万水千山风雨情:线性代数
全国2010年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
说明:本卷中,AT表示矩阵A的转置,αT表示向量α的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,R(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设行列式
A.
C.2 D.
2.设A,B,C为同阶可逆方阵,则(ABC)-1=( )
A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1
C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1
3.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=(α1,α2,α3,α4),如果|A|=2,则|
A.-32 B.-4
C.4 D.32
4.设方阵A满足A5=E,则必有( )
A.A=E B.A=-E
C.|A|=1 D.|A|=-1
5.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则( )
A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出
C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关
6.设A是4×6矩阵,R(A)=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.设A=
A.(1,1,1)T B.(1,1,3)T
C.(1,1,0)T D.(1,0,-3)T
8.设矩阵A=
A.4 B.5
C.6 D.7
9.三元二次型f (x1,x2,x3)=
A.
C.
10.设矩阵A=
A.a<2 B.a=2
C.a=6 D.a>6
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式
12.设方阵A满足A3-2A+E=0,则(A2-2E)-1=_________.
13.设A=
14.设α=(1,1,-1),β=(-2,1,0),γ=(-1,-2,1),则3α-β+5γ=_________.
15.实数向量空间V={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
16.设线性方程组
17.设A是m×n实矩阵,若R(ATA)=5,则R(A)=_________.
18.设n阶矩阵A有一个特征值3,则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=(1,2,-2),β=(2,a,3),且α与β正交,则a=_________.
20.二次型
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式D=
22.设A=
23.设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).
(1)求该向量组的一个最大线性无关组;
(2)将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合.
24.求齐次线性方程组
25.设矩阵A=
26.已知二次型
四、证明题(本大题6分)
27.设方阵A与方阵B相似,证明:对任意正整数m,Am与Bm相似.