中国银行绍兴分行网站:高中数学常用公式及结论

1  元素与集合的关系:,.

2 集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式;

(2) 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）

(3)零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）

（4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式）

4 真值表：      同真且真，同假或假

5 常见结论的否定形式;

原结论

反设词

原结论

反设词

是

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有个

至多有（）个

小于

不小于

至多有个

至少有（）个

对所有，成立

存在某，不成立

或

且

对任何，不成立

存在某，成立

且

或

6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题

若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ

　　　　　　　互　　　　　　　互

　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互

　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　否　　　　　　否

否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　

若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；

(3)、p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有

成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有

成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；   

 (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数               单调

单调性

内层函数

↓

↑

↑

↓

外层函数

↓

↑

↓

↑

复合函数

↑

↑

↓

↓

等价关系：

(1)设那么

上是增函数；

上是减函数.

(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：在前提条件下，若有，

则f（x）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0  .

偶函数：

定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；  (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

(5)、偶函数±偶函数=偶函数；    (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

9函数的周期性：

定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；

（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2 ；

(3)、，此时周期为2m  。

10常见函数的图像：

11 对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与 的图象关于直线对称.

12 分数指数幂与根式的性质：

(1)（，且）.

（2）（，且）.

（3）.

（4）当为奇数时，；当为偶数时，.

13 指数式与对数式的互化式: _.

指数性质：

       (1)1、  ；   （2）、（）  ； (3)、

(4)、 ；  (5)、 ； 

指数函数：

(1)、 在定义域内是单调递增函数；

（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质： 

(1)、  ；（2）、  ；    

(3)、   ；(4)、  ； (5)、

(6)、    ；       (7)、      

对数函数：

(1)、  在定义域内是单调递增函数；

（2）、在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0）

(3)、 

(4)、 或

14 对数的换底公式 : (,且,,且, ).

 对数恒等式：(,且, ).

推论 (,且, ).

15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1);    (2) ;

(3);    (4) 。

16 平均增长率的问题（负增长时）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.

17 等差数列：

通项公式：（1） ，其中为首项，d为公差，n为项数，为末项。

（2）推广：

（3）  （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和： （1） ；其中为首项，n为项数，为末项。

（2）

（3）    （注：该公式对任意数列都适用）

（4）    （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有  ；

注：若的等差中项，则有2n、m、p成等差。

（2）、若、为等差数列，则为等差数列。

（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。

（4）、 ； 

（5）  1+2+3+…+n=

等比数列：

通项公式：（1）  ，其中为首项，n为项数，q为公比。

（2）推广：

（3）    （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）  （注：该公式对任意数列都适用）

（2）    （注：该公式对任意数列都适用）

            （3） 

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有  ；

注：若的等比中项，则有 n、m、p成等比。

（2）、若、为等比数列，则为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).

19三角不等式：

（1）若，则.

(2) 若，则.

(3) .

20 同角三角函数的基本关系式 ：，=，

21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22 和角与差角公式

    ;;

.

=

(辅助角所在象限由点的象限决定, ).

23 二倍角公式及降幂公式  

.

.

.            

24 三角函数的周期公式

函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.

三角函数的图像：

25 正弦定理 ：（R为外接圆的半径）.

26余弦定理：

;;.

27面积定理：

（1）（分别表示a、b、c边上的高）.

（2）.

(3).

28三角形内角和定理 ：

在△ABC中，有

.

29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μ)=(λμ) ;

(2)第一分配律：(λ+μ) =λ+μ;

(3)第二分配律：λ(+)=λ+λ.

30与的数量积(或内积)：·=||||。

31平面向量的坐标运算：

(1)设=,=，则+=.

(2)设=,=，则-=. 

    (3)设A，B,则.

(4)设=，则=.

(5)设=,=，则·=.

32 两向量的夹角公式：

(=,=).

33 平面两点间的距离公式：

 =(A，B).

34 向量的平行与垂直 ：设=,=，且，则：

||=λ .（交叉相乘差为零）

 () ·=0.（对应相乘和为零）

35 线段的定比分公式 ：设，，是线段的分点,是实数，且，则

（）.

36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则

（1）为的外心.

（2）为的重心.

（3）为的垂心.

（4）为的内心.     

（5）为的的旁心.

38常用不等式：

（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）

（4）.

（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。

39极值定理:已知都是正数，则有

（1）若积是定值，则当时和有最小值；

（2）若和是定值，则当时积有最大值.

（3）已知，若则有

。

（4）已知，若则有

40 一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：

；