斗鱼比较开放的女主播:3.1.2用二分法求方程的近似解

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能  通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法  能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观  体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点  通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点  恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：


高一数学学案
课题：用二分法求方程的近似解
教学重 点
1、掌握用二分法求方程的近似解的原理
2、会用图象解决函数零点的个数问题
教学难 点
二分法的应用
教学目 标
1、掌握用二分法求方程的近似解的原理
2、会用图象解决函数零点的个数问题
教
教
学
设
计
一、 复习提问： 零点存在性定理
二、情景导入： 一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根。联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
为了解决上面的问题，我们先来做个游戏：
三、 新课讲解：
1 二分法定义：  对于在区间[a，b]上           且              的函数y=f（x），通过不断地把函数y=f（x）的零点所在的区间一分为二，
进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2 用二分法求函数y=f（x）零点近似值的步骤：
（1） 确定区间[a，b]，验证                    ，给定              ；
（2） 求区间（a，b）的中点c；
（3） 计算f（c）；
① 若            ，则   就是函数的零点；
② 若            ，则令                                ；
③ 若            ，则令                                ；
（4）判断是否达到                ：即若               ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）到（4）。
教
学
设
计
四、例题讲解：
例2  用二分法求方程2x +3x = 7的近似解（精确度0.1）
变式训练：用二分法求方程2x3 +3x﹣3 = 0在（0，1）内的近似解（精确度0.1）
课堂练习题
1 下列函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（  ）

2 求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是
3 已知方程x = 3﹣lgx ，下列说法正确的是（    ）
A 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（0，1）内
B 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（1，2）内
C 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（2，3）内
D 方程x = 3﹣lgx 的解在区间（3，4）内
4  方程（）x = lnx的根的个数为（    ）
A    0    B   1    C  2    D   3
5  求函数f（x）= x3 +2 x2﹣3x﹣6的一个正数零点（精确到0.1）
作业
已知函数f（x）= lnx + 2x﹣6
（1）证明f（x）在其定义域上是增函数
（2）证明f（x）有且只有一个零点
（3）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过
知识小结：


1．下列函数零点不宜用二分法的是(　　)
A．f(x)＝x3－8　　　　　　　B．f(x)＝lnx＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2  D．f(x)＝－x2＋4x＋1
【解析】　由题意知选C.
【答案】　C
2．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间(　　)
A．(1.25,1.5)  B．(1,1.25)
C．(1.5,2)  D．不能确定
【解析】　由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A.
【答案】　A
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．
【解析】　根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，
因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数．
【答案】　1.437 5
4．求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
【解析】　由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：
区间
中点
中点函数值(或近似值)
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.0625
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．方程2(1)x＝ln x的根的个数是(　　)
A．0  B．1
C．2  D．3
【解析】　方法一：令f(x)＝ln x－2(1)x，
则f(1)＝－2(1)<0，f(e)＝1－2e(1)>0，
∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在定义域内仅有1个零点．
方法二：作出y＝2(1)x与y＝ln x的图象观察可知只有一个交点．故选B.
【答案】　B
2．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是(　　)
A．(0,1)  B．(1,2)
C．(2,3)  D．(3,4)
【解析】　令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.
【答案】　C
3．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为(　　)
A．(0.6,1.0)  B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)  D．(2.6,3.0)
【解析】　设f(x)＝2x－x2，由表格观察出在x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x【答案】　C
4．函数f(x)＝ex－x(1)的零点所在的区间是(　　)
A.2(1)  B.，1(1)
C.2(3)  D.，2(3)
【解析】　f(2(1))＝－2<0，
f(1)＝e－1>0，
∵f(2(1))·f(1)<0，
∴f(x)的零点在区间，1(1)内，故选B.
【答案】　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2(2＋4)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【解析】　由f(2)·f(3)<0可知．
【答案】　(2,3)
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
【解析】　∵f(2)<0，f(2.5)>0，
∴下一个有根区间是(2,2.5)．
【答案】　(2,2.5)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
【解析】　设f(x)＝2x3＋3x－3，经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f2(a＋b)
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
因为|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.
8．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．
【解析】　令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．
用二分法逐步计算．列表如下：
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
0.416 3
[2,2.5]
2.25
0.060 9
[2,2.25]
2.125
－0.121 2
[2.125,2.25]
2.187 5
－0.029 7
[2.187 5,2.25]
由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25－2.187 5＝0.062 5<0.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．

9．(10分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【解析】　如图

他首先从点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再查BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再查CD中点E.
这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一两根电线杆附近．
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教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
材料一：二分查找(binary-search)
（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（  ）个单元。
Ａ．1000  Ｂ．10   Ｃ．100   Ｄ．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示．
材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．
生：体会二分查找的思想与方法．
师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组
织
探
究
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
分析条件
“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究
1 若=，则就是函数的零点；
2 若·<，则令=（此时零点）；
3 若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．
生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．
师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
例题解析：
例1．求函数的一个正数零点（精确到）．
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
解：（略）．
注意：
1 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
2 建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2．借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到）．
解：（略）．
思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？
结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．
生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．
师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．
生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
探
究
与
发
现
1） 函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．
2） 用二分法求函数的变号零点
二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝
试
练
习
1） 教材P106练习1、2题；
2） 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
3） 求方程的解的个数及其大致所在区间；
4） 求方程的实数解的个数；
5） 探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作
业
回
馈
1） 教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；
2） 提高作业：
1 已知函数
．
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．
2 借助于计算机或计算器，用二分法求函数
的零点（精确到）；
3 用二分法求的近似值（精确到）．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
课
外
活
动
查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收
获
与
体
会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；
谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
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