萧氏茶业茶境界:《高中生数学反思能力培养》结题报告

《高中生数学反思能力培养》课题组
提要  新课程要求学生能改进学习方法,不断反思自己的学习,提高学习效率.反思能力需要培养,反思方法可以掌握.反思能力必须而且可以通过有效的途径、采用科学的方法并遵循一定的原则进行培养；反思方法的掌握需要理论的指导和实践的体验.本课题于2005年被省教科所立项,通过由点到面,在全校开展了三年的研究,在教师反思性教学、学生反思性学习的基础上,编辑了反思性教学论文、学生反思小论文、研讨课教案几百篇.研究的主要内容有：
①让高中生明确反思的作用,养成反思的习惯
②课堂教学中如何培养学生反思的习惯和能力
③高中生数学学习中反思的途径和方法
1  问题的提出
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念.学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式.”要改进学生的学习方法,让每个学生充分发挥自己的潜能,最根本的是要培养学生的反思能力,帮助学生实施对自己学习过程的监控,促进学生对自己学习成效的反思,逐渐成为自律学习者.
《课标》还指出：“现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化,高中数学课程应建立合理、科学的评价体系,包括评价理念、评价内容、评价形式和评价体制等方面.评价既要关注学生数学学习的结果,也要关注他们数学学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化.在数学教育中,评价应建立多元化的目标,关注学生个性与潜能的发展.”“学生能力的获得与提高是其自主学习、实现可持续发展的关键,评价对此应有正确导向.能力是通过知识的掌握和运用水平体现出来的,因此对于能力的评价应贯穿学生数学知识的建构过程与问题的解决过程.” 从以上的说明我们可知,教学评价应关注学生“能否不断反思数学学习过程,并改进学习方法”,但现在的事实是在我们的教学评价活动中,教学活动的主体——学生常常处于被动的甚至被忽略的地位.他们依赖于教师的评价,逐渐地丧失自信和自主,学习被动,缺乏个性,参与意识和参与能力不强,动手实践能力差,缺乏创造意识和创造能力……这些问题和现代教育是格格不入的.
如何解决以上问题,发挥数学教育的作用,实现现代教育弘扬人的主体性,充分发挥每个人的主观能动性,追求人的全面和谐、充分自由的发展的目的,是当前数学教育工作者面临的一个重大课题.解决这一问题的重要而有效的途径之一,就是在数学教学中加强数学反思训练,提高学生的反思能力.
2  反思与反思能力
《课标》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知,……反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.”同时提出,“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间,有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”.之所以把“反思”这一教学理念提到了应有的高度,是因为在数学学习中引导学生反思能促使他们从新的角度,多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考,从而深化对问题的理解揭示问题的本质,探索一般规律,并进而产生新的认识.反思是发现的源泉,是训练思维、优化思维品质的极好方法,是促进知识同化和迁移的可靠途径.通过反思可以提高数学意识,优化思维品质;通过反思可以沟通新旧知识的联系,促进知识的同化和迁移,提高学习效率;通过反思可以拓宽思路,优化解法,完善思维过程;通过反思有利于调动学生学习的积极性和主动性,促使学生的学习活动成为一种有目标有策略的主动行为,不断的发现问题,提出问题,解决问题,从而培养学生勇于探索、勇于创新的精神.
数学反思就是认知者对自身数学思维活动过程和结果的自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节;而数学反思能力就是在数学反思活动过程中反映出来的一种稳定的个性心理特征,是元认知在数学思维中发挥作用的基本形式.因此数学反思能力就是认知者在数学思维活动中对自己数学认知过程的自我意识、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节的能力.它是以反思的体验、反思的知识和反思的技能为基础,并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来的高层次思维活动,它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用.
数学反思能力是元认知能力,它与数学观察能力、数学记忆能力、数学化能力、数学思维能力、空间想象能力等认知能力不同,但与归纳猜想、合情推理、演绎证明、理性思维和理论建构等能力之间有密切的联系.数学反思能力与其他数学能力是统一在数学思维活动中的一种相互促进、互为基础的关系,一方面,数学认知能力的发展为数学反思能力的发展提供了基础.只有具备了很强的数学观察、记忆、理解、思维能力,才能提高对问题情景中各种线索的敏感度,抓住反思的机会,及时调节思维的方向,对各种解决问题的策略进行权衡、预见,从而提高控制水平,丰富元认知知识,加深元认知体验.数学思维力的发展特别是抽象思维能力的发展,极大地丰富了学生反思的技能,为提高学生的反思水平和预见能力打下了基础;数学化能力的发展为反思提供了更广阔的空间和更多的机会.另一方面,数学反思能力通过对数学思维活动的调控间接地促进其他数学能力的发展,数学反思能力的发展,提高了认知效率,缩短了认知时间.因而弗赖登塔尔认为“反思是数学思维活动中的核心和动力”.
3  反思性教学引导反思性学习
《课标》指出：“在高中数学教学中,教师的讲授仍然是重要的教学方式之一,但要注意的是必须关注学生的主体参与,师生互动.高中数学课程在教育理念、学科内容、课程资源的开发利用等方面都对教师提出了挑战.在教学中,教师应根据高中数学课程的理念和目标,学生的认知特征和数学的特点,积极探索适合高中学生数学学习的教学方式.教师应充分尊重学生的人格和学生在数学学习上的差异,采用适当的教学方式,在数学学习和解决问题的过程中,激发学生对数学学习的兴趣,帮助学生养成良好的学习习惯,形成积极探索的态度,勤奋好学、勇于克服困难和不断进取的学风.” 但在实际教学中,我们发现,教师大都采用传统的方法上课,对概念、公式的讲解非常细致,想做到点滴不漏,但在解决问题时往往容易忘记有关的要求,教学效果并不理想.究其原因,传统教法是以传授正确的知识为主,对知识的理解力求一步到位,很少暴露自己对问题的思考过程,更少暴露通过反思错误想法从中调整思路,最终解决这个问题的思维过程;问题的解法往往是选择最简单的方法传授,很少从几种不同的方法中去选择、比较、反思.这样的教学中,师生的交流很少,教师不示范反思的方法、技巧,学生没有反思的机会和时间,也无法模仿学习反思,造成学生反思性情景知识的缺失.因此,要让学生养成反思的习惯,首先需要教师进行反思性教学.
反思性教学,即教学主体借助行动研究,不断探究解决自身与教学目的以及教学工具等方面的问题,将“学会教学” 与“学会学习” 统一起来,努力提升教学实践合理性,使自己成为学者型教师的过程.反思性教学旨在帮助教师从冲动的或例行的行为中解放出来,以审慎的方式行动,在其职权范围内,改进自己的教学实践,变成更富有创见、更有效率的行家.而这一切正是为了更好地发展学生.
具体而言,反思可能发生在行动前或行动后,即 “对行动的反思”.在教学中,“对行动的反思”发生在课前对课堂教学的思考和计划上,或者发生在课后对课堂发生的一切的思考中.同样,反思也可能发生在行动过程中,教师通常也会有与情境的反思性对话,也就是说,教师会试图提出和解决当时的问题.在教学时,我们经常会碰到出乎意料的反应和知觉,我们总是要考虑对行动和在行动过程中反思,这就是“在行动中的反思”.
3.1 反思性教学中“对行动的反思”
3.1.1 反思数学观与数学教学观
现代教育呼唤具有创新意识和创新精神的人才.这就要求教师以人为本,要以发展的眼光对待学生,做到眼中有人,心中有人.“眼中有人”是指关注现在的学生,培养学生的自主性、主动性和创造性,认识并肯定学生在教学过程中的主体地位,爱护尊重学生的自尊心与自信心,培养学生自觉自理能力,激发学生的兴趣和求知欲,主动参与性,要尊重学生的差异,不以同一标准去衡量学生,更不要以学生的分数论英雄.“心中有人”是指教师更要关注将来的学生,课堂上不仅要传授基础知识、基本技能、基本思想方法,更重要的让学生体会科学的探索与发现;不仅要看结果,更要看探索结果的过程,要注意培养学生在探索结果的过程中学会科学的方法,体会数学的精神.要看以知识、技能为载体的数学素养让学生感悟到了多少,当学生走出校门,若干年后,当他们遗忘了知识技能后在其身上留下了多少数学的精神、思想、方法.
教师也不应以自己的观点来影响学生的判断.教师是学生学习的鼓励者和启发者,课堂应成为学生相互交流,协商争辩的理想场所,教师要多鼓励学生提出“为什么？”“做什么？”怎样做？”鼓励学生敢于反驳,挑战权威,挑战课本,培养学生的创新精神.
那么,反思数学观和数学教学观在具体的教学中应如何体现出来呢？下面是课题组万平方老师执教《双曲线的概念》的教学片断,可供参考.
问题:定圆 内含于定圆 ,当圆 与圆 外切而于与圆 内切时. 圆 的圆心 的轨迹是椭圆.那么两圆相交时圆心 的轨迹是什么呢?两圆相离时呢?
(用《几何画板》引导学生观察图形，从而提出课题)
(1)演示：引导学生观察用《几何画板》作出的双曲线图象,思考以下问题.
①|MF1|与|MF2|是什么关系？如何表示？
②||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于| F1F2| 且大于零,当常数等于| F1F2| 时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数大于| F1F2| 时,无轨迹）
(2)定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<| F1F2|）的点轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.（投影）
(3)它与椭圆定义比较有何区别和联系？
（在椭圆定义中,有三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求）
前面所学的知识中哪些知识的关系和椭圆与双曲线的关系类似？能否借鉴研究椭圆的方法来研究双曲线？（引导学生用研究椭圆的标准方程的方法来研究双曲线的标准方程）
点评 上面的教学重视了知识的发生过程,让学生在动手、动脑的探索过程中感受了数学的神奇,体会了发现的乐趣,感悟了数学的本质.恰当地使用现代化的教育技术和手段,充分展示几何轨迹的动态效果, 让学生动起来,使数学课堂“动”起来.首先说明“一定圆与两个内含的定圆中的一个外切、一个内切”的轨迹是椭圆,再提出“一定圆与两个外离的定圆中的一个外切、一个内切”的轨迹是什么.由于这个提问不同于课本,会引起学生的反思.同时不容易画的轨迹图形,更激发了学生探索的欲望.《几何画板》不失时机地展示,把抽象的思维形象地表示出来,静态的数学“动”了起来;同时从学生已有的知识进行迁移,采用类比的方法让学生主动学习、合作交流,体验数学的发现和创造过程,也培养了学生数学表达和交流的能力. 由于“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”在教材地位、作用以及内容等方面极其相似,所以可以类比研究“椭圆及其标准方程”的方法来研究“双曲线及其标准方程”,为学生反思提供了方法.同时,类比椭圆的标准方程猜想双曲线的标准方程也激发了学生的求知欲.用类比的方法研究双曲线的定义,使学生研究“常数”与“两定点的距离”的关系导致图形的变化,也让学生学到反思的方法.
教学理念的反思即教师可以就其中涉及的教学理论问题进行思考,也可以从教学问题本身的研究入手,挖掘隐藏在其背后的教学理念方面的种种问题,如：“我以这样的理论为指导的教学是有效的吗？”,“我学会了什么？需要改进些什么？”等.
3.1.2  反思数学教学设计
教学设计反思不是一般的回顾教学设计情况,而是深究先前的教学设计中存在的问题,对不合理的行为和思维方式进行变革,重新设计教学方案.它包括以下方面：对教学目标的反思,对教学内容的反思,对教学方法的反思.在设计教学方案时,可自我提问：“了解学生的实际情况吗？”;“上课前,学生已有哪些生活经验和知识储备？”,“了解了学生的最近发展区吗？” ,“怎样依据有关理论和教材,并结合学生的实际设计出易于为学生理解的教学方案？”预见学生在接受新知识时会出现哪些问题,出现问题又该如何处理等,这种反思能使教学成为一种自觉的实践.在教学结束后,可结合各方面的教学信息反馈,整理教学思路,对自己前一节或几节课的教学设计、教学行为以及教学效果做出分析与思考,分析判断在教学中所确定的教学目标是否明确,重点是否突出、难点是否突破,选择的教学内容、采用的教学形式及在教学过程中的具体指导策略是否合适,还有哪些亟待解决的遗留问题…这种反思能使教学经验理论化.
3.1.3  反思数学课堂教学过程
数学课堂教学过程包括教师、学生、教材三个要素,它们之间相互联系、相互影响、相互制约.反思数学课堂教学过程,就是要深究教学过程中诸因素之间的相互联系、相互作用中存在的问题,并对此提出修正意见,以提高教学质量和保证教学任务的完成.教师反思数学课堂教学过程得失的渠道来自于两个方面：一是来自于教师本身,教师要在课后总结自己本节课的精彩点在何处,有无创新点和让学生看好的“卖点”,以及这节课最大的失败是什么,出乎意料的是什么,为什么自己事先没有想到等等;二是来自于学生,教师要在教学后向学生发放简洁的问卷,让学生填写本节课最赞成的是什么,最不赞成的是什么,期望教师作出哪些改进,以及认为本节课老师的课堂行为能够得多少分等等.
3.1.4  反思教学评价
教学评价包括两个方面,一是按照《课标》的要求评价学生.评价学生“既要关注学生数学学习的结果,也要关注他们数学学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化.在数学教育中,评价应建立多元化的目标,关注学生个性与潜能的发展.”二是评价教师的教学效果.评价的前提是及时进行教学反馈,反馈学生学习情况.可通过多种方式对自己的教学效果进行检查,检查的目的在于了解学生学习的效果,从而提出自己改进的建议,不论检查什么内容,都包含着对自己教学的反思.这种反思包括以下几个方面：学生完成教学目标的情况,学生学习中的得失表现,造成得失的原因,大部分学生在内容掌握上存在的一致性倾向,自己解决这些问题的方法和措施.
3.2  反思性教学中“在行动中的反思”
在教学中进行“在行动中的反思”,关键就是“以学定教”,即以学生的学习状态确定教师的教学行为.如何进行“在行动中的反思”？我们认为可从以下几个方面进行：
第一,要“接触学习者真实的言行”.在探索的过程中要充分暴露教师与学生的思维过程（包括成功的体验与失败的教训）,暴露教材编写者的意图,教材的先后序列关系与整体结构.如《对数》的教学中,学生普遍反映学习后仍不知道“对数”为何物,如何让学生理解“对数”的概念呢？行之有效的方法是将对数纳入整个运算系统,将“对数”视作一种运算.但是教材上没有出现“运算”二字,只是后一节才提出“对数的运算性质”,这就需要教师暴露教材编写者的意图,在“对数”这节中提出“对数”是一种运算,学生将“对数”纳入整个运算系统后,就找到新知识的生长点,就可以类比其它运算来认识“对数”运算.
第二,要重视行动中的“不确定地带”,给它留有充足的空间.备课时,尽管教师会预备好各种不同的学习方案,但在实际教学中,还是会遇到一些意想不到的问题,如学生不能按计划时间回答问题,师生之间、同学之间出现争议,出现了新的思路和解法等,这时,教师要根据学生的反馈信息,反思“为什么会出现这样的问题,我如何调整教学计划,采取怎样的有效策略与措施”,从而顺着学生的思路组织教学,力求教学沿着更好的方向发展,这种反思能使教学高质高效地进行.课题组吴祖凯老师的论文《顺着学生思维走  尴尬一次也无妨——一道例题的教后反思》（在《数学教学研究》2006年第4期上发表）能很好地说明这个问题,他由课堂上的一次“尴尬”认识到了“学生是学习的主人,学生一时的数学灵感,哪怕是错误的,它对教师的思维都是一次洗礼,一次冲击,它会使教师的思维在瞬间得到升华.“师不必贤于弟子”.顺应学生的思维发展,对教师的课堂教学有时是启迪,有时是完善,有时是探讨,有时挑战,有时甚至是否定.坦然面对“意外”,课后认真去思考总结,无疑可以提高教师的教学水平,同时对培养学生的质疑问难的学习品质是很好的培养.教学结果是师生双赢. ”
第三,让“预设”与“生成”共精彩.从学生发展角度来说,既需要预设性发展,也需要生成性发展.所谓预设性发展是指可预知的发展,即从已知推出未知,从已有的经验推出未来的发展;所谓生成性发展是指不可预知的发展,即这种发展不是靠逻辑可以推演出来的,在教学中,它往往表现为“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“怦然心动”、“妙不可言”;表现为心灵的共鸣和思维的共振;表现为内心的澄明与视界的敞亮.
第四,总结和提炼教学经验.一个教师在自己漫长的教学生涯中,不能说没有教育教学理论的学习,也不能说没有教材教法的研究,更不能没有教学经验的积累和总结.一个教材反复的教,一块黑板不停地写,谁没有教得得心应手的时候？谁没有发现“新大陆”的时候？谁没有精雕细刻的得意之作？谁没有激情澎湃的创新灵感？但是这些别人无法领略的“得意之作”、“成功之法”,不及时的总结和积累,得不到进一步的补充和完善,终归会“事过境迁”而“烟消云散”.即便来年再上这一课,不一定能教出当初的水平,不见得能达到当时的境界,久而久之,激情不再来,灵感不复临.因此,在教学中教师要勤于积累,善于思考,把当时的感受及时地记下来,并从理论依据上做进一步的完善提高,从实施环节上做进一步的补充修正,这样就能达到一种新的层次,教学艺术才能长青.教师不断反思总结的过程,也就是学会教学的过程.
课题组教师在反思性教学方面取得了丰硕成果.万平方老师在三角函数教学中,认识到三角公式多而且学生应用时觉得不顺手,就想到要教学生如何运用三角公式,据此撰写的论文《三角公式的八个“会用”》在《数学教学》2006年第8期上发表.万平方老师在教学中发现数学符号语言究竟怎么叙述,怎么读,并未引起学生甚至部分教师的重视,有的教师也认为读与思维关系不大,教学中忽视符号语言的读法,从而导致学生对与符号语言相关的概念理解不深,相关的问题不能顺利解决.就提出“读,也是思维”的观点,据此撰写的论文《读出一片新天地——从y=f(x)的读法谈起》在《数学教学研究》2006年第12期上发表.吴祖凯老师在教学中认识到到正方体在立体几何有独特的作用,于是撰写出论文《充分利用正方体,谙熟异面直线距》在《数学通讯》2005年第6期上发表.张新娥老师的论文《给学生燃起数学思想的火把——再教高中数学第一章时的体会》（获省论文评比二等奖）是她在再教高一时的反思.此外,还有其他教师有论文发表或获奖,具体见附录1.
善于“在行动中反思”的教师,在教育教学活动中,能够密切关注学习者的反应和参与程度,对自己教育过程、教育方法和教育行为等随时保持有意识的认识和反省,能够敏感地意识到教育活动和教育行为存在的问题,并迅速分析所出现问题的原因及可能的解决方法与策略.
4  培养学生反思能力的途径、方法
反思性数学学习是相对于操作性数学学习而言的,操作性数学学习是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动,这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解而进行的自动化的、直觉的操作活动,大多数学生在活动中做出的决策是反应式的而非反思的,直觉的而非理性的,例行的而非主动自觉的.而数学反思能力是学习者在教学学习活动中对自己数学认知过程的自我意识,自我监控能力.它以反思的技能和反思的毅力为基础,并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来.它对数学认知活动起指导支配决定、监控作用.所以培养学生反思的学习习惯,不仅可以顺利的完成学习任务,更有助于学习者的理性思维得到提高.
4.1  帮助学生提高反思的意识
学生的反思能力的发展主要经历以下几个发展阶段：一是日常反思阶段,二是被动反思阶段,三是主动反思阶段,四是自觉反思阶段.即便是高中学生,起初也没有反思意识,也不具有应有的反思能力.有学生认为,所谓“反思”就是反过来思考;“反思”顾名思义就是对学过的知识要反复思考,凡事都要问个“为什么”.还有学生认为,作业都做不完,哪有时间来反思.所以要帮助学生提高反思意识,首先要帮助学生正确认识反思.
4.1.1  帮助学生正确认识反思
大多数学生反映,上课听老师讲课,听得很“明白”,但一到自己解题时,总是感到困难重重,无从入手;在每次测试后评讲时 ,都有学生说：“唉,原来是这样啊！我当时怎么就想不到这样做呢？” ,“我曾经无数次地对着试卷暗暗发誓,下次一定要努力,一定要达到什么样的水平,但得到的总会是一次一次的不尽如人意,一次又一次的与既定目标如隔银河,面对这些打击,真的会有些失望.”究其原因,表面上看,学生认为自己善于处理一些直观的或熟悉的数学问题,而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质,不懂得转化为已知的数学模型或过程去分析解决.但实质上是,学生做完习题很少进行反思,做错时只就题改题,不能对知识系统和数学方法进行归纳.他们缺乏对事物本质的认识,到自己解决问题时当然会感到无所适从了.在认识上,学生认为正确知识的获得,可以通过对不同类型题反复地操练直到“彻底”熟悉来实现.但由于这种操作性的数学学习方式,所依赖的是那些通常并不十分清楚的经验和理解,而进行的自动化的、直觉的操作活动.所以,大多数学生在数学活动中做出的决策是刺激——反应式的而非反思的,直觉的而非理性的,例行的而非主动自觉的.所以,要让学生习惯反思,首先要更新学生的观念,要让学生正确认识反思.为此,我们举办了“反思出成果、反思出智慧”的专题讲座,在学生中开展了“我对数学学习的反思”征文评选活动,并创办《学会反思》的刊物,交流学生反思的成果,让数学反思能力有必要而且有可能进行培养的理念内化成学生的观念.
随着活动的深入,学生的认识逐渐提高了.他们认识到了反思的重要性. “反思是数学永恒的话题,反思性的数学学习可以帮助你从例行公事的行为中解放出来,帮助你学会数学;可以使你的数学学习成为有目标有策略的主动行为,可以使学习成为探究性、研究性的活动,培养你的能力,提高你的创造力,可以完善你的思维、成熟你的品德.”“反思应该成为一种习惯,凡是值得去反思的随时随地都应进行.如果能把反思的结果记下来就更好,因为反思过的东西,即使曾让你的心弦因之颤动,也难免被淡忘,如果将它们记录下来,有空看一看,那么我们会再次感受心灵震颤的滋味.”“反思不仅是一种方法,更是一门的学问,学数学就是这样,反思的越多,获得的知识就会越多.”“数学学习反思的内容丰富多彩.可以从宏观的方面进行反思,如对自己的学习方法（预习、听课、复习、作业、考试）、学习习惯进行反思;也可以从微观的角度（如对某一个内容,对某一道题的学习过程或解题过程进行反思）进行反思.可以从智力和能力的角度进行反思;也可以从非智力（学习动机、学习兴趣、意志品质、性格特征、学习情感）的角度进行反思.可以从自身学习的角度进行反思,也可以从同学的学习和老师教学的角度进行反思.可以从反思的途径和方法方面进行反思,也可以从反思的收获与体会方面进行反思.可以是对数学学习经验的反思,也可以是对数学学习教训的反思.总之,凡是与数学学习有关的内容、方法、知识都可以成为反思的内容和话题.”这些都是学生对“反思”的认识.
4.1.2  帮助学生认识反思的功效
第一,反思是最佳的纠错手段.现代建构主义理念认为数学学习不是一种“授予——吸收”的过程,而是学习者主动的建构活动;教师不应被看成“知识的授予者”,而应当成为学生学习活动的促进者.我们经常发现很多学生不知道如何通过自己的再学习找出解题错误的症结,因此在平时的教学中,教师要善于创设问题情境,让学生尝试错误,引导其反思,自我发现思维中存在的矛盾,自我纠错.使学生真正体会到反思能帮助其修正错误,从而激发反思,并达到强化反思意识的目的.
第二,反思是高效的学习方法.数学学习的过程是知识的同化和迁移过程.而反思是同化和迁移的核心步骤.通过反思能挖掘知识之间的内在联系,开拓出一条由已知通向未知的道路,有利于帮助学生建立合理的知识结构和体系,提高学习效率.在数学教学中,教师还要引导学生对自己的学习兴趣、学习态度、学习方法、学习计划、学习意志进行反思;对自己在学习中的经验或长处、教训或弱点进行反思等等.反思活动衍生的愈全面、愈深刻,愈有利于激发学生的潜能,从而能全面提高学生学习的主动性、积极性,取得事半功倍的学习效果.
第三,反思是牢固掌握概念、公式、定理的重要环节.教材中概念、公式、定理等虽然是一些语言和符号,但它们都代表了确定的意义,是学生学习的主要知识点,也是思维的细胞.学生要获得这些概念、定理、公式的意义,靠死记硬背是很难牢固掌握的.因此教师在教学中除了要引导学生积极参与概念、定理、公式的发生和形成过程外,还应引导学生运用已有的经验、知识、方法对所学的内容进行反思.多问几个为什么.只有通过反思,才能深刻理解其内涵和外延,揭示其本质,以免思维产生负迁移.
第四,反思是提高解题能力的有效途径.解题者得出了数学题的答案,问题本身获得了解决,但并不意味着思维活动的结束,而是深入认识的开始.教师要让学生认识到灵活、简洁的解题方法正是通过反思而发现的,同化、迁移、创新的能力是在反思过程中形成的.要引导学生从方法、规律、思维策略等方面进行多角度、多侧面的反思,总结解题的经验教训,提高解题能力.
4.2  让学生明确反思的内容与形式
学生的全面反思不仅可从各个具体的学习环节(预习、上课、作业、复习、考试等)和学习兴趣、学习态度、学习方法、学习计划、学习意志进行反思,还可以对自己在学习中的经验或长处,教训或弱点进行反思.反思活动进行的愈全面、愈深刻,愈有利于学生认知水平的提高,学生的潜能就易于激发,从而能全面提高学生学习的主动性、整体性,教学会取得事半功倍的效果.
反思的形式是多种多样的,反思内容也是丰富多彩的.
（1）学习态度.“态度决定高度”,作为一个有责任感的数学学习主体,学生应不断反思自己的数学学习态度,端正态度,以积极的态度、蓬勃的朝气学习数学. 所有教学行为和学生的的学习行为，最终的目的都是为了让学生对自己的学习成效产生主人翁责任感，并进一步激发他们学习成效的自豪感和对学习的献身精神.学生对自己的学习进行反思的另一个结果是对学习更大的投入程度，这表现在学习的努力程度、坚持性和个人标准的提高;反过来，学生在目标设置、选择策略和执行策略、监控效果的过程中伴随学习过程发生的情感和态度将是重要的影响因素.
（2）数学学习目标.学生在学习数学的过程中,应根据自己的实际情况,在教师的帮助下,确定某一阶段具体的学习目标.当一阶段结束时,通过各种评价,反思目标是否已经实现.从中借鉴成功的经验和失败的教训,为下一阶段的目标做准备,学习目标的反思,具体要求反思“知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度”四个方面的目标.
（3）数学学习内容、学习资源.学生应在学习目标的指导下,在教师的帮助下明确自己可以利用的学习资源,课本、课外参考书、教师、同学、课堂、网络等等.学生要充分利用可以利用的学习资源来进行有效学习.对于学习内容的反思,主要有课前反思、课后反思和总结性反思.在课前,引导学生回顾已有的知识,特别是前一节课所学的内容,养成预习的习惯,反思以前与本节课类似的内容、类似的情境、类似的方法,从而探究新课的解决方法. 在课后,引导学生反思这堂课讲了什么内容,用了什么方法,概念、知识点是否已经掌握,问题的推导、解决方式是否最好;是否积极主动地参与了整个教学过程.完成作业后,反思我掌握了多少,哪里处理得比较好,这是不是最好的方法,这题错在哪里,为什么会错,以前有没有犯过同样的错误,以后怎样避免再出现类似的错误,是个人的不努力,还是上课没有认真参与,及时作出调整.进行总结性反思时,让学生对一阶段的学习状况、学习方式、学习效果进行自我综合评价、反思,借鉴自己与他人的成功与失误之处,调整心态,抑制骄傲自满的心态或消除自卑的心理,以最佳的状态,最适合自己的学习方式进行学习.
（4）学习策略、方法、方式.不同的学生都有最适合自己的学习方法和策略.通过一阶段的学习,反思以前的学习方法是否是对自己最为有效的,是否可以借鉴其他同学的学习方法和方式,教师介绍的学习方法是否适合自己.从而提高学习效率.
（5）学习结果、自我评价.寻找学习结果与学习态度、学习目标、学习方法方式之间的关系.学习结果与付出的努力不一定正相关,关键是要分析清楚形成的原因,找到解决问题的方法.每一次测验或考试结束后,不论考得好与坏,都应仔细寻找考试中出现的问题,无论是知识上的还是方法上、态度上的,做依次彻底的自我评价,调整今后的学习目标、策略方法,以适应学习的需要.
4.3  反思能力培养的途径
4.3.1  在布置学习任务时引导学生反思
在提出学习任务时,引导学生回顾旧知,在记忆中搜索、反思以前所学的类似的内容、类似的情境、类似的方法,从而猜想本课内容的探究方法.下面是课题组杨红霞老师执教《对数函数的图象和性质》（《对数》是《指数》的后续内容）的教学片断.
指数是一种运算,对数也是一种运算,学习指数后我们研究了什么？那么接下来在对数中我们应该研究什么内容？
（学生回答研究对数函数的图象和性质）
指数函数的图象和性质是用什么方法研究的？那么用什么方法来研究对数函数的图象和性质呢？
（学生回忆研究指数函数的图象和性质的方法,也会提出用研究指数函数的图象和性质的方法来研究对数函数的图象和性质）
为什么用这个方法来研究呢？是什么数学思想方法在指导？有没有其它方法来研究呢？为什么可以用其它方法来研究呢？
（学生回答用研究指数函数的图象和性质的方法来研究对数函数的图象和性质是因为它们都是基本初等函数,所以可以用类比的方法来研究,这样有利于我们进一步掌握研究初等函数的方法.而 “有没有其它方法来研究”这个问题学生难以回答.于是教师再引导学生反思）
指数与对数是什么关系？指数函数与对数函数是什么关系？能不能从它们的关系入手来研究对数函数的图象和性质呢？
（这样学生就可以利用研究反函数的方法来研究对数函数的图象和性质）
点评：运用任务驱动原理，在反思的基础上提出本节课的任务;通过元认知提问,探索本节课的研究方法.让学生在回顾中迁移,在反思中猜想,轻而易举地就能完成教学任务,数学思想方法的渗透也是水到渠成.同时,也使学生深刻体会到反思的优势所在,乐于在今后的学习中反思,有利于学生反思意识的培养.
4.3.2在自学探究活动时引导学生反思
建构主义学习观认为,学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正,必须是一个“自我否定”的过程,利用学习错误,及时引发冲突,能促使学生对已完成的思维过程进行周密而且有批判性的再思考,对已形成的认识从另一个角度,以另一种方式进行再思考,以求得新的深入认识,这既有利于问题的解决,又培养了学生的反思能力.
下面是课题组刘忠清老师讲述的他的一次解题教学经历与感受.
我在上课时故意说：“这道题老师没有解出来.”刚说完，同学用惊愕的眼光看着我，就连平时成绩较差的同学也好奇地看着我，此时，我看到学生的目光专注，便问：“哪个同学做出这道题了？”刷地举起了五六只手，同学都看着四周，想知道有谁举手了，我发现举手的同学脸上带着自豪，“谁愿意到讲台上讲一讲？”会做题的同学争先恐后，表现出前所未有的积极性.同学在讲题时我注意到就连平时觉得像这样的难题与自己无关的同学也认真地听着.
题讲完后，我问：“你们认为老师为什么没有做出这道题？”同学们七嘴八舌地说开了“老师，您肯定没有认真思考？”“老师您动手演算了吗？”“老师我做这道题时，算了很长时间了，您是不是嫌麻烦就没做？”“老师，前面有个类似的题，您反思了吗？”;于是我连连点头，说道：“看来这些不好的习惯真是学习的大敌呀!”.听我这么一说，同学们都笑了，我也笑了.因为我并没有给学生归纳什么解题常见毛病，可学生自己都明白了，而且，从学生的发言可以看出不仅能够对题本身进行反思，也能够对自己的学习行为进行反思.学生体验了因不断反思而带来的成功的喜悦,使他们不由自主地喜欢上了反思.
4.3.3  在交流总结时引导学生反思
在数学活动结束后交流总结时,引导学生反思整个探索过程和所获结论的合理性,让学生在反思中“提炼”方法,学会学习.事实上,学生不仅仅是被反思的对象,而且是反思的主要收益者.在反思中自我评估,自我修改,从而反思自己到底学到了什么,自己又是如何学习的.
因此,在平时的教学中,当数学活动结束后,我们经常安排反思“三步曲”,要求学生在得出结论后,先个人（小组）进行反思三步曲,再在汇报交流时集体进行反思三步曲.三步曲的第一步是“这个结论对吗？”引导学生反思所获结论的合理性;第二步是“这是不是最好的方法？”引导学生反思、探求多种解决问题的方法,选择最佳方法;第三步是“刚才是怎样得出结论的？”让学生回顾与分析探索的过程,从中总结经验,提炼解决问题的方法.经过反思三步曲的训练,许多学生觉得自己解题越来越有心得了.
4.3.4  在应用练习时引导学生反思
好多学生写作业、答试卷时以完成为满足,检查验算的习惯很差,或面对错误看不出来,或看到错题就全盘否定.究其原因,就是因为学生的思维批判性差,反思意识薄弱,反思能力低.针对这种现状,我们可以在作业过程中引导学生按下面的方法进行反思.
答题前,想一想波利亚在《怎样解题》中所提出的建议和启发性问题.“你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去．如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?”
答题时,想一想“这样做的依据是什么?这样做对了吗?这是不是最好的办法?我在哪里处理得比较好”.
如果答题正确,可以反思题目中涉及到的知识点,可以想一想方法能否创新.“解题过程是否浪费了重要的信息,能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路,思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法?”也可以想一想能否对问题进行系统性研究.“能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?”还可以想一想能否得到新的问题.“为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发,将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性的编拟新问题?”
如果答题错误,则要在订正时,多想想“我这题错在哪里?我为什么会做错?我以前有没有犯过同样的错误?以后我怎样避免再出现类似的错误?”……
另外,我们为每个学生印制了专用《能力检测反思薄》,每次单元检测后,学生都会按照《能力检测反思薄》的要求进行反思.(《能力检测反思薄》的主要内容见附录2)
通过作业过程的反思,一方面强化巩固了正确的数学认识;另一方面及时矫正了一些错误的数学认识,以避免学生在学习中形成错误的认识.通过反思,提高了学生的学习能力、学习质量,使学生尝到反思的“甜头”.由于教师对于学生学习活动的关注,使得学生更加关注自己的学习活动,提高了他们的自我评价能力,因此激发了学习的内在动机.
当然,如前面所述,教师首先要在课堂里营造适合反思的环境.课题组吴祖凯老师的论文《把握结构特征  诱导学生联想》（在《数学教学通讯》2007年第2期上发表）、王为常老师的论文《两道高考题的启示》（获市论文评比一等奖）和张新娥老师的论文《对一道高考题的解题反思》（获市论文评比三等奖）就是教师在解题后引导学生反思的范例.在课堂上,我们经常让学生在做完题后反思自己为什么题做错了,开始学生不愿意将错误暴露出来.这是因为一贯以来学生错了总是遭到教师的指责和同学的讥笑,因此教师首先要在课堂里营造温和宽松的环境.我们通常鼓励学生将自己错误的原因说出来之后要加以表扬：你非常有勇气,敢于在大家面前说出你的错误,并且在你失败之后还能冷静的分析自己的错误,如果你能在分析原因之后找到对策,那么你将变得越来越有能力.
4.3.5  在得到结论后引导学生反思
在得到结论后引导学生善于进行总结、善于进行引申、善于进行推广是训练学生反思、养成反思习惯的重要方法.
第一,善于总结.就是解决问题后,引导学生从解决问题的方法、规律、思维策略等方面进行多角度、多侧面的总结,有意识地去启发引导学生对自己的思考过程进行归纳总结,力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西,以现在的解决问题的经验帮助以后问题的解决.有了这个“经验”,在遇到类似的新问题时,能产生一种“直觉”,正确判断思维方向.这远比学生单纯解决问题的意义更大.它的教育价值不仅使学生掌握了这类问题的基本规律,而且使学生学到了一些解决问题的思维方法,最终过渡为“会学习”.因此,能否善于总结解决问题的经验,是衡量一个人解决问题能力高低的一个重要因素.
第二,善于引申.就是解决问题后,要善于把它改头换面变成为多个和原问题内容形式不同或类似但解决问题的方法类似或不同的问题,即进行一题多解、多题一解的训练,这样可以扩大视野,深化知识,从而提高学生的能力.下面是课题组刘云清老师 “平面向量”习题课的一个教学片断:
（05年湖南高考题）P是△ABC所在平面上一点,若 ,则P是△ABC的（　）
A．外心　               B．内心　               C．重心　               D． 垂心
你对这道题的题意是否理解?相关知识点是否清楚?可用哪些方法来解决?这道题的答案是什么?
(学生回答上面的问题后)教师:①三角形垂心用向量可以这样表示,还能不能用其它向量形式表示三角形的垂心呢？②三角形的外心、内心、重心又如何用向量形式表示呢？
点评:上述教学片断,既有反思的方法,也有反思的“成果”.方法包括要理解题意,要弄清相关的知识,要在脑海中搜索相关的方法.成果体现了发散思维,既有纵向的成果——“三角形垂心用向量可以这样表示,还可用其它向量形式表示三”,也是纵向的成果——“三角形的外心、内心、重心也可用向量形式表示”.
第三,善于推广.当一个问题解决之后,不失时机地将问题中特殊条件一般化,从而推得更为普遍的结论,这就是问题的推广.善于进行推广所获得的就不只是一个问题的解决办法,而是一组问题、一类问题的解决办法.这有利于培养学生深入钻研的良好习惯,激发学生的求知欲及创新精神.
课题组吴祖凯老师在这方面作了有益的尝试.下面是他执教《正弦定理》的教学片断.
教师用几何画板制作活动三角形，由学生观察总结得到：角增大(或减小)，其对边也随之增大(或减小)．
师：请同学生先思考一下，我们以前遇到这种问题，一般是怎样处理的？
生1：先从特殊事例入手，寻找答案或发现解法，直角三角形是特例，可以先在直角三角形中试探一下．
(1)一个锐角为30°的直角三角形，学生分析得出规律：
;
(2)一个锐角为45°的直角三角形，学生分析得出规律：
°= ;
(课堂活力随之凸现，学生自觉、自然地总结出．)
(3)直角三角形中都有： ;
师：同学们能否设计出一个漂亮的数学表达式来反映直角三角形三边与三角的正弦的等量关系呢？
生2：      (1)
师：数学家也是这样总结的．对于任意三角形，上述结论是否正确呢？
生3：应该也是上述结论．
师：请同学们具体验证一下．
(首先，学生分组作出若干个任意三角形，度量其边长和角度，用计算器计算验证是否成立;然后，教师用几何画板制作课件，进一步验证．)
点评:以上教学片断充分展示结论的探究过程,运用的方法就是将特殊结论推广到一般.吴老师将这节课的探究过程整理后撰写的论文《点击课堂活力因子  凸显课堂生命活力——正弦定理的教学感想》在《数学教学通讯》2007年第1期上发表.
课题组李钟波老师在教学正、余弦定理后,引导学生反思正、余弦定理的证明方法——向量证．反思得到的结论是两个定理的证明方法都是用一个向量去和向量式的两边的向量同时数量积,不同的是正弦定理的证明是点乘一个特殊的向量,而余弦定理的证明则是点乘向量自身,即取向量的模的平方,其实质都是向量数量积具体应用.于是将这种方法推广应用到解决其它问题,撰写出的论文《运用正、余弦定理的向量证法解题》获市论文评比一等奖. 学生在学习过程中,既有兴趣思考,又加强了自我的反思意识.
4.4  教给学生反思方法
反思体现了学生对知识掌握的自我反省,是学生自我监控的一项重要内容.为使学生形成反思能力,课堂教学中,教师要引导学生掌握反思的方法.
①自我提问.
教学生学会自我提问是培养学生反思能力的重要方法.这种方法适用于学习过程中.诸如"怎样做","为什么这样做","可以用几种方法做","哪一种方法更简便","错在哪里","为什么错"等自我提问,可以促进学习主体的更深层次的思考.长此以往,学生不仅可以提高发散思维能力,还可以提高鉴别能力和学习能力.
②自我总结.
当某个问题解决后,教师要引导学生从解决问题的角度、方法、思维策略等方面进行总结,以寻求思维规律.如学习了“等差数列前n项和”后,我们就“这节课我们学会了哪些知识?我们是怎样推导等差数列前n项和公式的?蕴涵了哪些数学思想方法?"三个问题要求学生进行总结反思.学生得出用“倒序相加法”推导出来的公式,这节内容蕴涵了分类讨论、方程思想.这样,它的教育价值在于学生不仅掌握了知识,而且学到了解决问题的思想方法.
③自我评价.
自我评价是学生对自己的学习过程、学习结果进行自我评判与分析的一种自我审视的行为.自我评价应该是课堂教学中一种最主要、最经常的评价方式,组织有效的自我评价有助于学生随时进行自我反馈、自我调整、自我完善,有助于提高自我评价能力.如在解题教学中,我们经常要求学生探讨一个问题有哪些解法、体现了哪些数学思想方法、思路是怎么得到的等问题.学生各自展示自己的解题过程、阐述自己的解题思路、评价自己的解题方法.而教师不作评判,而是引导学生进行讨论,发表自己的看法,评价自己和他人的说法,看看最后谁说的更好.每次学生经过激烈的争论后都能达到认识上的统一.这样,学生不仅理清了思路,巩固了知识,而且在辩论中培养了口头表达能力,发展了思维能力.教师在教学中若能引导学生把评价和反思结合起来,学生就能更快地提高自己的分析水平,因为他人的评价,只有通过自己的反思,才能转化为自己内在的智慧.
总之,如果教师在课堂上重视反思,鼓励学生反思,并巧妙地利用反思,定会使数学课堂教学波澜起伏,有助于激发学生学习兴趣,提高学习效率,使学生乐思、巧思、善思,真正成为课堂的主人.
5  尚待进一步研究的问题
1、数学反思能力的培养要与《课标》中提出的数学能力（空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、解决实际问题的能力等基本能力）的培养有机结合起来,两者相互配合、协调发展,才能提高数学学习的效率,取得好的效果.如何让两者之间相互配合、协调发展需要作进一步深入的研究.
2、反思只是手段,而且它的实质在于发现问题和解决问题.在这种意义上,反思不是越多越好,而是恰到好处才好.同时反思的程度也是以解决问题为标准,也就是说,问题解决了,一次反思相应结束,而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问题,而不是为了反思而反思的问题.如何把握反思的尺度也需要进一步研究.
3．教师在学生反思能力培养中应该充分发挥主导作用.教师的反思一定会激发学生的反思,而教师的反思意识、反思能力如何提高也应该成为研究的课题.
4．习惯的养成非一日之功,要培养学生的反思习惯与能力,需要作进一步地探讨.
总之,通过培养学生反思能力的具体实践,我们认识到反思是认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式,是元认知理论的一种具体体现.反思活动进行的深度和广度,能反映自我意识、自我调节进行的强弱.在反思过程中,不但是元认知能力可以得到实际的锻炼和提高,而且通过反思后的总结提高可以使元认知理论不断得到补充、丰富、完善和发展.因此,在今后的教学实践中,我们更应注重理论对实践的指导,结合教育教学的实际不断探索培养能力培养的有效途径,同时也为教育理论和教育教学改革的发展作出积极的尝试,以期达到落实素质教育的目的.
课题研究与实施得益于校长刘香润,副校长李秉汉、王辉廷等领导的大力支持与指导！得益于全体数学教师的共同努力！
课题组长:万平方
副组长: 王为常
主要成员:刘忠清 吴祖凯 刘云清 李钟波 陈  建 朱  强 杨红霞 张新娥 常金平 彭清平
报告执笔:万平方
附录1:课题组教师成果
万平方 《三角公式的八个“会用”》 在《数学教学》2006年第8期上发表
万平方 《“三线角公式”的得名及在高考中的应用》 在《数学教学研究》2006年第8期上发表
万平方 《读出一片新天地——从y=f(x)的读法谈起》 在《数学教学研究》2006年第12期上发表
吴祖凯 《充分利用正方体,谙熟异面直线距》 在《数学通讯》2005年第6期上发表.
吴祖凯  《顺着学生思维走 尴尬一次也无妨》 在《数学教学研究》2006年第4期上发表
吴祖凯  《点击课堂活力因子 凸显课堂生命活力》 在《数学教学通讯》2007年第1期上发表
吴祖凯  《把握结构特征 诱导学生联想》 在《数学教学通讯》2007年第2期上发表
吴祖凯  《点击课堂活力因子 凸显课堂生命活力》 获省教育科研成果二等奖
王为常  《学生创造性思维能力培养》 在《数学周报》2006年第37期上发表
王为常  《两道高考题的启示》 获市论文评比一等奖
张新娥  《给学生燃起数学思想的火把——再教高中数学第一章时的体会》 获省论文评比二等奖
张新娥  《“问题式”建构性教学初探》 获市论文评比一等奖
张新娥  《润物细无声》 获市论文评比二等奖
张新娥  《对一道高考题的反思》 获市论文评比三等奖
张新娥  2005年4月 获县青年教师教学比武一等奖
张新娥  2005年10月 获市青年教师教学比武一等奖
李钟波  《运用正、余弦定理的向量证法解题》  获市论文评比一等奖
李钟波  《谈一谈消元法在三角函数证明中的运用》 获市论文评比一等奖
李钟波  《例谈高考中几种常用的放缩法》 获市论文评比一等奖
李钟波   2005年4月 获县青年教师说课竞赛一等奖
李钟波   2006年10月 获市教师电教作品大赛课件类一等奖
李钟波   2006年12月 获省教师电教作品大赛课件类二等奖
李钟波   2006年11月 获市数学竞赛辅导一等奖
刘云清  《谈如何进行启导法教学》  获中国教育学会启发式教学研究会论文评比三等奖
刘云清  《启发的几个技巧》  获中国教育学会启发式教学研究会论文评比二等奖
刘云清  《用情去启发》  获中国教育学会启发式教学研究会论文评比二等奖
刘云清  《用感恩教育激活启发式教学》  获国家级论文评比三等奖
附录2:《能力检测反思薄》的主要内容
内容                                   时间                             学号
得分
错题
题号
错        因
知   识
思想、方法
选
择
题
知
填
空
题
解
答
题
计算失误分
我
认为
的
好题
题号
原因
学法
改进
附：解题错误原因：①看错题目；②计算出错；③推理错误；④表达不规范或格式不正确；⑤思路正确但因紧张使某个环节出错；⑥公式法则，定理不熟；⑦审题错误；⑧思路不清或没有思路；⑨没有时间；⑩其它.
更正
反思
一题多解，一题多变，探讨结论，创意解法，归纳小结等.
总体反思：
参考文献
1 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社,2003
2 张定强,赵宏渊. 论数学反思能力[J].课程教材教法 ,2005,3
3 王家聪.新课程理念下的实施需要学生反思能力的培养[J].数学教学通讯,2004,2
4 曹一鸣,王仲英.略论数学反思能力的培养[J].中学数学教学参考,2004,9