佩特科维奇 申花:2010年中考数学一轮复习--第5讲

第五讲 平面直角坐标系

知识梳理

知识点1、平面直角坐标系的概念

重点：平面直角坐标系的概念

难点：概念的理解和灵活运用

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就构成了平面直角坐标系．

水平的数轴称为轴，竖直的数轴称为轴，两坐标轴的交点称为坐标原点．

如图1，两条坐标轴将坐标平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴不属于任何象限．

建立平面直角坐标系以后，平面内的点就与一对有序的实数（点的坐标）建立了一一对应的关系．

知识点2、象限内点的坐标特征[来源:学科网]

重点：掌握各个象限内点的坐标特征

难点：运用特征解答问题

坐标轴把坐标平面分成四个象限，各象限内点的符号特征如图所示，即象限以坐标轴为界限，按逆时针方向依次为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.

例1．对任意实数，点一定不在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例2、若点P（a,b）在第四象限，则点M（b-a,a-b）在第 （      ）  象限.

解题思路：上述例题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征. 

例1因为，可知当时，一定有，所以这个点一定不在第二象限. 答案：B.  例2、由a>0,b<0，则b-a<0，a-b>0，所以M在第二象限.

练习

1、下列各点中，在第二象限的点是                                         （    ）

A．（2，3）         B．(2,－3)        C．(－2,3)        D．(－2, －3)

2、已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限，那么点N(b, －a)在                  （    ）

A．第一象限        B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限

答案：1、C  2、B

知识点3、坐标轴上点的坐标特征

重点：掌握坐标轴上点的坐标特征

难点：分清坐标轴上的点，运用特征解答问题

轴上的点纵坐标为0,  轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0）

例1、若点P（x,y）的坐标满足xy=0(x≠y)，则点P（    ）

A．原点上          B．x轴上        C．y轴上          D．x轴上或y轴上  

例2、点P（m＋3, m＋1）在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为                 （    ）

A．（0，－2）       B．（ 2，0）      C．（ 4，0）       D．（0，－4）

解题思路：运用轴上的点纵坐标为0,  轴上的点横坐标为0.例1选D，例2、m=-1, P（2, 0）选B

练习

若点A(a 2 -9,a+2)在y轴上,则a=______.

答案：±3

知识点4、平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征

重点：掌握平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征

难点：分清特征，运用特征解答问题

平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相同

例 1、已知点A(1,2),AC∥X轴,  AC=5,则点C的坐标是 _____________.

解题思路：平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，答案(-4,2)或(6,2)

例 3、已知点A(1,2),AC∥y轴,  AC=5,则点C的坐标是 _____________.

解题思路：平行于y轴的直线上点的横坐标相同，答案(1,7)或(1,-3)

练习

已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为__________________________.

答案、（3，-4）或（－7，-4）

知识点5、象限的角平分线上点的坐标特征

重点：掌握象限的角平分线上点的坐标特征

难点：分清特征，运用特征解答问题

第一、三象限角平分线的点横纵坐标相同；第二、四象限角平分线的点横纵坐标互为相反数

例1当b=______时,点B(3,|b-1|)在第一.三象限角平分线上.[来源:学科网ZXXK]

例2当b=______时,点B(3,b-1)在第二.四象限角平分线上.

解题思路：运用象限的角平分线上点的坐标特征，例1、|b-1|=3，b=4或-2；例2、b-1+3=0，则b=-2

练习

已知点A（3x-2y，y+1）在象限的角平分线上，且点A的横坐标为5，求x、y的值

答案：x=13/3,y=4或-7/3，y=-6

知识点6、点到x轴，y轴的距离

点P（x,y）到x轴，y轴的距离分别为|y|和|x|,到原点的距离

例M为X轴上方的点，到X轴距离为5，到Y 的距离为3，则M点的坐标为（      ）.

A（5，3）  B（-5，3）或（5，3）

C（3，5）  D（-3，5）或（3，5）

解题思路：结合坐标系，注意不同的情况，选D

练习

在平面直角坐标系中，点A到横轴的距离为8，到纵轴的距离为4，则点A的坐标为————；

答案：（4，8）或（-4，8）或（-4，-8）或（4，-8）

知识点7、平移问题：

重点：掌握平移的规律  难点：平移规律的运用

1 点的平移： 

在平面直角坐标系中，将点（ x,y ）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x+a, y ） ( 或（x-a，y） ) ；将点（ x, y ）向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点 (x, y+b) ( 或（x, y-b） ) . 

2 图形的平移： 

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向 左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度. 

例1已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2,4),现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（   ）

   A. （5，4）    B. （5，1）    C. （1，1）    D. （-1，-1）

例2. 适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），并用线段顺次连接各点.

⑴. 看图案像什么？

⑵. 作如下变化：纵坐标不变，横坐标减2，并顺次连接各点，所得的图案与原来相比有什么变化？

[来源:学科网]

[来源:学科网]

[来源:学科网]

[来源:学。科。网]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学科网]

解题思路：运用平移的规律：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向 左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度. 

例1、选C 例2、图略（1）. 像“鱼”、（2）图案向左平移两个单位

知识点8、平面直角坐标系中对称点的特点

重点：掌握平面直角坐标系中对称点的特点

 难点：对称点的特点的运用

1.关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数.

2.关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

3关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数.

例1、点M（5，－6）关于x轴的对称点的坐标是（ ）．

　　（A）（－6，5）　　　（B）（－5，－6）[来源:Z+xx+k.Com]

　　（C）（5，6）　　　　（D）（－5，6）

　例2、点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（ ）.

　　（A）（-a，b）　　　（B）（-a，-b）

　　（C）（a，b）　　　　（D）（-b，a）

　解题思路：例1把点M（5，-6）和选项中的四个点都描在同一坐标系内，可发现只有点（5，6）和M点关于x轴对称，因此选C．

　　另法：点M（5，-6）在第四象限，和点Ｍ关于x轴对称的点应在第一象限，选项中只有点（5，6）在第一象限，因此选C．

　　方法三：两个点关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，反之也对．在选项中的四个点，只有点（5，6）符合题意．因此选C．

　　例2两个点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，反之也对．选项中只有点（-a，b）符合题意，因此选A．

　　另法：或令a＝1，b＝1，则Ｎ点的坐标为（1，－1）在第四象限，和Ｎ关于原点对称的点应在第二象限，其坐标为（-1，1）只有（-a，b）合题意，因此选A．

最新考题

从近几年的中考看，直接考查本讲的题目约占4%左右，题型有选择、填空、解答等，本讲知识是今后复习函数及其图像等知识的基础，因此中考常常结合相关知识综合命题，平面直角坐标系相关知识与地理问题相结合，但实质仍为坐标问题，借助坐标系中点与坐标的对应关系来确定位置.平面直角坐标系中确定点的位置问题，是近年来中考命题的重点多以选择题、填空题形式出现.

1、考查平面内点的特征

例1 (2009年牡丹江市) 若点P（a，b）在第二象限，则点Q（―a，―b―1）在（    ）

A、第一象限 B、第二象限     C、第三象限 D、第四象限

解题思路：这是一道数形结合题，要根据各象限内点的坐标的符号特征来解.因为点P（a，b）在第二象限，所以a<0，b>0，于是，即点Q（―a，―b―1）在第四象限，故选D.

点拨：数形结合思想使几何图形和代数知识有机地结合在一起，使抽象的代数问题变得直观、形象，我们在解题时，要学会由形想到数，由数想到形.

2、考查坐标的计算

例2（2009年南充 ） 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点B的坐标是（    ）.

A、（3，7） B、（5，3） C、（7，3） D、（8，2）

图1[来源:Zxxk.Com]

解题思路：根据点的坐标的确定方法，过点C分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、F.过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F.因为四边形OABC是平行四边形，CB//OA，且CB=OA，则四边形OGCF和四边形OEBF均为矩形，所以BE=CG=3，GE=CB=OA，BF=CB+CF=GE+OG=5+2=7，所以点B的坐标为（7，3），故选C.

点拨：点的坐标是一对有序实数，过某一点作x轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的横坐标，作y轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的纵坐标.故要求点的坐标，就要求出这两个垂足所对应的数字.

3、考查平面直角坐标系中图形面积的计算

例3 （2009年常德市） 如图2，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上（每个小方格的边长都为1cm）.其中A点的坐标为（2，－1），则△ABC的面积为______.

图2

解题思路：经观察可知点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（1，2）.由于△ABC没有边与x轴或y轴平行，故需要用割补法将其补成图3中的矩形MNPB，即过点A、B分别作x轴的平行线，过点B、C分别作y轴的平行线，交点为P、N、M、B.可求得P（4，－1），N（1，－1），M（1，3），则.应填5.

图3

点拨：计算平面直角坐标系内图形的面积时，常常把图形割补成边在坐标轴上或边与坐标轴平行的图形来计算面积.

4、考查利用坐标确定点的位置

例4 （2009襄樊市） 将图4所示的围棋棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（－7，－4），白棋④的坐标为（―6，―8），那么黑棋的坐标应该是_________.

图4

解题思路：本题用围棋棋盘中正方形网格的相对位置来考查平面直角坐标系及点的坐标等相关知识.黑棋可看成是白棋④先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，故可知其坐标为（―3，―7）.应填（―3，―7）.

点拨：用坐标确定平面内点的位置，需要先建立适当的平面直角坐标系.

5、考查用坐标表示平移

例5  (2008年湘潭)如图5，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，我们把顶点在格点上的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形.在建立平面直角坐标系以后，点B的坐标为（―1，―1）.把△ABC向左平移3个格后得到，画出，并分别写出点的坐标

图5

解题思路：认真观察图5，可知A点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，－1）.图形向左平移3个单位，则原图形中各点纵坐标不变，横坐标减3，故可知（0，3），（―4，―1），（2，－1）.在平面直角坐标系中分别描出点，再顺次连接这三个点，即可得（如图6）.

点拨：若点P（x，y）向左（或向右）平移a（a>0）个单位，则对应点的横坐标是x减去（或加上）a，纵坐标不变；若向上（或向下）平移b（b>0）个单位，则对应点的横坐标不变，纵坐标是y加上（或减去）b.

过关测试

一、选择题

1. 线段CD是由线段AB平移得到的.点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（– 4，– 1）的对应点D的坐标为（    ）

A.（2，9）       B.（5，3）     C.（1，2）       D.（– 9，– 4）

2. 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（– 1，– 1）、（– 1，2）、（3，– 1），则第四个顶点的坐标为（    ）

A.（2，2）        B.（3，2）     C.（3，3）        D.（2，3）

3. 已知P（0，a）在y轴的负半轴上，则Q（）在（    ）

A. y轴的左边，x轴的上方     B. y轴的右边，x轴的上方

C. y轴的左边，x轴的下方     D. y轴的右边，x轴的下方

4. 已知△ABC的面积为3，边BC长为2，以B原点，BC所在的直线为x轴，则点A的纵坐标为（    ）

A. 3         B. －3        C. 6         D. ±3

5. 设点P（x，y）在第二象限，且|x|=1，|y|=2，则点P的坐标是（    ）

A.（－1，2）           B.（－2，2）   C.（－1，－1）     D.（－2，－2）[来源:Z|xx|k.Com]

6. 已知点A（2，－2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于原点对称点是C，那么点C的坐标是（    ）

A.（2，2）           B.（－2，2）   C.（－1，－1）        D.（－2，－2）

7. 在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（    ）

A.（3，－2），（－3，－2）                     B.（0，3），（0，－3） 

C.（3，0），（－3，0）                            D.（3，－2），（－3，2）

8. 已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（    ）

A.（－3，－2）           B.（2，－3）    C.（－2，－3）           D.（－2，3）

9. 若点A（x，y）在第三象限，则点B（－x，－y）关于x轴的对称点在（    ）

A. 第一象限         B. 第二象限     C. 第三象限          D. 第四象限

10. 点P（m，1）在第二象限内，则点Q（－m，0）在（    ）

A. x轴正半轴上      B. x轴负半轴上   C. y轴正半轴上        D. y轴负半轴上

11. 平面直角坐标系内，点A（n，－n）一定不在（    ）

A. 第一象限         B. 第二象限     C. 第三象限          D. 第四象限

12. 当，点P（3m－2，m－1）在（    ）

A. 第一象限         B. 第二象限     C. 第三象限          D. 第四象限

二填空题

1. 如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_________

2. 在平面直角坐标系内，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是_________

3. 一个平行四边形的三个顶点坐标分别为（0，0）（2，0）（1，2），另一个顶点在x轴下方，则其坐标为_____________

4. 点M（x，y）在第四象限，且，y+2=0，则点M的坐标为___________

5. 一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2， 再向正西方向走9米到达A3，再向正南方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是_____________.

6. 已知梯形ABCD各顶点坐标分别为A（1，3），B（1，1），C（5，1），D（3，3），将梯形先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，此时梯形各顶点的坐标为_________，__________，___________，___________，梯形面积为__________.

三、解答题

1、. 在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（－5，0），B（4，0），C（2，5），将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG.

   （1）求△EFG的三个顶点坐标.   （2）求△EFG的面积.

4.如图，方格中有一个请你在方格内，画出满足条件

的并判断与是否一定全等？

5、如图，平行四边形 的边长 ，若把它放在直角坐标系内，是AB在x轴上，点C在y轴上，如果A的坐标是（-3，0），求B、C、D的坐标.

6、如果点A（0，0），B（3，0），点C在y轴上，且三角形 的面积是5，求C点坐标.

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

一、1. C    2. B    3. A    4. D       5. A   6. D   7. C    8. D  9. D   10. A    11. AC   12. D   

二、 1.  （2，0）2. 3

6. （－1，0）B（－1，－2）C（3，－2）D（1，0）；面积为6 

 三、1. E（－3，－1）F（6，－1）G（4，4），面积为22.5

   2. 关于横轴对称    

3. A（2，3）B（3，2）C（－2，1）D（1，－2）4.略

6. 解：设点C坐标为（0，y）， 

　　　即 

　于是点C的坐标为