泰坦尼克号同人 美人鱼:“函数”概念引入的有效性反思

概念是思维的细胞．数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以概念为基础的．所以，理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其他数学活动．学生的概念理解和应用的水平也是衡量教学质量高低的最重要标准．因此，数学教师必须特别重视概念的教学．

函数不仅是一种重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想，它是联系中学代数主要内容的一条纽带．因此，函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题．特别是初中阶段的函数概念的教学，具有承上启下的作用，对它学习的好坏，会直接影响到高中阶段函数概念的教学，乃至以后数学的学习．因此对函数概念教学的研究不仅是必要的，而且应是深入的．2008年11月“中学数学核心概念结构体系及教学设计研究与实践”课题组在沈阳对函数的概念进行了研究和实践，下面结合广州民航子弟学校的林俊伟老师的这节课谈谈函数概念引入的有效性．

    一、概念引入简介

教师一上课就给出学生两张图片，同时结合图片请学生思考以下两个问题：

1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？   

2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．

    二、概念引入分析

教师从学生熟悉的生活入手，创设丰富的情景，开门见山，在极短的时间内指明本节课的学习内容．但仔细研究引入内容的实质，会发现脚印与身高、体重与饭量之间是存在着相关关系，但不一定是函数关系，二者只有在特定范围内才可能是函数关系，而且这种函数关系中既包含一对一，也包含多对一．

    三、概念引入反思

1．情景选择的反思

新课程理念提倡教师在教学中选择恰当的素材，创设一个有利于教学发展的情景，这是好的，但在教学的实践中，教学情境必须为课堂教学服务，必须为教学目标服务．教学情境的创设不能为情境而情境，不能和教学内容脱节，不能只有“面子”没有“里子”．再说情景的选择必须与学生的实际水平相符合，而课例中的情景脚印与身高、体重与饭量之间关系的探究似乎也高出初学者的实际水平．因此在教学中对情景的选择要有目标意识、要符合学生实际、而且还要有真实性．因为不恰当的教学情境不仅不会给教学活动带来好处，往往还会产生负面作用．

2．反例使用的反思

概念的教学一般要经历几个环节：概念的引入、概念的形成、概念的明确、概念的表示、概念的巩固和应用．概念的引入与概念的形成实际上是需要给学生各种刺激，是需要学生辨别各种刺激的模式．这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是教师提供的有代表性的典型事例．但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括．但在学生对概念认识的初级阶段或起始阶段，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当．不然就会影响概念的形成．但在概念的巩固和应用中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握．本节课引入中的例子，似乎与函数的概念的内涵有些偏离，可能会对函数概念的形成产生不利的影响．

四、借鉴概念的发展历史引入概念

概念的引入在遵循结构性原则，参与性原则，激发性原则等的前提下，可以从数学知识发展的需要引入，也可以从实际应用的需要引入，还可以通过类比引入以及复习旧课引入等．众所周知，人的发展是在无数代前辈人的全部经验总和的基础上进行的．人在掌握前人的经验时要简略地重演前人获得相应经验的过程，“我们所赖以生活的一切和我们所占有的一切，本身都带有社会起源的痕迹”（巴索夫，1926）．因此当我们考察和研究学生的数学学习过程时，必须注意研究作为人类社会生活经验结晶之一的数学概念的发展过程．

函数的概念一次又一次的扩张，就是前人思维困难的一次又一次的突破，从中我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画．华东师大汪晓勤老师曾经做过对函数概念的调查，让学生根据自己的理解写出函数的定义，从调查中可以看出，即使在教材和教学的影响之下，也仍然有很多的被试给出不同于教材、却类似于历史上数学家的回答．这种函数概念理解中的历史相似性表明，函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍．因此，在函数概念教学中，如果能恰当地借鉴历史，根据函数历史途径，选择学生容易接受的典型情景，探究函数概念，使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法，这样有助于学生打破原有的思维定势，形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解．这种历史的方法是一个多层次逼近，反映了认识由远及近，由模糊至清晰，由粗略到精确的过程，是我们在教学中值得借鉴的．

通过以上的分析，我们根据学生的情况，借鉴函数的历史的发展，对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究．明线为两个变量，暗线为函数概念在历史上的几次演变过程．学生在探究函数概念的过程中，经历了三次函数概念的扩张，并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念．下面是这节课的教学设计：

（一）创设情景，引出课题

例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行使时间为t小时，先填下面的表，再试用t的式子表示s.

问题：

1．先填下面的表，再试用t的式子表示s.

2．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？

3．变量与常量如何定义？

4．变量与常量在生活中的例子有哪些？

5．写出下列两式的表达式，并指出其中的变量与常量．

（1）设圆的面积为s，半径为r，则s怎样用r来表示呢？

（2）已知圆柱体的底面积为9平方米，高为h，则体积V怎样用底面积与h表示呢？

【设计意图】通过探究常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.

（二）探索研究，形成概念

问题：结合上述几个例子，从两个变量联系的角度，你能试着给出函数的定义吗？

【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识．

例2：姚明职业生涯技术统计

问题：

1．表格中有变量吗？是什么？

2. 赛季与场均得分这两个变量有关系吗？

3．随着赛季数值的变化，场均得分怎么样变化？

4. 你能写出赛季n与场均得分p之间的表达式吗？

例3：某地一天内的气温变化情况．

问题：

1．图像中有变量吗？是什么？这两个变量有关系吗？

2．你能写出温度T与时间t的表达式吗？

3．上面总结的函数概念是否完善，不完善该如何补充？

【设计意图】通过例2的姚明职业生涯技术统计表格和例3的天气变化图像，让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次抽象认识．

例4：北京的出租车是这样计费的：在不超过三公里的情况下，收取基价10元；超过三公里后，超过部分每公里按2元计费．

问题：1．在里程不超过三公里的情况下，里程改变，钱数改变吗？

2．这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗？

3．那应如何进一步完善我们刚才给出的函数定义呢？

【设计意图】通过出租车计费的例子，让学生从函数概念的变量的依赖关系过度到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象认识.

（三）归纳抽象，形成定义

1．回放前面四个例子，让学生讨论这四个例子的关键点．如例1，

（1）在这个变化过程中，当t=1时，s=？当t=7时，s=？

（2）每给定t的一个值时，s的值会怎样？

2．归纳、抽象出函数的定义：

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ，y是x的函数．

3．强调函数概念中的两个关键词

让学生再次对照着前面的四个例子提炼出函数定义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词．

【设计意图】通过学生自己归纳总结，让学生经历批判和相互推翻的过程，最终由学生将关键点串联起来，形成与现行初中函数定义很接近的定义，完成对函数概念内涵的第四次完整认识.

（四）运用史料，促进理解

例5：寄信：（1）一个信封上有两个地址“北京二中分校 马岳老师收”以及“北京四中 武红梅老师收”，此时邮递员还能把信发出去吗？

【设计意图】通过寄信这个实际问题，引出“一对一”与“多对一”的概念，从而让学生进一步理解函数的定义．

（2）讲述“函”字的古意，即为“信封”的意思．

（3）讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function”为“函数”的故事.

【设计意图】通过查看“函”字的古意以及聆听李善兰创用“函数”一词的故事，使学生在体验中获得对“函数”这一名词由来的认识．

（五）举例分析，深化定义（略）

这样设计函数概念的教学，目的是让学生沿着数学家们曾经探索函数概念走过的路，经历一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究过程，让学生对概念的发展、内涵与外延认识地更加深刻．

参考文献：

1．章建跃. 中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

2．顾继玲：初中阶段函数概念教学中应处理好的几个关系[J].中学数学教学参考，1996，8-9.

3．任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解——历史相似性初探[J].数学教育学报，2007，11