grafolio下载:【10】怎样进行数学建模?(续)——与青年朋友谈科研(10)
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怎样进行数学建模?(续)——与青年朋友谈科研(10)
已有 1643 次阅读 2010-10-4 17:19 |个人分类:科研方略|系统分类:科研笔记|关键词:数学建模 NS方程 基本假设 归纳推理 演绎推理
我现在问朋友们一个问题:我们什么时候开始接触数学建模的?如果我说,凡是上过一点学的人都或多或少地学过数学建模,你信吗?想一想,我们上小学时,在做稍稍复杂一点的数学应用题时,例如,著名的“鸡兔同笼”问题,就得通过较为简单的数学建模来求解。到了中学,这样的例子就更多了。所以,我们对数学建模不必有神秘感。现在国内每年要举行各种数学建模比赛,也使这种神秘感大大减少。目前欠缺的是:在本科和研究生教学中,老师对数学建模的关注和引导不足。
这里,引述
随着现代科学的发展,各个学科领域相互交叉、融合,特别是数理科学不断渗透到化学、生物学领域,科研中的建模显得越来越重要。
昨天的博文中,概略地讲述了自然科学研究中的数学建模问题。今天想举一个实际例子,来体会数学建模的过程。应博友的要求,试图简述流体力学中的基本方程——纳维-斯托克斯(以下简称为NS方程)的导出过程,这一过程本身就是一个绝好的建模过程。我浏览过不少流体力学教材,尤其是一些工程流体力学的教科书,其中往往把这一过程略过不提,或者未做重点介绍,这实际上是放弃了一个进行建模教学的良好机会,也会使学生难以掌握流体力学的精髓,更糟糕的是养成 “知其然,不知其所以然”的不良学习习惯。
大体说来,推导NS方程可采取宏观演绎方法和微观-介观演绎方法,前者采用连续介质假设,通过控制体积或流体微团的分析,建立一个完整的体系;微观-介观演绎方法采用统计物理手段,从速度分布密度所满足的波耳兹曼方程,通过对这一方程的各种形式的取矩来导得NS方程。本文主要讨论前者。
NS方程的孕育
我们先来简要地回顾流体力学的发展史,主要为了了解NS方程的孕育过程。
公元前3世纪,阿基米德(287-212BC)发现浮力定律(阿基米德原理),标志着流体静力学的发端;1644年托里拆里(E. Torricell,1608-1647)制成气压计;导出小孔出流公式;1650年帕斯卡(B. Pascal,1623-1662)提出液体中压力传递的帕斯卡原理;1668年,马略特(E. Mariotte,1620-1684),出版专著《论水和其它流体的运动》奠定流体静力学和流体运动学的基础。
这时,社会发展产生了发展流体动力学的需求。马略特首次研究了流体产生的阻力;接着,1678年,牛顿(I. Newton,1642-1727)研究在流体中运动物体所受的阻力,并建立牛顿粘性定律;1738年,丹尼尔·伯努利(D. Bernoulli, 1700-1782)出版《流体动力学》,将力学中的活力(能量)守恒原理引入流体力学,建立伯努利定理(伯努利方程);1752年,达朗贝尔(J. le R. D′Alembert,1717-1783)提出理想流体运动的达朗贝尔佯谬(即在无粘性流体中运动的物体不受阻力;1755年,欧拉(L. Euler,1707-1783)导出流体平衡方程和无粘性流体的运动方程,即欧拉方程,从而建立了理想流体动力学。此时,粘性流体动力学已呼之欲出。
1763年,玻尔达(J-C. Borda,1733-1799)进行流体阻力试验,给出阻力公式,开了粘性流体动力学研究的先河;1777年玻素(C. Bossut,1730-1814)等完成第一个船池模型试验,完全确认了流体中运动物体与速度的平方成正比的结论;接着,迪比阿(P. L. G. Du Buat,1734-1809)做了更细致的研究,写成《水力学原理》。
以上工作为NS方程的导出在实验上和理论上奠定了基础。1822年,纳维(C-L-M-H. Navier,1785-1836)引进连续介质假设,采用流体分子运动的观点,考虑了分子间的相互作用(宏观地表现为粘性),导出粘性流体动力学的动量方程;1845年,斯托克斯(G. G. Stokes,1819-1903)建立了更为准确的粘性流体的连续介质模型,引进了两个粘性系数,更简洁严谨地导出粘性流体动力学的动量方程(纳维-斯托克斯方程)。现今的流体力学教科书就基本上采用了斯托克斯的表述形式。
有关上述历史的详情可参看武际可:《力学史》(上海辞书出版社,2010,231~244页)。
导出NS方程的基本假设
经过梳理之后,我们知道,导出NS方程采用了如下基本假设:
1) 牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形(Einstein数
2) 连续介质假设成立。仅考虑Knudsen数(即流体的分子平均自由程远与问题的特征长度之比)远小于1的情形,每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子,微团紧密地排列着。稀薄气体动力学考虑Knudsen数近于或大于1的情形;在微流动问题中也会出现这一问题;这里不予研究。
3) 热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡,即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间;
4) 热力学第一、第二定律成立(即能量守恒律和熵增定律成立);
5) Helmboltz速度分解定理成立(速度=平动速度+转动速度+变形速度);
6) 广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的齐次线性组合(含广义粘性系数81个)。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴;
7) 流体各向同性假设成立。于是,广义粘性系数从81个缩减为2个;
8) Stokes假设成立。即假设流体的第二粘性系数(体积粘性系数)为零,不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应;
9) 运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高,不会产生电离和离解现象;
10) 流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应。
以上各假设中,前五个是本质的,第六、七个假设经常是必需的,后三个假设则是非本质的,视情况需要,可以丢掉(即存在体积膨胀、存在高温区或电离区、流体非均质——分层流体)。一言以蔽之,纳维-斯托克斯方程适用于非相对论性的、密度足够高的、各向同性牛顿流体运动的描述。在忽略体积粘性系数,假定温度无剧变(即可假定粘性系数为常数)且流体为均质时,方程的形式较为简单。
因此,我们在科研中要应用NS方程时,首先应考虑其成立的假设是否成立。比方说,在研究微电子器件相关的流体力学问题,就需要慎之又慎。
还应注意,狭义地说,NS方程指的是粘性流体运动的动量方程;广义地说,也可包括质量守恒方程(连续性方程)、能量守恒方程(能量方程),这里采用广义说法,实际上讨论的是流体动力学的基本方程。
NS方程的宏观推导
我们应该知道,推导NS方程的出发点是物质的基本守恒律——质量守恒、动量守恒、能量守恒定律;为了使方程简约、可解,还必须辅以流体的本构方程,NS方程通常采用广义牛顿粘性定律为本构方程,这是基于实验的牛顿粘性定律的推广形式。当然,为了使方程组有封闭形式,还要辅以热力学中关于流体的状态方程。这里只谈连续性方程、动量方程和能量方程的宏观推导。
如所周知,科学方法论中的推理形式主要有两种:归纳推理和演绎推理。前者从特殊到一般,后者从一般到特殊。力学工作者更习惯于归纳推理。
先说归纳推理形式。基本思路是:从流体某个体积中质量、力和能量的动平衡。当这一体积很小时(即取为体积元时),相应的方法就是微元法;当这一体积为有限大小时,相应的方法就是控制体积法。若所取的体积是固定的,就对应于流体力学中的欧拉表述思路;若所取的体积随流体运动时,就对应于流体力学中的拉格朗日描述。因此,每个方程有四种推导方法。
在写得好的工程流体力学教科书中,通常采用与直角坐标的坐标面平行的小立方体做体积元。以推导动量方程为例。采用如下的动平衡方程:
体积元内的动量变化率=从各个表面流出的动量+体积力+面力(压力梯度与剪切应力)
这是流体力学中运用牛顿第二定律的表示。
按上述思路,可以导出连续性方程、动量方程和能量方程。它可以有微分形式和积分形式;可以在直角坐标来表示,也可用曲线坐标来表示。(详见吴望一:《流体力学》(上册),北大出版社,1989)。
再说演绎推理形式。先建立一个抽象的量在某个运动体积的变化和输运过程,建立一个一般的定理,现在通称为雷诺输运定理,然后以单位体积的质量(即密度)、动量和能量代入,分别导出各个守恒方程。(详见刘应中、缪国平:《高等流体力学》,上海交大出版社,2002,第一章)。
进一步建模的“减法”和“加法”
有了NS方程或流体力学基本方程组之后,若碰到更简单的情况,就可采取“减法”来建模。例如,NS方程中去掉粘性项之后,就成了欧拉方程。如此等等。
如果碰到更复杂的情况,则采用“加法”,例如,要研究地球流体力学问题,考虑到地球是一个非惯性系,必须在动量方程中加上科氏力项;再如,若要研究湍流,由于存在脉动项,经过雷诺平均后,就可导得RANS方程。这时出现了方程不封闭性问题,就得引入别的假设和方程实质封闭。
从NS方程导出得到的启示
限于篇幅,这里无法涉及细节,甚至来不及说到NS方程的微观-介观推导,不过我们已可得到一些启示:
——数学建模应建立在已有知识的基础上;
——建模须从第一原理出发;
——对于复杂问题的建模必须提出合理的假设,这些假设大多有可靠的实验和理论依据;
——可以采用多种推理凡是和数学形式来建模。
这篇博文的内容稍稍专业一点。看不懂也没有关系,可以略过不读。
我注意到,这一系列博文的读者中不仅有青年朋友,而且有一些资深学者,欢迎大家补充、指正。
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