刚察到酒泉多少公里:数列求和的方法

数列求和的方法

1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.

①等差数列求和公式：

②等比数列求和公式：

常见的数列的前n项和： ，  1+3+5+……+(2n-1)=

， 等.

2、倒序相加法：

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例1、    已知函数

（1）证明： ；

（2）求 的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

    所以 .

小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.

针对训练3、求值：

3、错位相减法：

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.

若 ，其中 是等差数列， 是公比为 等比数列，令

则     

两式相减并整理即得

例2、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）

已知 ，求数列｛a_n｝的前n项和S_n.

解：     ①

         ②

②—①得

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列 的公比 ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

针对训练4、求和：

4、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

（1） ，特别地当 时，

（2） ，特别地当 时

例3、数列 的通项公式为 ，求它的前n项和

解：

      =

小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

针对训练5、求数列 的前n项和 .

5、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4、求和：

解：

小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.

针对训练6、求和：

基本练习

1.等比数列 的前ｎ项和S_ｎ＝2^ｎ－１，则 ＝________________.

2.设 ，则 ＝_______________________.

3.          .

4. =__________

5. 数列 的通项公式       ，前n项和                

6  的前n项和为_________

提高练习

1．数列{a_n}满足：a₁＝1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m＋n＝a_m＋a_n＋mn，则     (    )

     A．                      B．                  C．               D．

2．数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a₁＋b₁＝5，a₁＞b₁，且a₁，b₁∈N^*，则数列{ }前10项的和等于    (    )

     A．100                          B．85                        C．70                     D．55

3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于                           (    )

A.      B. n(n+4)     C. n(n+5)     D. n(n+7)

4．若S_n=1-2+3-4+…+(-1)^n-1·n，则S₁₇+S₃₃＋Ｓ₅₀等于                        (    )

A.1          B.-1          C.0          D.2

5．设{a_n}为等比数列,{b_n}为等差数列，且b₁=0,c_n=a_n+b_n,若数列{c_n}是1,1,2,…,则{c_n}的前10项和为                                                                (    )

A.978        B.557        C.467        D.979

6．100²-99²+98²-97²+…+2²-1²的值是                                         (    )

A.5000       B.5050       C.10100      D.20200

7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为          .

8．若1²+2²+…+(n-1)²=an³+bn²+cn，则a=          ,b=          ,c=          .

9．已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项．

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)设数列{c_n}对任意自然数n均有 成立．

求c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₀₃的值．

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足:S_n=2an+(-1)ⁿ,n≥1.

(1)求证数列{a_n+ (-1)ⁿ}是等比数列;

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对任意的整数m>4,有

基础练习答案

1、  2、  3、  4、 5、  6 。

提高练习答案

1．解：∵a_m＋n＝a_m＋a_n＋mn，∴a_n＋1＝a_n＋a₁＋n＝a_n＋1＋n，

∴利用叠加法得到： ，∴ ，

∴

．

答案：A.

2．解：∵a_n＝a₁＋n－1，b_n＝b₁＋n－1

∴ ＝a₁＋b_n－1＝a₁＋(b₁＋n―1)―1

＝a₁＋b₁＋n－2＝5＋n－2＝n＋3

则数列{ }也是等差数列，并且前10项和等于：

答案：B.

3．解：因为 a_n=n²-n.，则依据分组集合即得.

答案;A.

4．解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：  S_n=

答案：A

5．解  由题意可得a₁=1,设公比为q,公差为d,则

∴q²-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴a_n=2^n-1,b_n=(n-1)(-1)=1-n,∴c_n=2^n-1+1-n,∴S_n=978.

答案：A

6．解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.

答案：B

7． 解： 设此数列{a_n},其中间项为a₁₀₀₁,

则S_奇=a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₁=1001·a₁₀₀₁,S_偶=a₂+a₄+a₆+…+a₂₀₀₀=1000a₁₀₀₁.

答案:

8．解： 原式=

答案：

9．解：(1)由题意得(a₁＋d)(a₁＋13d)＝(a₁＋4d)²(d＞0)

解得d＝2，∴a_n＝2n－1，可得b_n＝3^n－1

(2)当n＝1时，c₁＝3；

当n≥2时，由 ，得c_n＝2·3^n－1，

故

故c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₀₃＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰⁰²＝3²⁰⁰³．

10．(1)证明  由已知得a_n=S_n-S_n-1=2a_n+(-1)ⁿ-2a_n-1-(-1)^n-1(n≥2),

化简得  a_n=2a_n-1+2(-1)^n-1(n≥2),

上式可化为  a_n+ (-1)ⁿ=2［a_n-1+ (-1)^n-1］(n≥2),∵a₁=1,∴a₁+ (-1)1= .

故数列{a_n+ (-1)ⁿ}是以 为首项，公比为2的等比数列.

(2)解  由（1）可知a_n+ (-1)ⁿ= .

∴a_n= ×2^n-1- (-1)ⁿ= ［2^n-2-(-1)ⁿ］,故数列{a_n}的通项公式为  a_n= ［2^n-2-(-1)ⁿ］.

(3)证明  由已知得

=

=

=

故