开什么店投资少赚钱快:平面向量 解三角形

TWT答案   (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)

解析  或 ，则

或 .

27.（2009江苏卷）已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 =            .

答案  3

解析   考查数量积的运算。 

28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .

如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动.

若 其中 ,则

的最大值是________.

答案  2

解析  设  

，即

∴

29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或 = + ，其中 ， R ，则 + = _________.0.w.w.k.              

答案   4/3

解析  设 、 则  ,  ,

代入条件得

30.（2009江西卷文）已知向量 ， ， ，若  则 =         ．

答案    

解析  因为 所以 .

31.（2009江西卷理）已知向量 ， ， ，若 ∥ ，则 =         ．

答案 

解析 

32.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 ，

则       ，        .     

图2

答案 

解析   作 ,设 ，

,

由 解得 故

33.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点

A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.

答案  （0，－2）

解析  平行四边形ABCD中,

   ∴ ＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)

   即D点坐标为(0,－2)

34.(2009年广东卷文)（已知向量 与 互相垂直，其中

（1）求 和 的值

（2）若 ， ,求 的值

解  （１） , ,即

又∵ ,  ∴ ,即 ,∴

又　 ,

(2) ∵

   ,  ,即

 又  , ∴               

35.（2009江苏卷）设向量  

（1）若 与 垂直，求 的值；     

（2）求 的最大值;

（3）若 ，求证： ∥ .      

解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。

36.（2009广东卷理）已知向量 与 互相垂直，其中 ．

（1）求 和 的值；

（2）若 ，求 的值．           

解  （1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，

∴ .

（2）∵ ， ，∴ ，

则 ，

37.（2009湖南卷文）已知向量

（1）若 ，求 的值；            

（2）若 求 的值。   

解  （1） 因为 ，所以

于是 ，故

（2）由 知，

所以

从而 ，即 ，

于是 .又由 知， ，

所以 ，或 .

因此 ，或     

38.(2009湖南卷理)  在 ，已知 ，求角A，B，C的大小.

解  设

由 得 ，所以

又 因此              

由 得 ，于是

所以 ， ，因此

，既

由A= 知 ，所以 ， ，从而

或 ，既 或 故

或 。

39.（2009上海卷文）    已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，

　 ，  .

（1）       若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；    

（2）       若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .

证明：（1）

即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，         为等腰三角形

解（2）由题意可知

由余弦定理可知，                

                                2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008全国I）在 中， ， ．若点 满足 ，则 （    ）

A．          B．          C．          D．

答案  A

2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 ， ,则                                                            （  ）

A． （－2，－4）    B．（－3，－5）  C．（3，5）      D．（2，4）

答案  B

3.（2008湖北）设 , , 则     （    ）

A. 　　　　 B.             C.                D.

答案  C

4.（2008湖南）设D­、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 则 与       (   )

A.反向平行                          B.同向平行         

C.互相垂直                          D.既不平行也不垂直

答案  A

5.（2008广东）在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点，    的延长线与 交于点 ．若 ， ，则        （   ）

A．         B．    C．       D．

答案  B

6.（2008浙江）已知 ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则 的最大值是                         (      )

A.1                B.2              C.                  D.

答案  C

7.（2007北京）已知 是 所在平面内一点, 为 边中点,且 ，那么                                 （　　）

Ａ．                   Ｂ．         

Ｃ．                  Ｄ．

答案   Ａ

8.（2007海南、宁夏）已知平面向量 ，则向量 （　　）

Ａ．                         Ｂ．      

Ｃ．                           Ｄ．

答案  Ｄ

9.（2007湖北）设 ， 在 上的投影为 ， 在 轴上的投影为2，且 ，则 为                                                           （    ）

A．           B．        C．           D．

答案   Ｂ

10.（2007湖南）设 是非零向量，若函数 的图象是一条直线，则必有                                                        （    ）

A．        B．        C．       D．

答案  A

11.（2007天津）设两个向量 和 ，其中 为实数．若 ，则 的取值范围是                 （　　）

Ａ．[-6，1]        Ｂ．     Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]

答案  Ａ

12.（2007山东）已知向量 ，若 与 垂直，则 （    ）

A．             B．           C．           D．4

答案  Ｃ

13.（2006四川）如图，已知正六边形             ，下列向量的数量积中最大的是（    ）

A.                   B.

C.                   D.

    答案  A

14.（2005重庆）设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于14.（     ）

  A．（1，1）     B．（－4，－4）   C．－4           D．（－2，－2）

答案  B

二、填空题

15.（2008陕西）关于平面向量 ．有下列三个命题：

①若 ，则 ．②若 ， ，则 ．

③非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为 ．

其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）

答案  ②

16.（2008上海）若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 　　　　．

答案 

17.（2008全国II）设向量 ，若向量 与向量 共线，则     

答案  2

18.（2008北京）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为     

答案   0

19.（2008天津）已知平面向量 ， ．若 ，则 _____________．

答案  

20.（2008江苏） ， 的夹角为 ， ，  则       ．

答案  7

21.（2007安徽）在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点，则        （用 表示）． 

答案 

22.（2007北京）已知向量 ．若向量 ，则实数 的值是      

答案 -3

23.（2007广东）若向量 、 满足 的夹角为120°，则 ＝    .

答案 

24.(2005上海)直角坐标平面 中，若定点 与动点 满足 ，则点P的轨迹方程是__________.

答案  x+2y-4=0

25.(2005江苏)在 中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 的最小值是________。

答案  －2 

三、解答题

26.（2007广东）已知△ 顶点的直角坐标分别为 .

(1）若 ，求sin∠ 的值;

（2）若∠ 是钝角，求 的取值范围.

 解  (1) ,    当c=5时，

     进而

(2)若A为钝角，则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)²<0     解得c>

显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[ ，+ )

第二部分     三年联考题汇编

2009年联考题

一、选择题 

1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量 等于                    （  ）

A．9             B．1            C．－1          D．－9

答案   B

2.（2009昆明市期末）在△ABC中，

                                                                        (   )

A．                                 B

C．                                 D．1

答案  B

3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量 反向，则m=                               （    ）

A．－1            B．－2            C．0               D．1

答案A

4.（2009上海闸北区）已知向量 和 的夹角为 ， ，且 ，则  (     )

A．                  B．               C．               D．

答案   C

5．(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知 、 是不共线的 ，则 、 、  三点共线的充要条件是：（）

A．     B．        C．          D．

答案  D

6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知向量 夹角的取值范围是               （    ）

    A．        B．         C．         D．

    答案  C

二、填空题

7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知 ，且 ，则 与 的夹角为       ．

答案 

8.（2009云南师大附中）设向量 _________

答案 

9.（2009冠龙高级中学3月月考）若向量 与 的夹角为 ， ，则  _________.

答案 

10.（2009上海九校联考）若向量 ，则向量 的夹角等于             

答案 

11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题

    ① 非零向量 、 满足| |=| |=| - |，则 与 + 的夹角为30°；

    ② · ＞0是 、 的夹角为锐角的充要条件；

    ③ 将函数y=|x-1|的图象按向量 =（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；

    ④若（ ）·（ ）=0，则△ABC为等腰三角形

    以上命题正确的是                   。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

答案  ①③④

12.（2009扬州大学附中3月月考）在直角坐标系 中， 分别是与 轴， 轴平行的单位向量，若直角三角形 中， ， ，则实数m=        ．

答案   －2或0

13.（2009丹阳高级中学一模）已知平面上的向量 、 满足 , ，设向量 ，则 的最小值是                

答案  2

三、解答题

14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m＝（ ，1），

n＝( ， )。

（1）若m?n=1,求 的值;

（2）记f(x)=m?n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足

（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。

解  （I）m?n=

          =

=

      ∵m?n=1

      ∴

               =

  （II）∵（2a-c）cosB=bcosC

    由正弦定理得

    ∴

∴

∵

∴ ，且

∴

∴

∴

又∵f(x)=m?n＝ ，

∴f(A)=  

故函数f(A)的取值范围是（1, ）

15.（2009牟定一中期中）已知： ， （ ）.

(Ⅰ) 求 关于 的表达式，并求 的最小正周期；

(Ⅱ) 若 时， 的最小值为5，求 的值.

解  (Ⅰ) ……2分

.

的最小正周期是 .　

(Ⅱ) ∵ ，∴ .　　

∴当 即 时，函数 取得最小值是 . 　

∵ ，∴ . 　

16.（2009玉溪一中期末）设函数

   （Ⅰ）若 ，求x；

   （Ⅱ）若函数 平移后得到函数 的图像，求实数m,n的值。

   解 （1）

又

（2） 平移后

为 而

17.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知向量

（1）当 时，求 的值；

（2）求 在 上的值域．

解（1）    ，∴ ，∴

     （5分）

（2）

∵ ，∴ ，∴

∴    ∴函数   （10分）

18.(青岛市2009年高三教学统一质量检测)已知向量

，设函数 .

(Ⅰ)求函数 的最大值；

(Ⅱ)在锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， 且 的面积为 ， ,求 的值.

解  (Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，

因为 ，所以 ，

，又  

19.(黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC的面积S满足

（1）求 的取值范围；

（2）求函数 的最大值

解  （1）由题意知 .

，

（2）

20.(2009广东江门模拟）如图4，已知点 和

单位圆上半部分上的动点 ．

⑴若 ，求向量 ；

⑵求 的最大值．

    解    依题意， ， （不含1个或2个端点也对）

，  （写出1个即可）---------3分

因为 ，所以  ---------4分，即 -

解得 ，所以 .

⑵ ，

------11分    ------12分

当 时， 取得最大值， .

21.（山东省滨州市2009年模拟）已知 、 、 分别为 的三边 、 、 所对的角，向量 ， ，且 .

（Ⅰ）求角 的大小；

（Ⅱ）若 ， ， 成等差数列，且 ，求边 的长.

解  （Ⅰ）  

在 中，由于 ，

又 ，

又 ，所以 ，而 ，因此 .

    （Ⅱ）由 ，

由正弦定理得                                

，

即 ，由（Ⅰ）知 ，所以    

由余弦弦定理得 ，    

，

22.（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC= ,∠BAC=θ,记 。

（1）       求 关于θ的表达式;

（2）       求 的值域。

解：（1）由正弦定理，得

（2）由 ，得

∴ ，即 的值域为 .

23.（山东日照2009年模拟）已知 中，角 的对边分别为 ，且满足 。

（I）求角 的大小；

（Ⅱ）设 ，求 的最小值。

解 （I）由于弦定理 ，

有

代入 得 。

 即 .

（Ⅱ） ，                    

 由 ，得 。            

所以，当 时， 取得最小值为0，  

24.（2009年宁波市高三“十校”联考）已知向量 且 ，函数

（I）求函数 的最小正周期及单调递增区间；

（II）若 ，分别求 及 的值。

（I）解；

得到的单调递增区间为

（II）

25.（安徽省江南十校2009年高三高考冲刺）在 中，

，记 的夹角为 .

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）求函数 的最大值和最小值.

解  (1)由余弦定理知： ，又 ，

所以 ，又 即为 的取值范围；

（Ⅱ） ，因为

，所以 ，因此 ， .                  

2007——2008年联考题

一、选择题

1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在 中， =a， =b，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，则 =                                （  ）

A． a- b      B．- a+ b     C． a- b      D．- a+ b

答案  B

2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知向量 ， ，若  与 共线，则 等于(    )

A． ；           B． ；             C． ；           D． ；

答案  A

3.(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量 ≠ ，| |＝1，对任意t∈R，恒有| －t |≥| － |，则                                         (      )

A. ⊥      B. ⊥( － )      C. ⊥( － )    D.( ＋ )⊥( － )

答案：B

4.(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b，则x=                                                            （     ）

A.4          B.5                C.6              D.7

答案  C

5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量 ，其中 、 均为非零向量，则 的取值范围是                                                 (   )

A.         B.         C.         D.

答案  B

6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足 ,则P的轨迹一定通过 的

  A.内心            B. 垂心        C.重心           D.AB边的中点

答案  C

7.(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)下列式子中（其中的a、b、c为平面向量），正确的是          （    ）

    A．                      B．a（b·c）= （a·b）c

    C．              D．

    答案  C

8.(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知单位向量a,b的夹角为 ，那么 (   )

A．         B．              C．2             D．

答案  B

9.(东北三校2008年高三第一次联考)已知向量       （   ）

A．1              B．            C．2              D．4

答案   B

10.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知平面上三点A、B、C满足 的值等于 （   ）
A 25              B 24              C.－25            D －24

答案  C

11.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)如图，平面内的两条相交直线OP₁和OP₂将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含边界），设 ，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m、n满足（   ）

   A．m>0, n>0               B．m>0, n<0        

C．m<0, n>0               D．m<0, n<0

答案  B

12.(湖北省荆门市2008届上期末)如图，在△ABC中， =   （    ）

    A．        B．

    C．       D．

二、填空题

13.(江苏省省阜中2008届高三第三次调研) O为平面上定点，A, B, C是平面上不共线的三

若( )·( )=0, 则DABC的形状是                        .

答案  等腰三角形

14.（ 江苏省滨海县2008高三第三次联考数学试卷）不共线的向量 ， 的模都为2，若 ， ，则两向量 与  的夹角为­­­­­         

答案  90°

15.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知向量 ， ，则 的值为      .

答案  1

16.(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知 ，且 ，∠AOB=60°，则 =____； 与 的夹角为_____.

答案  2,

17.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知Rt△ABC的斜边BC=5，则 的值等于          .

答案  －25

三、解答题

18.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设向量 ，其中 .

（1）求 的取值范围；

（2）若函数 的大小

解  （1）∵ ，

∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ 。

（2）∵ ，

，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴

19.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知 , ， ， .

（Ⅰ）当 时，求使不等式 成立的x的取值范围；

（Ⅱ）求使不等式 成立的x的取值范围.

解  （Ⅰ）当 时， ， .

.

∵ ,

∴     解得 或 .

∴ 当 时，使不等式 成立的x的取值范围是

.

  （Ⅱ）∵ ,

∴ 当m<0时, ；

   当m=0时, ；

   当 时， ；

   当m＝1时， ；

   当m>1时， .

第二部分 解三角形

1.(2010年广东卷文)已知 中， 的对边分别为 若 且 ，则                                                   (    )

A.2          B．4＋         C．4—       D．

答案  A

解析 

由 可知, ,所以 ,

由正弦定理得 ,故选A

2.（2010全国卷Ⅱ文）已知△ABC中， ，则                (    )

A．           B.           C.        D.

答案  D

解析  本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA= 知A为钝角，cosA<0排

除A和B，再由 .

3.(2009全国卷Ⅱ理）已知 中， ，则      (      )

A.                B.                C.   D.

答案   D

解析   已知 中， ， .

    故选D.

4.（2009湖南卷文）在锐角 中， 则 的值等于        ，

的取值范围为        .              

答案   2   

解析   设 由正弦定理得

由锐角 得 ，

又 ，故 ，

5.（2009全国卷Ⅰ理）在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且  求b          

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 .          

解法二:由余弦定理得: .又 , .

所以                                            ①

又 ，

，即

由正弦定理得 ，故                ②

由①，②解得 .

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

6.（2009浙江理）（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ． 

（I）求 的面积；   （II）若 ，求 的值．

解  （1）因为 ， ，又由

得 ，       

（2）对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得

，       

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ．  

（I）求 的面积；   （II）若 ，求 的值．

解（Ⅰ）       

又 ， ，而 ，所以 ，所以 的面积为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，而 ，所以

所以

8.（2009北京理）  在 中，角 的对边分别为 ， 。

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）求 的面积.

【解析】  本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且 ，

∴ ，

∴ .

 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

   又∵ ，∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴ .

∴△ABC的面积 .

9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.

(1)  求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2)  设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.

解 （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.=

所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 .      

（2） = =－ ,    所以 ,    因为C为锐角,   所以 ,

又因为在 ABC 中,  cosB= ,   所以  ,    所以     

.

10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2 在 处取最小值.

（1）求 .的值;

（2）在 ABC中, 分别是角A,B,C的对边,已知 ,

求角C.

解 （1）

因为函数f(x)在 处取最小值，所以 ,由诱导公式知 ,因为 ,所以 .所以       

（2）因为 ,所以 ,因为角A为 ABC的内角,所以 .又因为 所以由正弦定理,得 ,也就是 ,

因为 ,所以 或 .

当 时, ;当 时, .

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c， , ，求B.

解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= (负值舍掉)，从而求出B= 。

解：由     cos（A C）+cosB= 及B=π （A+C）得 cos（A C） cos（A+C）= ，

 cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= ,

 sinAsinC= .

又由 =ac及正弦定理得     

故 ，

  或   （舍去），

于是  B=  或 B= .

又由  知 或

所以 B= 。

11.（2009安徽卷理）在 ABC中， ,  sinB= .

（I）求sinA的值；

 (II)设AC= ，求 ABC的面积.

解：（Ⅰ）由 ，且 ，∴ ，∴ ，

A

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

∴ ，又

∴