尺规作图

目录

【尺规作图的简介】

【尺规作图的著名问题】

【尺规作图的相关延伸】

【尺规作图所推动的】

[编辑本段] 【尺规作图的简介】

　　尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。
　　尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
　　平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。在这以前，许多作图题是不限工具的。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。
　　若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。
　　■尺规作图的基本要求
　　·它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：
　　·直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
　　·圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。
　　■五种基本作图
　　·作一个角等于已知角
　　·平分已知角
　　·作已知线段的垂直平分线
　　·作一条线段等于已知线段
　　·过一点作已知直线的垂线
　　·作一两条线段的整数比
　　■尺规作图公法
　　以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
　　·通过两个已知点可作一直线。
　　·已知圆心和半径可作一个圆。
　　·若两已知直线相交，可求其交点。
　　·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
　　·若两已知圆相交，可求其交点。

[编辑本段] 【尺规作图的著名问题】

　　尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
　　■三等分角问题：三等分一个任意角；
　　■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
　　■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
　　以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
　　还有另外两个著名问题：
　　■正多边形作法
　　·只使用直尺和圆规，作正五边形。
　　·只使用直尺和圆规，作正六边形。
　　·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。
　　·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。
　　·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。
　　■四等分圆周
　　只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。

[编辑本段] 【尺规作图的相关延伸】

　　用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
　　■只用直尺及生锈圆规作正五边形
　　■生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA。
　　■已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。
　　■尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。
　　10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！。

[编辑本段] 【尺规作图所推动的】

　　由词条以上内容可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.
　　几何尺规作图问题
　　“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题
　　1.化圆为方－求作一正方形使其面积等于一已知圆；
　　2.三等分任意角；
　　3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
　　4.做正十七边形。
　　以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。