可帆倾听:张齐华的文章

2007-01-10 07:23, 特级教师家园 张齐华 , 6254 字, 2/421, 收藏 | 引用

　   ●对“根”的追问

　　一个数学教师，如果不能对自己的学科怀有一种追本溯源的态度，如果不能对“什么是数学、什么是数学教育、数学与人的关系、数学教育存在的意义、数学教育之目的”等有一份深切关注与深刻思索，他的工作则必然就带有一种盲目性与追逐性，自然就无法在纷繁复杂的数学教育变革中寻得“不变的东西”，找准继承与创新的支点。回到“原点”思考，刘坚教授如是说，这也应该是我们数学教师面对任何问题时必须首先提醒自己的。

　　●对“美”的体悟

　　数学首先是“真”的，它是一门充满理性，并“教人”理性的学科。然而，这并不意味着我们可以由此而放弃对数学“美”的追随。哲学家罗素说：“数学，如果正确地看她，不但拥有真理，而且也具有至高的美。数学提供了一种精确简洁通用的科学语言，数学语言正是以她的结构与内容上的完美给人以美的感受。”如何在课堂向学生传递数学的美，让学生们耳濡目染数学给我们带来的关于自然有序、结构的美，体验人与自然和谐共处、同生共荣美好景象，获得对大自然崇高和敬畏之感，或许，作为数学教师，我们首先就应具备对数学美感的良好的感受、捕捉和创造能力，并带着自己对数学美的强烈体验与感悟走进课堂、走进孩子、走进数学，与他们共享数学美、共创数学美。

　　●对“史”的关注

　　察史可以明今。一个真正热爱数学的教育工作者，理应具备深沉的历史感。明了中国数学的历史、明察西方数学的历史、明晰它们之间的区别和联系，知悉中国数学“问题解决”之传统，知晓西方数学“科学理性”之渊源。或许在小学数学教育中，我们永远不会与孩子们提及“笛卡尔”、“亚里士多德”、“尼采”、“米藏山国”、“弗赖登塔尔”，但作为教师，我们有必要知道他们的名字，并从他们的经历中汲取数学前进的精神力量与源泉。与此同时，我们还应具备一定的国际视野。知道现在国外的数学课程改革之进程，把握他们曾经走过的弯路，也汲取他们历次改革后沉淀下的原创性的经验与教训。熟悉“回到基础”、“新数学运动”、“《人人算数》”等，知道他们每一次变革的背景、思考与问题。（千万别以为，这些只是课程专家们理应关注的。）坚信，你的视野有多开阔，你创造的空间就有多大。

一股

我们缺少的可能就是这些：对“根”的追问，对“美”的体悟，对“史”的关注。

                                             学校为谁而“美丽”？

      张文质先生在他的著作《唇舌的授权》中这样诗意地为我们描绘他心中理想的学校：“远远的，学校是一个美丽的风景；远远的，学校是一个希望。”学校应该属于孩子们，那是他们经验得以分享、精神获得寄托、情感得以倾诉、力量得以释放、生命得以突显的地方。可如今，又有多少学校，能让我们远远地嗅着孩子的气息？远远地感受到，这是一个儿童生活生存的乐园、这是一个释放童年生命张力的天地？

　　从不同角度打量，学校表达的意义是不一样的：社会角度看，学校是一个政府办学机构，是一个事业单位；教师角度看，学校是他们赖以谋生的场所，是他们付出体力与智力，并谋求正当回报的地方；而从学生的角度看，学校则是他们藉此获取进一步成长所必须的知识、能力、情感、态度与价值观等力量源泉的地方，是他们投注了整个童年、而决定生活于其间的精神家园。

　　然而，并不夸张地说，几乎每一所学校都为我们展现着这样一种现实的场景：校门口，记载着学校获得的种种荣誉；宣传栏，传递着教师们每天的工作；导护栏，表达着教师对学生方方面面考核后的结果介定；走廊边，留下的是学校对学生的“殷殷期望”；花坛边，迎面而来的，也不过是“请爱护花草林木”等面向孩子的谆谆告诫……可曾想过，校园中，哪儿能听到孩子们自己的话语？哪儿能真正望见孩子们自由的身影？哪儿能感受到这是一片属于孩子们自己的天空？哪儿能让我们真切体悟到这片“美丽的风景”和“远远的希望”。

　　学校，究竟为谁而存在？学校，究竟因谁而美丽？

　　我曾和同事们探讨，为什么孩子们喜欢去“苏州乐园”？他们笑答：“因为在那儿，他们能找到一种“家”的感觉。映入眼帘的，哪儿不是孩子自己的风景？四处弥散的，哪处不留下孩子特有的气息？这就是儿童自己的“家”，一个属于他们自己真正的精神家园。”

　　于是，我一遍遍地在内心深处想象并规划着心中理想的学校：走进校门，映入眼帘的首先是学生寄语、红领巾留言板；橱窗栏上，清晰地写着“今日活动”字样，告示着孩子们今天即将举行的所有活动：“新一轮学习会成员即将改选”、“学生会将围绕用餐浪费问题展开专题研讨”、“学生代表与校长见面会于下午四点举行”等；教室前，每一面墙壁都像一个个友好的同伴，在时刻提醒着你，哪些是应该做的，哪些是不该做的；校园里，还活跃着一支干练的红领巾值勤队伍，他们正有条不紊地管理好自己和身边的小伙伴……那是一个怎样充满着孩子气息、让人一下子就能与充满童真童趣的孩子联系在一起的校园哦。

　　退到幕后，把“前台”让给孩子；做一个学校发展的策划者、组织者、管理者，因为学校姓“学”，不姓“教”。

　　“远远的，学校是一个美丽的风景；远远的，学校是一个希望。”在这片满怀希望的风景里，可以没有我，也可以没有你，但唯独不能没了孩子，没有了他们生长、生活的童年气息。因为——这是一片属于孩子们自己的天空！

毕业了，我们该为孩子留下些什么？

2007-01-10 07:27, 特级教师家园 张齐华 , 7448 字, 2/396, 收藏 | 引用

      又到毕业复习阶段，在外人看来，这似乎是一个颇为沉重的话题。然身处其中，却也能在痛苦中体味着它的一丝丝快乐。大概这就叫“痛并快乐着”吧。

　　为什么要开展毕业复习工作，就这一问题，或许我们可以作出各种各样的应答，高尚的、理想的、人文的等等。但毋庸置疑，潜藏于我们每个人骨子里的认识还是：如何通过系统的毕业复习，帮助学生在最后的毕业迎考中取得令人满意的成绩，为自己争光、为师长争光、为学校争光。一直这么想着，也一直这么做着，便也从来没觉得那有什么不对、那有什么不好。然沉下心来细细琢磨，却又不免反复思量起来：我们的这项工作面对的可是一个特殊的学习群体——他们在这所学校里整整生活了六年，而又即将告别他们的母校、告别他们最初的求学生涯，我们究竟能让他们带着一种怎样的印象和收获跨出今天的学校大门？是无休无止的题海集训，机械乏味的反复操练，还是给他们留下一些对小学课堂的美好回忆，对数学学习的无限眷恋，对师生校友的深切关注？知识、能力重不重要？当然重要。但它绝不等同于学习的全部。甚至于说，它的获得在某种程度上完全可以摆脱“题海演练”这一传统套路而觅得一种更为人文、更加人性的途径。从这一角度来说，我们期待着通过这次毕业复习帮助学生在获得对知识的全面、系统的梳理，并藉此能更加准确、熟练地解决相关的问题，包括实际问题的同时，能在数学情感、数学观念、数学态度、数学思考、数学意识等众多方面帮助学生获得一次全面、和谐的发展与提升。

      具体来说，在做好原有复习工作（即如何帮助学生建构数学知识网络，如何通过现实问题、开放性问题的介入帮助学生获得更强的问题解决能力与数学表达、思考能力）的同时，尝试关注学生们数学思想方法的提炼，关注学生数学观念、数学情感、数学态度等领域的发展，帮助他们利用最后的时间对数学中重要的思想方法有一个完整、系统的回顾与梳理，并藉此能接触到更多、更丰富的数学史及数学文化的背景，以促使他们形成更加准确、科学、全面的数学观。对于知识的授受而言，我想，这可能才是他们一辈子受用不尽的财富，我们有责任帮助他们获得这些。而事实上，六年级最后的毕业复习工作是最适宜开展这类活动的。因为无论是从知识经验的储备，还是从数学活动经验的积累等看，他们都已相当地丰富。前期，我在班上已开展了一些尝试，如《数学地思考》（借用学校一青年教师的公开课）、《数学给你带来了什么》、《从鸡兔同笼问题说起》等，作为一个引子，我期待着它能打开这次毕业复习的新局面，并引领着我和孩子们一起在数学学习的天地里自由地遨游。

      如何将思考与理念真正物化在我们的毕业复习工作中，同时又不妨碍毕业复习的质量，我们也困惑、也迷茫。学期初，学校鲜明地亮出了我们的课堂追求：“价值引领、互动生成”，并明确指出，一年级也好，六年级也罢，无一例外都应将“价值引领、互动生成”作为我们每堂课的价值追求。正是在这一背景下，我们从“复习素材现实化”、“课堂师生互动化”和“教学评价多元化”等三个维度对本次复习教学进行了创造性调整。具体来说：

　　●“复习素材现实化”

　　极力避免新授、复习两张皮、学生谈复习色变的情形，努力使复习课和新授课一样充满探索情趣和数学诱惑，保持学生对复习课的新鲜感。比如我们结合学校新校门的改建，从工程队的招标切入复习工程问题应用题；从美伊战争问题切入，复习百分数；从非典问题引入，复习正反比例、比例应用题等，通过一份份充满现实意味的题材激发学生参与复习的热情。

　　●“课堂师生互动化”

　　改变以往“习题一统天下”、“教师一言堂”的状况，充分调动学生复习过程中的主动性与创造性。如知识网络试着让学生自己来整理，新的数学问题试着让学生自己想办法解决等。不强求一节课解决多少数学问题，而更关注学生在解决问题过程中是否提出合理的思路、作出大胆的假设、进行广泛的交流等。强调学生与教师在课堂上的互动，努力焕发学生在数学课堂中的生命活力。

　　●“教学评价多元化”

　　评价是个指挥棒，不给学生从评价上松绑，学生是不会真正放开手脚参与到这样的复习课中来的。于是我们尝试着从改变评价方式入手，一改以往单纯注重“笔试”的状况，将口试（也即面试）、操作试、实践试等有机地引进评价体系中。比如，统计一块的评价，我们就进行了口试的尝试，通过给出一些相关表格，引导学生读表、析表、并根据表中给出的信息进行合理推测等，以评价学生的统计意识与能力；操作类评价中，我们要求学生用硬纸版自制一个规定尺寸的正方体、长方体或圆柱体模型，注上必要尺寸等；实践类评价中，我们则要求学生将学校按比例缩小（或选择其它合适物体），按一定比例尺画到作业纸上，并作必要说明等等；此外，我们还加强了评价过程中“合作能力”的要求，如：选择一个工作量较大的统计项目，分工合作收集数据，用多种方式整理表述，研究分析后，再作一些必要介绍或规划、预测等……

数学究竟“姓”什么？

      探讨数学“姓”什么的问题，是有缘起的。

      语文学科历来就有“语文姓什么”之争。作为局外人，我没有关注他们争论的焦点是什么。只是觉得，争论自然有争论的道理吧：明辨语文学科的性质，把握语文学科的特点，解析语文学科存在的价值等。这些，对于我们理解语文、解读语文、感悟语文，尤其是在学校教育情境中传递语文等是有着至关重要的意义的。或许是一种习惯性类比思维吧，看了、想了，便自然联系、联想到我们的数学学科上来，也就不自觉地思考起数学究竟“姓”什么的话题来。

　　数学究竟“姓”什么？如同语文学科的争辩一样，对于这一问题的探讨无疑将对我们如何认识、把握和理解数学的内在本质、尤其是如何把握数学教育的本质、个性、价值等具有相当重要的意义。

　　一个显而易见的答案是，数学姓“数”。数学是对客观世界“数量关系和空间形式的反映”，是我们从“数”的维度对客观世界的一种提炼与映射。毕达哥拉斯学派的哲人说：数统治着宇宙。当代英国理论物理学家狄拉克说：上帝是一位了不起的数学家，他用极高超的数学建造了宇宙。数学就是宇宙存在合理性的最完美的表达。透过数学，我们可以更好地理解宇宙，理解大自然，理解世界的无限有序性、包容性与和谐性。数学是真理的化身，是永恒、不变、客观、公正的代名词。也正是从这一角度看，数学教育就必然带有一种“纯粹”的意味，数学应该自成一严密体系，它来不得半点杂质，来不得半分模糊和随意创造。由此，我们也不难理解，为什么很多人会如此倡导“捍卫数学学科的纯洁与尊严”了。

另一种理解是：数学姓“理”，理性的“理”。数学不是，至少不仅仅是数学知识、数学方法甚至于数学思想观念的简单集合体。它应该表征着人类征服自然、理解自然、解释自然过程中所积淀下的人类精神、文化的结晶，是一种凝聚了人类无意识情绪记忆的精神的化身。正如Proclus指出的，“数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想增添光辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。”这表明，数学有其深刻的内涵，数学是一种精神，特别是理性的精神，能够使得人类的思维得以运用到最完美的程度，恰恰也是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。从而，作为“数学的教育”与“教育的数学”，理应成为一种数学理性精神的文化传承。凭藉数学知识的授爱、数学能力的训练、数学方法的渗透、数学思想的交流，我们由表入里、由末至本，将数学内在的理性精神以一种可以触摸、可以表达、可以分享的方式，告诉孩子，让精神在他们身上发生、滋养、成熟，并转化为他们今后认识世界的不竭力量源泉。

　　当然，我们完全有理由相信，数学还可能姓“美”、姓“善”、甚至于姓“人”，等等。或许，答案本身就是开放而多元的；又或许，我们压根儿并不能寻得“数学究竟姓什么”的明确答案；又或许，甚至于说，这种探寻本身并不存在任何积极的意义。但我们始终相信，对于这一问题不断深入的思辩，以及不遣余力的表达，本身就表征着对数学、对数学教育的一种极大关注与挚爱。

为孩子的数学心灵积蓄一种力量

      一次偶然的机会，让我有了“桂林”难忘的山水之行。或许是出于数学教师的职业敏感，当一路同行之人都接连慨叹于“清得可以看见江底沙石”的漓江之水、怪异如“骆驼”、似“老人”的桂林之石时，我却于无意间被桂林山石因为水的倒影而形成的那一幅幅鬼斧神工般的天然“轴对称图形”而深深打动和折服。于是，在随后的《轴对称图形》一课的结尾中，我进行了这样的尝试——

　　师：今天这节课，我们一起走进了“轴对称图形”的世界，感受到了轴对称图形给我们带来的无穷无尽的美的享受。其实，对于“对称美”的热爱，人类如此，大自然更是钟爱有加。前些天，张老师去了桂林，并给大家带回一些桂林山水的图片。（出示遮去倒影后的桂林山石的图片，供学生欣赏。）你们发现什么？

　　边看图片，边有学生嘀咕开了：“美是很美，可它们并不对称呀！”“今天我们学习轴对称图形，干嘛给我们看这些图片？”……正当同学们为此颇感疑惑时，我不失时机将遮去的倒影重新展现在学生们面前时。几乎在一瞬间，所有同学都呆住了。因为，此时此刻展现在他们面前的，正是那一幅幅大自然的伟大杰作：奇异的山、水中的倒影以及由此而形成的那份没有雕饰、不着痕迹的轴对称图形。不难想像，就象我当初一样，他们一个个都被眼前这一幅幅美妙的轴对称图形所深深打动，并惊叹于大自然所创造的这一奇特的对称美的意境。就这样，一种惊异感和强烈的审美体验在每一个孩子的心田油然而生，并不断激荡、扩散、生成……

　　有人说，数学课堂应当是数学文化流淌的地方，是学生不断用心去触摸数学本质、感受数学内在文化特质的自由天空。作为一名数学教育工作者，我们理应比他人具备更加敏锐的数学视角，以捕捉现实生活中所内涵着的丰富的、富有生命力的“文化”要素，为数学教学所用，并真正转化为学生数学成长的有效资源与动力。一次难忘的桂林之行，在丰富和拓宽我视野的同时，更给我数学的心灵形成并积蓄了一种美妙冲击，而我更愿意与孩子们分享这一深刻的数学发现与情感体验，并努力将其转化为一种数学力量，以促成他们数学涵养的不断成长。

闲谈“对话”

2007-01-10 07:32, 特级教师家园 张齐华 , 6600 字, 0/428, 收藏 | 引用

      教育的话语应当如何叙说才能使“人”真正在场？教育的灵性、激情、智慧、希望、勇气、信仰和爱应该怎样恢复才能使教育真正成为解放人的力量？我想，“对话”应该不失为一种有效的表达方式吧。

　　从古代东方教育那饱蘸人文情怀的孔子之“论语”，到西方教育那充满思辩理性的苏格拉底之“产婆术”，教育绵长的历史砥柱上，分明镌刻并向我们昭示着“对话”二字。说到底，一部教育发展史，无非就是一部教育在场双方在不同层面上不断对话、相互沟通，并传承文化、寻求超越的历史。

　　我们并不奢望能在宏观层面上审视并把握“教育对话”这一恒古而常新的话题，只是期待能通过一些日常的教育话语，表达出我们作为教育实践工作者，在学校、课堂环境里对“对话教育”的些许理解与体悟。

　　什么是对话，时代变迁、历史前行，教育对话在汲取、继承其历史精粹的同时，也在不断纳入新的思考、内涵和表达方式，获得一种新和生命张办。

      对话是一种分享。人，总是带着自己对世界、对他人和自我的独特个人见解走进教育的领域。教育的真义就是让人在相互沟通、彼此对话中分享人类作为一种种群世代积淀下的“集体经验”，分享彼此因为存在、生活和思考而获得的对于自然世界、现实生活、社会关系的“私人经验”。而教育对话恰使沟通与分享成为可能。在对话中，“我”表达自己的理解、坦露自己的观念、展现自己的思想，期待能被人接纳；而与此同时，“我”又从“你”和“他”的表达中获得成长所必备的知识经验、人生阅历和生活智慧，从而最大限度地将其转化为自我的人生财富。对话的过程就是一个彼此率真告白、相互悦纳的过程。分享中，我们仿佛能触摸到经验的流动，我们仿佛能感受到视界的融合，我们仿佛能倾听到生命的互启。这就是“对话”给教育带来的一种崭新话语方式，一种表达着人性光辉的诗意的旅程。

      对话更是一种精神，它表征着自由、期待着民主、呼唤着平等。离开对弱势群体独特性的尊重，对话如何坦荡地进行？缺乏对生命多样性的敬畏，对话如何自由地伸展？一个没有爱、不懂得尊重的教师，是永远无法找到平等对话的感觉的，因为，在他们眼里，童年意味着无知、好奇代表着愚钝、游戏则是无聊的代名词……他们永远无法体味到童年的乐趣，他们永远无法了解孩子们眼中那美丽的风景。

　　对话，于教师而言，它首先就意味着“蹲下”、意味着“倾听”、意味着“理解”、意味着“走近”和“走进”。只有让自己的心灵和孩子站在同一起跑线，你才能真正听懂他们的声音，欣赏到他们眼中美妙的画卷。对话，需要我们放下“尊严”、远离“成熟”、摆脱“偏见”，用一颗童稚的心触摸孩子的世界，用一种欣赏的目光打量孩子的天空。永远提醒自己，教育面对的不是“他”，更不是“物”，而是“你”，活生生的，有着独立人格、有着独特个性、有着丰富阅历的生命个体，这是我们保持对话心境的关键。

课堂因谁而精彩？

      拿这个问题去问今天的教师，回答应该是丰富多彩的。但斗胆估计一下，敢于回答“教师”的人应该不多。原因很简单：已经步入新课程了，谁都明白，课堂是属于学生的，哪能因“教师”而精彩。可大家想想，课堂离开教师的精彩，会精彩吗？一个精彩的教师，难道就不能创造真正的精彩吗？

　　想起了王军先生的《语文的解放和解放的语文》，盐城中学李仁甫老师上《再别康桥》：一番朗读之后，他用整节课给学生讲述徐志摩、林徽茵以及陆小曼的恋情。末了，他说：“人们都说《再别康桥》是抒写诗人对母校康桥的依依惜别之情，我看他表达的，其实是对流逝的岁月和永不再来的恋情的一种心痛。大家下课看看我说的是否有道理，下课。”学生雷鸣般的掌声为他响起。不着一字，不也尽得风流了吗？

　　毫无疑问，“课堂因学生而精彩”，这是一个在当今教育语境下不会有误的命题。然而，离开教师的精彩，学生之精彩因何而来？课堂之精彩缘何而在？毕竟，教学是一项充盈着师生生命互动和精神对话的活动，话题的引入、对话的组织、课堂的调控、学习的激励……哪一项能缺乏教师的精彩？

　　当然，这里我们绝对有必要对教师之“精彩”作一介定。“学富五车、才高八斗”算不算精彩，算；“才思敏捷、应答如流”算不算精彩，算；“纵横开阔、驰骋千里”算不算精彩，当然也算，但都不完全等同于我们所谓的“精彩”。一个真正精彩的教师，他应该在自己的心灵深处镌刻着这样几个字：为学生的成长服务。课堂固然是一个展现教师专业、人格魅力的地方，但展示不是目的，唯有将这种专业和人格的魅力转化为学生对学习的热爱，转化为学生对真、善、美的渴求，转化为学生对生命的注目、对多样性的尊重等等，教师的精彩才真正转化为学生的精彩，也才真正创造着课堂的精彩。于是，一个精彩的教师，它首先应是一个善于倾听的人，携一份期待、信任、鼓励的心境，走进学生的心田；一个精彩的教师，应该是一个充满教育智慧的人，敏锐地捕捉发生在课堂情境中的每一次思维灵感的闪现和每一次稍纵即逝的教育契机，并不着痕迹地加以引导、点拨、放大，或引发一次争辩、或挑起一场探讨、或促成一次反思、或打开一种僵局……从而真正转化为课堂的精彩。

让文化成为学生数学成长的不竭源泉——“圆的认识”教学设计

教学内容    

      苏教版九年义务教育小学数学第十一册第115~118页。    

目标预设    

      知识技能   在尝试画圆的过程中领悟画圆的方法，会正确使用圆规画圆，能结合自学、交流、探索等活动，准确理解“圆心、半径、直径”等概念。    

数学思考   引导学生经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学活动过程，并在这一过程中深刻把握圆的特征，发展学生的空间观念和数学交流能力。    

问题解决   使学生学会从数学的角度认识世界、解释生活，逐步形成“数学地思维”的习惯。    

情感态度   使学生初步体会圆的神奇及其所包蕴的美学价值。    

教学过程    

      一、 现象激趣，引入探究

      1．交流：生活中，你在哪儿见到过圆？通过交流，使学生感受到生活中圆无所不在。  

      2．结合波纹、向日葵等事物，进一步带领学生领略圆的神奇，激发学生的探究欲望。    

      二、分层探究，体悟特征    

      １．画圆剪圆──首次感知。    

      （1）学生尝试画圆。通过交流，在师生互动过程中帮助学生掌握圆规画圆的方法，并将“画指定半径的圆”这一要求巧妙地孕伏其中。    

      （2）剪圆。既帮助学生感知圆的特征，又为下面的探究活动准备素材。    

      2．认识概念──初尝成功。    

      结合学生的原有经验和教师提供的“学习材料”，引导学生通过自学、交流、操作等活动。自主建构起对圆心、半径、直径等概念的理解。为探究活动做好认知层面的铺垫。    

      １．开放探究──体验特征。    

      先通过交流，引导学生初步明确探究方向。在此基础上，引导学生以小组为单位，结合手中的圆片和教师提供的相关支持性材料，共同研究圆的特征，并将研究过程中的发现记录下来。教师以合作者、组织者的身份介入学生的研究活动。对有困难的研究小组提供支持。并收集学生中有价值的发现，以备交流。    

      2．交流展示──共享发现。    

      将学生探索过程中生成的具有代表性的发现汇集成“我们的发现”，并引导全班学生相互交流。共同分享，深化理解，直至建构起对于圆的完整、系统的认识。    

      二、 实践拓展，文化渗透    

      1．基本练习。    

      （1）判断：图中的哪一条线段是圆的半径或直径？（图略）    

      （2）口答：根据半径求出直径。根据直径求出半径。（题略）    

（说明：本项练习没有单独设置。而是结合上面的“交流展示”环节，在师生互动的过程中自然穿插。）    

      2．史料链接。    

      介绍我国数学史上关于圆的研究记载，比如“圆，一中同长也”（《墨经》）、“圆出于方，方出于矩”（《周髀算经》）、“没有规矩，不成方圆”（《周髀算经》），拓宽学生的数学视野。此外，教师结合相应史料的介绍，比如“圆出于方，方出于矩”，将一些联想题、开放题自然穿插其中，既渗透了数学历史、文化，又培养了学生的思维能力与想像能力。    

      3．解释应用。    

      引导学生运用圆的特征解释生活中常见的自然现象，比如“水纹为什么是圆形的”，“盛开的向日葵为什么是圆形的”等，帮助学生进一步深化对圆的特征的认识。并学会从数学的角度观察和理解生活。

      4．圆与人文。       

      借助多媒体，直观地为学生展示圆在人类历史、生活、文化、审美等各个层面的广泛应用，比如“圆与桥梁设计”、“圆与中国剪纸”、“圆与中国结”、“圆与中外建筑”、“圆与著名标志设计”等，引导学生感受圆与人类生活的密切关联，体会圆的美学与人文价值。          

教学反思       

      数学也是一种文化，《数学课程标准（实验稿）》在前言中明确指出：“数学的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”如何在课程实施过程中践行并彰显数学的文化本性，让文化成为数学课堂的一种自然本色，我们着眼“过程”与“凝聚”进行了初步的探索。       

      1．数学发展到今天，人们对于她的认识己经历了巨大的变化。如今，与其说数学是一些结论的组合，毋宁说她更是一种过程，一种不断经历尝试、反思、解释、重构的再创造过程。因而对于圆的特征的认识，我并没有沿袭传统的小步子教学，即在亦步亦趋的“师生问答”中展开，而是将诸多细小的认知活动统整在一个综合性、探究性的数学研究活动中，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程。整堂课，“发现与分享”成为真正的主旋律，而知识、能力、方法、情感等恰恰在创造与分享的过程中得以自然建构与生成。    

      2．承认“数学是一种过程”的同时，我们也应清晰地意识到，作为人类文化重要组成部分的数学，在经历了漫长的发展过程后，“凝聚”并积淀下了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。基于此，教学伊始，我们选择从最常见的自然现象引人，引发学生感受圆的神奇魅力；探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，拓宽学生的知识视野；最后，我们更是借助“解释自然的圆”和“欣赏人文的圆”等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中不断积累感受、提升认识，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉。

“圆的认识”教学案例及反思

●背景分析

      “圆的认识”一课选自小学数学教材第11册，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。教材的编排思路是先借助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征。这样的编排，学生对于圆的相关概念及特征的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于圆所内涵的文化特性也无从感受、体验，对于圆在历史、文化、数学发展过程中与人类结下的不解之缘感受不深。 

      基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又借助媒体，将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有效整合进本课教学，充分放大圆所内涵的文化特性，努力折射“冰冷”图形背后所散发的独特魅力。

      想起美国学者泽布罗夫斯基，曾因为“在凝望波涛的时候”而产生了写作《圆的历史》这一迷人著作的冲动，而我――一个普通的年轻教师，又是如何想起要在自己的课堂里打破常规、冲破樊篱，演绎“走进圆的世界”这一多少有些另类的教学案例的呢？如今回想起来，是平静水面上漾起的一圈圈涟漪？是阳光下朵朵绽放的金色向日葵？是慈母心中那轮永恒的明月？是“长河落日圆”中夕阳下落日的余辉？是伟大思想家墨子笔下“圆，一中同长也”和数学巨著《周髀算经》中“圆出于方，方出于矩”的召唤？是古老的阴阳太极图所给予的神秘诱惑？是“没有规矩，不成方圆”这一古训背后的力量？还是西方数学哲学中“圆是最美的图形”所带来的无限诱惑？似乎都是，又不完全是。只是有一种莫明的冲动，一直萦绕心头，那就是：怎样让数学课堂再厚重些、开阔些、深邃些、美丽些……藉此，想到了圆，继而，便有了“走进圆的世界”这一大胆尝试。

●过程描述

［一］

师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？（是）生活中，你们在哪儿见到过圆形？

生：钟面上有圆。

生：轮胎上有圆。

生：有些钮扣也是圆的。

……

师：今天，张老师也给大家带来一些。见过平静的水面吗，（见过。）如果我们从上面往下丢进一颗小石子（播放动态的水纹，并配以石子入水的声音），你发现了什么？

生：（激动地）水纹、水纹、圆……（声音此起彼伏）

师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看。（伴随着优美的音乐，阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等画面一一展现在学生的眼前，见图①）从这些现象中，你同样找到圆了吗？

　　　　　 图①

生：（惊异地，慨叹地）找到了。

师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？

生：（激动地）好！

［二］

师：俗话说，“没有规矩，不成方圆”。意思是说，如果没有圆规，是――

生：――画不出圆的。

师：同学们都准备了一把圆规，你能试着用它在白纸上画出一个圆吗？

生：能。

（学生尝试用圆规画圆，交流，明确圆规画圆的基本方法。）

师：可要是真没有了圆规，比如在圆规发明之前，我们就真画不出一个圆了吗？

生：不可能。

师：今天，每个小组还准备了很多其他的材料。你能利用这些材料，试着画出一个圆吗？

生：能。

（学生以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆。）

师：张老师发现，每个小组都有了各自精彩的创造。让我们一起来分享。

生：我们组将圆形的瓶盖按在白纸上，沿着瓶盖的外框画了一个圆。

师：那叫“拷贝不走样”。（生笑）

生：我们手中的三角板中就有一个圆形窟窿，利用它，很方便地画出了一个圆。

师：真可谓就地取材，挺好！（笑）

生：我们组在绳子的一端系一支铅笔，另一端固定在白纸上，绳子绷紧，将铅笔绕一圈，也画出了一个圆。

师：看得出，你们组的创作已经初步具备了圆规的雏形。

生：我们组在绳子的一端系上一块橡皮，抓住绳子的另一端一甩，也同样出现了一个圆。

师：尽管这一方法没有能在白纸上最终“画”出一个圆，但他们的创造仍然是十分美妙的，不是吗？（生热烈鼓掌）

师：可是，既然不用圆规，我们依然创造出了这么多画圆的方法，那么俗语中为什么还会有“没有规矩，不成方圆”的说法呢？

生：我想，大概是古时候的人们没想到这些方法吧？（生笑）

生：我觉得不是这样，因为，或许一开始，“没有规矩，不成方圆”指的是没有圆规和“矩”画不出方和圆，但是流传到后来，它的意思已经发生了改变，不再仅仅指原来的意思了，而是指很多事情，必须要讲究规矩，遵循章法。（不少同学投以赞许的目光）

师：真没想到，一条普通的数学规律，经过千年流传，竟逐渐成为我们生活中一条重要的人生准则。当然，同学们能够利用各自的智慧，成功演绎“没有规矩，仍成方圆”，足以说明大家不凡的创造力了。

［三］

（通过自学，学生认识完半径、直径、圆心等概念后。）

师：学到现在，关于圆，该有的知识我们也探讨得差不多了。那你们觉得还有没有什么值得我们深入地去研究？

生：有（自信地）。

师：说得好，其实不说别的，就圆心、直径、半径，还蕴藏着许多丰富的规律呢，同学们想不想自己动手来研究研究？（想！）同学们手中都有圆片、直尺、圆规等等，这就是咱们的研究工具。待会儿就请同学们动手折一折、量一量、比一比、画一画，相信大家一定会有新的发现。两点小小的建议：第一，研究过程中，别忘了把你们组的结论，哪怕是任何细小的发现都记录在学习纸上，到时候一起来交流。第二，实在没啥研究了，别急，老师还为每一小组准备一份研究提示，到时候打开看看，或许对大家的研究会有所帮助。

（随后，伴随着优美的音乐，学生们以小组为单位，展开研究，并将研究的成果记录在教师提供的“研究发现单”上，并在小组内先进行交流）

师：光顾着研究也不行，我们还得善于将自己的发现和大家一起交流、一起分享，你们说是吗？（是）很多小组都向张老师推荐了他们刚才的研究发现，张老师从中选择了一部分。下面，就让我们一起来分享大家的发现吧！

生：我们小组发现圆有无数条半径。

师：能说说你们是怎么发现的吗？

生：我们组是通过折发现的。把一个圆先对折，再对折、对折，这样一直对折下去，展开后就会发现圆上有许许多多的半径。

生：我们组是通过画得出这一发现的。只要你不停地画，你会在圆里画出无数条半径。

生：我们组没有折，也没有画，而是直接想出来的。

师：噢？能具体说说吗？

生：因为连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，而圆上有无数个点（边讲边用手在圆片上指），所以这样的线段也有无数条，这不正好说明半径有无数条吗？

师：看来，各个小组用不同的方法，都得出了同样的发现。至少直径有无数条，还需不需要再说说理由了？

生：不需要了，因为道理是一样的。

师：关于半径或直径，还有哪些新发现？

生：我们小组还发现，所有的半径或直径长度都相等。

师：能说说你们的想法吗？

生：我们组是通过量发现的。先在圆里任意画出几条半径，再量一量，结果发现它们的长度都相等，直径也是这样。

生：我们组是折的。将一个圆连续对折，就会发现所有的半径都重合在一起，这就说明所有的半径都相等。直径长度相等，道理应该是一样的。

生：我认为，既然圆心在圆的正中间，那么圆心到圆上任意一点的距离应该都相等，而这同样也说明了半径处处都相等。

生：关于这一发现，我有一点补充。因为不同的圆，半径其实是不一样长的。所以应该加上“在同一圆内”，这一发现才准确。

师：大家觉得他的这一补充怎么样？

生：有道理。

师：看来，只有大家互相交流、相互补充，我们才能使自己的发现更加准确、更加完善。还有什么新的发现吗？

生：我们小组通过研究还发现，在同一个圆里，直径的长度是半径的两倍。

师：你们是怎么发现的？

生：我们是动手量出来的。

生：我们是动手折出来的。

生：我们还可以根据半径和直径的意义来想，既然叫“半径”，自然应该是直径长度的一半喽……

师：看来，大家的想象力还真丰富。

生：我们组还发现圆的大小和它的半径有关，半径越长，圆就越大，半径越短，圆就越小。

师：圆的大小和它的半径有关，那它的位置和什么有关呢？

生：应该和圆心有关，圆心定哪儿，圆的位置就在哪儿了。

生：我们组还发现，圆是世界上最美的图形。

师：能说说你们是怎样想的吗？

生：生活中，我们到处都能找到圆。如果没有了圆，我们生活的世界一定会缺乏生机

生：我们生活的世界需要圆，如果没有了圆，车子就没法自由的行驶……

师：当然，张老师相信，同学们手中一定还有更多精彩的发现，没来得及展示。没关系，那就请大家下课后将刚才的发现剪下来，贴到教室后面的数学角上，让全班同学一起来交流，一起来分享，好吗？

生：好。

师：其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也。”所谓一中，就是指一个――

生：圆心。

师：那同长又指什么呢？大胆猜猜看。

生：半径一样长。

生：直径一样长。

师：这一发现，和刚才大家的发现怎么样？

生：完全一致。

师：更何况，我古代这一发现要比西方整整早一千多年。听到这里，同学们感觉如何？

生：特别的自豪。

生：特别的骄傲。

生：我觉得我国古代的人民非常有智慧。

师：其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些。老师这儿还搜集到一份资料，《周髀算经》中有这样一个记载，说“圆出于方，方出于矩”，所谓圆出于方，就是说最初的圆形并不是用现在的这种圆规画出来的，而是由正方形不断地切割而来的（动画演示：圆向方的渐变过程，如图②）。现在，如果告诉你正方形的边长是6厘米，你能获得关于圆的哪些信息？

      图②　　　

生：圆的直径是6厘米。

生：圆的半径是3厘米。

师：说起中国古代的圆，下面的这幅图案还真得介绍给大家（出示图③），认识吗？

生：阴阳太极图。

师：想知道这幅图是怎么构成的吗？（想！）原来它是用一个大圆和两个同样大的小圆组合而成的（出示图④）。现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢？

　　　　　　　　图③　　　　　　　　　　　图④

生：小圆的直径是6厘米。

生：大圆的半径是6厘米。

生：大圆的直径是12厘米。

生：小圆的直径相当于大圆的半径。

……

师：看来，只要我们善于观察，善于联系，我们还能获得更多有用的信息。现在让我们重新回到现实生活中来。平静的水面丢进石子，荡起的波纹为什么是一个个圆形？现在，你能从数学的角度简单解释这一现象了吗？

生：我觉得石子投下去的地方就是圆的圆心。

生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一个个圆。

生：这里似乎包含着半径处处相等的道理呢。

师：瞧，简单的自然现象中，有时也蕴含着丰富的数学规律呢。至于其他一些现象中又为何会出现圆，当中的原因，就留待同学们课后进一步去调查、去研究了。  

师：其实，又何止是大自然对圆情有独钟呢，在我们人类生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。让我们一起来欣赏――

（伴随着优美的音乐，如下的画面一一展现在学生眼前：生活中的圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国节、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计等等，如图⑤。）

　　　　　　　　　　　　　　　图⑤

师：感觉怎么样？

生：我觉得圆真是太美了！

生：我无法想象生活中如果没有了圆，将会是什么样子。

生：生活中因为有了圆而变得格外多姿多彩。

……

师：而这，不正是圆的魅力所在吗？

［五］

师：西方数学、哲学史上历来有这么种说法，“上帝是按照数学原则创造这个世界的”。对此，我一直无从理解。而现在想来，石子入水后浑然天成的圆形波纹，阳光下肆意绽放的向日葵，天体运行时近似圆形的轨迹，甚至于遥远天际悬挂的那轮明月、朝阳……而所有这一切，给予我们的不正是一种微妙的启示吗？至于古老的东方，圆在我们身上遗留下的印痕又何尝不是深刻而广远的呢。有的说，中国人特别重视中秋、除夕佳节；有人说，中国古典文学喜欢以大团圆作结局；有人说，中国人在表达美好祝愿时最喜欢用上的词汇常常有“圆满”“美满”……而所有这些，难道就和我们今天认识的圆没有任何关联吗？那就让我们从现在起，从今天起，真正走进历史、走进文化、走进民俗、走进圆的美妙世界吧！

●自我反思  

      多少年来，在孩子们的心目中，在教师们的课堂里，数学一直与定理、法则、记忆、运算、冷峻、机械等联系在一起，难学难教、枯燥乏味一直成为障碍学生数学学习的绊脚石。事实上，造成这一现象的原因是多方面的，而一味注重数学知识的传递、数学技能的训练，漠视数学本身所内涵的鲜活的文化背景，漠视浸润在数学发展演变过程中的人类不断探索、不断发现的精神本质、力量以及数学与人类社会（包括自然的、历史的、人文的）千丝万缕的联系，显然应看成造成这一现象的重要原因之一。

众所周知，数学本质上是一种文化，《数学课程标准》在前言中明确指出：数学的“内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”如何在课程实施过程中践行并彰显数学的文化本性，让文化成为数学课堂的一种自然本色，我立足从过程与凝聚两个角度进行探索。“圆的认识”一课正是我所作的一次粗浅尝试。

      数学发展到今天，人们对于她的认识已经历了巨大的变化。如今，与其说数学是一些结论的组合，毋宁说她更是一种过程，一种不断经历尝试、反思、解释、重构的再创造过程。因而对于圆的特征的认识，我并没有沿袭传统的小步子教学，即在亦步亦趋的“师生问答”中展开，而是将诸多细小的认知活动统整在一个综合性、探究性的数学研究活动中，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程。整堂课，“发现与分享”成为真正的主旋律，而知识、能力、方法、情感等恰恰在创造与分享的过程得以自然建构与生成。

      在承认“数学是一种过程”的同时，我们也应清晰地意识到，作为人类文化重要组成部分的数学，在经历了漫长的发展过程后，“凝聚”并积淀下了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。藉此，教学伊始，我们选择从最最常见的自然现象引入，引发学生感受圆的神奇魅力；探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，从宏观的视野丰富学生的认识视域；最后，我们更是借助“解释自然中的圆”和“欣赏人文中的圆”等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中层层铺染、不断推进，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉，让数学课堂摆脱原有的习惯思维与阴影，真正美丽起来。 

      当然，“理想的课程”如何转化为“现实的课程”，这当中仍然有许多值得深切关注的话题。就拿本课教学而言，实施下来，应该说，学生对于“圆”这一冰冷图形背后所蕴含的人文的、文化的特性的感受还是十分真切的，然而，作为问题的另一方面，对于基本的数学知识、数学技能的掌握，在教学后的反馈中也确实暴露出了一定的问题，尤其表现在部分学生对于圆的半径、直径等概念的理解不够到位，对于直径、半径及其与圆之间的关系的掌握不够透彻等。因而，今后我们在数学课堂演绎数学文化、数学精神等层面的同时，如何兼顾知识与技能的教学，如何使我们的课堂活中有实，实中见活，应该还是有一定的启示意义的。

争议的“背后”

      一直以为，走进“教育视野”里的数学应该有它的独特品性。也或许正是因为有了这样一份坚持与执着，才有了如下这次“别样的争议”。

　　［缘起]有幸参加了2003年度江苏省小学数学青年教师教学大赛，执教的“走进圆的世界”虽谈不上精彩，却也在大赛现场、甚至于赛后等其他场合引发了一些关于数学教育方面的思考与争议，主题主要涉及“对数学文化的思考”、“数学双基与数学文化的权衡”、“数学的科学性与人文性”等。为了便于说明问题，让读者更加清晰地了解争议的话题，先附上关于这节课的几个片断：

　　［片断一］教师先引导学生交流生活中所见到的圆。随后－－伴随着带有田园风韵的音乐，一幅幅生动别致的画面依次展现在学生面前：从平静湖面上漾起的圈圈“波纹”到蓝天下绽放着的朵朵美妙的“向日葵”，从用特殊仪器拍到的“电磁波”到陨石撞击地球后形成的圆形“陨石坑”……“有人说，因为有了圆，我们生活的大自然才变得格外美妙而神奇，今天这节课，就让我们一起走进这美妙的圆的世界，好吗？”　“好！”学生兴奋之情溢于言表。

　　［争议话题］如何理解数学的科学性

　　其实在试教的过程中就有教师提出这样的问题：如果说“光环、电磁波等是圆形”还情有可原的话，那么向日葵、陨石坑等作为学生认识圆的素材似乎就不够科学了，因为事实上并不存在真正“纯圆”的向日葵或陨石坑，更多情况下，它们只是一个近似的圆……

　　［回应］毫无疑问，相对于向日葵、陨石坑、光环、水纹而言，或许选用“钟面”“圆桌”“硬币”等素材会更科学些，但我们最终却选择了放弃，我想，这个中的原委，似乎并不只是“标新立异”所能涵盖的……是的，如果你非得纠缠于准确、科学等层面，这里应该存有一些问题可究，但如果我们退后一步，从更加开阔的视野来关照它的话，或许我们会获得关于这一问题的更多、更深入的思考。一方面，当历史的潮流越过“静态封闭”的数学哲学观念，而逐渐步入“易缪动态”的数学哲学认同的时候，我们是否也应该反思我们固有的对于数学本质抑或是数学特征的认识？当时代已将我们带入一个“数学其实是可以模糊一些”的后现代境域的时候，我们是否也应该在有些地方稍作响应，比如数学的纯粹性，再如数学的过分精确性等等。另一方面，我们不妨从学习者的角度作一换位体验，或许，对于“圆”这一数学概念的建立，“硬币”之于“向日葵”，本身并无本质的差异，甚而至于说，“硬币”要“更圆一些”，更“有利于学生把握圆的本质属性”，但是，你有没有试想过，当一朵朵美妙的向日葵、一个个绝妙的水纹、一个个神秘莫测的陨石坑和月球上的环形山等以这样一种方式展现在学生们面前的时候，他们的感观、他们的心灵、他们的精神世界遭受的又是怎样的一次巨大的冲击，“大自然的神妙杰作”“生物生长过程中展现的蓬勃张力”“宇宙世界的无奇不有”等深刻的体验又岂能是一个“滚圆”的硬币、钟面等所能替代的？数学本质上是一种文化，是人类历史上作为主体性实在的人的活动与实践的创造之作。可以想见，当世界万物还处于一片混沌时，当一切人造的“圆”还远未诞生时，我们的祖先或仰望苍穹，领略神奇的太阳、月亮，或屏息凝望，关注于平静湖面上那一个个美仑美奂的水纹，或细细端详，欣赏着那一朵朵盛开的向日葵，并由此而逐渐建构起对于“圆”最最朴素、最最动人的认识时，我们是否还要对他们说一声：“太阳、月亮是球体，不是圆！”“水纹中的圆不是科学的圆！”？牺牲了科学，我们换回了孩子对于数学的动人感悟与理解，我认为值，便也就义无反顾了。

“冰冷”，何以成就“美丽”

曾有拙作“从冰冷的美丽到火热的思考”，细细想来，当初所欲说明的无非是如何让数学的“学术形态”转化为“教育形态”，让原本只具有发展“可能性”的数学教材真正转化为学生数学成长的“现实源泉”。

      如今，再次重拾旧题，却又觉当初的探讨失之于宽泛，总感到对于数学教育中的这一观点阐述还只停留在字面意义上，正如友人所点评的那样，“标题是够小资的，内容好象还不够说服力”。这里，更愿意将后来自己在课堂实践中所做的一些尝试呈现于方家，希望能对自己原文的这一观点作出一些补充。

                    ［案例］我们认识的数

      通过交流，孩子们一起分享了他们生活中所能见到的数，并一一板书在黑板上。随后－－

师：我不知道同学们对于这个数是否有其他的感受。每次，当我看到其中的某些数时，我的脑海中总能将它们和许许多多的事物联系在一起，并因此常常让我激动不已。比如“7”，它常让我联想起神话传说中的“七仙女”，那陪伴在白雪公主身旁的、心地善良的“七个小矮人”，那音乐键盘上的“do、re、mi、fa、so、la、ci”，甚至于夏天晴朗的夜空下，闪烁在苍穹上的“北斗七星”……

      我动情地描述中我心中对于“数字7”的独特记忆，而与此同时，我也欣喜地发现，孩子们的眼神中同样流露出了一种特殊的情绪，至今都让我无法忘怀：那是一种烂漫的想象，是一种投入的遐想，是一种美妙的沉醉……我知道，孩子们并不是被数字“7”本身所打动，或许，对于一个刚刚二年级的孩子来说，能够被一个“冰冷”的数字打动是不可思议的，真正打动他们的，应该是数字背后的东西，是冰冷的“7”背后承载的一切。仿佛就是在这一刹那，我品味出了数字后面的美丽，我相信，孩子们也一定和我一样。

师：其实，每一个人对于数都有着独特的感觉。相信，下面老师给大家呈现的这些数一定能勾起你许多美好的回忆。（出示：21、24、36、56、72、81、100）

      一阵窃窃私语后，孩子们眼中的光芒告诉了我，该到交流的时间了。

生：我想说24，每天都有24小时。

生：我想说56，我们中国一共有56个民族。

生：我最喜欢玩的游戏是“算24点”。

生：我妈妈常常会说‘不管三七二十一’，我也不知道这是什么意思。

生：《西游记》中唐僧西天取经一共经历了81难。

生：孙悟空有72变。

生：有一本书，题目就叫《三十六计》。

生：我最喜欢100这个数了，每次考试时，这个数常能给我带来好运。

生：……

      对于孩子们来说，有时，一个数就意味着一个耐人寻味的故事，一个数就是一道难忘的风景。我相信，经历这样的学习过程后，当他们再一次面对那一个看似普通、有时甚至于冰冷的数字符号时，定会有一种别样的感受洋溢心间。透过符号的背后，触摸数字的脉搏、温度、甚至于生命，这是我所向往的，也是我所努力表达和实践的。我无法论证我的这一做法是否潜含着什么，有时我甚至于怀疑于自己的　这一尝试是否存在着合理性，只是凭着一种直觉，凭着一种对于心理学中关于“情绪记忆”的肤浅解读，而始终坚持着。

情境？“语境”？

      记不清是哪次去听课了。第一节讲长方形面积的计算，年轻女教师从自己家的房子装修轻松谈起：过几天，陈老师家的新房就要装修了。你们觉得，陈老师在正式装修前需要考虑哪些问题？一听要为老师家的装修出主意，同学们自然兴味盎然：有说要考虑房子的面积；有说要考虑贴什么磁砖；有说要考虑磁砖的价格……教学便自然而然展开。另一节大概是讲最大公约数，教师的导入同样别出心裁：张老师家的厨房长3.6米，宽2.4米，现在我打算给厨房重新铺上磁砖（随手出示三种不同尺寸的磁砖），你们觉得张老师应该购买边长多大的磁砖比较合适？学生有说3分米、有说5分米、有说6分米，争论由此展开，公约数和最大公约数的概念便也顺利揭示……

　　显然，无论是教学长方形的面积，还是教学最大公约数，从装修房子切入，都是一个不错的主意，本无可厚非。可有一个问题却不得不问：难道就真这么巧，两位执教的数学教师都选择了这个时候装修他们的新房？倘若是，那自然无甚好说。可偏偏在更多时候，情况并非如此。

　　于是想起了我们的数学教学，想起了教师们难言的尴尬。不都说“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性”的吗？不都说“数学课堂应该为学生创设生动、活泼”的现实情境吗？不从现实问题引入，我们如何体现新课程的理念？如何体现数学教育的现实价值？

　　话是不错，但问题并非出在认识上，而在具体的课堂操作中。

　　创设情境不错，但是“创什么”却是有学问的。数学情境的重要性已是人尽皆知的，但怎样的情境才能真正促进学生的数学成长，进而促进学生个性、人格等的全面发展？个人以为，现实固然重要，毕竟现实的情境更能唤起学生已有的生活经验，现实的数学情境往往更具亲和力、更有亲切感，但一旦走进“为情境而情境”的怪圈，将“创设情境”异化为“虚设情境”、“虚构情境”，甚而是“捏造情境”，那又要另当别论了。事实上，现实教学中这样的例子不胜枚举：为了使教学引人入胜，挖空心思编撰情境（本人就曾在这方面下过苦功夫），有时甚至于“情境造假”，并美其名曰“美丽的谎言”、“课堂的需要”。现在想来，孩子其实是清醒的，只是他们习惯了教师的这种作假，早已习以为常了。甚至有时，我们还能听到他们的嘀咕声：怎么又装修房子了？老一套，没创意！试想，面对如此清醒的孩子，你还在前面如此矫情地“创设”那本不真实的数学情境，孩子们作何想法？情境还有其存在的价值吗？

　　再言，“怎么创”似乎比“创什么”更重要。其实，作为数学教师，我们都有言不由衷的苦衷：那真是“明知山有虎，偏向虎山行”呐！数学课，你说不“创设”情境，行吗？要么冠以个“脱离学生的生活实际”，要么加上个“远离儿童的现实生活”，哪一点都够你呛的。

　　话虽这么说，但出路还是有的。一日，与朋友闲聊语文教学，无意间听到“情境”与“语境”一说，当时甚受启发。试想，数学教学中“情境问题”的症结不正在于此吗？既是“情境”，自然免不了“创”的意味，人工斧凿的痕迹便也在所难免。可如果我们能从“真实”二字入手，能从“自然”二字切入，境况似乎会好一些。落实到数学课堂中，即我们的情境设置，真实首先是第一位的；与此同时，真实的情境还需“真实化”的呈现，切不可娇柔做作，本是一件极为自然的事，到头来，反面因为你的“浓重教育痕迹”而顿失真实意味，而成了一种教学的虚假。然做到这一点，却又是需要一种教学艺术和教育智慧的。其实有利于学生数学学习的情境可谓是俯拾皆是，关键就看你是否能有一颗敏感的心，善于发现、捕捉、转化、利用。可以设想，一旦生活中的真实事件为你所发现，并略作课堂化的加工，呈现在学生面前，这大概就是一种真实的数学“语境”吧（估且这么盗用一下）。

　　当然，真实情境有时往往不及“虚构情境”来得富有挑战性和诱惑力，但信手拈来的随意、不着雕饰的真实和淡淡若无的教育痕迹却又常常给学生的数学带来更为美妙的冲击。不是吗？看似在谈论身边一件极为平常的事，然教育就悄悄地发生于其中，这是何等的教育境界？

　　杂言片语，表达的无非是这样一种观点：教学之可贵在于真。面对课堂，我们宁要真实，而不必因为种种原因而虚构情境。更何况，问题还在于，我们是否完成了从“数学情境”向“数学语境”的有机转轨。倘若真能如此，我们的数学教育大概就能步入一种真实而自自然然的境界了吧。这恰是我们理应的追求。

从教材到学材的构想

      一组令人颇为费解的调查结果：75%以上的数学教师在教学新课时不要求学生阅读教材；90%以上的数学教师在公开教学时自始至终不需要学生打开课本；只有5%左右的数学教师要求或提倡学生预习第二天的学习内容……

      于是我们不禁要问：是数学教师的认识出了偏差，忽视了教材（学生唯一的正规学习材料）对学生数学学习应有的作用？还是数学教材本身存在着问题，以至于它在某种程度上违背了学生数学学习的内在规律、阻碍了他们的数学能力、情感及价值观等的习得与发展？

一、现状点击

     带着这一问题，我们以一种探究与审慎的心态重新走近了现行的小学数学教材——

点击一：“结论预置”，压缩学生的创新思维空间

      学生对教材的学习和认识在很大程度上是一种“复制”型的感知过程。如第九册“比较小数大小”这一内容（某通用小学数学教材，下同），教材呈现如下材料：

例5：比较4.59元和6.23元的大小。

想：4.59的整数部分是4，6.23的整数部分是6。

因为4元小于6元，所以4.59元＜6.23元。

      不可否认，就“比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的那个数大”这一基本方法的习得而言，教材已经给予了相当清晰而准确的表述。但事实上，当孩子们面对这一问题情境时，他们所感知的、理解的仅仅是这些吗？实践告诉我们，学生对这一问题的理解往往是多角度的：可以先化成“分”再比较，如4.59元=459分、6.23=623分，因为459分＜623分，所以4.59元＜6.23元（注：转化思想的实际应用）；也可以先化成复名数再比较，如4.59元=4元5角9分、6.23元=6元2角3分，因为4元5角9分＜6元2角3分，所以4.59元＜6.23元（注：还原成易于理解的知识再进行比较）；还可以是找中间数，如4.59元＜5元，而6.23元＞5元，所以4.59元＜6.23元（注：比较中重要的思维策略）；甚至还可以这样想，用4.59元买不到6.23元的商品，而用6.23元却可以买到4.59元的商品,而4.59元却买不到6.23元的商品,所以4.59元＜6.23元（注：生活经验的有效调度）……试想，面对早已给定的数学结论，学生们上述这般的创新思考如何得以释放与交流？思维活动的独特性、求异性和批判性又如何才能得到真正的发挥？

点击二：“方法暗示”，淡化学生的自主探究意识

      学习材料的新颖性、探究性往往能激发学生强烈的创新欲望，诱使他们充分调动自身原有的知识经验、方法对问题作出解释、加工，从而获得对问题的创造性解决。

      然而现行教材的编排，有时往往在呈现新的问题情境后不待学生有足够时间进行思考、探究，就已对问题研究的思路、方向作出了较为明确的暗示和导向。以第六册“面积单位”知识教学方向，教材呈现如下材料：

      用重叠的方法难以比出左下两个图形面积的大小。

      把两个平面图形划分成同样大小的正方形能比出它们面积的大小。（见右下图）

      事实上，学生从面对新的问题情境（重叠法无法比较它们的大小）到获得问题的最终解决（划分成大小相等的正方形），这当中蕴含着极其丰富的思考和创新价值：有尝试、有猜想、有探索、有发现、有争议、有交流……或许学生会想到将重叠部分以外的剪下来再比，或许学生还会从经验入手，想到用书本、文具盒，乃至于手掌去“摆”，根据摆的次数的多少来决定它们的大小。当然，不同的比较标准势必会带来结果的不统一与交流的不便，此时，“找一个统一的比较标准”、“划分成大小相等的正方形”这一具有普遍适用价值的方法自然也就应运而生，然而遗憾的是教材并没有为学生提供这一应有的探究空间。问题解决方法的过早呈现与过多暗示显然已剥夺了学生真正经历发现与创造的曲折过程，他们的探究意识、创新能力又如何能得以真正的培养？

点击三：“远离生活”，截断学生的数学创造源泉

      众所周知，抽象的数学知识、方法只有依附于具体、形象的“物质外壳”才能成为“教育形态”的知识，为学生所理解和掌握。学生也正是在对具体形象的数学材料进行再加工、再创造的过程中实现对数学的不断认识和自身数学能力的持续发展。毋庸置疑，现行教材在数学材料“现实化”方面已经作了不少的改革与调整，但这种调整有时是局部的，背离现实的数学材料依然大量充斥着数学教材。有时即便看似源于生活，但与学生切身的生活体验仍存在着差距，没有从根本上对我们理解数学知识，创造性地探究数学规律、解决数学问题等提供必要的感性支撑。

二、学材构想

      传统意义上的数学教材在扮演“教科书”这一固有角色的同时，未能有意识地将视角投向学生的学习，抑或说未能真正从“学生数学学习之素材”这一视角进行自我审视与关照，因而从某种意义上弱化了教材理应具备的育人功能，忽视了其对学生数学发展的应有关怀。为了重现与还原“教材”的本来面目，让教材真正成为学生自主开展数学学习的“有效素材”，我们以为应从学的层面对教材进行“学习化”的加工，应站在“学材”的视角上对教材从内容、结构、呈现方式等多个角度作出理性重建，力图使学生手中的数学书成为一本能有效激发学生数学学习潜能、引导学生自主探索、激励学生自我实现的“学材”。一年多来，我们以高年级数学教材为突破口，通过“模拟教材”的形式对现行教材进行了一些有益的改革与尝试，并收到初步的预期效果。

策略一：素材重建——“现实意义、探索性、价值化”

      要让教材对学生的数学学习充满诱惑性和吸引力，学习材料的“现实性、趣味性与挑战性”应是首当其冲的。于此，我们没有必要作出过多的论述，无数成功的数学教学实践事实上都已充分地论证了这一切。因而在重建数学素材的过程中，我们更多地将视角投向了现实生活，努力开掘那些发生在学生身边的、同时又暗含着某种数学现象或数学规律的实际问题，以此为突破口进行设计。比如“投石入水”，荡开的一圈圈波纹都是圆形的，这是人尽皆知的常识，但其中的道理何在，却少有人去关注或深入研究。因而在教学“圆的认识”时，我们的素材设计便围绕“水的波纹”展开：

●在平静的水面上扔进一颗小石子，荡起的一圈圈波纹都是什么形状的？你能利用身边的工具将它画下来吗？

●这是一个常见的生活现象，但你思考过没有，为什么荡起的波纹会这样？会不会出现其它形状？其中的奥秘又是什么呢？

●找个平静的水面，亲自动手去试一试。认真观察，将你的发现和思考记录下来，并与其他同学交流，好吗？

      平常的生活现象，却蕴藏着生动而富有探索价值的教学规律。倘若学生能围绕着这一问题深入展开探讨与分析，再辅之以教师恰当准确的引导，那么“圆半径决定圆面大小”等抽象的数学知识无疑将在这一日常生活现象的支撑下得以生动的诠释。当然，与此同时，现实的问题情境还为学生创造了从事观察、实验、猜测、验证、交流和交流等多种教学活动的机会，或许对于促进学生数学能力的习得与发展而言，它们的意义将远远超出数学知识本身。策略二：方法重塑——“对话、互动、开放”

      传统教材过多注重的是学生与文本（教材）之间的对话，而对话的方式也更多以一种封闭的、一一对应的、一元化的形式进行着。对于原本生动活泼的数学学习而言，这无疑是一种严重的束缚。上文“面积单位”教学就是生动的例证。由此，我们在重建“学材”的过程中，就数学素材的表达方式上进行了重要突破，着力凸显学生与教材之间开放式、互动性的交流与对话，并进一步引导学生在做好自身与教材之间互动对话的基础上，拓宽学生表达与交流的渠道，为他们创造更多与同伴、与问题情境、与现实生活、甚而是与自身原有知识经验等进行对话与互动的机会，从而为其数学交流能力、合作探究能力等的提升营造更为广阔的空间。

      事实上，上文“圆的认识”设计同样也清楚地表达出这一理念：比如引导学生回忆波纹的形状并将其画下来，那是个体与自身生活经验的对话；引导学生亲自参与实践，并在实践过程中引导反思、展开思考，这是个体与现实生活的对话；而引导学生与同伴交流经验并分享思考的结果，那又是个体与个体之间的对话……当然，整个活动过程的开展又都建立在了学生与教材间不断往复的这一对话基础之上的。在这里，教材没有提供任何结论性知识，扮演的也不是一种简单告诉的角色，相反，它只是尽可能地为学生提供一种思考、交流、实践、探究的空间。与此同时，学生表达的方式与结论也往往是多种多样的，完全取决于学生已有经验储备、思考的深度与广度、交流的充分性与广泛性等等。不难发现，教材为学生留下的空间比以往更大了，而学生的表达与交流也变得更具开放性和自由度了。

策略三：结构重组——“问题情境、数学建模、解释与应用”

      现行教材由于其价值定位侧重于数学知识的习得与数学技能的培养，因而在编排上呈现出较为浓重的“例题—习题”式封闭回环的体例结构。学生凭借反复的操练与模仿，一般便可获得较好的学习效果。但数学知识本身所承载的丰富的数学意识、数学方法、数学情感、数学模型等显然没有得到足够的重视与开发。因而我们在重构数学“学材”的过程中，充分考虑到这一点，并从素材编排的结构这一角度对其进行了重组与再加工，着力表现出“创设问题情境—现实问题数学化—问题解决与数学建模—解释与应用”的逻辑结构，更多体现“让学生做数学、研究数学”的价值取向，从而为学生数学素养的提升创造了更为积极、有利的条件。以“比和比例”教学为例，我们对学习素材作了如下的改变与诠释。

●埃及金字塔是人类历史上的奇迹。你知道，在没有其它先进测量工具的情况下，古埃及人是如何测量它的高度的吗？

●让我们小组合作，一起来做个实验。选择一个阳光明媚的早晨，测量某一时刻校园里各种物体的高度及它们影子的长度，并把它们记录下来。你有没有什么重要发现？

●我的发现（1）：在同一时刻，物体越高，它的影子就越（  ）；物体越矮，它的影子就越   ）。

●猜猜看，你所测量到的那些物体的高度与影长之间的比值会怎样？会不会一样呢？动手试一试，写下你的发现，并与同伴交流。

●我的发现（2）：____________________。

●你觉得这一结论对我们解决上述问题有帮助吗？现在你明白古埃及人是如何利用太阳光与尺子测量金字塔的高度了吧。将你的想法告诉同伴。你能设计一份测验量金字塔高度的具体方案吗？

●在我们身边，也有许多不可直接测量的物体高度，如旗杆的高度、电视塔的高度、数学楼的高度等。你能解决这些问题了吗？别忘了亲自去试试看。

      上述过程中，我们努力淡化了例题与习题的痕迹，取而代之的是“具体问题情境的创设”（如何测量金字塔的高度）、“数学活动的开展与数学模型的建立”（同一时刻，物体高度与影长的比值相等）以及“数学模型的解释与应用”（猜测并设计金字塔高度测量方案、解决身边的实际问题等）。由于这样的编排结构着眼于学生在数学活动中收集并处理信息，感受并体验数学模型的形成过程，以及对现实问题的表征、数学化、实际解决等，因而在实际操作过程中更大程度地发挥了学生数学学习的主动性与创造性。而与此同时，学生的数学意识、数学能力等也在探索性的学习过程中得到了应有的拓展与提升。

闲谈“教育细节”2007-01-10 11:55, 特级教师家园 张齐华 , 6453 字, 1/430, 收藏 | 引用

      生活，是由一个又一个细节串联而成的，教育生活同样如此。

　　关注教育细节，是基于这样一种考虑：

　　都说一滴水能折射出太阳的光芒。教育中的每一个细节，都会因为它的自在性、自然性和真实性，而透析出教育者行为背后内隐但却自觉的教育思考、教育智慧和教育观念。有时是一个稍纵即逝的眼神；有时是教师不自觉的一番话语；有时是一次发自内心的微笑；有时是一次教育突发事件后的应景式反应；有时又是师生对话、互动中的灵光一现……但只要细细品察，你都会有所发现，有所启悟。

　　于是，在我的听课笔记上，很难看到一份完整的听课记录，留下的，只是一些只言片语，一些关于执教者细微的教育细节。我把它戏称“碎语集”。

一日，闲来翻阅，几处细节竟又跃然纸上，引起了一番思索。

　　这是一年级的一节语文课《蚂蚁和蝈蝈》，执教者是一个年轻而极富亲和力的教师。品读课文后，教师引导学生思考：“看到蚂蚁们如此劳累，小朋友们想不想帮帮它们？”“想！”孩子们的声音响彻课堂。我相信，这是发自孩子们内心的声音。因为孩子，尤其是未入学的或者是刚入学的孩子，他们对于“助人为乐”似乎天然就有着极大的热情。“那我们该怎么去帮它们呢？”从心里愿意到付诸行动，教师的话语显然带着一种价值的引导。至于孩子们是如何回答的，我未作记录，大概是如何如何去帮助小蚂蚁的吧。然而，听课记录本上却分明留下了“如果小蚂蚁们不愿意接受你们的帮助呢”几个大大的字。现在想来，当时表达的大概是这么层意思吧：乐于助人，固然是孩子们需要去接纳并付诸实践的价值追求。但作为一个现代公民，尤其是在一个讲求民主，崇尚尊严的时代里，在大谈乐于助人的同时，我们是不是需要纳入一些更富时代性的价值抉择，比如尊重劳动者独立劳动的自由和尊严；比如包办代替对于弱者而言有时更意味着一种伤害等等。从这一角度看，一味关注学生助人品德的习得，是否也意味着某种不尊重和包办替代？当然，这里没有丝毫否定助人为乐之美德的意思，只是私下思量，在某种特定的场合，也许我们还能寻得比直接帮助他人更为合适的途径，而这一方式途径，在某种意义下，或许更有利于他人的发展。还是想到了哪句话：“如果小蚂蚁不愿意接受你们的帮助呢”，我想，这也不是没有可能的。想起了我自己，和身边的一些人，面对困难，有时，更多需要的只是一种鼓励、一份肯定、一次呐喊，而绝不是亲自动手来替我完成。个中意味，不知这位老师可曾料及？

　　当别人需要得到帮助时，及时伸出援助之手，这是一种美德；当别人身处逆境，但并不需要得到帮助，而是选择了直面困难、挑战自我时，我想，帮助是否就成了一种多余？

教育，怎一个“蹲”字了得？

      思考这一问题，是有缘起的。　　

　　自打迈进新课程的门坎后，“蹲下”一词就成了挂在我们嘴边的“关键词”。

　　毋庸置疑，蹲下意味着理解、表达着尊重、传递着宽容：孩子有自己独立的思想、独特的视野，蹲下来，我们才有可能从孩子的视角思考问题，才有可能真正尊重他们不够成熟的见解，也才有可能看到他们眼中那片属于自己的美丽风景。

　　可是，为人师者，仅仅学会“蹲下”就可以了吗？

　　我们知道，教育，她首先是一项让人成为“人”的伟大壮举。更为确切地说，她是一项让不成熟、不自立、不自由的生命个体成为一个个成熟、自立而自由的人的事业。教师作为先进文化的代言人，“闻道在先”，“术业有专攻”，在他们身上，凝聚着人类漫长历史中积淀下的深厚文化底蕴、人生智慧与哲学。为师者，就应该通过教育这一独立的活动，通过自身这一文化中介，去引领学生不断触摸历史、感悟文化、习得智慧、丰富人生。如此，过分强调教师的蹲下（当然，在更为普遍的情况下，是有些为师者过分狭隘地理解“蹲下”的内涵），是否在某种程度上削弱了教师对于先进文化的传播作用，对于学生精神丰富和提升的价值引领作用？

　　然而，令人遗憾的是，在直面新课程的今天，我们已不知多少次地在课堂里领略着教育那“不必蹲下的蹲下”了。有时，孩子的理解明明是错误的，为师者却偏要说：“这是你的想法，我尊重你的理解”，并理直气壮地说，“我们要学会尊重孩子，要蹲下来看孩子的世界”。殊不知，长此以往，在孩子们的认识视域和精神天地里，“星星还是那颗星星、月亮还是那个月亮”。面对孩子作出的如此无关痛痒的迁就、附和和低俗的认可，究竟能给他们精神世界的提升带来什么有益的收获？千万别以为：否定就一定意味着伤害，纠正就一定意味着某种不尊重。毕竟，他们只是孩子，他们成长的道路上，正渴望得到成人的点拨与昭示。为师者，该出手时就出手，要学会用智慧去引领智慧、用人生去感召人生、用真理去启示蒙昧，这才是教育理应担当的文化之重任。

　　蹲下是一种心态，它告诫我们不能用成人的眼光去审视孩子们的世界，更不能因为彼此观念、认识、视界的不同而人为地要求孩子放弃自己的见解，迎合成人的情趣。但我们也不得不承认，仅仅知道蹲下是造就不了成熟的下一代的；仅仅懂得蹲下，而不知道，面对孩子，在蹲下的同时，更应学会“直立”，让孩子在为师者的面前有一种对博大人类文化和深邃人生智慧的敬仰之情，并藉此以丰富自己的人生阅历、精神空间、生命质量，教育也就退化为一般意义上的交往和交流了，教育的意义与价值便也真正失落了。要知道，一个无法让人体验到崇高、博大、深刻、高山仰止的教育是一种平庸的教育，生存于这一教育之中的个体，其精神也必然平庸、思想也必定浅薄。

　　教育贵在文化与精神的引领。为师者在学会蹲下的同时，别忘了树立一个文化先驱者“挺立”的形象，挺起自己高贵的头，用自己成熟的人生见地和生命智慧，塑造新一代的人，也钩画起新的教育诗篇。

打造永不消逝的数学童年

      童年是一本美好而令人向往无字之书。打开她，你将走进一个充满无限魅力的广博天地：那神奇的想象空间、另类的思维视角、忘我的游戏精神、独特的精神哲学……无不向我们昭示着她的独特性与自立性。都说，能和孩子打交道是何待美好和纯洁，而我却常常深感一种责任、一份期待。因为我需要思考：作为童年的见证者和引路人，身为数学教育工作的我们，究竟能为孩子们当下的童年生活留下些什么？

      欣喜的是，我们曾经发现过那片属于儿童自己的天地——

      在童年的“书架”上，我们发现了儿童文学、儿童诗歌、童话、童年的歌谣，一个个为孩子们喜闻乐见的熟悉世界正透过文字向孩子们亲切地走来。

     在童年的“画夹”中，我们发现了儿童画，那离奇的构图、拙朴的线条、大胆的色彩、奇特的想象，向我们展示着童年眼中那方神奇的世界。

      在童年的“歌声”里，我们没有听到成人歌曲中的那份浑浊、缠绵和无病呻吟，飘扬的只是童年那纯真的思绪、激昂的情感、优美的旋律和对美好生活的向往。

      如果说，童年的生活需要有儿童文学、儿童画和儿童歌曲等作为支持，那么，一个必然的命题便从容地摆在了我们的面前：我们的数学教育，是否也已真正烙上了童年的印痕？今天的数学教育，是否已经开始为孩子们打造一个适合他们自身发展的“数学童年”？难道，我们的孩子们就不能拥有一片属于他们自己的数学天空，“童年数学”对于他们来说，难道真是这样可望而不可及？

      就这样，一个大胆而浅陋的构想时时在我心头激荡、盘旋，至今不能化去。那就是：我们的数学教育，如何才能让亲近童年、回归童年！

一      童年的数学应该五彩斑斓，充满想象的色彩。它瑰丽、神奇，富于想象力，常常能带领孩子走进一个充满无限遐想空间的数学世界。

［案例］“黑板上的巨人手印”

      第一课正好上数学，探讨“用比例知识解决实际问题”。一走进教室，同学们很快被黑板上那个长达一米的巨大手印（这是我事先用白粉笔勾勒的）吸引了。“这是谁的手印？”一向调皮的马明宇首先发问。问题一出，同学们哄堂大笑。因为谁都知道，没有谁会有这么大的手印，教室里顿时炸开了锅。不想，马明宇又突发奇想：“不会是巨人的手印吧？或许，昨晚有个巨人走进我们的教室，不小心留下了这个大手印。”说真的，当时我还真为他出奇的想象力所深深折服，但同时也暗暗觉得好笑，心想，这么小儿科的事，谁都知道是不可能的。然而出乎意料的是，同学们并没有对此表示多少异议，他们反而更加投入地参与到关于“巨人手印”的交流中来。“手印都这么大，那这个巨人该有多高呀？”“教室门这么小，他能走进我们的教室吗？”“如果真是巨人的手印，那么他的脚印该有多长呢？”……孩子们的探讨问题显然已经接近本课的学习。于是我决定就着他们的思路展开教学，并不失时机将自己的手按在巨人的手印上。也许是缘于一种情境的启发，学生们的议论再度升级：“老师，他的手印大约是你的五倍，他的身高会不会也是你的五倍？”“我知道怎么测量他的脚印了，因为手印的长度比应该和脚印的长度比是一致的，我们可以利用比例的知识来解答。”“现在，我甚至能测算出这个巨人身体的每一部位的长度，比如嘴巴的长度，鼻梁的高度。”……于是，一场如何“用比例知识解决实际问题”的大探讨在孩子们的想象中拉开帷幕。

［思考］

      数学从其源头看，本应是生动活泼、富有生机的。任何数学知识、数学思想、数学方法的背后，总是凝结并积淀着人类漫长的数学探索进程中一个又一个坚韧的步伐、一次又一次前进的脚步。与此同时，我们也应认识到，作为儿童，他们本身又是如此生机勃勃，充满思考与想象的激情。我们的数学教育，尤其是儿童数学教育，不能只是“数学”（科学意义上的）与“教育”的简单结合，从某种意义上，她应该和童话、诗歌一样，善于点燃孩子想象的火花、善于激活孩子思维的萌芽。

      我们的数学教育不应只给孩子们展示那一片灰色的天空。一个充满色彩、充满无限想象空间的数学世界理应透过我们的数学课堂一步步向孩子们走来。在这样的数学课堂里，孩子们感受着“1001”与《一千零一夜》的美妙联系；在这样的数学课堂里，“7”不再只是一个普通的自然数，它会因为“北斗七星”的存在而给孩子们带来无穷的遐想空间；在这样的数学课堂里，我们常常能听到类似的表达：“老师，我发现自然数中质数的分布就象绘画中色彩的渐变，或者象音乐中声音的渐弱，因为自然数越往后，质数的个数会越来越少。”（黄晨涛同学在学习《质数与合数》一课时的一个美妙比方。）。在这样的课堂里，孩子会如此深刻地铭记住：那个走进教室的巨人手印，那次因为巨人手印而引发的关于比和比例知识的探讨和争辩……

      真正适合儿童的数学，应该是一种“活的数学”，一种能从内心深处唤醒儿童沉睡的想象力和激情的数学。我们期待着，如同童话、诗歌和绘画一样，在儿童丰富的精神世界里，数学也能找到它的一席之地。从而，在童年的蓝天下，一种真正适合于童年发展的数学教育，一个真正体现童年价值的数学教育境界向我们走来！

二      童年的数学有它与众不同的逻辑和视角，她鼓励自我、张扬个性，充盈着对儿童独特数学思考的激励和肯定。

［案例］“我剪出了圆的周长”

      课堂上，我和孩子们正在探讨“如何测量圆的周长”这一问题。孩子们各抒己见：有的说可以用绳子围，有的说可以在直尺上滚，也有的说可以将圆多次对折，然后量出小扇形的弧长再通过计算得出圆的周长……显然，孩子们的方法都在我的预料之中。于是，稍作小结后，我决定进入下一板块的教学。不想，平时一向不善言谈的的刘可飞同学站了起来：“老师，我还能用剪刀剪出圆的周长。”“什么，用剪刀剪出圆的周长？”几乎在同一时间，我和孩子们都将猜疑的目光投向了他。然而，他却不慌不忙地拿起一把略作加工的剪刀，从容地走上了讲台。“这是一把特制的剪刀，我在剪刀的刀刃上贴了一张标有刻度的小纸条，用这把带刻度的剪刀剪圆时，只要每剪一次，记下剪刀剪过的距离，最后再相加，就可以大约求出整个圆的周长了。这样，‘圆的周长’不就剪出来了吗？”……

     课后，我找刘可飞谈起这一想法的由来。他笑着告诉我：“还记得那天你要上公开课，让我帮你剪圆片吗？剪着剪着，便就突然联想到这上面来了。要说，那还真得谢谢那天的剪圆活动呢。”送走他后，我深深地陷入沉思。

［思考］

      每个儿童都是一个独特、完整的生命个体。他们与众不同的个性特征、生活阅历、文化背景，尤其是在日常生活、游戏等活动中所积淀下的“前数学经验”，使得他们每个人的数学背景都是如此丰富而独特。我们可以称之为“街头数学”，或者是“民间数学”，但它们的存在至少对我们的数学教育提出一种崭新的要求与表达方式，那就是：唯有走进儿童的数学世界，才能真正和孩子们一起并肩看风景！

      走进儿童，首先就意味着一种宽容、一种理解和欣赏。当孩子与众不同的想法、思想以及思考问题的视角展现在你面前时，你是否首先能保持一种审慎的态度，是否善于从孩子们的角度去换位思考，是否能排除自我经验的干扰和成人的“文化优越感”，而以一种“平等中的首席”之身份介入对问题的思考，进而与他们一起交流、沟通、协商？其次，作为教师，我们是否具有自我批判的勇气与气度。一个不善于进行自我批判和深刻反思的教师是很难真正看清孩子眼中那片美丽的风景的。当孩子们的想法与你发生冲突时，你首先考虑的是什么？是否定、改造他们的想法，还是更愿意相信他们思维的合理性，更愿意从肯定、理解、揣摩的角度去对待？事实上，这当中面对的恰恰是一种教育的抉择，而抉择的背后映射的正是为师者思想和人格的魅力。

      生活本身就是开放的，我们无法预设儿童的生活，也就势必无法看透和把握每个儿童的前数学世界。试想，如果没有“帮我剪圆”的经历，“剪出圆的周长”这一怪诞的想法又将从何而来？是生活丰富了儿童的世界，而儿童世界的丰富又拓展了我们的数学和教育。充分认识到这一点之后，我们的数学教育必将走向一个更为开阔的高原，数学课堂亦将走向一个更加开放、更加流动不居、更富理智挑战的崭新历程。

三      童年的数学可以是直觉的、模糊的，它强调准确性和科学性，但同时也能包容错误与偏颇。它用一个宽阔的胸怀包涵着孩子们并不完整、科学、精确的数学思考，唯独怕自己的苛求磨灭了孩子们探索的激情与冲动。

［案例］“五角星究竟有几个角”

      那是一年级的一次“观察与发现”数学探究活动，孩子们正围绕生活中的角展开交流。“张老师——”上课刚几分钟，芮明昊就兴冲冲地找了过来。“我发现五角星上共有五个角，而且这五个角大小都一样。”“是共有五个角吗？”我在“共”字上加了重音。见我非但没有表扬，反而提出了反驳，他顿时来了劲儿：“怎么不是五个，你看，一、二、三、四、五。”边说还边数起来了。“再好好看看，别轻易下结论。”见我如此固执已见，他也没再作什么争辩，只是很不情愿地回到了自己的位置。那节课，他那迷茫的眼神至今还清晰地留在我的脑海里。

      两年后，当正式学到“角的认识”这一内容时，芮明昊跑来告诉我：“张老师，我现在才明白，五角星上其实不止有五个角，应该有十个才对，因为那里边还有五个向外张开的钝角呢，对吗？”我朝他笑了笑，“或许吧。”

      转眼又到了六年级，或许是接触了更多有关平面图形方面的知识，他又一次找到了我。“张老师，这回我终于明白了，科学地讲，五角星上共有无数个角。因为，在它里面还有许多大于180度或360度的角，而这些角我们以前并没有去关注过。”

     说真的，我当时只有一种强烈的感触，那就是：为何在当初，面对一年级孩子这样一个虽不准确、但很了不起的发现，我连肯定的勇气都没有。仅仅是为了捍卫数学学科准确、科学的尊严吗？

［思考］

      当数学在人们的认识中逐渐从静态走向动态、从确定走向变化、从精确走向易谬时，数学科学的神圣光环已逐渐褪去。数学与其说像一个神坛上走下的圣人，毋宁说更象一个平易近人的凡夫俗子。数学从某种意义上讲，她已不再是一成不变的真理的集合和化身，相反，她更像是一个不断发展、不断进化、不断更新着的运动体。既是如此，那我们又有什么理由要求那些刚刚接触数学的儿童，能一步到位地完成对于数学知识的精确建构？我们又有什么理由拒绝数学的模糊性和直觉性？

      “五角星共有五个角”，这对于一个一年级的孩子而言，它究竟何错之有？换言之，就算是这一表述不够科学，但那只是我们从成人数学的视角所作出的判断，对于一年级的孩子，尚没有对钝角、周角等有更多的了解，作出这一判断恰恰反映了他的认识水平。对他们而言，或许这才是一种真正的“准确”。如果说这是一种对孩子的迁就，那千万别以为这样的迁就会误了我们的孩子。恰恰相反，孩子的数学发展本身就是一个螺旋上升的渐进过程。从模糊走向清晰、从混沌走向有序理应成为儿童数学发展的必由之路。上述案例中孩子对于角的认识恰恰充分说明了这一点。

      其实，又何止“认识角”如此，数学教育中这样的现象无处不在。只有当我们能真正从发展、变化的眼光来看待数学、看待数学教育、看待孩子们的数学成长，我们的数学教育也才能真正促进学生健康、持续地发展。

四      童年的数学应该充盈着一种游戏化的精神。孩子们沉浸其中而留连忘返，忘我地体验着、感悟着、创造着。而数学正如春风化雨般悄悄地滋润着孩子们精神的家园。

［案例］“由布丰投针实验想到的”

      数学活动课上，我正引导孩子们以小组为单位一起进行着数学史上著名的“布丰投针实验”：画一组间距均为1厘米的平行线；准备一些长度为1/2厘米的小棒；将这些小棒自然地扔在平行线上；数一数多少根小棒与平行线相交、多少根小棒没有和平行线相交；算出这两个数据的比值。当结果出来的那一刹那，或许他们怎么也不能相信，摆在每一组孩子面前的实验结果竟是如此惊人地相似：比3大一些，有些甚至接近于3.14。“这不正是π的近似值吗？”“难道这只是一种巧合？”孩子们纷纷议论开去。“大家是不是觉得这里面大有文章可作？如果再给你们一些时间，大家最想做的事情是什么？”就这样，讨论声、交流声再度此起彼伏。有人说，“如果小棒数再多一些，情况又会怎样？”有人说，“是不是小棒的数目越多，最后的比值也越接近于圆周率π？”也有人说，“如果小棒的长度不是平行线间距的一半，而是和间距等长，最后的结果又会如何，会不会是2π？”更有人说，“如果我们将等间距的平行线改为等距的同心圆，其他条件不变，最后又将出现怎样的结果呢？”

      不难想见，在这样一种蓄势以待的求知状态下，孩子们的眼神中闪烁着怎样的一份渴望探索的目光。于是，接下来的整整两节课时间，孩子们沉浸其中，全然忘却了一次次响起的铃声、忘却了窗外孩子们嬉戏追逐的身影……

［思考］

      一项工作完成的效率之高低或质量之好坏，很大程度上取决于当事人对于这项工作的投入程度。游离于其外，自然就事倍而功半；沉浸于其中，无疑是事半而功倍。工作如此，教育同样也不例外。令人遗憾的是，我们的数学教育缺少的恰恰是这样一种令人“沉迷”其中的教育魅力。

      于是，想起了孩子们游戏时的那份忘我和投入，想起了孩子们面对喜闻乐见的活动时那份兴致勃勃和目中无人，突然醒悟：教育，缺少的不正是这样一种游戏化的精神吗？什么时候，我们的数学教育也能让孩子们沉浸其中，而全然忘却身外的一切，这将是一种何等理想的教育境界呵。

      回想上述案例，孩子们如何会这般投入与痴迷？不正是因为“布丰投针实验”的结论让孩子们倍感惊异，进而深深地为它所吸引，欲罢不能？与其说，孩子们正在完成一项学习任务，毋宁说，他们正从事着一项极具探秘色彩的游戏活动。正是从这样的角度看，整个探究活动已不仅仅是一次简单意义上的学习，至少它已经浸染上了一种游戏的精神，一种足以让孩子投入其中而不能自拔的游戏精神。试想，一旦这样的游戏精神能萦绕在我们的数学课堂上，学习还会是一种负担，教育还会走进“教师厌教、学习厌学”的窘境吗？

      小学数学教育是基础教育的重要组成部分之一，如何让我们的数学教育真正走进孩子们的世界，为孩子们所关注、喜爱、认同和向往，我想，走出数学金字塔的神秘殿堂，摒弃数学古板、枯燥、令人敬而远之的严肃面孔，让数学真正回归生活、回归自然、回归儿童，和“儿童文学”、“童谣”、“儿童画”、“儿童音乐”一样，在回归童年中寻求小学数学教育的真谛，这应该是一个耐人寻味的选择。

小学数学应用题教学“生活化”的理论与实践

      “现实世界是数学的丰富源泉，也是数学应用的归宿。任何数学概念都可以在现实中找到它的原型3只要细心地观察周围的世界，我们就能发现，到处都是数学”。然而，正是在这样一种理念的指引下，我们重新审视了现行的小学数学应用题教学，却惊异地发现：时至今日，教材中随处可见的仍然是“修一条水渠……”、“加工一批零件……”等严重脱离了学生生活实际的“经典”应用题。学生既不知所学的数学“从何而来”，更不知将“走向何处”。他们每天只是在反复的“类化”训练中习得机械的解题技能，而一旦面15G真实的、源于生活的问题情境，他们往往束手无策，更别说通过数学学习来促进他们“初步学会运用数学的思维方式去观察和分析现实社会，解答日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神”了。

      基于以上认识，我们提出“应用题教学‘生活化”’的理论设想，试图通过将现行教材中枯燥、脱离学生实际的应用题还原为取之于学生生活实际、并具有一定真实意义的数学问题，以此来沟通“数学与现实生活”的联系，激发学生学习应用题的兴趣，并让他们在研究现实问题的过程中理解、 学习和发展数学。    

      一、应用题内容生活化

      现行教材中的不少应用题，由于严重脱离 学生生活实际，学生既 无相关的生活经验或模 型可供参照，更无法透 彻把握这类问题的结构，这给他们的学习带来很大困难。教学时，我们从具体内容情节上作了一些调整：

      如第七册“归一应用题”一节，教材选用的是“一辆汽车3小时行120千米。照这样的速度，5小时行多少千米?”我们在教学时将例题进行了改编： “张老师买4支钢笔用去20元，照这样计算，买7支用去多少元?”由于“要知道买7支钢笔需多少钱，必须先知道钢笔的单价”这一认识是学生生活经验中早已具备的，因而在解答这一问题时，他们则显得更为得心应手。

      二、应用题表述多样化

      在“改造”内容的同时，我们对应用题的呈现形式也作了一些有益的探索：一改过去应用题“纯文字化”的表述模式，有机地将表格、漫画、情境图、．数据单等引进应用题教学。如教学求平均数应用题时，我们尽量选取日常生活中常见的一些图表或数据，让学生结合表格来研究诸如某一星期的平均气温、某班学生的平均身高等等。更多时候，我们还将应用题以 “图文并茂”的形式呈现出来。使原本枯燥、乏味的应用题变得活泼了、生动‘了，易于学生接受，也符合了学生的思维特点。

      三、应用题结构“开放化”

      我们的应用题教学曾给学生展示了这样一个误区，那就是任何数学问题，它都．具有完整的结构：包括“适量”的条件、“唯一”的答案、相对“程式化”的数量关系等。我们的学生正是在这样一种反复训练中学习数学，而现实生活中“真实”的数学问题并非如此。恰恰相反，几乎没有哪一个问题拥有的条件是恰好的，问题答案有时也并不唯一。针对这一情况，我们对应用题的结构作了一些大胆拓展，试图以具有开放结构、富于真实意义的数学问题取代现行教材中“封闭”的应用题，以使学生在发散性、多维度的思维活动中提高解决实际问题的能力。

      1．结构不良的数学问题

      一方面，可以提供条件不足的应用题，让学生在分析问题的同时学会捕捉欠缺的条件，然后自己去搜集并予解答。比如“给我们班每位同学都做一条底6分米，高2分米的红领巾，共需多少面·料?”解答这一问题时还需知道“全班的人数”，这一数据就可以让学生根据班级情况自己去搜集。

另一方面，还可以提供一些纯条件或纯问题的应用，让学生自己根据条件或问题自由展开联想，发散思考。如“六年级有男生150人，女生250人，由此你可以得出什么结论？”再比如“要求全校共有多少名学生，我们需要知道那些数据呢？”显然，第二个问题学生可以从多个 角度进行分析：可以通过全校男、女生人’数来求解；也可以通过每班人数、每个年级人数或其它一些数据来解答。有效地培’养了学生收集、处理信息的能力，并给学生解决实际问题提供了某种真实的参照。

      2．数据“盈余”的数学问题。

      其一是条件过剩应用题。这样的应用题要求学生对问题中的数据学会正确的判断，并作出合理的取舍，以培养他们解决实际问题的能力。

      其二是结论“不唯一”应用题。以“买花”一题为例，“如果给你50元，你可以怎样来合理地买花?” 显然，问题的结论是开放的：学生可以用50元买任意一种花，也可以选择其中两种或三种进行搭配，而搭配方案也是多种多样的。像这样一种接近于真实情境的数学问题，对培养学生分析解答实际问题的能力大有神益，而这恰恰是传统应用题所无法比拟的；

      3．信息：杂乱”的数学问题

      现实生活中的数学问题，更多时候则是以一种散乱的数据形式呈现在我们面。前，需要我们根据问题的要求对信息灵活地进行筛选、整理，从而促成问题的解决。教学时，我们有意增强了这方面的训练，通过给学生提供一定的问题“素材”和解题要求，让学生自己来搜集、处理信息，寻求答案。比如给出某班学生的档案，要求他们将闰年出生的同学按出生先后整理出来。显然，学生在解决这一问题时首先得排除与解题无关的信息(如姓名、性别、家庭住址等)，然后再根据出生年份判断平、闰年，并将闰年出生的学生按序进行排列。尽管‘解答这类问题，学生无章可循，但他们解决问题的能力正是在这样一种选择、判断和处理信息的过程中得到了切实的培养。

用文化润泽数学课堂

数学，内在文化的消解及缘由

      不得不承认，越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点。然而作为一种推论，既然承认数学自身是一种文化，那么以传承数学为目的的数学课堂，就当然具有了一种内在的文化性。于此种语境之下，再谈“用文化润泽数学课堂”，是否有些不合逻辑？

      问题恰在于此。认同某一事物具有文化性，并不等于这一事物就一定能在所有的境域中彰显出它的文化属性来。比方说，“鱼”很有营养价值，但糟糕的烹饪方式不仅会破坏其固有的营养价值，甚至还可能使其完全丧失营养、变成有害于健康的食物。

      烹饪鱼是如此，教学数学又何尝不是这样？事实上，只要稍加辨析便不难发现，我们论定“数学是一种文化”，思考的对象是“科学范畴”里的数学，也即，我们探讨的还只是一般意义上的、以“学术形态”存在的客观的数学科学。此时的数学，它既是“人类创造活动的结晶”，同时，“对人的行为、观念、态度、精神等又具有重要影响”，无论从广义还是狭义上看，它都已具备作为一种文化的资格。然而进入学校视野、课堂范畴的数学，势必经历了一个从“科学数学”向“学校数学”，进而向“教育形态”的“课堂数学”的转换。转换的过程中是否消解了数学原有的文化属性，恰是我们深入探讨数学文化时应着力关注的话题。

      现实境况不容乐观。反观当下的数学课堂，由于对知识、技巧等工具性价值的过度追逐，数学原本具有的丰富意蕴日益被单调、枯燥的数学符号所替代，并几乎成为了数学的全部，这使数学本该拥有的文化气质一点点被剥落、以致本属文化范畴的数学，正渐渐丧失着它的文化性。正是在这一意义上，重申“数学文化”，呼吁“还数学以文化之本来面目”，就成为数学实践层面迫切需要解决的问题。

      数学的文化消解固然有多方原因，但教师对于数学不同的认知和理解所带来的教学行动的偏差却是重要的原因之一。试想，倘若教师在课堂中只认同数学是一门技术，那么习得、模仿、练习、熟练化势必会成为数学课堂中的强势语言。生活在这样的数学课堂里，学生如何去触摸、领略数学那开阔、丰富、优美、甚而是动人心魄的一面？而换一个视角，在我们的课堂中，倘若数学不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们可以感受数学丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类的智慧和人性光芒，此时的数学，又将以怎样的姿态展现在课堂？

      如此看来，文化可以在课堂被消解，也同样可以在课堂被重拾。二者之间，差异恰在于视角的切换。所以我一直坚持，文化应该成为数学课堂理应选择的视角和姿态。唯有如此，数学课堂彰显其文化的本性方有可能。

数学文化：概念误读与意义重建

      在实践和探索的过程中，概念或命题的被误读已不是什么新鲜事，数学文化同样没能幸免。如何被误读，为何被误读，值得我们思考。

      首先是概念的窄化。将数学文化简单等同于数学史，以为渗透了数学史，那就是一堂体现数学文化的课。应该说，数学史是数学文化的重要组成部分，但数学文化还远不是数学史能包容和涵盖的。

      其次是概念的泛化。将数学文化和课堂文化混为一谈。课堂上人与人的不断对话、交往、互动无疑是一种文化现象，人们通常称之为课堂文化。事实上，不存在挣脱文化现象的课堂行为。然而，这里的“文化”关涉的是课堂活动本身，而并非指课堂中所承载的数学内容。一个充满着文化现象的数学课堂里，传递的未必就是带有丰富文化意蕴的数学内容，这足以表明二者的区别。不少教师将民主对话、平等交流等都纳入数学文化的领域，这显然不妥，是对数学文化的一种泛化，不利于我们认识数学文化本身，不利于我们准确把握数学真正的文化价值。

      那么，究竟什么才是数学文化？数学又拥有怎样的文化价值呢？此处笔者无意于给出关于数学文化的确切定义，倒是更倾向于从这样一个角度给出自己对数学文化的理解。作为一种“看不见的文化”，数学在其发展过程中，伴随着数学知识的发生、生成、传播而在特定的数学共同体内积蓄下的对人的发展具有重要促进和启迪价值的数学思考方法、数学思想观念及数学精神品格等，这些都属于数学文化。具体而言，数学的文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”，由于数学并非对客观事物或现象量性特点的直接研究，而是通过相对独立的“模式”的建构，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。其次，数学学习需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次，数学看起来似乎与价值判断无关，然而数学依然具有至高无上的“善”，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如探索过程中的执着与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导过程中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。

文化，如何润泽数学课堂

      “有些数学课很难体现数学文化，比如‘数与代数’领域的许多内容，尤其像计算课……”类似的声音并不鲜见，我以为，这同样涉及对数学文化价值的定位问题。正如前文所言，如果将数学文化窄化为数学史，那么，“数学文化”势必会成为某些数学课堂的奢侈品，而在更加普遍、更为一般的数学课堂里，它必然只是难以登堂入室的“稀客”。反之，对数学文化的泛化理解，又会带来这样的后果：一切皆为文化，也就没有了文化。

      如此看来，教师首先要做的是调适好自己的数学观、数学文化观、数学价值观，这是文化能否润泽课堂的重要前提。唯有澄清了认识，实践才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及阅读与积累的问题了。比如，适当阅读一些关于数学文化领域的书籍、资料等，廓清自己对数学文化的理解。再如，可以涉猎一些关于数学历史典故、趣闻轶事等，必要时，还可以了解一些高等数学方面的内容、思想、方法，这对于打开自己的数学视野不失为一种可行的路径。

      具体的课堂实践，我努力从数学概念、数学规则、数学思想方法及情感态度价值观四个方面切入，试图以更为日常化、更具涵盖性的数学内容和更加朴素的教学实践表达对数学文化的理解，追求数学文化的教育价值。

1．数学概念，在“头脑创造”中还原生命活力。

      即便在“学校数学”的范畴里，概念通常也是以一种冷冰冰的姿态呈现在教材或者课堂上。但我们应明白，任何数学概念的形成、发展、生成，都经历了数学家无数的观察、分析、猜测、实验、判断、辨析、调整、优化等一系列数学思维活动。由此想见，即使是静态的数学概念，其必沉淀下丰富的数学内涵、数学思考、数学观念。如果课堂仅仅停留于对数学概念的被动认识、理解和传递上，那么内涵于“冰冷的美丽”背后的这些“火热的思考”将无法为学生所触及、所分享，数学概念“可能”的文化价值也无法成为“现实”力量。数学课堂，恰恰需要在这儿做一些工作。

      比如“认识乘法”，当学生已经感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2”表示“9个2相加”比较麻烦时，教师直接告知乘法算式“2×9”是一种方式，引导学生自己想办法去“创造”一种新的算式表示“9个2相加”也是一种方式。但后一种方式更加充满挑战，也预示着更多生成的可能。在我的课堂里，有学生选择了“2＋2＋……2（9）”，有学生选择了“2＋2（9）”，有学生选择了“29”，在教师的引导和点拨下，又有学生选择了“2·9”或者“2★9”等。静态、冰冷的乘法概念在这一刻绽放了绚丽的光芒。可以想见，这些看似不太科学、不够准确的“乘法”表达形式背后，折射出了学生多少生动、活泼的数学思考，比如观察、概括、想像、推理、优化、调整、创造，而这恰恰正是数学的“文化力量”。

      再如认识“长方体的长、宽、高”，作为规定性知识，直接告知未尝不可。然而，倘若引导学生作这样的思考：如果将长方体12条棱中擦掉1条，你还能想像出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条……呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想像出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了这样三条棱（如图）时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。

2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。

      和数学概念一样，对数学规则的学习同样面临着一个“冰冷美丽”和“火热思考”之间的抉择和转换。处理不当，规则学习会诱导学生陷入机械记忆、单纯模仿、反复操练的窠臼。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的生动过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。

      比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”时，“从个位加起，满十进一”是绕不开的计算规则。在成人看来，“从个位加起”应是一件再自然不过的事，但学生究竟会如何理解、建构这一规则呢？教学时，我放手让学生自己探索24＋18的笔算方法，没想到，竟有不少学生选择了从十位加起（事实上，要合并两堆小棒，我们通常不也是先数数一共有多少捆，然后再将零散的小棒满十根一捆，最后得出结果的吗），过程如下：

      24＋18=42

      面对这一状况，草率地否定这一思考显然不够理智，急于纠正更显得缺乏智慧，还是让他们自己在比较中去发现、去感悟吧。结果，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辩证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。

      此外，“满十进一”也是数学中重要的规则之一。教学时，我没有仅仅停留于“告诉”，而是在学生认识“十进制”后，进一步拓展他们的视野，给他们介绍了关于五进制、七进制、十二进制的知识，并引导他们思考诸如“不同的进制之间有什么共同的地方”、“十进制之所以被广泛应用，可能的原因是什么”、“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。或许这样的思考对于学生巩固或强化十进制并无太大帮助，然而正是有了这样的适度开掘，学生的视野开阔了，尤其是，数学发展过程的多元化，数学思考的多样性，数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。

3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。

      离开学校后，真正能留存于个体脑海中的具体数学知识、技能往往很少，但数学方法、策略、思想却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于学生内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。这是数学文化价值集中体现的又一重要方面。

      较之于知识、技能而言，方法、思想和策略更为内隐，常潜伏于许多看似普通的数学知识、数学技能的学习过程中，需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂中予以传递。

      如教学“认识分数”时，面对如下问题“在括号里填上合适的分数”（见下图），我有意将后两幅图中的等分线隐去，使这一内容诱导出了更多的数学内涵。

      其中有估计意识的培养（估计后两幅图中涂色部分占整体的几分之一）、有思维策略的综合应用（对第三幅图的估计）、有极限思想的渗透（引导学生想象并感受：如果继续往下平均分，份数越多，表示每一份的分数会怎样）等。朴素的内容完全可以承载丰厚的数学内涵，每一堂课，我们都可以作出这样的思考。

      此外，我还结合具体数学内容进行“数学思维方法”或“问题解决策略”的主题性教学实践（义务教育课程标准苏教版小学数学教材将“解题策略”作为具体板块进行教学，比如“综合与分析”、“画图与列表”、“倒推”、“假设”、“枚举”、“转化”等），效果也很好。

4．挖掘数学内容中的丰富情感、态度和价值观。

      在更多课堂，一句“使学生感受数学与生活的密切联系，体验数学的应用价值”，往往便将数学学习中原本更为丰富、多元、立体的情感、态度和价值观掩盖。事实上，数学可以给予个体情感、态度、价值观方面的影响远不止于此，前文第二小节已有描述，此处不赘。具体的实践过程中，我认为应注意两个问题。

      首先是如何正确对待数学史料的问题。历史往往沉淀下许多值得流传的史实与价值观念。我们不能仅仅停留于对史实的介绍上，而应引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响。如祖冲之是中国古代研究圆周率的骄傲，但仅到此为止，并进行肤浅的爱国主义教育是不够的。他在研究过程中如何“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧；他不满足于既有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等，更应该透过课堂浸润到学生的内心深处。我在教学时，将这一段数学历史有机融入到具体的周长公式的探索过程中来，学生的感受更丰富了，认识也更全面了。此外，我还适时地介绍了我国古代数学的领先与现代数学的落后，并给学生分析造成这一后果的内在原因，深刻的民族尊严感和为中华数学之崛起而奋斗的决心在学生心中升腾。

      当然，数学更多的价值观念应该渗透于日常的教学内容与学习活动当中。教学“小数点移动引起大小变化”，我引导学生感受踏实、严谨的数学作风；教学“交换律”、“正反比例”时，我适时给学生渗透些“变与不变”的观念等。渗透重在日积月累，日常、朴素的数学内容中都挖掘并渗透上一点，那么，六年的数学学习对于学生而言，难道不正是一趟美妙、丰硕的精神之