青海湖的特产有哪些:通项公式的求解能够改变你一生的5个词语
来源:百度文库 编辑:中财网 时间:2024/04/28 00:01:34
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。笔者总结出九种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1.等差数列
解:设数列
∵
即
∵
∵
∴
由①②得:
∴
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
二、累加法
求形如an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项,可用累加法,即令n=2,3,…n—1得到n—1个式子累加求得通项。
例2.已知数列{an}中,a1=1,对任意自然数n都有
解:由已知得
以上式子累加,利用
=
点评:累加法是反复利用递推关系得到n—1个式子累加求出通项,这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的和,要注意求和的技巧.
三、迭代法
求形如
例3.已知数列{an}满足a1=1,且an+1 =
解:an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+3
点评:因为运用迭代法解题时,一般数据繁多,迭代时要小心计算,应避免计算错误,导致走进死胡同.
四、公式法
若已知数列的前
例4.已知数列
解:由
当
经验证
点评:利用公式
五、累乘法
对形如
例5.已知数列
解:由
两式相减得:
将上面n—1个等式相乘得:
点评:累乘法是反复利用递推关系得到n—1个式子累乘求出通项,这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的积,要注意求积的技巧.
六、分n奇偶讨论法
在有些数列问题中,有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。
例6.已知数列{an}中,a1=1且anan+1=2
解:由anan+1=2
点评:对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有
七、化归法
想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法.同时,这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。
例7.已知数列
解:当
两边同除以
即
∴
点评:本题借助
八、“归纳—猜想—证明”法
直接求解或变形都比较困难时,先求出数列的前面几项,猜测出通项,然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法.
例8.若数列
解:∵a2=
a3=2(2×1+3×2°)+3×21=22×1+2×3×21,
a4=2(22×1+2×3×21)+3×22=23×1+3×3×22;
猜想an=2n-1+(n-1)×3×2n-2=2n-2(3n-1);
用数学归纳法证明:
1°当n=1时,a1=2-1×=1,结论正确;
2°假设n=k时,ak=2k-2(3k-1)正确,
∴当n=k+1时,
=
由1°、2°知对n∈N*有
点评:利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测,切莫猜错,否则前功尽弃;用数学归纳法证明时要注意格式完整,一定要使用归纳假设.
九、待定系数法(构造法)
求递推式如
例9.已知数列{an}满足a1=1,且an+1 =
解:设
点评:求递推式形如
例10.已知数列
解:将
设
得
数列
得
点评:递推式为
例11.已知数列
解:设
展开后,得
由
条件可以化为
得数列
点评:递推式为
原谅
每个人都会有犯错误的时候,不要处处斤斤计较个人的得失,要学会原谅他
人,要经常看到对方的长处,取长补短,才能不断完善自己,丰富自己。
责任
无论是对家庭、社会还是人生,对亲人、朋友还是陌生人,要有最起码的理解
和尊重,不强人所难,不得寸进尺。尽心尽力,合情合理合法的做好自己该
做的事情。
承受
人生充满未知,酸甜苦辣咸,喜怒哀乐甜,交错闪现,要保持良好的心态,
审时度势,调理自我,接受任何命运的挑战。对于需要承担的不逃避,不推
诿,不放弃。
谢谢
对于别人的无私相助要及时表示谢意,不但显示出自己的礼貌修养和良好家
教,还能让对方充满信心继续传递着友爱与真诚,学会致谢,也是学会生
存、生活。
感恩
常怀感恩之心,常有感恩之情,对养育自己成长的双亲,对情重如山的友
人,对阳光雨露,对红花绿草,都要心感激,是他们改变了我们的生活,关
爱了我们的生命,美化了我们的世界。