邓锡侯与保安厅长:迭代算法简析

算法设计之迭代法
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 d%a==0, d%b==0，而r = a - kb，因此d%r==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 d%b==0 , d%r==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数 。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数
{
if (a<=0 || b<=0)  //预防错误
return 0;
int temp;
while (b > 0)  //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值
{
temp = a % b;  //迭代关系式
a = b;  //a是那个胆小鬼，始终跟在b的后面
b = temp;  //b向前冲锋占领新的位置
}
return a;
}
从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b;  根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。
还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=2; fib(2)=1;  fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。
在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列
{
if (n < 1)//预防错误
return 0;
if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代
return 1;
int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数
{
fn = f1 + f2; //迭代关系式
f1 = f2;  //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
f2 = fn;
}
return fn;
}
有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式 x(n+1) = g(x(n)) =  x(n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：
(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;
(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;
(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就
认为是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。 x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x)=0的近似值，要求精确到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include
double F1(double x); //要求解的函数
double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0 = 3.14159/4;
double e = 10E-6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函数
{
return  cos(x) - x;
}
double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数
{
return  -sin(x) - 1;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double  x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return x0;   //若返回x0和x1的平均值则更佳
}
例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。
算法分析：取x0 = 100; 和 x0 = -100;
f(x)的Newton代法构造方程为： x(n+1) = xn - (xn*xn – 5*xn + 6) / (2*xn - 5)
#include
double F1(double x); //要求解的函数
double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
double e = 10E-6;
x0 = 100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
x0 = -100;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函数
{
return  x * x - 5 * x + 6;
}
double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数
{
return  2 * x - 5;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double  x1;
do {
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return (x0 + x1) * 0.5;
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
(1) 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制;
(2) 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导
致迭代失败。选初值时应使:|df(x)/dx|<1,|df(x)/dx|越小收敛速度越快!
练习：
1．验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2; 若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。
要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。
2．阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内，45分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴2^20个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。
3．五只猴子一起摘了一堆桃子,因为太累了,它们商量决定,先睡一觉再分.一会其中的一只猴子来了,它见别的猴子没来,便将这堆桃子平均分成5份 ,结果多了一个,就将多的这个吃了,并拿走其中的一份.一会儿,第2只猴子来了,他不知道已经有一个同伴来过,还以为自己是第一个到的呢,于是将地上的桃子堆起来,再一次平均分成5份,发现也多了一个,同样吃了这1个,并拿走其中一份.接着来的第3,第4,第5只猴子都是这样做的.......,
根据上面的条件,问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5只猴子走后还剩下多少个桃子?
4. 用牛顿迭代法求方程x^2 = 45， 要求精确到10E－6。
提示：取x0 = -6; 和 x0 = 6;
f(x)的Newton代法构造方程为：   x(n+1) = xn - (xn*xn - 45) / (2*xn)
参考答案：
1．#include
#include
int main()
{
int n;
puts("input n: ");
scanf("%d", &n);
puts("过程:");
printf("%d -> ", n);
while (n != 1)
{
if (0 == (n&1))
n = n / 2; //迭代关系式
else
n = n * 3 + 1; //迭代关系式
printf("%d -> ", n);
}
printf("\b\b\b\b    \n");//去掉多余的“ -> ”
system("pause");
return 0;
}
2. 算法分析： 根据题意，阿米巴每3分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45分钟后充满容器，需要分裂 45/3=15 次。而"容器最多可以装阿米巴2^20个"，
即阿米巴分裂15次以后得到的个数是2^20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第15次分裂之后的2^20个，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第13次分裂之后、第12次分裂之后、……第1次分裂之前的个数。 设第1次分裂之前的个数为x0 、第1次分裂之后的个数为x1 、第2次分裂之后的个数为x2 、……
第15次分裂之后的个数为x(15)，则有x(14)=x(15)/2,x(13)=x(14)/2,……x(n-1)=x(n)/2 (n >= 1) 因为第15次分裂之后的个数x(15)是已知的，如果定义迭代变量为x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式： x=x/2 (x的初值为第15次分裂之后的个数2^20)让这个迭代公式重复执行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。
#include
#include
int main()
{
int max = pow(2, 20);
int n = 15;
int i;
int s = max;
for (i=1; i<=n; i++)
{
s /= 2;
}
printf("开始的时候往容器内放了%d个阿米巴\n", s);
getchar();
return 0;
}
3. 算法分析：先要找一下第N只猴子和其面前桃子数的关系。如果从第1只开始往第5只找，不好找，但如果思路一变，从第N到第1去，可得出下面的推导式：
第N只猴   第N只猴前桃子数目
6          s6=x， 即最后剩下的桃子数
5          s5=s6*5/4+1
4          s4=s5*5/4+1
3          s3=s4*5/4+1
2          s2=s3*5/4+1
1          s1=s2*5/4+1， 即最初的桃子数
s1即为所求。上面的规律中只要将s1-s5的下标去掉：
s=x
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
s=s*5/4+1
很显然，这是一种迭代，所以可以用循环语句加以解决。
综观程序的整体结构，最外是一个循环，因为循环次数不定，可以使用While循环，其结束条件则是找到第一个符合条件的数。为了做出上面while循环的结束条件，还需进一步分析上述规律的特点，要符合题目中的要求，s2-s6五个数必须全部能被4整除，而s1不能被4整除，这个可作为条件。具体实现请参看源程序。
#include 
int main(void)
{
int x, s;
int i;
for(x=0; ;x+=4)
{
s = x;
for (i=0; i<5; i++)
{
s = s * 5 / 4 + 1;
if (s % 4)
break;
}
if (i == 4)
break;
}
printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s, x);
getchar();
return 0;
}
4. #include
double F1(double x); //要求解的函数
double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数
double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序
int main()
{
double x0;
double e = 10E-6;
x0 = -6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
x0 = 6;
printf("x = %f\n", Newton(x0, e));
getchar();
return 0;
}
double F1(double x) //要求解的函数
{
return  x * x - 45;
}
double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数
{
return  2 * x;
}
double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序
{
double  x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
} while (fabs(x0 - x1) > e);
return (x0 + x1) * 0.5;
}