们需不断“调度”头脑中原有的长度单位的表象，并结合“r”、“d”及各个数的实际意义展开想象，并最终准确地将数据与物品连在一起，数形结合的思想、空间观念的发展在这里得到很好的体现。然而，下面的设计更有意思。
师：手表的表面一定是圆的吗？
生：有些手表的表面是正方形、长方形或其他图形的。
教师出示一些手表，表面是各种各样的图形。
师：看来手表表面形状多样，不一定是圆形的，但是任何形状的手表，只要善于观察，我们一定能找到圆形，你相信吗？
生：我发现了！时针、分针或秒针转动一圈，针尖正好经过一个圆形。
师：手表表面不一定是圆形，但车轮能不能不是圆形？
生：不能，如果车轮是其他形状的话，那它就不能平稳地滚动了。
师：那车轴应该装哪儿呢？（圆心）你能用火柴棒做车轴，用圆形纸版做车轮，试着滚一滚，感受一下吗？
如果车轴装在其他位置，或者选用其他形状的纸片做车轮，情况会怎样呢？
学生动手操作、体验，进一步感受圆形车轮的必要性。
师：但是，车轮真的必须是圆形的吗？（教师拿出一本《十万个为什么》，翻到“车轮一定是圆的吗”这一节）在这本书中会发现有些特殊的车轮就不是圆形的，它还告诉我们更为奇妙的知识，感兴趣的同学课后不妨找来看一看。
从教学效果看，教师的拓展很有价值。“手表表面”的探讨，不仅仅在于拓展知识面，更让学生从指针的运动中“看”出了“无形的圆”，“到定点距离等于定长的点的轨迹”的意识在这里得到渗透，空间想象能力的培养也巧妙得不留痕迹。“车轮一定是圆的吗？”，问题的思考与解决恰恰是对圆的特征的一次灵活应用，资料的展示及悬念的设置，更是让学生对圆平添了几分兴趣，增进了学生数学学习的积极情感。
2，观察物体。
“观察物体”作为新增内容，课程标准对于其教学目标的定位是：“能辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”（第一学段）；“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”（第二学段）。应该说，学生对此已有一定的经验基础，尤其表现在对于单个物体的观察上。问题在于，学生已有的生活经验如何进一步提炼为数学知识与数学思考；如何引导学生对较复杂的物体展开观察，并形成良好的观察习惯，习得科学的观察方法，积累丰富的活动经验，进而提升学生的想象和空间思考能力。
（1）准确对待学生已有的经验。
在不忽视学生生活经验的同时，我们也不必对其经验背景作过高估计。首先，日常生活中所获得的经验，由于观察时的无意识和缺乏相应的指导，因而呈现出一种模糊性、潜伏性。其次，对多个物体或由多个物体组成的整体的观察、推理等较难进入学前儿童的认识视野，这构成了他们经验世界的空白点。此外，第一、二学段“观察物体”已不局限于“从某一面观察物体，描述所看到的形状”这一基本层面，“从某一面观察物体，想象从其他几个面观察可能看到的形状”、“根据观察到的形状，反推观察者的观察角度”等更高的学习要求，对于学生的数学思考、空间推理、空间想象能力等提出了更高的挑战。
（2）仅仅引导学生经验观察是不够的。
对于像“观察物体”这类数学活动，学生喜欢，也乐于参与。但乐于参与并不意味着一定能获得发展。尤其是这里的“乐于”并不仅仅表现在乐于观察、乐于交流，还需要乐于想象、乐于推理、乐于反思。否则活动往往流于形式，而真正的数学思考与空间观察未必能得到发展。这里，我们不妨结合苏教版二年级（上）“观察物体”一课（深圳 张裕）的教学片段作一具体解读。
张老师引导每组四名学生分别坐在观察物（维尼熊）的前后左右四个角度，并组织学生通过以下多层次的活动观察维尼熊，体验不同角度看到的物体形状不同。
●在自己座位上观察。
师：小朋友们面对着小熊坐好，仔细观察，头不要偏，你看到了它的什么？
学生根据要求认真观察，随后在组里展开交流。
生：我在小熊的前面，我看到了它的鼻子。
师：在小熊的前面，除了看到它的鼻子，还能看到什么？
生：我还能看到它的两只小眼睛、两只耳朵、可爱的小肚皮和它的两只脚。
师：这下，你观察的东西就全面了。而且你还注意了从上往下的顺序进行观察，是这样吗？（生：是）真好！
生：我坐在小熊的左边，看到了它的左鼻孔、左耳朵、左手、左腿。
……
师：同学们观察得真仔细，说得很准确。
●交换位置再观察。
师：刚才你们在自己的座位上观察了可爱的维尼熊，现在咱们换换位置再观察，好吗？小熊前面和后面的同学换换位，左面和右面的同学换一换。不过，交换位置之前请同学们默默地猜一猜，交换以后你观察到的样子和刚才会一样吗？
可能会是怎样的呢？
学生静静地思考、想象，随后按要求换位观察。
师：坐在维尼熊前面和后面的同学，现在的位置看到的熊和你刚才看到的一样吗？
生：不一样。前面能看到鼻子、眼睛，从后面看不到。
生：虽然都能看到耳朵，但前面看到的是耳朵正面，后面看到的是背面。
师：这和你一开始猜的一样吗？（生：一样）看来，从前面和后面看小熊是不一样的。那么从左边和右边看维尼熊一样吗？
生：是一样的，都能看到小鼻孔、一只耳朵、一只手和一条腿。
生：我反对！一开始我也以为一样，但仔细观察后，我发现不一样。从左边看，小熊的鼻子朝左边，从右边看，小熊的鼻子却朝右边。
学生再次左右两边观察，并在组内讨论，最后达成共识：从维尼熊左右两边看到的的确不一样。
师：的确，从维尼熊左边和右边观察到的样子很像，但是只要认真观察，我们还是能看出它们的区别。瞧，认真观察多重要呀！
●从前面左右观察小熊。
师：坐在自己的位置上只能看到小熊的一个面，要是每个人都想看到小熊的前后左右四个面，有什么好办法吗？
生：我们可以围着小熊转一圈呀。（边说边演示。）
生：人走一圈太麻烦了。可以让小熊转一圈，我们在座位上也能看到它的前后左右。
师：是吗？能做给我们看看吗？（生演示维尼小熊转一圈）
师：这个方法怎么样？
生：也很好。只是转得要慢一些，让我们每个人都看清楚。
师：看来，两种方法都不错。小组内商量一下，选择一种方法，在组长的带领下开始观察。
师：同学们从前后左右再次观察小熊，你们看到的一样吗？（生：不一样。）为什么？
生：因为观察的角度不同，所以看到的就不一样了。
●给维尼熊拍照。
师：听课的老师也想看清楚维尼熊的四个面，我们用相机把它拍下来，给全体老师看。
学生拍照，教师每出示一张照片，引导全体学生思考：这可能是谁拍的？为什么？
生：这是我拍的，我站在小熊的前面。
生：我站在小熊的右边拍的。
师：为什么拍的都是小熊，拍出的小熊的模样却不一样呢？
生：因为观察的角度不同，拍到的也就不一样了。
撷取的只是一个片段，但透过片段，我们不难发现，看似“简单”的内容，在张老师的精心组织和引导下生发了许多新的要素。首先是观察方法的引导。无序的观察无法提升学生的观察能力，更谈不上空间观念的培养了。张老师在这里做了很好的引导，比如引导学生“仔细观察，头不要偏”，这是观察方法与习惯的指导。再比如引导学生“全面观察”，尤其对学生中自然生成的“有序观察”给予充分肯定，此时的“细处理”恰恰是为了将来的“粗放手”，磨刀不误砍柴工。其次是多维度活动的整体推进。仅有观察是不够的，唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机融合，观察能力才能得以培养，学生的空间观念才能得以有效生成。上述案例中，教师边引导学生观察，边引导学生“猜一猜”、“先想象一下”，进而思考“为什么……”等，有时是学生观察前猜测、观察后验证，有时是学生遇到矛盾冲突再观察，调整自己的认识，等等。丰富、多维度的活动交织在一起，各种感官协同作用，并最终内化为知识结构和认识能力，转化为数学素养。
当然，不同的观察内容，其要求和方法也不尽相同。但通过引导学生有序进行观察，并将想象、推理、思考、表达交织于观察活动当中，进而积累经验、形成空间表象，获得换位空间知觉印象，最终通过反馈与矫正发展空间观念，应该是“观察物体”这一内容的共同要求。
3，度量单位。
这是传统的教学内容。“空间与图形”领域的度量单位主要包括常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位等。以往的教学实践已积累了不少的成功经验。此内容的教学重点是：如何激发学生感悟度量单位产生的需要，进而以有意义接受或“类比创造”的方式建构度量单位，并在多样化的数学活动中进一步丰富度量单位的表象，深化体验，提升空间观念。
（1）激发学生感悟度量单位产生的需要。
所谓“掐去两头烧中段”，其中之意是指学生不理解新知为何要学习，它得产生的源头在哪里。学生往往“知其然”，但“不知其所以然”。这无论从知识建构本身，还是从数学思考的培养上看，都不可取。
度量单位的学习，通常源自这样一种需要，即解决新的问题时，原有的度量单位无法满足需求，需要一种新的度量单位介入。教师应通过创设新的问题情境，激活学生的认知冲突，激发他们主动接受，产生“创造”新的度量单位的愿望。如果这一类度量单位首次接触，可以采用“比较情境”，如比较两个图形的大小，通过观察或重叠无法直接比较大小，迫使学生想办法通过用同样大小的单位图形摆一摆，再根据单位图形的个数多少来判断。当然，如果用不同大小的单位图形摆，结果会更复杂，但其中蕴含一些数学思考及思想方法，同样值得考虑。如果前面已经接触过此类面积单位，则可创设“度量情境”。如学习了立方厘米后，教师可引导学生借用体积单位1立方厘米的小方块度量电视机包装箱的体积，面对新的情境，学生在经历尝试或思考后，自然会感悟到原有体积单位的“不适用性”，从而萌生“创造”一个新的体积单位的愿望，使数学学习成为学生内在生成的主动诉求。
（2）有意义接受与“类比创造”相结合。
我们以往比较关注学生对度量单位的有意义接受；现在我们更在意学生能否自己主动创造一个新的度量单位。事实上，二者同样重要，只是适宜于不同情况罢了。倘若首次接受面积度量问题，对小学生而言面积概念相对抽象，要使他们自己创造出新的面积单位有一定困难，且价值不大，通过引导学生观察模型、自学教材等方法进行有意义接受学习未尝不可。至于学生已经有了同类度量单位的基础，再遇到新的问题，需要有新的度量单位介入，教师引导学生借助已有经验及知识背景进行“创造”，也不失为一种可行之举。这里结合“面积单位”一课教学，作一阐释。
师：我们先来学习一个面积单位，叫做平方厘米。什么是1平方厘米呢？
生：（通过看书）边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。
师：（出示平方厘米的模型）请同学们仔细观察平方厘米这个面积单位，它是什么形状，有多大？看清楚了就把眼睛闭起来，在脑子里回想1平方厘米的面积是多大的正方形？在脑子里留下了平方厘米的样子吗？现在请把信封里的所有的平面图形拿出来（课前发给一人一份），把1平方厘米从里面挑出来。
……
师：（故意）请大家用平方厘米测量一下课桌上表面（学生使用的是单人桌）的面积。（学生度量，面有难色）这样量，大家感到怎么样？
生：这样量太慢了。用平方厘米这个面积单位度量课桌上表面面积太小了。
师：那么怎么办呢？
生：我想有没有大一点的面积单位呢？
师：真会想问题！这大一点的面积单位，就请大家来创造一下，叫什么呢？
生：叫平方分米。
生：叫平方米。
师：你能根据平方厘米的意义，想一想什么是1平方分米，什么是1平方米吗？
生：我想，边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米；边长是1分米的正方形，面积就是1平方分米；那么边长是1米的正方形，面积就是1平方米。
师：你们能用手比划一下1平方分米的面积大约有多大？1平方米呢？
学生比划，教师出示平方分米和平方米的模型让学生观察、对照，直至形成清晰表象。
从上可知，教学平方厘米这一度量单位时，教师没有引导学生进行所谓的“创造”，而是引导学生通过看书、观察、闭眼等活动进行学习，这恰恰是基于对学生认知起点的精准把握，也是教学有效性的体现。在学生掌握了平方厘米，且对什么是面积单位、面积单位通常可以用怎样的图形作“表征”后，再通过创设适宜情境，激发冲突，并自然而然通过类比迁移进行联想与“创造”，可谓恰到好处。既掌握了知识，又发展了思维，培养了学生的空间观念及创造能力。
（3）丰富度量单位的表象及体验。
能否准确建立度量单位的表象，在新的问题情境中能否使学生自觉唤醒，促进问题的解决，在教学中显得尤为重要。如何建立表象？关键是强化感知与体验。感知是体验的前提，体验是感知的深化。教学时应通过创设的多种活动，引导学生在“摸一摸、看一看、掂一掂、比一比、猜一猜、想一想、估一估”的过程中，调动各种感官，从各个角度丰富对度量单位的认识，从而形成鲜明的表象，促进学生对度量单位的理解与建构。比如“升和毫升”一课“浙江 谢作长），谢老师为了深化学生对这两个度量单位的体验，创设了各种有价值的数学活动。
●建立毫升的观念。
①玩一玩1升的水。
a、猜：刚才两杯饮料相差10毫升，请大家猜一猜1毫升水有多少？
b、玩：用针管吸1毫升的水，放在手心里玩一玩。
c、数：1毫升水会有多少滴？
②玩一玩10毫升的水：用针管吸10毫升的水挤入杯中，与1毫升比一比，你有什么发现？
③玩一玩100毫升的水：用针管吸100毫升水大概在水杯什么位置，然后小组成员盛水轮流倒入量杯量一量，看谁最接近100毫升。
●建立升的观念。
①玩一玩1升的水。
a、猜：如果10个小组都把这100毫升的水倒在一起，就是多少毫升呢？讲台上几个空瓶哪个能盛得下？
b、验证：10位组长按顺序倒入一个空瓶中，结果显示刚好能盛1000毫升，提示：1000毫升正好是1升。
②玩一玩2升的水：（举起2升的空瓶）这空瓶可以盛多少水？
学生猜测，教师倒水验证，并显示标签证实。
③猜一猜几升的水：出示几只大小不等的空瓶，猜一猜，每只瓶各能盛多少升的水。学生估计后，教师倒水验证。
活动过程中，有观察、有操作、有猜测、有验证，“放在手心玩一玩”“挤入杯中比一比”“倒入量杯量一量”……正是在这些富有实效、充满情境的活动中，学生不断地与新的度量单位“亲密接触”，尤其是，刚刚获得的表象又在猜想、验证的过程中不断予以调整、矫正，直到被深刻建构，并在体验中内化为稳定的心理表象。
至于度量单位之间的进率，教师可以在引导学生获得清晰表象后，借助必要的数学推理实现理解与建构，并在一定练习的基础上形成技能。
4．图形测量
教材根据小学生的思维能力及数学知识本身的逻辑结构，从一维、二维到三维的顺序依次安排了测量长度、度量角、测量面积和测量体积，并安排了平面图形的周长、面积与立体图形的表面积及体积等相关内容。图形测量在传统教材中扮演重要角色，是过去“几何初步知识”的核心内容。今天，虽然它在“空间与图形”领域的比重有所下调，但其重要性仍不可小觑。一方面，对于小学生而言，探索长度、面积及体积的计算方法蕴含太多的数学思考及解决问题策略，而相应实际问题的解决，又可以很好地培养学生的数学思维能力及问题解决能力。另一方面，作为一种重要技能，小学生理应掌握必要的“求积计算”及测量能力，这是他们数学素养的重要组成部分。
具体教学，我们可以大致遵循“探索中初建模型——应用中提升思考”的整体教学思路。
⑴在探索过程中初步建立数学模型。
数学模型的建立依赖于探索活动。同样的探索活动，探索材料不同、活动组织不同，学生所生成的对模型的理解程度及意义建构也会有所不同。下面，仅以“长方形、正方形面积计算”为例，作一具体解读。
案例一：
教师为学生提供如下材料：
透明方格纸、1平方厘米正方形纸块、尺子和一张印有六个图形的纸。
●教师呈现探索材料。
师：请自己选择材料和工具，想办法求出六个图形的面积，并把数据记录下来。
1号图：长5宽3 2号图：长4宽2
3号图：正方形边长2 4号图：正方形边长3
5号图：长4宽1 6号图：长6宽4
（长度单位：厘米）
●学生展开探索活动，然后小组交流。
第1组：我们组用透明的方格纸盖在2号图形上，发现2号图形里面一排正好有4格，有这样的2排，所以它的面积是8平方厘米。接着，我们又把透明方格纸盖在6号图形上，用同样的方法发现6号图形的面积是24平方厘米。
第2组：我们用小正方形摆在第1个图形上，横着摆一排5个，摆了这样的3排，一共摆了15个小正方形，面积是15平方厘米。
(补充：我们也是摆小方格的，我们一排摆5个，竖着又摆了2个，也能一下子看出一共要15个小方格，它的面积就是15平方厘米。)
师：（指图1）瞧，原来只摆7个，也能一下子看出它的面积!
第3组：我们用尺子在图1上画格子，长是5厘米，我们每排就画5格，宽是3厘米，我们就画3排，一共是15个小正方形，面积就是15平方厘米。
师：刚才用透明小方格去盖，用尺子画格子、用小正方形去摆，知道了这些图形的面积。比较这些方法，它们有什么相同的地方？
生：都是数方格的。
生：都需要知道一排有几格，有这样的几排。
师：长是几，就是有几个这样的面积单位，宽是几，就有几排这样的面积单位，长方形面积就是含有面积单位的个数。看来，长方形的面积和什么有关？又有什么关系？你能结合操作中的数据，说说它们之间有什么关系？
生：长方形面积等于长乘宽。
……
多元化探索素材的提供，打开了学生探索、研究的切入口与思路，他们有的数、有的摆、有的量、有的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，教师及时组织求同比较，在横向沟通中实现算法的共享，同时又使不同算法之间的本质意义在交流与比较中得到提炼和升华。
案例二：
教师为学生提供8个1平方厘米的小正方形，并先后依次出示如下四个长方形，引导学生借助手中的8个小正方形，通过摆一摆得出长方形的面积。
1号图：长4宽2 2号图：长6宽3
3号图：长8宽3 4号图：长12宽10
1号图形：学生很快通过摆一摆，得出它的面积是8平方厘米。
2号图形：学生先觉得小正方形不够，但通过积极思考后，他们想出“只摆1排和1列”，同样顺利解决问题。
3号图形：学生再度遇到问题，8个小正方形只够摆一排，怎么办？以上一问题解决策略的启发下，他们想出“摆完1排8个后，从中借3个再摆成1列”，从而同样巧妙解决问题。
4号图形：8个小正方形无论是摆1排还是1列都不够，怎么办？最终通过积极思考，他们从实物操作中摆脱出来，借助“想一想”，完成问题的解决。
四个问题恰好是四个不同层次，每一个层次的推进，都在无声地“导引”学生将思维从实物操作向表象操作，进而向算法操作过渡，从而在探索活动中真正完成对算法的意义建构。
两个案例的呈现，恰恰表明，求积公式的探索可以多元化。但是，题材的优化选择与组织，教师的恰当介入与指导，多种算法之间的沟通、比较与提升十分必要。唯有如此，好、更具一般意义的、相对抽象的算法才能为更多学生所理解与建构。
⑵在解释与应用中深化认识，提升数学思考
建立模型后，一个重要的环节是模型的应用与提升。必要的技能练习与复杂问题的解决在其中扮演重要角色。不必过分关注情境的现实意义，倒是数学思考的内涵值得我们仔细琢磨。比如，“角的度量”一课(江苏赵兆斌)，赵老师在练习阶段的设计相当有意思。
1．断了一角的三角形玉佩，如何测量断角的度数？
2．用量角器如何测量一个边很短的角？
3．猜一猜，下面的角可能是多少度？
(1)角的一条边指向右边的20度、30度、50度，另一边不给出。学生猜测20度、30度、50度后，教师出示另一边正对着零刻度线，学生成功通过。
(2)角的一条边指着60度，另一条边暂不给。学生猜测60度后，教师出示另一条边(指向反方向)，学生连呼上当。
(3)角的一条边指着70度，另一条边暂不给。学生冷静猜测：这个角可能是70度，也可能是110度。教师出示：角的另一条边不是指向零度刻度线。学生再呼上当。
(4)角的一条边指着80度，另一边暂不给。学生抢着回答：如果另一条边对着零刻度，这个角是80度或100度。如果另一边没对着零刻度，则无法知道角的度数。教师出示另一边，正对着30度刻度线。学生先是直呼“无法测量”，继而纷纷举手，“应该是50度”……
没有复杂、现实的问题情境，但每一个问题的设计都蕴含着丰富的思考内涵，且直指本课所学新知：如何准确地用度量器测量角的度数。学生在一波三折的思维波澜中不断经历着认知的结构的失衡与平衡，“角的度量”的认知难点被成功突破，思维能力也在解决问题的过程中不断得以提升。
此外，理解并建构了计算公式后，教师应营造有价值的问题情境，引导学生在解决问题的过程中既巩固计算公式、形成技能，又提升数学思考。问题情境的设置既要体现针对性，更要体现思考性、综合性。如“长方形、正方形的面积”一课，重庆郭莉老师的下述问题设计就很好。
问题情境：(主席台背景图)每个小正方形边长是2米，如何计算背景图的面积。
解决这一问题的过程，恰恰是学生最大限度地调用本课所学知识，并灵活予以综合应用的过程。
有些学生想到：根据正方形连长，算出长方形的长与宽，再求长方形的面积。
有些学生想到：先求出正方形的面积，再看看长方形中能有几个这样的正方形，从而间接解决问题。
其中，既有长方形、正方形面积公式的应用，又有长方形、正方形面积关系的呈现，而与此同时，平移的操作方法，空间想像能力及转化的数学思想等都在此得到很好的蕴伏与渗透。
“图形与变换”的备课与教学
曹培英
一、引进的背景。
为什么要在中小学引进图形与变换的内容？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。
我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上写成的不配名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧氏几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，从数学的视角欧氏几何提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，并且应用广泛，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实暴露出一些问题。例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大，等等。这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、解决。怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？
一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度，等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。
另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（KIein,1849～1925）在爱尔兰根大学做了现在大家叫做《爱尔兰根纲领》的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。《爱尔兰根纲领》公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。这一观点对基础教育数学课程中几何教学的改革也产生影响。
按照克莱茵的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在（相似比为1除外）。于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。
从国际数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说集合与对应的思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。
从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的开头具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。
从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换可以引出无数美妙和图案，使数学更生动地与现实世界联系起来，从而诱发学生主动探索奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。
总之，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。
当然，充分肯定引进图形与变换这部分内容的作用，并不是说它比其他内容更重要，更不能认为它可以代替其他内容的学习。我认为，这主要是因为学生只学习传统几何内容不能适应时代要求，而作出的必要补充。
二、概念的理解。
以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性。图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。中等师范学校的数学课程大多也这样处理。教师在职进修大专学历的数学通常直接从空间解析几何或数学分析切入。所以有关平面图形平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。
通俗地讲，所谓平移就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合学生的认知水平，但对教师来说绝对是不够的。请看一个案例。
在一堂教学“平移与旋转”的公开课上，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执著地要求发言，他说：我坐过摩天轮，我坐在上面始终是头朝上、脚朝下，所以我认为是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与坐舱的运动不是平移，也有少数认为是平移。是否是旋转呢？同样也有两种意见。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。
这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。
1，什么是变换？
一般地说，所谓变换是指某上集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点都对应于该平面内某个新图形的一个点，且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。
几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。
能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。
能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。
在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。
2，什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？
先说平移与旋转。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。
如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。
现在我们可以回答前面的摩天轮座舱问题了。摩天轮在旋转，但上面的座舱及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座舱上下问中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。
那么座舱及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座舱下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。
明明摩天轮在旋转，而座舱与里面的人却不是在旋转，而是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座舱顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座舱也在逆时针细微地转动，从而使座舱与里面的人始终保持向上的方向，并且座舱与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。
再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学上它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等，都不在我们讨论的范围之内。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。
如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。
构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如图3）；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如图4）。
成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。
我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕（所在直线）叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。
在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。要是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去把平移与旋转放在解析几何论，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用格纸，也是这个道理。
3，平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？
首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下：
（1）当两条对称轴平等时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称同之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互平行）相当于一次平移。
（2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。
上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或围转的效果。
例如图5中“带烟囱的房子”经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图6中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。
此外，上面两条结论反过来同样成立。即一次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。
在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图7的四叶图案，其中的每一片叶，即可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。
认识三种全等变换之间的联系，也有助于我们理解在数学中研究图形变换的关注点，主要在于变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系。
三、目标的把握。
无论是第一学段还是第二学段，《数学课程标准（实验稿）》都不要求对三种变换做出一般化的描述，更不要求给出定义。
从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，教学目标可概括为：积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”、“会画图”。离定性地认识、定量地研究还有一定距离。
因此，学习的主要方式是结合实例，通过观察与动手操作，如折纸、画图等活动来进行。而且还规定了画图的行为条件“在方格纸上”。这是数学的需要（提供参照系），自然也是降低学习难度的需要。
仔细分析不难看出，两个阶段的学习目标，呈现螺旋上升的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。同时还要求初步体会图形的相似。
两个阶段学习目标的递进又是细微的。有些光靠课程目标简练语言的描述还显不够。以画轴对称图形为例，第一学段“画出简单图形的轴对称图形”与第二学段“画出一个图形的轴对称图形”有什么区别呢？考虑到小学以认识轴对称图形为主，关于直线对称的两个图形可以出现，但一般不要求学生画。所以，我们可以理解为，前者要求画出的图形比较简单；后者可以是一个有所组合的图形。
更进一步，就是灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。实现这一目标需要学生综合运用有关知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。由于设计图案的过程是开放的，不同的学生可以有不同的设计、不同的表现。因此这又是一个具有弹性的、能够体现学生学习与个性差异的目标。
四、教材的梳理。
1，对称现象和轴对称图形的感知。
过去的小学数学教材，尽管也有轴对称图形，但一般安排在高年级出现，并局限于轴对称图形的认识。现在则加强了观察生活中的对称现象以及画轴对称图形的内容。有的教材还增加了初步感知镜面对称的内容，使对称现象的认识，从一开始就显得更加丰富、充实。
在第一学段，教材一般都会给出各种生活中常见的对称物体让学生观察，引导学生从对称的视角去重新认识平时经常看到的物体；然后再通过折纸、剪纸等活动，引出轴对称图形。有的教材由折痕引出“对称轴”的概念，但不出轴对称图形的概念（如人教版二年级上），也有的教材两个名词都出现（如北师大版三年级下）。各套教材的共同点就是提供了现实生活中比较常见的一些物体、一些图形、一些交通标志及英语字母，或者一些国家的国旗，让学生观察、判断。提供这些素材的意图，一是激发学生的学习兴趣，体验轴对称图形的多样性及其应用的广泛性，只要注意观察，经常能看到；二是丰富学生的社会知识；三是体验对称美，体会生活中为什么会有大量的对称物体、对称图案，培养对数学的情感。
镜面对称同样是日常生活中的常见现象。在儿童生活里（如照镜子），在童话故事里（如猴子捞月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在语文课文里（如水平如镜），都不乏这种现象的实例。这方面的很多实例还很容易引起学生的兴趣和探究的欲望。因此，在第一学段就引入镜面对称，具有一定的认知基础。然而，镜面对称与轴对称既有联系，又有区别。它们的联系在于两者都改变图形的方向，如左右互换。区别在于镜面对称严格地说是一种物体或图形关于某个平面的对称，而不是关于一条直线的对称。上面提到的照镜子，是相对于竖直平面的对称；水面倒影是相对于水平面的对称，这是两种特殊的也是最常见的镜面对称。如果在纸上画一个图形，旁边竖一面镜子，则随着镜子摆放位置、角度的变化，图形（镜面对称的“像”）的变化非常多样，对学生来说可谓变幻莫测。所以，一般只是让学生在照镜子的活动中，通过比较镜子内外人与像的位置关系，初步感受镜面对称的特点。至于“镜面对称”、“平面对称”等名词以及镜面对称的性质，教材通常都不会涉及。
2，轴对称图形的初步认识。
第二学段关于轴对称图形的初步认识，主要内容一是从折纸或观察入手，找到并画出一个图形的对称轴；二是借助方格纸观察并发现轴对称图形的特征，如对应点到对称轴的距离相等，进而根据这个特征，学习在方格纸上画出轴对称图形的另一半，也就是先根据对应点到对称轴的距离，确定图形另一半的顶点，再把对称图形画完整。显然，画出轴对称图形的关键在于掌握对应点的规律。下面两道例题，具有紧密的内在联系。
前例是后例的基础，例②所要画的图形实际上是一个组合图形，比第一学段的简单图形稍复杂一些。
3，平移、旋转现象的感知。
平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。所以第一学段的教材在首次介绍这两种现象时，都会注意结合学生的生活经验，列举一些学生比较熟悉的事物，如火车车厢、电梯间的运动和螺旋桨、钟摆的运动，等等，唤起学生的联想，使他们重新审视生活里某些常见现象哪些是平移、哪些是旋转。在结合实例初步感知平移和旋转的基础上，体会他们的不同特点，进而学习在方格纸上把简单的图形沿水平方向或竖直方向平移几格。这就达到了本学段的学习目标。
这部分教材的特点是，既不给平移和旋转下定义，也不用语言描述，只要求学生获得物体平移、旋转的感性认识，初步体会生活中的平移现象和旋转现象是很普遍的。
为了提高学生的学习兴趣，让学生在玩中获得感悟，有的教材还运用运动变化原理设计了一些新颖、有趣的“学具”。例如，下面的“拉一拉”、“转一转”，巧妙地蕴含了平移、旋转的特点。
4，平移、旋转的初步认识。
第二学段的教材中，有关平移的初步认识大多没有多少新的内容。因为依据课程标准，学生在第一学段已经学习了利用方格纸沿水平方向或垂直方向平移简单图形。第二学段在方格纸上平移图形也只能沿这两个方向，至多把两个方向的平移综合起来，如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。学生有了平移的初步认识，再来学习画平行线就比较方便了。所以有的教材安排了引导学生用平移方法画平行线的内容。这样安排可以发挥学习的正迁移作用。
第二学段有关旋转的初步认识，除了继续联系现实情境让学生进一步体验图形旋转的特点外，主要是学习在方格纸上将图形旋转90°。通常教材的编排是先通过实际情境使学生认识顺时针旋转和逆时针旋转，然后教学怎样在方格纸上把一个简单的图形旋转90°，让学生在动手的过程中体验旋转的方法。
各套教材都会安排的一个课题就是欣赏与设计图案。通常先让学生欣赏一些漂亮的图案，并思考图案的形成，即这些图案是经过怎样的平移、旋转或翻转得到的。然后启发学生尝试用平移、旋转或轴对称的方法做出一些简单的图案。在此基础上，放手让学生灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案。教学实践表明，这是一个数学应用与审美、手工融为一体的学习课题，也是一个能够培养学生的创新精神与初中能力结合起来的载体。在小学数学学科中，这样的有效载体为数不多，应当充分用好。
五、教学的策略。
1，注意选取生活中较为典型的例子，让学生感知对称、平移、旋转现象。
我们知道，数学新课程的主要改革趋势之一就是加强数学与儿童生活的联系，关注数学的抽象与数学的应用。因此教学图形变换时大家都想到了联系现实生活，由观察实例切入教学。这一教学策略，符合儿童的思维特点和这部分内容的教学定位。儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形变换这样的抽象概念来说尤其需要。小学阶段关于图形变换的教学定位在于积累感性体验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。
从近几年教学实践看，需要注意实例选取与活动设计的典型性。
以平移和旋转为例，生活中有许多物体的运动可以看作平移或旋转。学生在生活中也或多或少接触过平移、旋转现象，这是他们已有的认识基础。但是生活中的平移或旋转现象并不都是数学意义上的平移或旋转。如果选来让学生观察的例子不够典型，就容易屏蔽概念的本质，有时还可能产生歧义，不利于学生形成正确表象。我们来分析下面三种不同的教学活动设计。
活动一：请学生表演健美操的走步与转身动作，作为平移、旋转的观察例子，一人表演，众人观察。
活动二：让学生自己用各种动作表示平移、旋转，同桌互相表演，再全班交流。
活动三：让学生用铅笔头表示交流工具在方格纸上平移或旋转。
以上三种活动都富有童趣，都能激发学生学习热情，后两种活动还做到了人人参与。差异表现在：
实施“活动一”时，学生对健美操走步时的跳跃现象产生了质疑。争论后形成的共识是走步才是平移，但实质上跳跃与走步在这里并没有本质上的区别。
实施“活动二”时，学生大多数能够自觉区分移动与转动，但平移与旋转的要素显示不明显，不少学生以为旋转就是转圈。
实施“活动三”时，平移与旋转的要点反映得比较清楚。特别是旋转，经过讨论，学生在教师指点下得到了以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点）进行旋转。
因此，从尽可能地接近数学概念的本质来看，“活动三”更具有数学的典型意义，它有利于我们避开干扰，把学生的注意力集中到平移与旋转变换的数学意义上来。
同样，当我们采用图片来揭示平移、旋转时，也应该尽可能地关注实例的典型性。例如，下面的两幅插图看似相同，实际上却是有区别的。转动老式的水龙头（如图13），其运动是旋转与平移的合成。只要打开水龙头就能发现一圈圈的螺纹。而新式的水龙头是转动阀门，更接近于单纯的旋转，虽说小学生一般发现不了旋转与螺旋的区别，但为了确保教学的科学性，避免给进一步学习造成误导，还是尽可能注意为好。
此外，还有必要因地制宜选择一些当地特有的平移、旋转现象作为补充的实例，使之更贴近本校学生生活中的所见所闻。农村地区的教师，尤其应当注意这一点。
2，注意适当简化、抽象对称、平移、旋转的实例，引导学生感悟它们的数学意义。
在让学生观察生活中的对称、平移、旋转现象时，要注意引导他们对观察对象加以适当的简化、抽象，忽略一些无关紧要的细节，着重从图形变换的角度去观察、思考。
例如，观察对称现象时常常使用天安门、蝴蝶等照片。就实物而言，它们除了关于直线对称，还有其他的对称。因此有必要把它们简化、抽象成图案（平面图形），再来对折、研究。这样既有助于学生感知轴对称图形的特点，也有利于培养学生的数学抽象概括能力。其实，对事物的简化与抽象也是数学建模的第一步，它与数学课改所强调的适度非形式化，是不矛盾的。
类似地，学生观察生活中的平移、旋转现象时，应当引导他们着眼于整体，不被一些细节所纠缠。例如，火车在一段笔直的轨道上行驶，舍去车轮滚动的细节，只看火车车厢的运动，就可以看作平移。又如前面讨论的摩天轮的运动，如果不去考虑座舱，或者把座舱看成一个点，那么毫无疑义摩天轮在旋转。可见，舍去一些与研究主题无关的非本质属性，既是一种能力的培养，也是一种避免无谓纠缠的教学策略。
作为教师还应当理解，物体的运动可以从物理学的角度去观察，考虑它的速度、加速度和位移；也可以从数学的角度去观察，研究运动前后物体的形状、大小有没有改变，位置关系发生了什么变化。数学与物理有着许多天然的联系，如前面分析的摩天论座舱的运动，在物理学中称为“平动”。我们有意识地、不露痕迹地引导学生透过物理运动的现象去观察、研究它的数学意义。从目前的教学实践来看，较为普通的现象是讨论来讨论去只涉及物体的运动，却只字不提运动前后物体的形状、大小不变。这是有失偏颇的。如前所述，平移与旋转都是全等变换，它们共同的实质就是不改变图形的形状与大小。这一特征只要教师稍加提醒，一般学生都能感悟。
3，借助操作活动帮助学生形成初步表象。
加强学生的操作活动，也是提高图形变换教学成效的一个重要策略。这一教学策略“迎合”小学生好动的年龄特征，把“好动”引导到数学学习上来。同时它又切合了教学内容的特点，因为小学生主要是从运动角度去认识平移与旋转的。
教学中除了用好教材提供的一系列活动，如折纸、剪纸，拉一拉、转一转、拼一拼等之外，教师还可以根据学生的特点，自行设计一些活动。例如，让学生用橡皮表示小乌龟，在课桌上按指令移动，体验平移的特点。又如，让学生站立并伸直右臂，向左、右转，获得逆时针旋转90°、顺时针旋转90°的切身感受。再比如，让学生自照镜子，通过观察镜子内外的人的位置的关系感悟镜面对称的特点。知道照镜子时，镜子内外的人上下、前后位置不会发生改变，而左右位置发生了对换。
4，指导学生探索在方格纸上画轴对称图形，或平移、旋转图形的方法。
在方格纸上画图，是一种特殊的操作活动，它在图形变换初步认识的教学过程中，具有不可或缺的作用。因为学会画图是学生必须达成的学习目标，同时它又是反映学生是否理解有关概念，掌握有关特征的现象形式与检测手段。
在方格纸上画出一个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形，对小学生来说，是初学时的一个难点。它不同于剪纸，只要对折剪，剪出来的图形必定成轴对称。它要求学生根据图形已知的一半来确定另一半，有的学生会感到困难。
教学时，可以先让学生观察方格纸上的轴对称图形，分析每一组对应点与对称轴的关系，找出规律后，再独立尝试把图画完整。观察表明，有些学生能依据对应点的规律来画，有的则根据图形的对称性，试图一笔一笔画出来。在画的过程中，有的能够发现关键是确定每一笔的两个端点，也会有学生只顾画而忘了思考。课堂上可以通过交流，让他们总结画轴对称图形的经验，得出较为合理的步骤：先定各顶点→再连线成形。
学生基础好较好的班级，也可以先放手让学生独立尝试画出图形的另一半；然后在交流画图经验、体会的过程中，引导学生说出每一组对应的点与对称轴之间的关系，总结出规律性的认识。
学习在方格纸上画平移后的图形时，平移的方向一般学生都比较容易掌握，平移的距离则常有同学出错。针对这一难点，可以通过比较，使学生理解平移几格的含义。如图16，三角形向右平移了3格，还是平移了7格？通过辨析，使学生明确，平移了几格不是看两个图形之间空了几格，而是看对应点或对应线段移动了几格。
也有教师采用了创设情境、激趣设疑的方法展开教学。
师：这是一条小船（如图17），船头停着一只红鸟，船尾停着一只蓝鸟。小船开动了，它是在做什么运动？
生：（齐）平移。
师：对，是平移。这时两只鸟发生了争吵，红鸟说我在船头，我经过的路长一点。蓝鸟说，不对，不对，我在船尾，我经过的路比你长。请同学们讨论一下，两只小鸟说的对吗？怎样才能说肥它们停止争吵。
讨论后进行了交流。
生1：两只鸟经过的路一样长。我可以数给小鸟看，红鸟移动了8格，蓝鸟也移动了8格。
生2：我可以告诉小鸟，船头平移了8格，船尾也平移了8格。所以它们经过的路一样长。
师：如果小鸟停在船上的其他地方，平移了几格呢？
生3：也是8格。
师：请同桌两人互相点一点，假设小鸟停在那里，数一数，平移了几格。
最后，师生共同总结出：平移时，图形上每个点移动的格数都相同。
在此基础上，画出平移后的图形就比较容易了。可以让学生自己尝试，然后交流总结：先按要求平移图形的各个顶点，再连线成形。
第二学段，教学在方格纸上画旋转90°的图形时，可以先让学生用学具，比如三角形，放在方格纸上，按要求转一转，再画下来（如图18）；然后讨论三角形上的两条边转动到了哪里，由此逐步引出画图步骤（如图19）。
之所以先“转”再“画”，是由于动手旋转学具比画图容易。学生通过操作，看清楚了旋转后图形的位置，再讨论怎样画，就比较容易找到画图的方法。
5，引导学生验证关于轴对称图形的直观判断。
让小学生从一组平面图形或图案中找出轴对称图形时，他们基本上都是凭直观作出判断。这当然是允许的，因为有概念依据的直观判断能力应该加以培养。但也有必要引导学生对自己的判断作出验证。为了便于验证，教师课前应做好充分准备，把一些容易引起争议的图形或图案画在纸上剪下来备用。验证时学生可以采用折纸的方法，也可以采用尺量的方法，看看对应点到对称轴的距离是否相等。这样，有利于学生从不同角度体会轴对称图形的特征，也有利于把学生的思维逐步引向深入。
学生陈述自己的验证结果时，教师不必强求他们合乎逻辑地说明验证的过程，但应注意倾听，及时纠正他们不合逻辑的地方，使学生初步感受数学的严谨性。比如，可以凭一组对应点到对称轴的距离不相等，判定这个图形不是轴对称图形；但不能只凭一组对应点到对称轴的距离相等，就判定这个图形是轴对称图形。又如，只要找到一条对称轴就能确定这是一个轴对称图形，但不能因为对折一次两边不重合，就断定它不是轴对称图形，应该多进行几次不同的对折，确信不存在对称轴了再下结论。
6，准确把握教学目标。
图形的变换从概念到性质再到应用，内容本身有很大的发展空间。教师必须注意把握教学目标的适切性。前面，我们把这部分内容的学习目标，从可操作、可测量的角度概括为两个外显的学习行为“能识别”与“会画图”。这里“能识别”的范围，是指简单的轴对称图形和典型的、常见的平移、旋转现象；“会画图”的限制条件，一是利用方格纸，二是简单的图形，三是两个特殊方向上的平移和90°的旋转。控制在这样的范围内，一般学生经过努力都能达到要求。
更具体地，教师在确定各课时的教学目标时，除了依据课程标准，从整体上把握教学目标的“度”之外，还应参照课本、教学参考书中的单元教学目标，准确把握本学段的教学重点，并从本班学生的实际情况出发，把教学目标定在学生的最近发展区内。否则，容易加重学生的学习负担，欲速则不达。
“图形与位置”的备课与教学
曹培英
一、怎样把握“图形与位置”的学习目标。
有关图形与位置的内容分布于两个学段，梳理其学习目标，可以归纳为两个方面。
其一，确定物体的相对位置。包括物体相对于观察者的位置、物体与物体的相互位置以及物体在其一参照系下的位置。这方面，第一学段的重点是让学生在具体情境中学会观察、描述物体的相对位置。第二学段要求学生用数对表示位置或根据数对借助方格纸确定位置。有必要指出：这里的数对，应理解为两个数组成的有序数对，旨在渗透平面直角坐标的思想方法，为第三学段学习平面直角坐标系作好铺垫，而不是正式教学平面直角坐标，也不宜拓展为由三个数组成的表示三维空间位置的数对。
其二，辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。这方面，第一学段的重点在于认识方向，会用方位词描述物体所在方向。“会看简单的路线图”只要求指出每次行进的方向。第二学段则要求用方向和距离两个要素描述或确定物体的位置，进而运用方向和距离画出路线图，并根据比例尺和图上距离求出实际距离，或者根据比例尺和实际距离求出图上距离。
对照原来的《小学数学教学大纲》可发现，在上述目标中除了第二学段有关比例尺的那一条之外，其他都是本次课改引进的内容。
仔细分析这些新增内容，对教师来说暂时还缺少教学经验，但对大多数学生来讲学习困难并不大。因为其中需要理解的知识性内容所占比重较小，主要是建立方位词的使用和图示方式、方法，比重较大的是操作性技能。但若偏离“初步认识”的整体定位，随意拔高要求，则无论是数数对表示位置，还是用方向和距离确定位置，都很容易构成超出多数学生认知水平的难题。就边“左右”也可能令学生捉摸不透。例如：
老大爷是左手举着鸟笼，还是右手举着鸟笼？
因为“被观察的是人”，所以应以老大爷为标准，答案是老大爷的左手举着鸟笼。
小男孩的左边有几个足球？
有两种意见，一种意见认为它和问题一相同，答案是小男孩的左边有4个足球。另一种意见认为它与问题一有区别，不是问人的左手拿着什么，所以应该有两种答案，即以观察者为标准，小男孩的左边有3个足球；以小男孩为标准，则他的左边有4个足球。
问题三：
小白兔的左边有几个萝卜？
同样有两种意见。一种认为小白兔是动物，应以观察者为标准；反对者认为，新课程要求教师关注儿童文化，在很多小学生看来，小白兔是他们的伙伴、朋友，难道我们不允许儿童对小动物“拟人化”吗？
这种钻牛角尖的题目令教师自己也“左右为难”了。
其实，对于左右的相对性，只要能够正确分辨他对面的人哪一只手是左手或右手，并能据此判断对面人的左边、右边就足够了。这对一年级学生来说并不困难。如果有个别学生不能每次都正确辨别自己和对面人的左右方位，也不必大惊小怪。因为儿童的发展有快有慢，并不是每个7岁儿童都能达到掌握左右的相对性这一概念水平。让儿童自己的发展去解决左右概念的发展问题，也不失为一种可以选择的策略。因为左右概念发展的迟缓，对小学二、三年级的数学学习影响并不大。
至于联系生活实际的应用，一个难度比较适当而又富有现实教育意义的情境就是“上下楼梯靠右行”。比如，人民教育出版社与江苏教育出版社的数学实验教材中都有这一内容。
在这个情境中，既有自己的左与右，又有对面同学的左与右，是综合性的应用练习，其辨别难度较大。但由于学生有一定的学校生活经验，所以多数学生能够理解。
从教学上下、前后、左右的目的看，主要是为了通过发展学生的方位知觉来帮助学生认知物体的相对位置（如同学上下楼梯时的相对位置），并逐步形成空间观念。因此，没有必要引入判断标准由人到物的转换训练以及被观察物是否具有“生命”的辨析，也不宜在这里展开多种答案的讨论。因为儿童建立左右概念，不需要去区分被观察物是否具有生命，去经历“智力磨刀石”式的思辨性讨论。这类讨论用到了左右的概念，但却不是建立左右概念本身所需要的。
二、怎样把握“图形与位置”的教学内容。
1，物体相对位置的教学内容。
为使小学生认识三维空间，比较恰当的起点恐怕莫过于用上下、前后、左右来描述物体的相对位置了。因为相对于东、南、西、北来说，方位词上下、前后、左右在儿童生活中出现得更早，使用频率也要高得多。
研究表明，儿童最早分辨出的是垂直轴上边的方向，儿童对垂直轴下边方向的区分以及对水平面两对方向（前和后，左和右）的区分则要晚些，其中尤以对左、右的区分更显困难。儿童在6岁时就能完全正确地辨别“上、下”、“前、后”，但对“左、右”的辨别尚未发展完善。在此过程中，儿童首先以自身为中心，把不同的方位与自己身体的一定部位相对应，建立起联系，如：上边是头，下边是脚，前面是脸，后面是背，右面是右手，左面是左手；然后才能逐步过渡到以别人为标准辨别前后、左右。
一般儿童对空间方位的表征有三种递进发展的形式：一是“自我中心的表征”，即用主体自身与目标物之间的位置关系来标明目标物的具体位置。如儿童背靠着物体，说物体在他的后面。二是“自然标志的表征”，即用环境中的其他物体与目标物之间的关系来标明目标物的具体位置。如茶几在沙发的前面。三是“去自我中心的表征”，即利用一些抽象的形式来描述目标物的位置。如用有序数对来描述目标物的位置。
以心理学的研究为依据，教材总是按照儿童认识空间方位的难易程度来编排教育顺序：“上、下”→“前、后”→“左、右”。同时，教材对于“上、下”、“前、后”的认识，通常尽量放手让学生独立辨别，对“左、右”的认识，则相对引导得多一些，并且总是从学生自身的左右过渡到对方的左右。换句话说，教学的重点和难点都在“左、右”。
关于用两个数确定“位置”的教学内容，多数教材在第一学段就已开始引入。这时的处理方式只是结合生活实际，让学生从两个维度，用两个“第几”来描述一个物体的位置，暂不要求用数对来描述。如“我的座位是第3组第2个”，不要求用（3，2）来确定“我”在教室里的位置。
在此基础上，到第二学段再抽象出数对，学习用数对来描述物体在一个平面中的位置，并学习在方格纸上用数对来寻找、确定位置。这时，数对的认识与折线统计图定点、描点的学习，可以起到相互促进、相得益彰的教学效果。
从数学的角度思考，上下、前后、左右这三组位置关系所确定的方向，与构成立体空间的三个维度（即空间直角坐标系中的x轴、y轴、z轴）恰好对应。反过来，也可以认为空间直角坐标系就是上下、前后、左右的数学抽象。同样，从第一学段用两个“第几”来描述一个物体的位置，再到第三学段建立平面直角坐标系，正好构成一个较为完整的、螺旋上升的数学抽象过程。因此，在小学让学生掌握这些方位词的含义和相对性，对于他们初步感受抽象的立体空间，对于中学阶段学习平面的、空间的直角坐标系，有着隐性的后期效应。
如果从数学知识的逻辑顺序来讲，应该先建立平面直角坐标系，再讨论空间直角坐标系。然而，在小学却先讲上下、前后、左右，再学用两个“第几”描述位置，似乎颠倒了。这是为什么呢？原来，儿童最初的观察，看到的都是三维空间里的立体物品，随着知觉选择性的发展，才能将目光集中到物体外表的某个面上，进一步的发展又注意到了两个面相交的地方有一条“边”。这与几何学中，“点→线→面→体”的顺序恰巧相反。类似地，儿童开始区分上下、前后、左右的空间位置，也比他们在生活中感悟需要用两个“第几”来描述物体的平面位置要早得多。这里我们看到了一个协调数学知识逻辑顺序与儿童认知顺序的典型个案。
2，方向和路线图的教学内容。
在第一学段引导学生辨认方向，有两方面的认识基础。首先是儿童的生活经验。无论是生活在城市还是农村，儿童从小就知道太阳从东方升起，在西方落下。随着活动范围的扩大，儿童在日常生活中对东、南、西、北等方向的认识也逐步积累了一些感性经验。其次是关于上下、前后、左右的学习。尽管这些方位词与东、南、西、北等方位词属于两套方向系统，前者涉及三维，以自我为中心；后者只涉及二维，以地球为中心。但上下、前后、左右的正确使用，毕竟有助于发展学生的空间知觉和方向意识，从而也能为辨认东、南、西、北等方向和正确使用新学的方位词提供一定的学习基础。
有关水平面上八个方向的认识，教材一般分为两个层次。第一层次行认识东、南、西、北；第二层次再引进东北、西北、东南和西南。在第一层次中，首先引导学生从自身的方位出发，来认识东、西、南、北方向，知道东、西是两个相对的方向，南、北是两个相对的方向，进一步了解东、南、西、北这四个方向之间的关系，并形成辨认的技能。然后再把这些方位和平面示意图或地图的方位联系起来，让学生认识上北、下南、左西、右东的规定。下面是比较典型的一个教材设计的实例（见人民教育出发社《数学》四下），从中我们不难领悟由真实的现场情境抽象出平面示意图的大致教学脉络。
然后，教材通过呈现诸如街区图、导游图等平面示意图，创设“问路”之类的情境，让学生学习根据给定的一个方向辨认其余三个方向或七个方向，并描述行走的路线。这就将形成辨认图上方向的技能与学会看简单路线图的练习有机结合在一起了。
第二学段进一步引入用方向和距离确定物体的位置。这时，学生不仅能够根据东、南、西、北等八个方向描述物体的位置，而且在运用第几行、第几列等方式描述物体位置的学习过程中，已经初步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。在此基础上，学习怎样通过方向和距离这两个条件确定物体的位置，仍然具有一定的难度。因为这两个条件不像数对那样都有序数，它们一个是角度，一个是距离，其中角度的规定，又比较复杂。目前的几套教材，都避开了测量学中的“方位角”，而采用比较直观的方式确定方向的角度。
按照方位角的定义，从某点的指北方向起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。利用方位角便于计算；但对小学生来说，不够直观，测量时比较麻烦。比如方位角是210°（如图10），它的位置可以更加直观地说成南偏西30°（如图11），用量角器测量时只能量它的邻角（如图12），或者量它的邻补角（如图13），再计算出方位角。
目前的教材采用图11的方式确定方向的角度，比较直观。但随之而来的问题是，“南偏西30°”也可以说成是“西偏南60°”。对此，有的教材建议教师，出现两种答案时，“应告诉学生在生活中一般我们先说与离得较近（夹角较小）的方位”。仍以图11为例，一般说成“南偏西30°”。
有了这样的约定，学生确定某一方向的角度时，需要先看清物体所在方向线与东、南、西、北的哪个方向线靠得较近，然后再用量角器量出角度。类似地根据路线图描述行走方向时，同样需要先做出正确判断，再据此度量与陈述。
从数学的角度来看，用方向和距离确定位置，渗透了平面极坐标的思想。在极坐标系中，用两个坐标参数（r，
）也可以表示平面上任意一点（如图14）。有关比例尺的内容，主要是比例尺的含义及其表现形式（数值比例尺与线段比例尺），按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。这些内容以前的小学数学教材中也有。改进之处主要是更加重视现实情境中的应用，更加关注问题解决策略的多样化。例如，看地图求两地的实际距离，不一定非要根据给定的比例尺和图上距离列出方程或算式求解，也可以用圆规和尺量出图上距离，利用图注的线段比例尺直接换算成实际距离。
在小学学习比例尺，了解图形的缩小与放大，改变了图形的大小，但不改变图形的形状，对于以后认识图形的相似，探索相似图形的性质，具有一定的铺垫作用。
以上，为了方便叙述，把“图形与位置”的教学内容分成“相对位置”、“方向与路线图”两部分分别讨论。事实上，位置与方向既有区别，又有联系。无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。例如，“我在你的东边”，“向东走”，前者表示相对位置，后者表示方向。此外，描述路线时，物体的位移，沿着道路前进可以看作平移，到某地点拐弯则相当于旋转。这又是“位置”与“变换”的内在联系。教师理解这些联系有助于全面把握教材，同时也是恰当应对学生质疑的一种必要储备。
三、怎样增强“图形与位置”的教学效果。
1，依据儿童认知空间方位的特点进行教学。
以左、右的教学为例。心理学的实验研究表示，儿童辨别左、右的依据主要是手（优势手即右手）。因此教学时，可以从举右手开始，让学生说明左、右手的习惯性分工，将左、右与自己的左、右手对应起来，以建立左、右的标准。初学时学生即使发生错误，也可以提醒他们联系左手和右手加以纠正。请看一年级下学期教学左、右的课例。
（1）导入新课，激发学生的学习兴趣。
师：今天这节课我们一起来做游戏，在游戏中学习新的本领，你们愿意吗？愿意的请举手。
（有的举左手，有的举右手。）
师：举着别放下。现在谁能告诉我你举的是左手还是右手？
生：我举的是右手。
师：那另外一只手是左手还是右手呢？
生：左手。
师：对，我们都有两只手，左手和右手。大家说说看，我们在生活中常用右手做哪些事情？
生：……
师：我们大部分小朋友都习惯右手做事。但是有一些小朋友是左撇子，习惯用左手做事。我们的左手和右手是一对好朋友，配合起来力量可大了。大家找一找，我们的身体上还有这样分左和右的好朋友吗？
生：……
师：我们身体上像左手、右手这样的好朋友可真不少呀！这节课就来认识左、右。（板书“左与右”。）
（2）巩固对自身左与右的认识。
师：你是怎么记住左和右的？
生：……
师：我们来运用左和右做个机器人游戏，我是遥控器，你们是机器人，我发出指令，比一比哪组机器人的动作做得又对、又快、又整齐。机器人准备好了吗？
伸出左手摆一摆；
跺跺你的右脚1，2，3。
师：现在遥控器要提高难度啦，听清楚。
左手拍左肩（做错的小朋友纠正）……
（3）感知身边的左与右。
师：自己身体上的左和右都清楚了。你身边的左和右分得清吗？我们来看这个同学（拿出小女孩的头像贴在黑板上），她坐的方向和你们一样吗？
生：一样。
师：那么她的左和右在哪里呢，谁来贴贴看？
（请学生贴出左、右两字）
师：第二个游戏“找邻居”，请你们找出自己左边和右边的邻居。同桌两人互相说说。
（同桌两个学生互说、互评。）
师：我们来听听几位小朋友找的邻居对不对。
（学生汇报。）
师：每位同学都找到了自己的邻居，在以后共处的日子里，邻居之间可要相互团结、相互帮助。
（4）理解左右的相对性。
师：自己身边的左和右也分清楚了。那么左和右还有什么小秘密，你们想知道吗？现在我请一个小朋友上来。
（请一位同学上讲台，背对大家举起右手。下面的同学也举起右手。）
师：她现在和你们方向一样吗？
生：一样。
师：我们请她向后转。现在她和你们怎么样？
生：现在她和我们是面对面。
师：那么她的左和右呢？
师：哦，你们发现了什么？她的左与右和刚才的左与右有什么不一样？
生：左和右相反了。
师：（拿出另一个头像与左、右两字）谁来贴贴看。
师：对呀。面对面的情况下，左和右相反了。
师：现在我们请她做一些动作，你们说说她的动作是怎样做的。
（分别是：左手摸左耳；右手摸左边的辫子；右手碰左边的膝盖。）
师：你们说得很对。有什么好方法可以说得又快又准确？
生：我只要看。我看到的左就是她的右。
师：为什么？
生：因为我们面对面，左和右相反了。
师：你们真棒，一下子就发现了这个小秘密。
（5）巩固左右的相对性的练习。
师：下面我们就利用这个小秘密，再做一个机器人游戏。请全体起立，第一、第三行同学向后转。
现在前后两个同学都面对面了。听清楚指令：
用你的右手碰对方的右肩……
师：大部分同学都做对了，个别小朋友开始时反应有点慢，别着急，看看你的右手，想想他的右手在哪里，就能做对了。
（6）左右在生活中的应用。
①由学生举例说说左右在生活中的应用。
师：其实生活中有很多事情要用到左和右的。请小朋友们说说看，我们生活中哪些事情是按照左、右规则的呢？
生1：吃饭的时候用右手。
生2：写字的时候是先左后右。
师：对呀，我们写算式的时候也是从左往右写的。（课件演示算式书写过程：3＋2=5）还有吗？
知：我们读书的时候也是从左往右一个一个字读的。
②上下楼梯该靠哪边走？
师：真不错。我们生活中很多事情都要分清左右。请大家看这样一幅图。（课件演示：小朋友上下楼梯图）我们上下楼梯的时候该靠自己的哪边走呢？请你们讨论一下。
生：我们上下楼梯该靠右边走。
师：为什么呢？
生：因为不靠右边，如果一个人上楼靠右，另一个人下楼靠左，他们会撞的。
……
师：非常好。为了安全，避免碰撞，我们小朋友以后走楼梯的时候该靠自己的右边走。大家要遵守上下楼梯的规则。
（7）左右在数学中的应用。
①连加减的运算顺序。
师：那么左和右在数学中还有哪些应用呢？我们一起来看看。
8＋2＋3= 10－4＋5=
同桌两人互相说一说计算的过程和顺序。
师：你们是按照怎样的顺序算的？
生：从左到右。
师：这是什么？（在黑板上贴出数轴）我把1贴在这里，2该贴在1的哪边？
生：贴在1的右边。
师：3呢？4和5谁来再贴一贴。看来越往右的数越怎么样？
生：越大。
师：以后我们还会发现很多与左右有关的规律。
综观上述课例的教学过程：认识自身的左右→巩固练习（“机器人”游戏1）→认识身边的左右→巩固练习（找“邻居”游戏）→认识左右相对性→巩固练习（“机器人”游戏2）→了解左右的应用（生活中的应用→数学中的应用）。
整个过程脉络清晰，引领学生逐步提升左右概念的概括性和灵活性。在联系实际方面，又初步揭示了左右在数学中的应用，而不是整节课除了伸手、抬腿直至“韵律操”，没有一点数学味。
同样，教学东、南、西、北时，也应根据学生的认知特点，引导他们利用自身的方位来形成辨认东、南、西、北这四个方向的技能。例如，把学生带到操场上，让他们说一说早晨的太阳在什么方向。让学生面向东站好，告诉他们背对着的方向是西；再让学生伸开两臂，左手指的方向是北，右手指的方向是南。从而利用学生已有的前、后、左、右的方位知识与东、南、西、北建立起联系，帮助他们认识这四个方向。然后，结合学校的具体情况，让学生说出校园内的四个方向各有什么建筑物，使学生进一步熟悉东、南、西、北这四个方向，并能用这些词语描述建筑物所在的位置。
2，创设丰富的生活和活动情境开展教学。
图形与位置这部分内容与小学生的实际生活具有天然的联系。利用这一联系让学生在感兴趣的情境中进行学习，有利于唤起学生已有的常识和经验，提高感知的效果。
例如，在第一学段教学用两个序数表示位置，可以通过一系列的活动开展教学。
（1）让教室里第一行的同学起立，老师想请第2个同学回答问题，他是谁呢？（感受约定方向的必要性。）
（2）出示教室情境图：这是×年×班的同学们。看！他们坐得多整齐呀。班上来了一位新同学，他坐在你们的左边数起第3个座位上，他是哪个呢？为什么不能确定？（感悟只用一个第几还不能确定座位，引入两个第几。）
（3）介绍自己的座位——第几行第几个。（巩固）
（4）书架上找书——第几层第几本。（应用）
（5）居民楼找房间——第几单元几零几。（应用的拓展，序号和编号。）
（6）电影院找座位——第几排第几座。（涉及单、双号。）
又如，在第二学段教学比例尺，不妨先提出一个有趣的问题：一只蚂蚁从上海爬到北京，只用了10秒，这是怎么回事呢？由此引出中国地图。让学生观察：什么变了？什么没变？进而让学生讨论，怎样缩小才能使图形的形状不变？然后让学生尝试把长10米、宽7米的教室地面画在纸上，并完成下表。
在此基础上，概括比例尺的含义就“水到渠成”了。接下去可以小组为单位，分别研究各种城市地图、公园导游图、房屋平面图、仪器零件设计图等，通过交流，让学生凭借实例理解线段比例尺与数值比例尺、缩小比例尺与放大比例尺的异同。
教学实践表明，借助适当的情境与活动，揭示数学知识的实际背景遭到现实原型，鲜活、生动，能给学生留下深刻的印象，有利于所学知识的建构。
3，加强教学的针对性，突破学习难点。
学生在学习和掌握这部分内容的过程中，常会出现一些困难。这些困难往往与学习的难点有关。教师应当分析产生困难的原因：是技能问题还是认知问题，进而“对症下药”。例如，测量表示方向的角度，常有学生感到无从下手。以下面的问题为例：
星期日欢欢和乐乐约定去图书馆，他们各自从家出发，到学校会合，再一起去图书馆。请你根据下面的图示（图17）量一量，并说出他们所走的方向和路程。
这里，学生的主要困惑在于怎样量角，其原因除了量角器的使用不熟练之外，更主要的问题是不明确操作的步骤和不清楚该量哪个角。
对此，教师可以边示范边让学生跟着做：①找到欢欢家，在表示出发点的位置上用虚线画“十”字；②看仔细哪个角更小，标上记号；③用量角器量出这个角的度数。经过反馈，剩下的两个角就可以让学生自己完成，教师巡视辅导个别还有困难的学生。
在教学过程中，为了促进学生思考、理解，教师还应当有意识地寻找教学契机，启发学生质疑问难，或者针对学生的疑惑提出问题让学生讨论。例如：为什么平面图上要规定上北、下南、左西、右东？比例尺是一把“尺”吗？
必要时，还可以设计一些对比练习让学生辨析。例如：
（1）从一个点出发，画出“东偏北30°”与“北偏东30°”的方向线，比较它们的异同。
（2）在方格纸上描出数对（3，2）与（2，3）所表示的点，说说它们的区别。
（3）把线段比例尺（下图）改写成数值比例尺是（ ），它表示把实际距离缩小到它的（ ）分之一。
“所有的判断都是统计学”
——“统计与概率”备课与教学难点解析
北京 华应龙 施银燕
当今世界上最伟大的统计学家之一C.R.劳先生在他的统计学哲理论著《统计与真理——怎样运用偶然性》中指出：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”诚哉斯言，我们关于新课程小学数学统计与概率教学的判断，就是建立在我们的统计基础之上——阅读的统计、实践的统计、思考的统计。
一、统计与概率，小学数学的三分之一？
原来我国小学数学教材中只有统计而没有概率，并且只占很小篇幅，可以说都属于古典统计学范畴。一方面，可能与我国传统文化重整合轻分析，重人伦轻自然，重义轻利，重道轻器有关；另一方面，在计划经济时期人们遇到的更多的是确定的对象，没有感受到统计与概率的必需。
而在《标准》中，“统计与概率”与历来数学教学中重量级内容“数与代数”、“空间与图”三分天下（实践与综合应用并不是独立的教学内容），受到了前所未有的重视。
首先，在以信息和技术为基础的社会里，人们面临着更多的机会和选择，而数据则日益成为一种重要的信息。“生活已经无于数学课程将统计推到了学生的面前”，报刊中大数、百分数、图形图表出现的比例越来越高便是明证。图表本是统计的一部分，自不必说。许多大数、百分数本身也是统计或推断的结果，可以说他们的背后还是统计与概率。
学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公民基本素养的一部分，如威尔斯所预见的那样：“就像读和写的能力一样，将来有一天统计的思维方法会成为效率公民的必备能力。”统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法，已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。在小学进行统计与概率的教学，可以让学生逐步形成统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。
其次，在学习统计与概率的过程中会涉及解决问题、计算、推理以及整数、小数、分数、百分数、图形等许多数学知识。实际上学统计与概率的同时又复习、运用了过去的旧知识，发展了学生解决问题的能力。
最后，以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有别于讲究因果关系的逻辑思维。数学家阿蒂亚曾经说过：“代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑，概率是无序的逻辑。”不少研究表明，如果学生缺乏对随机现代的体验，往往很难建立这一观念。所以有必要在学生系统地进行理论知识的学习之前，在小学里积累丰富的对随机现象的经验。
二、是“统计与概率”，还是“统计＋概率”？
尽管小学数学把统计与概率放在了一起，但是我们往往还是认为二者不太沾边：小学教材中关于这部分的内容，我们都能清晰地把它归为统计或归为概率。的确，在统计学的诞生之初，与概率无甚关联。
统计学是“关于收集和分析数据的科学和艺术”（《大不列颠百科全书》），是一门“对数据进行收集、分类、分析和解释的科学”（《兰登书屋大辞典》）。两部国际权威辞典对统计学的看法有相似之处，那就是强调数据，强调对数据的收集、整理、分析及解释。
统计学最初来源于国情普查。国家管理中需要收集和分析各种数据，比如对人口、土地、国民收入、各种税收的统计等。
14世纪左右，随着航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同航海路线出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断。渐渐人们发现，统计资料中的各种数据大多是偶然现象的反映。于是到了19世纪末20世纪初，概率论的有关知识被引入统计学，构建了现代统计学。与古典统计学相比，二者都是对于数据的收集和分析，但内涵有了显著的变化：本质的区别是后者进行分析的基础是“不确定性”，即“随机”。
至于概率论，大家都知道它的“出生”就和赌博有关。但概率论的真正出现源于17世纪一次未完成的赌博，双方为最终赌金的分配争执不休，于是写信向当时法国最具权威的数学家帕斯卡请教，这个问题随后吸引了包括帕斯卡、费马、惠更斯等众多数学家的思考和讨论，讨论的结果，惠更斯把它写成一本书《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。由此一个崭新的数学分支——概率论登上了历史舞台。后来概率在社会学、生物学、物理学和化学等许多领域发挥着十分重要的作用。
概率论是分析随机现象的一个数学分支。概率是表示特殊结果在单个场合出现的可能性的数（《大不列颠百科全书》国际中文版）。概率论是数学、统计学术语，是分析、说明有关有确定现象发生可能性的学科（《兰登书屋大辞典》）。
统计与概率是密不可分的。一方面，概率论是现代统计学的根据：因为统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率；另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。已故中科院院士、中国统计学会副会长陈希孺先生指出：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。分析着重在数量化，而随机性的数量化，是通过概率表现出来，由此可以看出统计学与概率论的密切关系……大体上说，二者的关系是：概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。”
小学生学习统计与概率的过程，与统计与概率的历史发展是一致的。一开始，统计的对象更多的是确定性的（或者说学习内容是与概率没多大关系的古典统计学），例如，北师大版教材第一册“统计”中，统计的对象是全班每个同学最喜欢吃的水果，它们在数量上是确定的。利用统计对象的确定性教学统计表，不仅充分考虑了一年级学生的学习能力，而且有利于学生更好地学习简单统计表。
随着学习的深入，统计对象更多地具有随机性。例如，“估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋？通过实际调查验证你的估计。”在该统计活动中，统计对象塑料袋的总数非常大，统计起来既浪费时间，又浪费人力和物力。此时，就可以渗透抽样统计的方法，帮助学生自己选择统计对象。这里，统计对象可以是全班同学家庭的某些天丢弃塑料袋的个数，或部分同学家庭的某个月丢弃塑料袋的个数。
随着学生相关知识的增多，统计与概率越来越密不可分。例如，《标准》第29页例7，“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。”这样的教学是建立在随机现象的基础上的，要求学生能够用统计的方法收集有关两队以往比赛胜负的资料，进行有效的整理分析，推断下场比赛的胜负。
三、统计=计算＋制图制表？
在计算机尚未普及的年代，统计被演绎成繁杂的计算和枯燥的制图制表。在信息技术日益发达的今天，计算、画图等工作不应该再占据学生过多的时间，事实是它们也远非统计教学的核心。小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念。统计观念体现在以下几个方面：认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，作出决策；能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。我们以为：对于小学教师而言，理解什么是“统计”，了解统计的发展历史，了解不同统计的作用，明确小学阶段的统计学是描述性统计等非常重要。
观念的形成需要人们亲身的经历。建立统计观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要做这些。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问做这些的意义。
首先，关于收集数据。我们发现，教师往往把重点放在收集数据的具体细枝末节的方法上，比如：多样化的符号表达，画“正”字记录等等。当然，这些对初学统计的小学生而言不容忽视。但我们认为，首要的一个问题是应该收集什么样的数据？显然，是能够客观反映背景的“好”数据。这是决定统计成败的关键。获得“好”的数据，一是要尽可能多地利用对实际背景已有的经验。比如要预测某一天的天气情况，我们可以收集历史上相应的天气的数据。以下两种方法哪种更恰当呢？一、收集近三十年该日期的天气情况；二、收集近三十年来相似卫星云图的天气情况。根据我们的经验，“天气情况与卫星云图有很大的相关”，我们就会选择一者。二是采用简单的方法。简单的方法往往可以节省很多统计成本。这方面有一个很经典的统计案例：1997年香港回归，民心民意到底如何？只收集一项数据的调查（回归前后市民关于“你是哪里人”答案的比较）就很好地回答了这个问题。简单需要把握纷繁复杂的现象背后的本质，这一切依赖数学化。
其次，关于数据整理。统计图表的格式和绘制规则是必不可少的，但绝对不是整理数据的全部：计算机的广泛使用，让统计教学的重心转移，即数据整理后首先需要面对的是选择什么样的方式呈现？这就需要学生通过观察、比较、讨论等活动对各种统计图表的特点有一个明确的认识。
再次，关于数据描述。主要包括集中趋势的描述和离中趋势的描述两部分。小学阶段只涉及前者。集中趋势，就是指整体水平，一般用平均数来表示，有时也用众数、中位数等描述。这里，需要强调平均数的统计意义。首先，它是一组数据的代表数值，可以用来说明这组数据的整体水平或典型情况；其次，它可用来进行数据之间的比较。教学时要重视学生对平均数意义、特点的把握，注重对其统计含义的理解。学生往往因为对平均数和通常的“平均分”分辨不清，不理解平均数的假设性，误以为真正的移多补少。导致学生常常有这样的困惑：“平均每户3.1人，人数怎么会有小数呢？”“足球比赛比分是2：4，平均每队的进球数是3，两队是对抗性的，怎么可以平均呢？”
最后，关于数据分析。信息时代生活中充斥着各种数据，经过形象化处理得到的统计图表，给人们带来了很大的视觉冲击，所谓的“读图时代”便源于此。为了能在这个“读图时代”更好地生存，就必须能从大量的“图”中获取有用的信息，作出独立的分析，并理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据，对数据的来源、收集方法、呈现方式、由此得出的结论进行合理的质疑。
下面摘录的是石雪纳老师教学“简单的数据整理和统计表”一课的片段，我们一起感受统计的全过程。
师：刚才大家交流了生活中的统计表。现在有这么一件事：小明的奶奶有一天来到学校，反映作业负担太重，说孩子前一天写作业整整用了90分钟。校长听后请奶奶先回去，并跟奶奶说，明天我会给您一个满意的答复。同学们，你要是校长，接下来你会做些什么呢？
生1：我要是校长，我会去问老师是否昨天留的作业太多了。
生2：你问了老师肯定说不多，我想应该让老师把昨天的作业做一遍，看看是不是要很长时间。
生3：那不行，你想啊，老师是大人，而小明是学生。大人知识那么多，做题肯定比小孩熟练，时间一定短呀。不能这样比！
生2：哎——，你说的对呀，那我们就找一个学生来做。
生4：那万一你找的这个学生也很慢呢？或者他是班里作业最快的学生，怎么比呀？
生2：那——，我们多找几个人不就行啦？
生4：这还差不多！
师：看来大家的最终意见是要把小明的作业时间和别的同学比较一下，对吗？我这里就有一张全班同学作业时间的记载表，来看看。
师：校长拿着这个表格就想了：这么多数，奶奶的眼睛不都看花了？需要整理一下。你觉得该以多长时间为一段进行统计呢？
生1：我看按照时间长短进行排列就能看出来全班作业时间的情况，不用分时间段。
师：这方法可以，但是为了奶奶看得更清楚，我们是不是可以分段来统计呢？
生2：对，我看30分钟一段就行。
生3：10分钟一段也行吧。
生4：15分钟一段也行！
师：大家说的都可以，一般在时间间隔比较短的时候我们采用15分或30分一段。
投影出示：
师：这张纸上有两个不同时间段的统计表，各组也有。一会儿小组选择其中一个进行统计就可以了。下面咱们小组比一比，看哪个组最先做好统计。
（小组合作完成表格）
师：哪个小组说说你们是怎么统计的？
生1：我们组选择的是第一个表格，大家分工合作，一个人负责统计15分以内和61分以上的，因为这两个时间段人比较少，少一个人负责就够了；一个人负责统计16～30分的；一个负责统计31～45分的；一个负责统计46～60分的。最后大家再汇总，填写到表格里。
生2：我们统计的结果是15分以内1人，16～30分有34人，31～45分有7人，46～60有2人，61分以上有1人。（师板书结果。）
生3：其他小组对我们的汇报有什么补充吗？
生4：我们小组也统计的是第一个表，结果和你们一样，方法不同，我们是按照原来表中的学号分工，每人负责统计12个学号的，然后再汇总。
生3：你们的方法也挺好的。其他组呢？
生5：我们组统计的是第二张表格，我们的方法是一个人读数据，另外3人每人统计一个时间段，最后的结果是30分以内有35人，31～60分有9人，61分以上有1人。（师在生说的同时板书出结果）
生3：因为你们选择的表只要3个人统计，所以你们分配另一个人来读表格数据，很合理。你们的分工很好。
生6：我有一个发现，其实虽然两张表格分的时间段不同，结果不同，但如果当两张表都统计正确时，第二张表的结果其实就是对第一张表的一次验证。第一张表前两个时间段人数的和应该是第二张表的第一个时间段人数；第一张表第三、四时间段的人数和应该是第二张表的第二个时间段人数；两张表的最后一个时间段人数是一样的。
师：你说的对，也就是按不同时间段统计会有不同结果，但不同结果之间也有内在联系，对吗？
生6：是这样。
师：刚才大家交流得太精彩了！那么现在你作为校长拿着这个统计结果要对奶奶说些什么呢？
生1（姓王）：我要对奶奶说，您看表格能看出来，您家孙子做作业的时间最长，60分以上就他一个，别人都在60分以下，说明是他自己可能边做边玩不用心，您应该教育他。
师：嗯，王校长是这么看的，其他校长呢？
生2：我会对奶奶说，您看表格就知道，全班那么多人都在30分之内做完作业，而您孙子时间最长，说明问题不在老师身上，在您孙子自己不会抓紧时间。
师：说的也有道理！那能否结合统计的具体数据来说服奶奶呢？
生3：我会这样对奶奶说，您看，15分（手指第一个表格统计结果）以内1人，人很少；16～30分有34人，这个时间段人最多；31～45分有7人，人数第二多，但比起16～30分人就少多了；46～60分有2人，61分以上的有1人，这些人数都不多。这个结果就说明老师留的作业是比较适合大多数学生的作业时间的，奶奶应该考虑是自己还应子的问题了。
……
师：大家刚才说的都挺有道理。可以，我倒觉得小明也许就是个好孩子呢？你们说有没有这种可能？
生：（有的学生皱起眉头，有的学生忽然兴奋起来，脱口而出）有可能的！
生1：有这种可能。也许小明是为了把字写得漂亮些，就慢了点。
生2：还有可能是他做题过程中发现了自己不会做的题，没问别人自己想，终于用了很长时间想出来了。这可是很认真的学习态度，还值得我们学习呢！
生3：还有可能小明特别善于思考，做完了一道题，又回头去想有没有其他解法，是个能一题多解的好孩子。
师：说得真好！看来我们不能只看到时间很长，关键是得看他在这段时间里干了些什么，对吧？
我们通过统计进行分析（板书：分析），能把事情处理得更好！你看，整理后的表格比原始数据更能说明问题吧？看来，统计的作用还真大呀！
关于统计，最基础的知识是比较、排列和分类。有研究表明，学生对活动对象的熟悉程度将影响到学生比较、排列和分类的进行。这节课石老师就为学生进行比较、排列和分类提供了亲切熟悉的统计对象，让学生经历了对学习生活中作业时间统计的全过程，在这个过程中，学生的统计分析显出了精彩。
重视统计过程的体验是课程标准中重要的指导思想，也是新标准与原大纲较大的区别所在。“小明奶奶”一题，让学生分时间段整理同学们的作业时间是教学的难点。时间段怎么划分，答案自是多样。教师让全班学生自主选择15分段或者30分段统计，学生从而体验统计结果在统一标准下的一致性，不同标准下的多样化。
数据统计的全过程有数据收集、数据整理、统计制表、分析数据、得出结论五个环节，其中分析数据是重要环节，也是课程标准强调的内容。在“小明奶奶”一题中，教师引导学生尝试分析“小明为什么做作业的时间那么长？”学生的分析是推己及人、丰富多彩的，并且符合孩子的心理。当教师提出另一视角，培养孩子辩证思维时，孩子分析也很有见地。设计这样的分析，我们认为是统计教学中必不可少的环节，是培养学生的数据意识的平台；通过数据分析后再下结论，也是理性精神培育的良好载体。
统计知识的教学不是一个个知识点的授受，也不是一种种技能的训练，重要的是一种意识、一种思想的滋润。所以说，统计并不是“计算＋制图制表”，建立统计观念是统计教学中最重要的。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”
四、学生凭借经验就能判断，还需要做实验吗？
按照弗赖登塔尔的观点，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和生活现实，在将要传授的知识和学生已经在现实世界中积累的或是已经学过的知识之间建立起紧密的联系。概率进入小学还是首次，学生在没有接受正规“可能性”教学之前，他们是怎么看待、认识、理解可能性的？笔者对小学一、三、四年级202名学生作了一个小型的问卷调查。（篇幅有限，简单介绍结论。）
1，可能与一定。
没有受过学校教育的大部分6岁儿童（一年级）能区分可能事件、不可能事件和必然事件：87%的一年级学生对“从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸出一个球”的选择回答是“可能是黄球”。而三四年级则有96%的学生选择了正确的答案。
“87%”和“96%”似乎说明了年龄的增长对学生对不确定现象的认识没有多少影响，但是同样回答“可能”，对可能事件的理解却可能有着天壤之别。
2，可能性的大小。
超过六成的6岁儿童能定性比较可能性的大小：64%的一年级学生面对上面这个情境选择了摸到黄球的可能性大。而三四年级对这一问题回答的正确率达到了97%。
在没有学习用分数表示可能性的大小之前，近一半的9-10岁儿童能对可能性的大小进行量化比较——“好消息！摸到※（笑脸）有大奖！你选择在哪个盒子里摸？”四个选项：①2个笑脸，4个哭脸；②20个笑脸，40个哭脸；③2个笑脸，2个哭脸；④10个笑脸，8个哭脸，8个没有表情的脸。47%的四年级学生正确选择了③。
学生确实在正确学习概率之前就已经具备一定的经验了，在面临简单的可能事件时凭经验就能判断，那还需要做实验吗？例如，盒内有9个白球、1个黄球，这些球除颜色外完全相同。让学生说出摸到哪种颜色球的可能性大？学生凭经验完全能判断出摸到白球的可能性大，还要进行实验吗？
第一，学生学习概率的一个重要目标是体会随机现实的特点，即：在相同的条件下重复同样的实验，其实验结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。为了达到这一目标，概率实验是不可或缺的。
第二，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出的，实验是获取概率的更一般的方法。陈希孺先生指出：“一事件出现的可能性大小，应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”
第三，概率实验可以帮助学生澄清一些误解。
“可能、一定、不可能”是各个版本新课标教材中都有的教学内容，下面是笔者的教学片段，可以帮助说明概率实验的价值。
组织小组活动：
盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个。摸之前先猜一猜，你会摸到什么球？每次你都猜对了吗？
活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学？（全班有三人举手。）
师：为什么我们那么多的同学都没有猜对呢？
（此时，三个猜对的同学急于向大家介绍方法。）
生1：黄球和白球摸在手里的感觉不一样。
师：（饶有兴趣地）真的吗？让我们见识一下。
生1：（摸一个球）黄色！
（拿出后是白色。生1低头坐了下去。）
师：怎么不试了？
生1：没有信心了。
师：怎么就没有信心了？
生1：摸在手里分辨不出来。
生2：我有一个办法，如果第一个摸出来的是黄球，把这个黄球放回盒子，放在哪个角落第二次还从那里摸，一定还是黄球。
生3：（反驳）放回去要摇一摇，你这么做就不遵守规则了。
生4：如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球。
师：你刚才就是这样猜的，结果全对了？
生4连连点头。
师：（半信半疑地）还有这个规律？摸一个！
（生4摸出一个白球，放回。）
生4：第二次一定是黄球。
（第二次生4果真摸出一个黄球。）
师：看来，下一次……
生4：第三次该是白球了！
（第三次生4摸出一个黄球。）
师：这个规律还成立吗？
学生们直摇头。
师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么？
生：盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球。
如果你的周围近来有几对夫妇离异，那么在事实并未改变的情况下，会使你片面地相信夫妇离异的频率在上升。有些事件哪怕只发生一次，只要它发生在自己面前，就会加深对它的印象。我们往往不太会相信，在我们面前发生的事件会只发生了这么一次，而相信它在更广的范围里也会发生。福尔克（Falk）在《可信巧合与不可信巧合的判断》中指出：“自认为有意义的巧合比自认为无意义的巧合更使人感兴趣，自己经历的巧合比别人经历的巧合更引起重视。”
随机性是可能性教学中的一个基本观念，它包括两个方面：（1）单一事件的不确定性和不可预见性；（2）事件在经历数次重复实验中表现出规律性。前者看似简单，但对只接触确定性数学的低年级学生而言并不简单。教者特别关注学生可能的潜在的错误直觉，让学生充分积累对不确定性的直观感受，把功夫下在了学生随机观念的建立上，把住了可能性教学的脉。
要用一个正确的概念来代替一个错误，用第二直觉来代替第一直觉，用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的，信念和概念的改变是缓慢的。李俊等学者的研究都显示，学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了，在学概率期间还有可能产生新的错误概念，学习结束之后可能还存在某些错误概念，即便教学是基于对错误概念了解之上，某些错误概念还是顽固得难以消除。概率说理有一个特殊问题，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突，如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此教师就该创造情景，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正或改正自己对概率的认识。实验不仅要做，而且要多次做。
五、学生在实验中是“操作工”还是“探究者”？
不管是教学统计，还是教学概率，往往需要做实验。那么实验的主体是谁？学生在其中该充当怎样的角色呢？
在有关“可能性的大小”课堂里我们常常看到这样的场景——
师：（出示一个盒子）盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球？
（学生略做思考后猜测。）
师：好，下面就请你们分小组摸球，记录自己摸球的结果，并与小组内的同学交流摸球的情况。
（各小组摸球、统计、讨论，教师巡视。）
师：谁愿意代表本组汇报一下小组交流的情况？
（各小组汇报。）
师：摸出白球的次数多，说明摸出白球的可能性——（生齐答：大）；反过来说，摸出黄球的次数少，说明摸出黄球的可能性——（生齐答：小）。
师：这个游戏告诉我们，虽然事件的发生是不能确定的，但是可能性是有大有小的。
下面，我们再来分享牛献礼老师提供的同样课题的相关片段——
师：（出示盒子）同学们，这个盒子里放有白色和黄色的球共9个。不过两种球的个数是不相等的，如果不打开盒子看，你们有办法知道哪种颜色的球多吗？
生：可以猜。
师：猜，是一种方法。那你猜是哪种颜色的球多一些？
生：我猜是白球多一些。
生：我猜是黄球多一些。可到底是哪种颜色的球多，我们还是不能确定，这样瞎猜，即使猜对了也只能说明运气好。
生：（迟疑地）老师，我有个办法，能不能用在二年级时摸球的方法，每次摸出一个球看看颜色，然后放回去再摸。多摸几次，最后看摸出哪种颜色的球多，就说明盒子里这种颜色的球多。
师：大家明白他的意思吗？谁能再解释一下。
生：他的意思是从摸球的次数中判断哪种颜色的球多。摸出的次数多，就说明这种颜色球的个数多。
师：你们认为这个办法行吗？
生：（齐）行。
师：好，下面就来做这个实验。
（出示活动要求：每人每次摸出一个球，记录员记录结果；把球放进盒子，摇一摇，下一位同学继续摸，每组共摸20次。）
生：我们组认为盒子里的白球多。因为我们摸了20次，白球出现了15次，黄球只出现了5次。
生：我们组摸了20次，白球出现了17次，黄球只出现了3次。我们也认为白球多。
师：从摸出球的次数，我们推断出盒子里的白球可能多一些。我们的推断是否正确，最终还得——
生：把盒子打开看看。
（各组打开盒子，发现白球有8个、黄球1个。学生们欢呼雀跃。）
师：如果把这几个球放回去再摸一次，会摸到什么球？
生：可能是白球，也可能是黄球。
师：会不会一定是白球。
生：不会，因为盒子里既有白球也有黄球，所以摸出来的也可能是黄球。
生：盒子里白球多，黄球，摸出白球的可能性大，摸出黄球的可能性小。但是可能性再小也是有可能的啊。所以摸出的不一定全是白球。
师：说得真好！那么，同学们，通过刚才的摸球游戏，你们对“可能性”有了哪些新的认识？
……
两种教法在形式上很相似，都是通过“摸球”让学生感受事情发生的确定性与随机性。但仔细分析会发现两者之间有着本质的区别。
前一种教法，教师的目的是要让学生“感受不确定性”、“感受可能性的大小”，但学生并不清楚。这时，学生的活动只是在按老师的要求进行，只是在执行老师的一个个指令，而不是一种真正自觉的行为。这样的实验缺乏主动性、探究性，思维含量不高。另外，从课堂实践来看，教师先告诉学生盒子里放着9个白球和1个黄球，再让学生猜测摸出哪种球的可能性大，学生几乎异口同声地说“摸到白球的可能性大”，说明相对学生已有的经验和知识来说，这一问题思维含量不足，缺乏“挑战性”，不能有效激发学生探究的欲望。那么接下来的明知最终结果的实验活动还有多大意义？学生经历一番“摸球”后会思考哪些有深度的数学问题呢？
动手实践、主动探索是《标准》积极倡导的一种学习方式。但是，动手实践、主动探索绝不能简单地等同于“动手活动”。二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。
牛献礼老师的教法中，学生先对解决问题的方法达成了共识：用摸球的方法进行判断，哪种颜色的球摸出的次数多，说明这种颜色的球的个数可能就多。此时的动手实验目的明确，自然成为学生的自觉行为。在这一过程中，学生思考着解决问题的办法，不断提出新的想法，并通过动手实践探索问题的答案，最后打开盒子进行了验证。学生不仅感知了不确定性和可能性的大小，而且在探索活动中学习到了科学探究的方法，发展了合情推理的能力。
针对学生常常根据自己的经验和直觉来判断事情的发生与否，以为“不太可能就是不可能，很有可能就是必然”，将可能发生与必然发生混淆起来这种普遍存在的错误，教师在学生已经获得结果的情况下，进一步引导学生思考：“如果把这几个球放回去，再摸一次，会摸到什么球？”“会不会一定是白球？”促使学生深入理解“可能性”的含诡义，并进一步理解事情发生的确定性与随机性。可见，牛老师设置认知冲突、预留思维空间，更多的是在引导学生自主进行思维活动，很好地体现了“数学教学是数学思维活动的教学”的思想。
让学生在活动中积累体验很重要，而活动前、活动中、活动后的思考更重要。潘小明老师就非常注重活动前后的思考，请看他在教学“用分数表示可能性大小”一课中的片段——
出示游戏规则：
一个纸袋里，有6个分别标有1，2，3，4，5，6的球。甲乙两人轮流从中摸球，每次摸1个，摸后放回。球上的数大于3，甲得1分；球上的数小于3，乙得1分；球上的数等于3，谁都不得分。各摸10次，谁的得分高谁获胜。
如果让你参加这个游戏，你准备当甲，还是当乙，还是随便安排？
全班学生用手势表示了自己的意见之后，潘老师发现学生的想法不尽一致，就开始组织学生各自陈述自己的理由，小组内交流。他并没有像有些老师那样，急于让学生通过摸球来验证可能性的大小。
小组内交流之后，潘老师先询问：有没有谁在讨论之后，改变了自己原来的想法？
一个学生说：“我原来是选择随便安排的，但现在我认为当甲赢的可能性更大。因为甲赢的情况有3种，而乙赢的情况只有2种。”
从这位学生的发言中可以看出，这样的实验前的思考是有价值的、有效的。
六、是直面学生的错误认识，还是回避它？
我们的学生并不是头脑空空地等着从我们教师口头得到概率的正确理论。在正式教学之前，学生对概率统计已经有了他们自己心中固有的直观判断、偏见和观念。教师需要了解学生潜在的错误观念。在学习概率的过程中，教师不仅要关注学生是否动了、做了，更要关注学生是否想了、说了；不仅要关注学生是否想了、说了，更要关注学生想了什么、说了什么，关于发掘学生话语背后的潜台词，再通过动手实验或讨论，逐步消除错误的观念，帮助学生建立正确的概率直觉。
学生常见的错误直觉：
1，确定性思维。
对随机事件的不确定性认识不够，以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果，一年级学生中这种情况最多，少数学过可能性的三四年级学生也存在这个问题。
例如：抛一枚硬币，第一次是正而，认为第二次“必然还是正面”的，一年级17%，三年级2%，或者“第二次一定是反面的”，一年级6%，三年级4%，四年级2%。
把可能性比较大的等同于必然事件，认为很有可能就是必然；可能性比较小的等同于不可能事件，认为不太可能就是不可能。如从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸1个球，认为“一定摸出黄球”的一年级有8%，三四年级有1%；“不可能摸出白球”的一年级有11%，三四年级有3%。
还有部分学生把可能性较小事件发生的原因归结为没有努力、缺少信心等。
2，等可能性偏见。
认为一件事情有几种结果，那么这几种结果出现的可能性是相等的。如：同时抛两枚同样的硬币，结果：认为两个都是正面朝上，两个都是反面朝上，一个正面朝上、一个反面朝上，这三种情况出现的可能性一样。（27%，因为各个年级差异不大，故没有分别统计。）
3，预言结果。
即预言每次实验的结果，将可能性估计建立在因果的联系上。如“从一个装有3个黄球和1个白球的盒子里摸出1个球，结果会怎样？”“摸到黄球，就一定是黄球；摸到白球，就一定不是黄球”（一年级一女生）。“去商场抽奖，中奖了，中奖的可能性是1；没中奖，中奖的可能性就是0”（五年级一男生）。
综上所述，没有经过正式教学的学生，在生活中也已经积累了一些关于随机现象的经验，对可能、一定能加以区别，部分学生对可能性的大小也有所体验。但也存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的认识。
关于概率，学生乃至成人还有相当多的认识误区，正如兰德威尔(Landewehr)指出的：“人们不适当地认为在‘真实世界’内的一切都是确定的；人们无根据地相信小样本；人们在日常生活中无根据地把问题归结为平均数来解决……”
《游戏公平》是北师大版第八册的教学内容。这节课一个很重要的教学目标是让学生“初步体验事件发生的等可能性”。在此之前，学生在第一学段，已经知道了“可能”与“一定”，并通过摸球等活动，初步体验了可能性是有大小的。对学生而言，从“可能性有大小”到“可能性相等”在认识上是一个飞跃：正因为有“可能性相等”，可能性才可以用分数表示，从而实现可能性从定性到定量的过渡。
但体验“可能性相等”对于长期习惯于确定性思维的学生来说，是何等的艰难！他们很自然拥有大量貌似正确实际错误的想法法影响了这一目标的实现。教师们发现，不做实验、不分析，学生似乎理解得很顺利：“抛硬币，正反面向上的可能性相等”、“掷色子，每个数字的机会是一样的”；做了实验之后，却是另一番景象：越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力，于是教师便想尽一切办法，选择相等的或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。更有甚者，干脆选择回避：不做说不清道不明的抛硬币实验，改做更容易驾驶的可能性有大小的实验；更极端的索性不做实验。笔者以为，大量重复实验本身，可以让学生充分体验到随机事件的“不确定性”，而实验之后对数据的分析，才能让学生体验随机事件的另一特点“偶然中的必然”。要想体验“可能性相等”的丰富内涵，实验是无可替代的。所以在一开始设计这一课时，首先决定的是：不仅要抛硬币，还要舍得花时间以保证一定的次数。
初步确定的方案如下：由足球比赛裁判抛硬币挑边引入，提出问题：为什么用抛硬币来决定？由此讨论抛硬币的公平性。然后学生进行抛硬币实验，收集较少次实验和大量实验的数据进行对比，再提供几位数学家抛硬币的结果来对比。
尽管有了充分的思想准备，试讲时学生的种种问题还是让笔者措手不及。“不同的硬币抛出的结果是不同的”，“和你抛时旋转的力度有关”，甚至在铁证如山的皮尔逊24000次抛硬币的结果面前，学生仍坚持“我承认抛很多次是很公平的，但是裁判只抛一次，可能性就是不相等的，是不公平的”。面对学生的质疑，教者再次陷入了沉思：五花八门的说法，只基于一个同样的原因——学生没有理解“可能性”这一概念，同时说明构建“可能性”的概念非常困难。与其被动招架，不如主动出击！教师不再害怕、回避学生各种真实的想法，孤身一人搜寻证据以说服半信半疑的学生“可能性相等”，而是反其道行之，把所有的潜在的矛盾错误都揭示出来让学生想方设法来说服大家，让学生经历“可能性”这一概念的形成过程，而非教师强加给学生。正如科诺尔德（Konold）的许多研究都提到，要向人们清楚地解释一个随机概念，还不如让他们直接面对一个错误概念。
调整思路之后，就有了下面的片段——
师：有一个蛋糕，两个人吃。怎么分公平？
生：平均分，每人分得一样多。
师：现在把蛋糕换成球赛门票，有两个人都特别想看，怎么安排比较公平？
生1：（半开玩笑地）从中间撕开，撕成两半。
（学生大笑）
生2：可以玩石头、剪子、布，谁赢了谁去。
生3：还可以抽签，或者掷色子、抛硬币。
从分蛋糕到分球赛门票，抛硬币这一方案是学生为解决实际问题自然想出的，相比而言裁判抛硬币要显得生研许多；更为重要的是，一开始就让学生在对两种公平——结果相等的绝对的公平和可能性相等的机会的公平的对比中更好地理解把握后者。
师：同学们想出了多种办法。我们先来讨论一下抛硬币这个办法。
（师请两位学生模拟甲和乙，商定抛到正面甲去，抛到反面乙去。抛一次，结果反面朝上。甲指指乙，示意乙赢了。）
师：现在，你们觉得抛硬币这个规则公平吗？
（大多数学生说：公平。）
乙：（小声地）好像不太公平。
（师好奇地示意乙说下去。乙不语。）
师：自己去了，好朋友没去成，有点不安。是吗？（乙点头）
师：我来采访一下甲同学，他去看球赛了，你呆在家里，你觉得抛硬币这个规则公平吗？
甲：公平。因为这个规则是我们事先商量好的，所以最后到底谁去谁也不知道。
生1：我也觉得这个规则是公平的，因为硬币正面和反而都是一个，要是有一个正面两个反面那就不公平了。
生2：我觉得正面和反面向上的机会都是50%，所以是公平的。
生3：你看，正面和反面都是圆形的，大小也一样，所以当然是公平的。
学生此时看起来明白得很，个别学生甚至还说到了50%这个没学过的数，但是明白表达的背后不一定是十分明白的思维——
师：我同意大家的观点。抛硬币是不是公平，不是看结果，而是要看机会。也就是看可能性是不是相等。可分析毕竟是分析，有什么事实能说明正反面向上的可能性相等呢？
生1：我觉得刚才抛一次不能说明问题，抛两次，应该一次正面，一次反面。
生2：我觉得抛两次很可能还是全部正面或者全部反面朝上的，应该抛五六次。（生点头）
师：行，就照大家的想法，咱们试着先抛10次。
（生实验之后汇报结果：正5，反5；正3，反7；正4，反6；正7，反3；正6，反4；正8，反2。等等）
师：同学们坚持说正反面可能性相等，可从大家实验的结果看，除了正5反5之外，我看到的都是不相等！正8反2呢，相差得也太多了，8可是2的4倍呢！凭什么你还能说可能性相等呢？
生1：（抛出正5反5的学生）我觉得他们一定是硬币没放正。你看，我让硬币正面在上面，然后我抛得很低，落下来保证是正面向上。
师：（对抛出正反面不相等的学生）你们是这样抛的吗？
生（众）：没有，我们是按规则抛的。
生2：我觉得用1元的硬币抛比较公平，他（指同桌）抛的是1元的硬币，正面和反面次数都相等；而我用5角的抛，结果正8反2，那是因为5角的正面花纹多，所以正面重，容易正面朝上。
（对生2“头头是道”的分析，不少学生点头表示赞同。）
师：挺有意思的一个发现！是不是其他抛1元、5角硬币的同学都有同样的结果？
几个学生表示反对。
相同的原因就会有相同的结果，不同的结果背后一定有不同的原因。学生在试图解释抛币实验结果时，用的就是这样严密而又简单的确定性的逻辑思维！怎样让学生自己发现这些潜在的错误认识？办法只有一个：以子之矛攻子之盾，学生用一部分事实否定这些结论！让孩子们从“明白”走向“糊涂”，由“振振有词”到“无言以对”是必需的阶段！
生3：我觉得可能性是相等的，因为大多数还是差不多的，只有个别同学抛到正8反2。
生4：因为每一次抛到的是正面还是反面是说不准的，所以碰巧就会有正8反2的情况。
生5：我觉得就是相等的。就算你抛了10次，次数相差得很多，但是只要你抛下去，总有相等的时候！
师：（套用生5的话）那我也可以说：我觉得是不相等的！但是只要你抛下去，总有不相等的时候！
生笑。
生6：有的是正面多，有的是反面多，总的来说是差不多的。
生7：（激动地）这么多次的抛币结果放在一起看，有正7反3，就有正3反7；有正4反6就是正6反4；平均一下，正反面都是5次。
师：是啊，1个同学抛10次的结果，不能代表总体情况。“把这么多次的抛币结果放在一起看”是个好方法！可这些数据真像你说的那么对称吗？
学生煞费苦心地寻找绝对的次数的相等！当他们意识到这样的寻找只是徒劳之际，正是柳暗花明之时！
生8：我给你纠正一下，平均一下，正面比5次多一点。你看，有正8反2，却没有正2反8！
生9：还有一种办法，我们也可以把这些数据都加起来，就会发现正面一共是33次，反面一共27次，是差不多的。
师：次数多了，一定有这个规律吗？
（第二次抛硬币，4人小组合作，共抛100次。）
根据学生实验的结果，制作出如下统计图。
师：观察这两个图，你有什么发现？
生1：我发现，正反面的次数都在一半上下，也就是说都在一半上下摆动。
生2：但是抛10次的，摆动的幅度很大，而抛100次，摆动的幅度就很小了。
生3：抛100次的，正反面的次数都很接近50！
师：很了不起的发现！同学们发现了吗？
（另请一位学生指图说他的发现。）
师：要是我们抛的次数更多，结果会怎样呢？
生：正反面的次数会更接近！
师提供部分历史上著名的数学家抛硬币实验的结果：
蒲 丰 4040 正面：2048 反面：1992
费 勒 10000 正面：4979 反面：5021
皮尔逊 24000 正面：12012 反面：11988
学生惊叹：“哇，这么大！”
师：看着这个数据，你有什么想法？
生1：我特别佩服这些数学家，他们真有耐心！
生2：我发现抛得特别多，正反面次数果然非常接近！
生3：可是我有个问题：正面2048次，反面1992次，相差56次呢！不是比刚才抛10次，抛100次的差得更多了吗？
师：（故作不解地）是啊，相差得反而更多了？
生4：刚才只抛10次，100次，相差的当然会少，现在抛的次数多了，相差的自然就多了。
生5：尽管相差50多次，但那是几千次中的50次，所以其实差异是很小的。
生6：你看，费勒、皮尔逊抛了上万次，也只相差几十次。其实这个差异就更小了！
师：同学们对数的感觉真好！想象一下，把数学家的这些结果画成统计图，会是什么样的？
生：正反面的条形和中间一半的红线会非常接近！
出示统计图：
数学家抛硬币实验结果统计图
生感叹。
生1：（情不自禁地）几乎看不出来了！
师：看不出什么了？
生1：和中间那条红线都要重合了，几乎都是一半了！
生2：比我想象的还要接近！
教师不似通常所做的只进行一次数据汇总便得出结论（这种简单的推断本身也与概率思维相悖），而是借助直观的统计图，让学生一再比较、体验从10次到100次再到成千上万次的变化。学生恍然大悟：相等，原来就存在于不断逼近一半的过程之中！
师：同学们，皮尔逊抛了24000次。如果他再抛一次，第24001次会是什么结果呢？
生1：不一定。可能是正面，也可能是反面。
生2：我补充：不但正面反面都有可能，而且正面和反面的可能性相等。
由上万次又回到“这一次”，实现了大量重复实验的“频率”向一次实验的“概率”的回归。
师：请判断对错。抛两次硬币，一定一次正面向上，一次反面向上。
生：错！只抛两次，会有偶然性。
师：抛10000次，一定500次正面向上，500次反面向上。
生：错！
师：抛得次数很多，怎么也不对呢？
生1：不一定正好正反面次数完全一样的。
生2：正面向上的次数会在500左右，很接近500。
师：通过刚才的抛硬币，你能得出什么结论？
……
概率是一个既难教又难学的内容，因为概率有其固有的思想方法，有别于讲究因果关系的逻辑思维和确定性思维。要真正了解学生的思维，不仅要知道学生的观点，而且要知道他们是如何思考达到这个观点的。
笔者切身感受到要有效地教学概率和统计，就要增强教师的知识背景，增加概率统计的概念，正视学生和教师关于概率统计的观念。就使这节《游戏公平》来说，当教者明白了陈希孺先生“概率就是当实验次数无限增大时频率的极限”的话语时，教学的勇气就增添了许多。C.R.劳先生指出：“对统计学的一知半解常常造成不必要的上当受编，对统计学的一概排斥往往造成不必要的愚昧无知。”
是一个领域，更是一种数学教育价值观
——“实践与综合应用”备课解读与难点透视
浙江 斯苗儿
“实践与综合应用”是数学新课程设置的新领域。正因为是一个全新的领域，可以借鉴的经验和模式较少，也就成了课程实施的难点，也因此出现了一些实践上的偏差：由于目标不明，有的把实践与综合应用课上成了缺乏学科个性的简单游戏活动课、手工劳动课，甚至是说话训练课，有的上成了单元复习课或综合练习课；由于材料缺乏或教材的内容与当地实际不符合，教学出现了很大的随意性，一些教师就连课都不上了，认为反正不是考试或考查的内容……这说明有不少具体问题需要进一步澄清，如：目标如何定位？素材从何而来？与传统的数学活动课、复习整理课等相关的领域究竟有怎样的关系？……笔者试图通过进一步研读《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）及相应的实验教材，对实践与综合应用的教学目标、教学内容进行一些分析和梳理，结合一些教师的实践，对这一领域的教学做初步的探讨和思考，以期抛砖引 玉。
一、课程目标与定位。
1.与综合实践活动的关系如何？
“实践与综合应用”的设置不是数学课程单独一个学科的考虑，而是新课程体系中结构性变革在数学课程中的体现。《基础教育课程改革纲要（试行）》要求“从小学至高中设置综合实践活动并作为必修课程，其内容包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育”，强调学校课程计划分别以“综合型”和“分科型”两种方式呈现出来。综合实践活动作为高度整合的综合课程，在“综合型”和“分科型”课程计划中都占有一席之地。如此看来，小学数学课程中设置“实践与综合应用”就顺理成章了。
值得我们注意的是，“综合实践活动”是我国新的基础教育课程体系中设置的与学科课程并列的必修课程，每周平均3课时。与作为数学学科中的“实践与综合应用”领域之间，既有紧密的联系，又有各自的相对独立性。两者在目标指向上都强调学生创新意识和实践能力的培养，在内容选择上都强调“综合”。“实践与综合应用”的“综合”也包含了两方面的含义，一是指数学自身各部分知识之间的融会贯通；二是指打破学科界限，与其他学科知识的沟通和融合，但作为数学学科的一个领域，无论是哪一方面的“综合”都不会放弃也不应放弃“数学味”。而“综合实践活动”则是一种与各学科课程领域有着本质区别的新的课程领域，没有统一的教材，其具体内容是跨学科的，自成体系，具有高度的综合性和自主性，要求每一所学校根据实际充分发挥其创造性而确定，国家不会也不应当像对待学科那样规定综合实践活动的具体内容*。
2．与数学学科发展的关系如何？
把数学实践活动作为数学教学内容的重要组成部分，并非《标准》首次提出。教育部在2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》在培养创新意识、实践能力思想的指导下，就提出了“结合有关教学内容和学生生活实际，每学期至少安排一次数学实践活动”的要求，并明确规定了每个年级的教学内容和教学要求，与之相应的教材也编入了实践活动的内容。《标准》在此基础上更加突出了数学实践活动，并把它作为一个新的领域。我理解，目的是借助实践与综合应用，使几何、代数和统计与概率之间的融合成为可能，进一步沟通生活数学与课堂数学的联系，培养学生综合应用知识解决问题的能力。
3、基本要求是什么？
《标准》对这部分内容的总体要求是：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。《标准》同时阐明了不同学段的不同要求。从这些要求不难看出，尽管《标准》将“实践与综合应用”作为一个独立的领域，与其他三大领域并列，但并不是在数学知识之外增加新的知识，而是更加强调数学知识的整体性、现实性和应用性，注意数学的现实背景以及与其他学科之间的联系。且在每一个学段都有不同的要求，在第一学段要求以“实践活动”为主题，考虑到这一阶段学生以形象思维为主的思维层次，储备的数学知识还比较零碎和初步，已有的生活经验不够丰富，就强调“实践”，强调数学与日常生活的联系，重在培养学生对数学的兴趣，所以从内容的选择上更多涉及的是三大领域各自内部的联系；第二学段要求以“综合应用”为主题，考虑到学生经过第一阶段的学习，已有了一定的数学知识和解决简单问题的经验，也有了一定的逻辑思维能力，因此在继续强调实践与经验的基础上，增强了“综合应用”的要求，在内容的安排上，开始涉及领域之间的联系与综合，甚至跨学科之间的沟通与融合。
二、常见的误解与必要的澄清。
实践与综合应用不同于一般的数学课外活动。两者有相同之处，如都可以延伸到课外，都需要运用数学知识等，最大的区别在于：数学课外活动的随意性比较强，学生一般可以自愿参加活动，目的在于培养学生对数学学习的兴趣；而“实践与综合运用”有明确的教学要求，虽然可以向课外延伸，但更多的是与课堂教学相融合，要求人人参与，让不同的学生获得不同的体验和发展。
实践与综合应用也不同于复习整理课。虽然两者都有梳理和沟通的功能，但复习整理课只局限于在某一领域的知识范围内进行梳理和沟通，往往把查漏补缺、整理知识作为重点，目的是理清知识的脉络，把零散的知识串联起来，使其“竖”成线，“横”成块；而“实践与综合应用”不仅要梳理某一领域的知识，而且要沟通各个领域之间的联系，甚至与其他学科之间的联系，目的是发展学生综合应用知识解决问题的能力。
实践与综合应用更不是传统意义上应用题教学的代名词。传统的应用题虽然也提到要联系实际，但主要是作为帮助学生理解数学知识的一种手段，选题的范围狭小，呈现的大多是没有多余条件、答案唯一的问题，往往缺乏挑战性；传统的应用题也提到要培养学生解决简单问题的能力，但主要看能否解答书上的问题。教学中更多关注的是学生的解题能力，学生的解题过程很大程度上成了“理解数量关系→搜寻记忆的图式→运用对应图式作解答”的一个过程；而“实践与综合应用”强调实践和经验，本质上是一种解决问题的活动，呈现的问题具有开放性和挑战性，学生没有现成的模式可以套用，在问题解决的过程中，不能依靠简单的模仿和记忆，而是需要积极思考，不断对信息进行加工和处理，从而使学生的思维水平得到提高、综合应用能力得到发展。
三、教学内容与特点与其他三个领域相比，《标准》对“实践与综合应用”只给出原则性要求，并没有具体规定在数学课程的哪一个环节设置哪些内容，对教师来说显得抽象和笼统。相应各套实验教材的编者们根据自己对《标准》的理解，编写了具体的内容。因此，要顺利把握这一部分的教学，不妨先从梳理教材开始，寻求素材的来源与线索。下面是两套教材（北师大版和人教版）所呈现的专题情况。
表一*
册次
北师大版教材
人教版教材
专题名称
涉及知识点（领域）
专题名称
涉及知识点（领域）
一上
大家来锻炼
数的认识，加减法，比较高矮
数学乐园
数的认识，组成，实物统计图
迎新年
数的认识，加减法，物体的形
状等。
我们的校园
数与计算，直观统计图
二上
节日广场
用乘法解决问题，三视图等。
我长高了
测量、统计
月球旅游
经过时间的计算，用加减乘除
解决问题，方向与位置等。
看一看 摆一摆
图形的认识、观察物体
人类的好朋友
用表内乘除法解决问题，
统计表，三视图等。
三上
搭配中的学问
组合
填一填 说一说
时间的认识及计算
交通与数学
周长、乘除法计算，搭配方法等
掷一掷
组合，可能性及其大小
时间与数学
集合思想，统筹思想
生活中的推理
简单推理
四上
走进大自然
认识更大的数，线与角
1亿有多大
数的认识，空间观念
走进网络
数的认识，统计图，
用乘除法解决问题。
你寄过贺卡吗
统计（涉及环保知识）
五上
数学与交通
用已学的知识和策略解决
旅游费用问题。
量一量 找规律
测量，统计，方程
尝试与猜测
鸡兔同笼问题，点阵中的规律
铺一铺
密铺、面积
数学与生活
分数的意义，可能性，面积计算
从上表可以看出，两套教材的相关专题都呈现出以下特点
1． 密切联系生活。
实践与综合应用的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系。教材都力求从学生熟悉的生活事例中寻找和确定实践与综合应用的专题。
2．综合应用知识。
实践与综合应用尽管在《标准》里表现为一个独立的领域，但活动的开展必须建立在其他三个领域的基础之上，所以教材往往在部分单元的后面安排专题，为学生提供一个实际背景，设计一些既与日常生活联系比较紧密，又能综合应用数学知识的数学问题。
3．素材来源广泛。
从上表来看，涉及的知识点范围比较广，可以分为以下三个层次：一是问题情境相对简单，只涉及单个领域，数学知识也相对单一。二是问题情境相对复杂，需要横跨领域运用几部分知识解决问题。三是问题情境综合性较强，还涉及其他学科的知识，如“填一填，说一说”（人教版三年级上册）要求学生与同伴交流自己的作息时间、调查完成家庭作业的时间和睡眠时间等，这些问题只要运用时间的计算和初步的统计知识就能解决，但要讨论“小学生睡多长时间才算充足”的问题，仅仅依靠数学知识是无法解决的，所以教材给出了查阅书籍和上网查询的方式，以逐步培养学生从不同渠道获取信息的意识和能力。四、典型案例的解读与课堂实施策略的思考。
由于实践与综合应用是一个崭新的领域，在课堂实施层面积累的经验相对来说比较少，还处于摸索阶段。这里仅借助“掷一掷”的教学*（人教版实验教材三上年级），从课时目标的拟订、内容的确定、方法的选择和活动效果的评价等方面做一个初步的探讨。
（一）教学过程。
1．确定活动。
（教师事先给每位学生准备了一颗骰子，骰子的六个面分别标有1-6六个数。） 师：同学们都看到了，今天每个人的桌子上都放了一颗骰子。骰子的上面有些什么数？如果同时掷两个骰子，朝上的两个面上的数加起来可能是多少？（按学生所答，形成板书：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12）
师：有可能是1吗？
生：不可能。
师：为什么？
生：最起码是2。
师：那有可能是13吗？
生；不可能，因为最大只能是12。
师；通过刚才的讨论大家已经公认了：同时掷两个骰子，朝上的两个面上的数加起来可能是：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
2． 师生比赛——第一次探索实践。
师：老师想和同学们来做个“掷一掷”的比赛。比赛规则是这样的（边说边出示课件）：拿两个骰子，掷一下，看朝上两个面掷出的数，如果和是5，6，7，8，9，就是老师赢；如果是其他的数，就是同学们赢。
生：好。
（学生们非常兴奋，认为自己有6个数，老师只有5个数，肯定是自己赢。）
接着教师和一名学生比赛，两人各掷一个骰子，再邀请一名学生上来统计掷出的两个数的和的情况。游戏结束，观察统计结果。
师：谁赢得多？
学生观察黑板得出：5，6，7，8，9这一组数出现的次数多，老师赢了。
（学生们很不服气，许多学生在小声嘀咕，觉得是老师的运气好。）
3．同桌游戏，再次验证——第二次探索实践。
师：想知道老师为什么选择5-9这一组数吗？你们同桌之间也来玩玩这个游戏，边玩边思考：为什么选择5-9这一组数赢的可能性大？
接着教师出示以下统计表：
现如今消费者对白酒的消费观念和认识怎样？白酒在以后的发展如何？
如何认识世界多极化发展的曲折性？
要有空间观念
人类对空间的认识是怎样发展的？
空间观念好的来！！！
哲理观念对城市发展的影响
求空间图形
对顾客是上帝的认识的旧观念
初一数学第三章图形认识初步
求“图形的基本认识”典型例题
简述现代健康观念的恢复与发展
服装的社会文化观念及服装设计的发展
世界最新科技发展
世界戏剧的发展
世界文明发展简史
世界学科的发展
求征四维空间的模拟图形
图形软件发展历程是怎么样的？
哪些世界国旗是对称轴图形？
有关办公空间的相关设计观念或趋势
佛教产生时期，当时的印度以及世界医学发展情况？当时的印度医学的对人体的认识有多少？
居住空间的发展
QQ空间发展历史?
世界网络游戏的发展情况?