战神3视频纯黑:难点37 数形结合思想

难点37  数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.

●难点磁场

1.曲线y=1+  (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围

        .

2.设f(x)=x²–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.

●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.

命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.

知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.

错解分析：考生在确定z=x²，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.

技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.

解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数

∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}

作出z=x²的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a²≤z≤4即C={z｜z²≤z≤4}

要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.

②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知：

必须且只需

解得 ≤a≤2

③当a＞2时，0≤z≤a²，即C={z｜0≤z≤a²}，要使C B必须且只需

解得2＜a≤3

④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立.

综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.

［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

.

命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.

错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.

技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几

何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.

证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,

sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x²+y²=1的两个交点如图.

从而：｜AB｜²=(cosα–cosβ)²+(sinα–sinβ)²

=2–2cos(α–β)

又∵单位圆的圆心到直线l的距离

由平面几何知识知｜OA｜²–( ｜AB｜)²=d²即

∴ .

●锦囊妙计

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

（1）集合的运算及韦恩图

（2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.（★★★★）方程sin(x– )= x的实数解的个数是(    )

A.2              B.3             C.4             D.以上均不对

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为(    )

A.α＜a＜b＜β            B.α＜a＜β＜b

C.a＜α＜b＜β            D.a＜α＜β＜b

二、填空题

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)²+(3sinθ–1+2t)²，(θ、t为参数)的最大值是         .

4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x²–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是           .

三、解答题

5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.

（1）求a的取值范围；

（2）求tan(α+β)的值.

6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)²+(y–3)²=a²,a＞0},且A∩B≠ ，求a的最大值与最小值.

7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F₁为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值.

8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.

答案：（ ］

2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x²–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x²–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：

不等式的成立条件是：(1)Δ=4a²–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)

(2) a∈(–3,–2 ，综上所述a∈(–3,1).

解法二：由f(x)＞a x²+2＞a(2x+1)

令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.

如图满足条件的直线l位于l₁与l₂之间，而直线l₁、l₂对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，

故直线l对应的a∈(–3,1).

●歼灭难点训练

一、1.解析：在同一坐标系内作出y₁=sin(x– )与y₂= x的图象如图.

答案：B

2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：

答案：A

二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)

点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.

考虑用点到直线的距离公式求解.

答案：

4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.

答案：a＞3

三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠

时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,– )∪(– ,2).

②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan ，

故tan(α+β)=3.

6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心， a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆.如图所示

∵A∩B≠ ，∴半圆O和圆O′有公共点.

显然当半圆O和圆O′外切时，a最小

a+a=｜OO′｜=2,∴a_min=2 –2

当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.

此时 a–a=｜OO′｜=2,∴a_max=2 +2.

7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F₁(–2,0),右焦点F₂(2,0).由椭圆定义，｜PF₁｜=2a–｜PF₂｜=6–｜PF₂｜,

∴｜PF₁｜+｜PA｜=6–｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF₂｜

如图：

由｜｜PA｜–｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜= 知

– ≤｜PA｜–｜PF₂｜≤ .

当P在AF₂延长线上的P₂处时，取右“=”号；

当P在AF₂的反向延长线的P₁处时，取左“=”号.

即｜PA｜–｜PF₂｜的最大、最小值分别为 ，– .

于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6– .

8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.

由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.

如图：

设AE=x,BE=y,

则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y

∴

∴ .