上海神舟国际旅行社:难点40 探索性问题

难点40  探索性问题

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.

●难点磁场

1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,

｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为       .

2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？

●案例探究

［例1］已知函数 (a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值 ，且f(1)＞ .

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.

错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.

技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.

解：（1）∵f(x)是奇函数

∴f(–x)=–f(x)，即

∴–bx+c=–bx–c

∴c=0

∴f(x)=

由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，

当x＞0时，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0时取得.

∴x＞0时，

当且仅当

即 时，f(x)有最大值

∴ =1,∴a=b²         ①

又f(1)＞ ，∴ ＞ ,∴5b＞2a+2   ②

把①代入②得2b²–5b+2＜0解得 ＜b＜2

又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

P(x₀,y₀)则Q（2–x₀,–y₀)，∴ ,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0

解之，得x₀=1± ,

∴P点坐标为( )或( )进而相应Q点坐标为Q（ ）

或Q( ).

过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.

［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为 ，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；

（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.

命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.

错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.

技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.

解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.

设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由题意，有｜CA｜=｜CM｜

∴ ,化简，得

x²=2py

它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.

（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.

由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0, ）是抛物线的焦点.

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点

直线BF的方程为 联立方程组

得 .

即C点坐标为( ).

此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜= .

●锦囊妙计

如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题，其中正确命题是(    )

①α∥β l⊥m  ②α⊥β l∥m  ③l∥m α⊥β  ④l⊥m α∥β

A.①与②       B.①与③       C.②与④       D.③与④

2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票(    )

A.7张          B.8张          C.9张         D.10张

二、填空题

3.(★★★★)观察sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°= ,sin²15°+cos²45°+sin15°

·cos45°= ，写出一个与以上两式规律相同的一个等式         .

三、解答题

4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使

∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.

5.（★★★★★）已知非零复数z₁,z₂满足｜z₁｜=a,｜z₂｜=b,｜z₁+z₂｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出 ？请说明理由.

6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab,  ,a–b,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.

7.（★★★★★）直线l过抛物线y²=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.

8.（★★★★★）三个元件T₁、T₂、T₃正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3.

由平行四边形关系可得–a=3c+ b,∴a=–3c– b.

答案：a=–3c– b

2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：

2引擎飞机为 .

要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：

6P²（1–P）²+4P²（1–P）+P⁴≥2P(1–P)+P²,解得P≥ .

即当引擎不出故障的概率不小于 时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.

●歼灭难点训练

一、1.解析：①l⊥α且α∥β l⊥β,m β l⊥m.

②α⊥β且l⊥α l∥β,但不能推出l∥m.

③l∥m,l⊥α m⊥α,由m β α⊥β.

④l⊥m,不能推出α∥β.

答案：B

2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.

答案：B

二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°

可得sin²α+cos²(α+30°)+sinαcos(α+30°)= .

答案：sin²α+cos²(α+30°)+sinαcos(α+30°)=

三、4.解：(1)当AB≤ AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB> AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）

（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点.

连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角.

同理，点C也是其中一点.

5.解：∵|z₁+z₂|²=(z₁+z₂)( + )=|z₁|²+|z₂|²+(z₁ + z₂)

∴c²=a²+b²+(z₁ + z₂)

即：z₁ + z₂=c²–a²–b²

∵z₁≠0,z₂≠0，∴z₁ + ·z₂=  =|z₂|²( )+|z₁|²( )

即有：b²( )+a²( )=z₁z₂+z₁z₂

∴b²( )+a²( )=c²–a²–b²

∴a²( )²+(a²+b²–c²)( )+b²=0

这是关于 的一元二次方程，解此方程即得 的值.

6.解：∵a>b,a>2,b>2,∴ab, ,a–b,a+b均为正数，且有ab>a+b> ,ab>a+b>a–b.

假设存在一对实数a,b使ab, ,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,

a–b, ,或②ab,a+b, ,a–b由（a+b）²≠ab· 所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：

经检验知这是使ab,a+b,a–b, 成等比数列的惟一的一组值.因此当a=7+ ,b= 时，ab,a+b,a–b, 成等比数列.

7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（ ，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设

A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),显然x₁>0,x₂>0,y₁≠y₂,于是有（x₁– ）²+y₁²=(x₂– )²+y₂²,整理得：（x₁+x₂–p)(x₁–x₂)=y₂²–y₁²=–2p(x₁–x₂).显然x₁≠x₂(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得：x₁+x₂–p=–2p即x₁+x₂=–p<0,这与x₁+x₂>0矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.

8.解：设元件T₁、T₂、T₃能正常工作的事件为A₁、A₂、A₃，电路不发生故障的事件为A，则P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.8，P（A₃）=0.9.

（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A₁+A₂）·A₃，由A₁+A₂与A₃相互独立，则P（A）=P（A₁+A₂）·P（A₃）

又P（A₁+A₂）=1–P（ ）=1–P（ · ）由A₁与A₂相互独立知 与 相互独立，得：P（ · ）=P（ ）·P（ ）=［1–P（A₁）］·［1–P（A₂）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A₁+A₂)=0.1–P( · )=1–0.06=0.94，

∴P(A)=0.94×0.9=0.846.

(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A₁+A₃）·A₂且A₁+A₃与A₂相互独立，则P（A）=P（A₁+A₃）·

P（A₂），用另一种算法求P（A₁+A₃）.∵A₁与A₃彼此不互斥，根据容斥原理P（A₁+A₃）=

P（A₁）+P（A₃）–P（A₁A₃），∵A₁与A₃相互独立，则P（A₁·A₃）=P（A₁）·P（A₃）=0.7×0.9=0.63,P(A₁+A₃)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A₁+A₃)·P(A₂)=0.97×0.8=0.776.

(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.

A=（A₂+A₃）A₁=A₂A₁+A₃A₁,∵A₂A₁与A₃A₁彼此不互斥，据容斥原理，则P（A）=P（A₁A₂）+P（A₁A₃）–P（A₁A₂A₃），又由A₁、A₂、A₃相互独立，得P（A₁·A₂）=P（A₁）P（A₂）=0.8×0.7=0.56,

P(A₃A₁)=P(A₃)·P(A₁)=0.9×0.7=0.63,

P(A₁A₂A₃)=P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)=0.7×0.8×0.9=0.504,

∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686.

综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.

故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.