决战华岩寺演员表介绍:匀速圆周运动问题归纳

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

匀速圆周运动问题归纳

二. 学习目标：

1、理解线速度、角速度和周期的概念和它们之间的关系。

2、理解向心力和向心加速度的概念。

3、掌握向心力和向心加速度的公式，会解决有关问题。

考点地位：

    圆周运动是机械运动中一种典型的曲线运动，本部分内容是高考考查的重点和难点，水平面内的匀速圆周运动以考查圆周运动的基本规律及其应用为主，2006年上海理综卷的第12题，2005年上海卷的第23题，出题的形式多以选择题的形式出现，竖直面内的非匀速圆周运动以考查受力分析，临界条件、极值、向心力公式为主，如2007年全国Ⅱ卷的第23题，这部分内容的综合性很强，常和以后我们所学的机械能守恒及功能关系相互联系，从知识体系上又是以后学习带电粒子在磁场中圆周运动问题的基础，出题形式以计算题目形式为主。

三. 重难点解析：：

（一）匀速圆周运动的基本概念：

  1. 匀速圆周运动的定义

       质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

  2. 描述匀速圆周运动快慢的物理量

（1）线速度v

①物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

②定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。

③大小： ，单位：

④方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。

由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。

（2）角速度

①物理意义：描述质点转过圆心角的快慢。

②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度 跟所用时间的比值，就是质点运动的角速度。

③大小： 单位： 。

④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。

（3）周期T和频率f

①物理意义：周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。

②定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位：s。

做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。用f表示，单位：Hz。在国际单位制中是 ，在一些实际问题中常用的是每分钟多少转，用n表示，转速的单位为转每秒，即 。

  3. 线速度、角速度、周期之间的关系

（1）线速度和角速度间的关系

如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t内通过的弧长是s，半径转过的角度是 ，由数学知识知 ，于是有

，即 。

上式表明：①当半径相同时，线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比。如图（a）所示。②当角速度相同时，半径大的线速度大，且成正比。如图（b）所示。③当线速度相同时，半径大的角速度小，半径小的角速度大，且成反比。如图（c）、（d）所示。

（2）线速度与周期的关系

由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为 ，所以有 。

上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。

（3）角速度与周期的关系

由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为 ，则有 。

上式表明，角速度与周期一定成反比，周期大的角速度一定小。

（4）考虑频率f，则有： r。

（二）向心力及向心加速度：

  1. 向心力

（1）定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心的，这个力叫做向心力。

说明：①向心力是按力的作用效果来命名的力。它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力，例如，小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止的原因是静摩擦力充当向心力；若圆盘是光滑的，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力是由细线的拉力提供的。②向心力的作用效果是改变线速度的方向。做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力，它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的（线速度大小变化的非匀速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度）。③向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。例如，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力（ ）两个力的合力充当，而在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是由重力的分力（ ，其中 为摆线与竖直轴的夹角）充当，因此绝不能在受力分析时沿圆心方向多加一个向心力。

（2）大小： 。

（3）方向：总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力。

  2. 向心加速度

（1）定义：根据牛顿第二定律 ，做圆周运动的物体，在向心力的作用下，必须要产生一个向心加速度 ，它的方向与向心力方向相同，即总是指向圆心。

（2）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

（3）大小：

。

（4） 与r关系如图（a）、（b）所示。

（5）方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，不论加速度 的大小是否变化， 的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

说明：向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度，对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度，对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度。

  3. 对匀速圆周运动的进一步理解

（1）匀速圆周运动的特点

线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。

（2）匀速圆周运动的性质

①因线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。

②因向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。

③匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态（如v、a大小方向）也要重复原来的情况。

④匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心。

（3）质点做匀速圆周运动的条件

合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力。

【典型例题】

问题1、匀速圆周运动的各量关系的理解和运用：

  例1  （2006·武汉模拟）某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为 ，人骑该车行进速度为 时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为

名称

链轮

飞轮

齿数N/个

48

38

28

15

16

18

21

24

28

       A.                 B.                 C.                 D.

答案：B

变式：

［考题4］如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为： ， ，A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。

解析：因为A、B两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内A、B两点转过的弧长相等，即 ，由 知 又B、C是同轴转动，相等时间转过的角度相等，即 ，由 知。

。

所以 ， 。

再根据 得 。

答案：1：1：3            1：2：2         2：1：1

问题2、圆周运动的多解问题：

  例2  如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v=________，圆盘转动的角速度 =________。

       解析：（1）小球做平抛运动，在竖直方向上 ，则运动时间 。

又因为水平位移为R，所以球的速度

。

（2）在时间t内盘转过的角度 。

又因为 ，则转盘角速度

。

变式：

［考题6］如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度 应满足什么条件？

解析：小球P做自由落体运动，至竖直线上的A点时，要与Q球相碰，需两小球的运动时间相等，P球运动时间 ，在这段时间里，Q球可以运动 个周期，也可以运动 个周期， 个周期……

设P球自由落体至圆周最高点的时间为t。

由自由落体运动规律有 。

Q球由图示位置转到最高点的时间也应是t，但Q球做匀速圆周运动，运动周期为T，由题意得

（n=0，1，2，…）

。

由 ， ，得

。

问题3、匀速圆周运动问题的动力学问题：

［考题6］如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是

       A. A球的线速度必定大于B球的线速度

B. A球的角速度必定小于B球的角速度

C. A球的运动周期必定小于B球的运动周期

D. A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力

答案：AB

变式：

［考题7］长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图（a）所示，求摆线L与竖直方向的夹角为 时；（1）线的拉力F；（2）小球运动的线速度的大小；（3）小球运动的角速度及周期。

（a）             （b）

解析：（1）做匀速圆周运动的小球受力如图（b）所示，小球受重力 和绳子的拉力F。

因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向。

由平行四边形定则得小球受到的合力大小为 ，线对小球的拉力大小为 。

（2）由牛顿第二定律得 。

由几何关系得 。

所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为

（3）小球运动的角速度

小球运动的周期 。

问题4、匀速圆周运动中的临界问题与极值问题：

       ［考题7］在光滑平面中，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长 ，小球可随转轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使球不离开水平面，转轴的转速最大值是

       A.                   B.                     C.                   D.

答案：A

变式1：

［变式4］（2007·长沙重点中学质检）如图所示，轻杆的一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法中正确的是

       A. 小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零

B. 小球过最高点时的最小速度为

C. 小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力

D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定与球所受重力方向相反

答案：AC

变式2、（2004年全国IV理综卷第20题）

如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F

       A. 一定是拉力

B. 一定是推力

C. 一定等于0

D. 可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

答案：D。

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

1、质点做匀速圆周运动，则

       A. 在任何相等的时间里，质点的位移都相等

B. 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等

C. 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同

D. 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等

  2、甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3：1，线速度之比为2：3，那么下列说法中正确的是

       A. 它们的半径之比为2：9

B. 它们的半径之比为1：2

C. 它们的周期之比为2：3

D. 它们的周期之比为1：3

  3、广州和乌鲁木齐相比，由于地球自转方向由西向东，每天早晨广州要比乌鲁木齐天亮得早，

（1）下列说法正确的是

       A. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略长

B. 乌鲁木齐一昼夜的时间要比广州的一昼夜时间略短

C. 乌鲁木齐一昼夜的时间与广州的一昼夜时间都是24h

D. 无法确定

（2）由于地球自转，该两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较

A. 乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大

B. 乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大

C. 两处地方物体的角速度、线速度都一样大

D. 两处地方物体的角速度一样大，但广州处物体的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大

  4、如图所示，A、B是两只相同的齿轮，A被固定不能转动，若B齿轮绕A齿轮运动半圈，到达图中的C位置，是B齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是

       A. 竖直向上                                                   B. 竖直向下

C. 水平向左                                                   D. 水平向右

  5、机械表的时针和分针做圆周运动时

       A. 分针角速度是时针的12倍

B. 分针角速度是时针的60倍

C. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍

D. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍

  6、为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距 ，轴杆的转速为 ，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得通过两弹孔的半径夹角是 ，如图所示，则该子弹的速度可能是

       A.                  B.                  C.                D.

  7、如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有一入口A，在A的正下方h处有一出口B，一质量为m的小球从入口A处沿切线方向射入圆筒内，要使小球恰能从B处飞出，求小球进入入口的速度v的表达式。

  8、两个小球固定在一根长为L的杆的两端，并且绕杆上的O点做圆周运动，如图所示，当小球A的速度为 时，小球B的速度为 ，则转轴O到小球B的距离是多少？

  9、如图所示，在同一高度上有A、B两物体，它们的质量分别为m和M，A物体在竖直面内做匀速圆周运动，运动方向为逆时针方向，轨道半径为R，同时B物体在恒力F作用下，从静止开始做匀加速直线运动，运动方向向右，问：要使两物体的速度相同，A物体做圆周运动的角速度 为多大？

【试题答案】

  1. B、D（质点做匀速圆周运动时，相等时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，B项正确，此时半径所转过的角度也相等，D项正确，但由于位移是矢量，在相等时间里，质点位移大小相等，方向却不一定相同，因此位移不一定相同，而平均速度也是矢量，虽然大小相等，但方向不尽相同，故A、C错误。）

  2. A、D（由题意可得： ，∴ ， ，A对B错， ，∴ ，D对C错。）

  3. （1）C（2）D（乌鲁木齐与广州角速度相同，故一昼夜时间相同，均为24小时；两处角速度相等，但是广州比乌鲁木齐半径大，故广州的线速度大）。

  4. A （当B齿轮绕A齿轮转动的同时，B轮上的各点也同时绕自身圆心运动。因为B轮绕A轮公转半径是B轮边缘上各点绕自身圆心自转半径的2倍，所以当B轮绕A轮转半圈时，B轮上箭头所在点自转了一周，箭头仍向上，或者在A上也画一竖直向上的箭头，当B转到任何位置时，两个箭头均以A、B两轮接触点的切线为轴对称，你也可以用两枚硬币试试）

  5. A、C（分针转一周时间 ，时针转一周的时间 ，则 ，又有 。）

  6. C（子弹的速度 ，在时间t内圆盘转过的角度为 ，其中 =0，1，2…，而角速度 ，所以 ，则 ，当 时， ）。

  7. （n=1，2，3，…）（小球的运动可分解为竖直方向自由落体运动，水平方向做匀速圆周运动，运动时间由高度决定 ，由于B在A点正下方，所以在这段时间内小球应转过整数圈，即 ，得 。）

  8. （A、B两小球在同一转轴的杆上，根据角速度定义，则 ，再根据线速度、角速度的计算， ① ② ③，由①②③式，得 ④，又因为 ⑤，把④式代入⑤式，得 ）。

  9. （n=1，2，3…）［物体A做匀速圆周运动，其速度方向是时刻发生改变的，而物体B向右做匀加速直线运动，要二者速度相同，则物体A只有经过最低点速度才会向右，所需时间为

，

线速度大小

B物体经过相同的时间速度达到

。

而 ，令 。

则有 （n=0，1，2…）］。