手鞠球:数学探索规律题

在新教材中出现了一类题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。

为了帮助教师和学生在教学中能更好地解决此类问题，本人对此类问题作了一些探讨，和老师同学们共同学习。

一、“探索规律题”的分类

在现行的新教材中，“探索规律题”一般可以分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形型；第四类是数字与图形结合型；第五类是杂题型。而在教材中所出现的以前几种为主，下面主要对前几种类型进行解法探讨。

二、“探索规律题”的解法探讨

第一类：文字型题

例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？

分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：

操作次数

1

2

3

…

10

取出球数

1

2

3

…

10

盒中剩球数

0

2

7

…

A

放回的球数

4

8

12

…

B

盒中增加球数

3

6

9

…

C

总球数

4

10

19

…

D

在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。

说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。

例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？

分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。

说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。

第二类：数字型题

例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？

①   2，-2，2，-2，2，-2，……

② -1，3，-5，7，-9，11，……

③ - ，，- ，，- ……

分析：

①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。

②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。

③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。

说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。

例4：研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁

这个公式是否对全体整数适用？

分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 ……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 ……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 ……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：

N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。

例5：观察下列各式：

13+23=9=（1+2）2

13+23+33=36=（1+2+3）2

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

……

13+23+33+43+……+993+1003=？

分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：

13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2。

因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。

（用不完全归纳法来证明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）

第三类：几何图形型

　　例6：用火柴棒按图中的方式搭图：

　　(1) 填写下表：

图形编号

①

②

③

④

⑤

⑥

火柴棒根数

　　(2) 第N个图形需要多少根火柴？

分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。

显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……

而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……

因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。

类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：

1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？

2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？

说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。

（2）          道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：

自然数列

1

2

3

……

N

偶数数列

2

4

6

……

2N

奇数数列

1

3

5

……

2N-1

自然数的平方

1

4

9

……

N2

前N个自然数的和

1

（1）

1+2

（3）

1+2+3

（6）

……

1+2+3+……+N

（）

前N个奇数的和

1

（1）

1+3

（4）

1+3+5

（9）

……

1+3+5+……+（2N-1）

（N2）

前N个偶数的和

2

（2）

2+4

（6）

2+4+6

（12）

……

2+4+6+……+2N

N（N+1）

　　为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：

1）  观察下列各式，你会发现什么规律？

3×5=15=42-1   

5×7=35=62-1

……

11×13=143=122-1

将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。

2）  观察下列各式：

A1=5×1-3=2

A2=5×2-3=7

A3=5×3-3=12

A4=5×4-3=17

……

（1）       根据以上规律，猜测计算AN=

（2）       当N=100时，A100=

你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？

4）如图，正方形的棱长都是1，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第N层，请填表：

小正方体排列层数N

1

2

3

4

5

…

N

最低层小正方体的个数

1

3

6

…

数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。

由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。

一、 要善于抓主要矛盾

有些题目看上去很大、很复杂，实际上，关键性的内容并不多。对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

例如、观察下列数表：

根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为 .（乐山市2006年初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）

这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第n个数是多少。我们把对角线上的数抽出来，就是

1，3，5，7，……。

这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第n个奇数的表达式。即2n-1。

还有，邵阳市2006年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

二、 要抓题目里的变量

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖      块，第个图形中需要黑色瓷砖      块（用含的代数式表示）.（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））

这一题的关键是求第个图形中需要几块黑色瓷砖？

在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。

云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m=           （用含 n 的代数式表示）.”

三、 要善于比较

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是        。”

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。

譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：

① 13＝12； 

② 13＋23＝32； 

③ 13＋23＋33＝62； 

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

…… ……

由此规律知，第⑤个等式是                        ．”

这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。

四、要善于寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球        个。”

这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。

五、要抓住题目中隐藏的不变量

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。

例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：              。”

在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。

六、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。

例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是        。”

这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。

系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。

从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。

所以，原数列第10项是34x9。

“条条道路通罗马”。解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结。有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径。

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